книги / Функциональный анализ
..pdf
|
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ |
91 |
3. |
Идеальные пространства. В общей теории нормированных |
пространств измеримых функций обычно предполагается выпол
ненной следующая аксиома: из |*(/)| <]*/(/) |, где |
у — функ |
|||
ция из £, |
а х — измеримая |
функция, |
вытекает, что х |
также яв |
ляется функцией из Е, причем \\х\\Е ^ |
\\у \\е . Такие пространства |
|||
называют |
предидеальными |
(или нормированными |
структура |
ми). Каждое предидеальное пространство вложено в простран ство измеримых функций непрерывно: из сходимости по норме этого пространства вытекает сходимость по мере.
Говорят, что норма в предидеальном пространстве обладает
свойством Рисса— Фишера, если из неравенства
оо
II %пlie < °°>
/2=1
где хп — неотрицательные функции из Я, вытекает, что функция
оо
х = ^ х п принадлежит Е. Свойство Рисса — Фишера эквива- /2=1
лентно полноте пространства. Полные предидеальные простран ства называются идеальными (или иначе, банаховыми структу рами:, банаховыми решетками, функциональными структурами).
Существуют такие предидеальные пространства, пополнение которых не изоморфно никакому идеальному пространству. Тем не менее, для каждого предидеального пространства можно
указать минимальное идеальное |
пространство Ё (насыщение |
Е), в которое Е непрерывно вложено и, более того, |
|
1И1£<1И1£ |
(* е £ ) . |
Именно, пространство Е — это совокупность функций, для которых имеет смысл и конечна норма
11*11*= inf 2 И * Л . /2=1
Здесь infimum берется по всем последовательностям неотрица-
оо |
|
|
тельных функций хп из Е, для которых 2 |
хп = \х\. |
Эквива- |
/2=1 |
^ |
|
лентность норм ||x||£ и \\х\\% означает, что |
пополнение |
Е про |
странства Е отождествляется с идеальным пространством. Говорят, что норма в предидеальном пространстве обладает
свойством Фату, если из сходимости почти всюду ограниченной последовательности функций хп из Е к функции х вытекает, что
х<=Е и
92 |
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
Свойство Рисса — Фишера является следствием свойства Фату; обратное неверно. Предидеальное пространство Е называется совершенным, если норма в нем обладает свойством Фату. Каж дое совершенное пространство полно.
Пусть Е — предидеальное пространство. Через Е обозна чается пространство всех измеримых на й функций, для кото рых имеет смысл и конечна норма
II* Ilf = inf lim|| хп ||£,
где inf берется по всем последовательностям неотрицательных функций хп из £, сходящимся почти всюду к \х\. Пространство Е является минимальным совершенным пространством, содер жащим Е и таким, что
11*11* <11*11* |
(* е £ ) . |
При этом Е пэ Е и |
|
11*11* <11* II* |
(*е=£). |
Говорят, что функция х из Е имеет абсолютно непрерывную норму, если
lim 1ь„*|| = 0.
где %D — характеристическая функция множества D, a Dn — лю бая убывающая последовательность измеримых множеств с пу стым пересечением. Через Е° обозначается совокупность всех функций из £ с абсолютно непрерывной нормой. Линейное мно гообразие Е° может содержать только нуль* (например, в про странстве Loo(Q)).
Если Е° = £, то пространство называется правильным. При мерами правильных пространств служат пространства 1р(й), пространства Лоренца, пространства Орлича, Л/'-функция кото рых удовлетворяет Д2-условию. Наконец, Е° может быть пра вильным подпространством £, содержащим ненулевые функции (например, в пространстве Марцинкевича или пространстве Ор лича без Д2-условия). Многообразие Е° является предидеальным пