книги / Физика тонких пленок. Современное состояние исследований и технические применения. Т. 6

Ф иг. 8. Температурная зависи­ мость удельного сопротивления при низких температурах для массивного образца (/) и для тонкой пленки, согласно моделям Фукса (2) и Азбеля — Гуржи (3).

Г

рассеиваются фононами на малые углы (если пренебречь про­ цессами переброса) и, следовательно, такие столкновения дают лишь малый вклад в объемное сопротивление. Однако в тонкой пленке подобные процессы рассеяния на малые углы приводят к столкновениям электронов с поверхностью пленки. Если рас­ сеяние электронов поверхностью оказывается диффузным, то в результате электроны рассеиваются на большие углы. Этот механизм, часто называемый эффектом Олсена, обусловливает расхождение между величиной сопротивления тонкой пленки и результатами теории Фукса.

Механизм рассеяния на малые углы впервые обсуждался Олсеном [75]. Блатт и Сац [76] и Люти и Уайдер 77] применили его модель для расчета сопротивления тонких проволок. Из полуколичественной теории Блатта и Саца следует, что зави­ сящую от температуры часть сопротивления проволоки диамет­ ром d можно записать в виде

p ( T ) - Pr = 9ep(T) + Pps(d,T),

(36)

где р(Т) — удельное сопротивление проволоки при температуре Т, рг — остаточное сопротивление проволоки, рер(Г )— объемное удельное сопротивление, зависящее от температуры, рp3(d,T) —

удельное сопротивление, обусловленное рассеянием на малые углы, которое приводит к отклонению от правила Маттиссена. Эта последняя величина равна

Р„ = (32я/3)',‘ W )’'1 (Г/6)* (f(,)■'•(Р ./- i - \

(37)

где 0 — дебаевская температура, а — доля полного объемного сопротивления, обусловленная рассеянием на малые углы. Для многих металлов рер ~ Т5 и, следовательно, pps ~ Т’’к Чтобы

получить согласие с экспериментом, Блатт и Сац предполо­ жили, что величина fjv мала и потому важны процессы пере­ броса. В работе Люти и Уайдера расчет сопротивления прово­ лок, обусловленного рассеянием на малые углы, проведен методом Монте-Карло. Однако для получения согласия с экспе­ риментом Люти и Уайдер должны были пренебречь процес­ сами переброса, хотя есть много указаний на то, что такие про­ цессы весьма существенны даже при очень низких темпера­ турах1).

Расчет рассеяния на малые углы в тонких пленках прово­ дился Азбелем и Гуржи [79], Бейнсом [80] и Хусстадом и Лоте [81]. Ван Зитвельд и Басс [82] применили расчеты Блатта и Саца к случаю тонкой пленки. Азбель и Гуржи учли рассеяние на малые углы, введя эффективную длину свободного пробега электрона, определяемую равенством

1//эфф = 1Hel + 1 Пер [(Г /© )2 + ( ^ э ф ф П

(3 8 )

где lei — эффективная длина свободного пробега при рассеянии электронов дефектами, 1ер— эффективная длина свободного

пробега при рассеянии электронов фононами, а 0 — дебаевская температура. В предельном случае очень тонких пленок <1Щфф -С 770, и из (38) следует, что зависящая от температуры

компонента сопротивления пленки должна быть пропорциональ­ на не Тъ, как в случае массивного образца, а Г32). Чтобы найти

сопротивление тонкой пленки, нужно подставить эффективную длину свободного пробега электрона /Эфф, вычисленную по фор­ муле (38), в формулу Фукса (9) для малых k. Вычисленная

температурная зависимость имеет вид, показанный на фиг. 8 (кривая 3), где приведены также результаты для модели Фукса (кривая 2) и массивного образца (кривая /). Как видно, оста­

точное сопротивление становится существенным при гораздо более низкой температуре, чем в случае массивного образца, и температурная зависимость имеет более сложный бид. Деталь­

*) Бейлин [78] показал, что даже в натрии процессы переброса существен­ ны вплоть до 1 К-

2) Вероятность электрон-фононною взаимодействия пропорциональна числу фононов, которое меняется с температурой, как Г3. При низких темпе­ ратурах угол рассеяния будет пропорционален Т/0, а время релаксации, соот­ ветствующее процессам рассеяния на такие малые углы, ~ ( Г /0 ) г. В резуль­ тате объемное удельное сопротивление окажется пропорциональным Тъ. В тон­ кой пленке в условиях диффузного рассеяния электронов поверхностью раз­ личие между рассеянием на малые и большие углы исчезает и множитель (Г/0)2 не появляется. Поэтому зависящая от температуры часть сопротивле­ ния тонких плевок будет пропорциональна Р ,

ный характер температурной зависимости определяется соотно­ шением между величинами T/Q, d/lei и d/lep. Аналогичным

образом Азбель и Гуржи рассмотрели также температурную зависимость сопротивления тонких проволок.

Бейнс [80] и Хусстад и Лоте [81] включили рассеяние на ма­ лые углы в интеграл столкновений уравнения Больцмана, не предполагая справедливости правила Маттиссена. Хусстад и Логе ввели параметр р, который определяет примесь изотроп­ ного рассеяния к рассеянию на малые углы. На фиг. 9 пока­

заны	кривые		для р = 0	(рассеяние		только на малые углы) и
для	р =	100	(рассеяние	на	малые углы составляет приблизи­
тельно		1%)	в сравнении с		кривой,	соответствующей модели

Фукса. В предельном случае тонких пленок даже малое откло­ нение от изотропного рассеяния приводит к значительному уве­ личению сопротивления. Для толстых пленок кривая Хусстада — Лоте для р = 0 пересекает кривую Фукса, т. е. рассеяние на малые углы приводит к уменьшению сопротивления. Расчеты Бейнса дают кривую сопротивления, которая проходит вблизи кривой для р = 100 в случае тонких пленок и несколько выше всех кривых на фиг. 9 в случае толстых пленок. Увеличение сопротивления из-за рассеяния на малые углы должно наблю­ даться при умеренно низких температурах. При очень низких

Ф и г. 9. Приведенное удельное сопротивление р/ро тонкой			пленки в зависи­
мости от приведенной толщины	k = d/l,	согласно моделям	Фукса (1) и Хус-
стада — Лоте (2 — для р = 0, 3	— для р	= 100).

j—

Ф иг. 10. Температурная зависимость удельного сопротивления тонкой плен­ ки при низких температурах, согласно модели Гуржи.

температурах будет доминировать рассеяние на дефектах, а при сравнительно высоких температурах — рассеяние на боль­ шие углы. Результирующая кривая зависимости сопротивления от температуры должна, таким образом, во всем температур­ ном диапазоне проходить выше кривой Фукса и отклоняться от нее приблизительно так же, как кривая Азбеля— Гуржи (кри­ вая 3 на фиг. 8). Кривые Хусстада — Лоте и Бейнса должны

лежать значительно ниже кривой Азбеля — Гуржи.

в. Модель Гуржи. Другой расчет сопротивления тонких об­ разцов при низких температурах был проведен Гуржи [83]. Гуржи предположил, что при низких температурах длина сво­ бодного пробега электронов, определяемая их взаимодействием с фононами (/<>р), много больше длины свободного пробега фо­ нонов, обусловленной их рассеянием электронами (1ре), так что

электрон-фононное взаимодействие практически сводится к электрон-электронному взаимодействию. Следовательно, при lev d должно произойти много электрон-электронных соуда­

рений, прежде чем электрон столкнется с границей образца, и все это время электрон будет ускоряться электрическим по­ лем1). Электронный газ при таких условиях ведет себя как вязкая заряженная жидкость и сопротивление должно быть пропорционально 1ер, поскольку эффективная длина пути, про­

ходимого электроном между столкновениями с поверхностью, должна убывать с ростом 1ер. Такое поведение сопротивления

сильно отличается от обычной ситуации, когда решеточное со­

*) Эти рассуждения справедливы, только если пренебречь процессами пе­ реброса; поэтому Гуржи отмечает, что температура должна быть ниже той, при которой эти процессы становятся существенными. Имеются, однако, ука­ зания, что процессы переброса важны прн температурах, гораздо меньших тех, о которых идет речь в статье Гуржи (см. сноску *) на стр. 114).

противление рь обратно пропорционально 1ер. Поскольку с рос­ том температуры 1ер убывает, сопротивление в некоторой обла­

сти температур должно убывать при увеличении температуры, что схематически показано на фиг. 10. Когда температура повышается настолько, что lep « d, сопротивление, как обычно,

будет возрастать с температурой. Чтобы можно было наблю­ дать минимум сопротивления, необходимо, чтобы в некоторой

области температур выполнялись неравенства 1ер	d и "£>d,
где lei — длина свободного пробега электронов,	определяемая

их рассеянием на дефектах. Эти условия, по-видимому, будут выполняться в довольно толстых пленках толщиной не менее 10 мкм при температуре 10—20 К.

7. ИЗМЕРЕНИЯ НА ОДНОМ ОБРАЗЦЕ

Приведенные выше формулы для удельного сопротивления в общем случае содержат три неизвестных величины: объемное удельное сопротивление ро, длину свободного пробега электрона / и параметр зеркальности р (или критический угол -О, при котором р изменяется от 0 до 1). Толщина пленки или диаметр проволоки d и удельное сопротивление р доступны для непо­

средственного измерения. В принципе три неизвестные величины можно найти, измеряя сопротивление нескольких образцов раз­ личной толщины, но с одинаковой структурой и с одинаковым содержанием примеси. На практике, однако, трудно однозначно определить параметры, особенно значения / и р, из-за погреш­ ностей в определении толщины и непостоянства объемного удельного сопротивления*). Вместо этого можно определять указанные неизвестные параметры на одном образце, измеряя две или три величины, зависящие от этих параметров. Это освобождает от необходимости приготовления образцов раз­ личной толщины с одинаковыми объемными свойствами.

Подобные измерения на одном образце были описаны Котти [85]. Он показал, что время затухания вихревых токов, инду­ цируемых изменением магнитного поля, параллельного поверх­ ности пленки, определяет удельное сопротивление pt. Эта вели­ чина имеет иную функциональную зависимость от I и ро, чем

статическое удельное сопротивление р. Расчет	зависимости
р т/ро от А и р (или от ft и критического угла ■д)	был проведен

Брэндли и Котти [46]. Измерение р и pt на одном и том же образце позволяет определить I и ро.

Другой способ измерений на одном образце был предложен Абелесом и Тейе [86, 87]. В их работе на одной и той же пленке измеряются оптические постоянные п и ft и статическое

‘) Анализ трудностей в определении I и р был проведен Носсеком [84].

сопротивление. Чтобы исключить эффекты, связанные с внутрен­ ним фотоэлектрическим поглощением, оптические измерения про­ водятся при довольно низких частотах (А, > 1 мкм). Используя расчеты Дингла для аномального скин-эффекта [88], Абелес и Тейе получили соотношение между оптическими постоянными и длиной свободного пробега электрона /, параметром зеркаль­ ности р, объемным удельным сопротивлением р0 и скоростью Ферми vF. Другое соотношение, связывающее I, р и р0, полу­

чается из формулы Фукса (13). Таким образом, измерение опти­ ческих постоянных и удельного сопротивления на одной и той же пленке дает два уравнения с неизвестными I, р и р0. Предпо­

лагая известными объемное удельное сопротивление р0 и ско­ рость Ферми Vp, можно, решая эти уравнения, определить вели­ чины / и р.

Размерные эффекты присущи также и гальваномагнитным явлениям. Постоянная Холла и магиетосопротивление зависят от параметра толщины k = djl и параметра зеркальности р

[18, 20, 43]. Измерение этих величин в сочетании с измерением сопротивления в принципе позволяет определить I и р для

одного образца. Однако гальваномагнитные измерения, как и оптические, могут быть использованы для этой цели лишь при наличии дополнительной информации о параметрах поверхно­ сти Ферми.

III.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

1.ПРИГОТОВЛЕНИЕ ОБРАЗЦОВ

а.Тонкие пленки. Для того чтобы результаты измерения со­ противления имело смысл сравнивать с предсказаниями теории, тонкие пленки должны быть однородными, иметь высокую сте­ пень чистоты, низкую концентрацию структурных дефектов и плоскопараллельные поверхности. Кроме того, толщина пленки должна быть сравнима с длиной свободного пробега электрона при температуре опыта или, еще лучше, быть гораздо меньше этой длины. Хотя пленки можно получать путем переноса па­ ровой фазы, а также химическим и электролитическим осажде­ нием, пленки высшего качества обычно получают вакуумным напылением в сверхвысоковакуумной системе или катодным рас­

пылением в атмосфере инертного газа высокой чистоты. На­ илучшие структурные характеристики получаются при эпитак­ сиальном выращивании на нагретой монокристаллической под­ ложке. Выбор материала подложки и температуры, конечно, зависит от наносимого на подложку металла. Эпитаксиальное выращивание, однако, не является обязательным, и во многих работах по изучению размерных эффектов использовались поликристаллические пленки на аморфных подложках. Поскольку

сопротивление пленки очень чувствительно к степени структур­ ного совершенства пленки, обычно ведут контроль за каче­ ством пленок и наличием микроструктурных нарушений [89]. Большая часть ранних исследований сопротивления тонких пле­ нок относилась к изучению процессов старения и отжига в пленках [90].

Хотя для измерения размерных эффектов наиболее подходят эпитаксиальные пленки, условия, необходимые для обеспечения эпитаксии и для получения плоскопараллельных поверхностей, часто являются взаимоисключающими. Вообще говоря, плоскопараллельные поверхности легче всего получить при высокой скорости напыления и низкой температуре подложки, но при этом пленки оказываются сильно разупорядоченными, и, прежде чем использовать их для измерения размерных эффек­ тов, необходимо производить отжиг. Однако в результате от­ жига первоначально сплошная пленка может стать пористой. Пленки, получаемые путем эпитаксиального выращивания на нагретых подложках, проходят различные стадии (от образо­ вания островков до коалесценции и возникновения сетчатой структуры) и становятся сплошными только при толщине, изме­ ряемой многими сотнями ангстрем [91, 92]1).

Для определения длины свободного пробега электрона обычно требуется производить измерения с набором пленок возрастающей толщины, у которых одинакова степень чистоты и структура (одинакова объемная длина свободного пробега). Это условие трудно выполнить, поскольку с ростом толщины пленки происходят изменения в процессах напыления и струк­ тура пленки вблизи подложки скорее всего будет отличаться от ее структуры в средней части. Любое изменение структуры или степени чистоты пленки при изменении толщины приводит к за­ висимости сопротивления от толщины, не связанной с размер­ ным эффектом.

б. Тонкие фольги, пластинки, проволоки и усы. При комнат­ ной температуре длина свободного пробега электрона обычно измеряется сотнями ангстрем, поэтому для определения раз­ мерного эффекта требуются довольно тонкие пленки. В сверх­ чистых металлах при низких температурах длина свободного пробега может достигать многих миллиметров, и изучать раз­ мерные эффекты можно на гораздо более толстых образцах. Очень толстые пленки часто называют фольгами, а очень)*

*) Франкомб и Шлахтер [93] обнаружили, что путем распыления при вы­ соком давлении и малой скорости осаждения можно с хорошей воспроизводи­ мостью получать сплошные эпитаксиальные золотые пленки толщиной менее 100 А. При помощи эпитаксиального наращивания на металлическую основу можно создавать сплошные однослойные металлические пленки, но такие плен­ ки не используются для измерения электрических размерных эффектов.

толстые фольги — пластинками. В этой статье, однако, мы бу­ дем называть пленками образцы, получаемые в результате про­ цессов осаждения, а фольгами — образцы, утончение которых производится механическими или химическими способами.

Образцы, предназначенные для измерения размерных эффек­ тов, часто получают холодной прокаткой, которая позволяет уменьшать толщину многих металлов до 1 мкм. Этот метод обладает, однако, тем же недостатком, что и вакуумное напы­ ление: нет гарантии, что до и после отжига структура пленки не зависит от ее толщины. Для получения тонких образцов применяются также электролитическое и химическое травле­ ние. Эти методы могут использоваться для утончения монокристаллических образцов, что требуется для изучения анизотропии электропроводности в зависимости от размеров. При этом, однако, оказывается затруднительным получить образцы тоньше 50 мкм и совсем уж трудно обеспечить плоскопараллелыюсть граней у более тонких образцов. Для уменьшения толщины применялась также бомбардировка тяжелыми ионами [94] и тра­ вление путем высокочастотного распыления [95], но такие спо­ собы приводят к возникновению в образцах структурных изме­ нений.

В разд. II, 3 было отмечено, что в тонких проволоках раз­ мерные эффекты проявляются ярче, чем в тонких пленках сравнимой толщины. Однако и получать тонкие проволоки, к сожалению, труднее, чем пленки. Проволоки толщиной порядка 10 мкм изготовляются путем волочения или продавливания [82]; при этом, как и в случае прокатанных фольг, их структура и степень чистоты могут изменяться с толщиной. Эндрю [96] про­ водил измерения размерных эффектов на тонких ртутных про­ волоках диаметром всего 6 мкм, которые получал, пропуская жидкую ртуть через очень тонкие стеклянные капилляры. Монокристаллические проволоки приготовляют методом химической или электролитической полировки из массивных монокристаллических образцов. В результате получаются чистые образцы с оптимальной структурой, но толщину нельзя сделать меньше 200—300 мкм, не нарушая при этом постоянства сечения.

Для изучения размерных эффектов в электропроводности используются также нитевидные монокристаллы (усы) и монокристаллические ленты [97— 100]. Их минимальные размеры мо­ гут быть менее 1 мкм. Однако степень чистоты нитевидных кри­ сталлов и лент может изменяться с толщиной, в частности мо­ жет возрастать при уменьшении толщины [101]. Для приготов­ ления узких тонкопленочных лент или микрополосок можно использовать технику вакуумного напыления через специальные маски. Таким способом можно получить поперечное сечение всего 0,05 мкм2 [102]. Образцу с еще меньшей площадью се­

чения можно приготовить при помощи электронного луча ска­ нирующего электронного микроскопа. Можно также наносить на металлическую пленку маску в виде полимеризованной пленки, которая затем служит защитным покрытием при после­ дующем химическом травлении или ионной бомбардировке не­ защищенной металлической пленки. Таким способом удается получать металлические полоски с площадью поперечного се­ чения менее 0,005 мкм2 [102а, 1026]. Эта методика позволяет изучать размерные эффекты на образцах прямоугольного сече­ ния, которые отличаются друг от друга не толщиной, а шири­ ной и у которых поэтому при изменении размеров структура и степень чистоты не меняются.

2. ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ТОНКИМИ ПЛЕНКАМИ

Самые первые эксперименты по изучению сопротивления тонких металлических пленок были проведены в конце прошло­ го—начале нынешнего века Мозером [103], Стоуном [39], Лонгденом [104] и Петтерсоном [105]. В этих исследованиях, а также в работах, проводившихся за последующие тридцать лет, основ­ ное внимание уделялось эффектам старения и эффектам, спе­ цифическим для того или иного типа процессов нанесения пле­ нок. В большинстве ранних работ изучались пленки, полученные химическим осаждением, а в последующих — металлические пленки, создаваемые катодным распылением или вакуумным на­ несением. Очень тонкие пленки обладали весьма высоким удель­ ным сопротивлением с отрицательным температурным коэф­ фициентом, более толстые пленки — гораздо более низким удельным сопротивлением с положительным температурным коэффициентом. Однако даже эти более низкие удельные сопро­ тивления относительно толстых пленок значительно превышали объемные удельные сопротивления. Тонкие пленки, используе­ мые в этих исследованиях, обычно имели разрывы, а более тол­ стые содержали большое количество дефектов. Обзор ранней литературы был сделан Бартлетом [106] и Майером [4].

а. Пленки щелочных металлов. Хорошим критерием совер­ шенства пленок является приближение их удельного сопротив­ ления к объемному значению по мере увеличения толщины. Ловелл и Эплярд [41, 107— 109] впервые получили металличе­ ские пленки, удовлетворяющие этому критерию. Используя метод вакуумного напыления, Ловелл [108] получал на охла­ жденных подложках из пирекса цезиевые пленки толщиной 1 мкм, удельное сопротивление которых лишь на 4% превышало объемное удельное сопротивление Cs; несколько более тонкие пленки К и Ru имели удельные сопротивления, в 2,5 раза боль­ шие объемных значений. Удельные сопротивления пленок щелоч-

Ф иг. 11. Сравнение экспе­ риментальной и теоретической зависимостей удельного сопро­ тивления от толщины при трех значениях параметра зеркаль­ ности р [10].

ных металлов при толщине более 40 А хорошо согласуются с теоретической формулой Ловелла [соотношение (6)]. Опираясь на экспериментальные результаты Ловелла, Фукс развил более точную теорию и сделал попытку согласовать ее с данными Ловелла для цезия, предполагая объемную длину свободного пробега равной 1450 А [42]. Эти данные не согласуются с какойлибо кривой для постоянного параметра зеркальности, но, повидимому, указывают на наличие зеркального отражения при толщине более 15 А. Более поздние эксперименты о пленками щелочных металлов свидетельствуют о диффузном рассеянии электронов поверхностью [110, 111], так что отклонение резуль­ татов Ловелла от кривой Фукса при р — 0, вероятно, связано

с зависимостью структуры пленки от толщины.

Вслед за ранней работой Ловелла появились работы Майера

идр. [112, 113], Носсека [114], Сирклера [115] и Уордена и Д а­ ниэльсона [ПО], посвященные изучению сопротивления пленок щелочных металлов. Во всех этих работах пленки щелочных металлов осаждались на холодных подложках и сопротивление измерялось при температурах от 60 до 100 К. Кривые зависи­ мости сопротивления от толщины хорошо воспроизводимы [115]

иудельное сопротивление более толстых пленок приближается

кобъемным значениям. Поскольку теория Фукса основана на приближении свободных электронов в металлах, ее применение для интерпретации результатов измерений сопротивления пле­ нок щелочных металлов является вполне естественным.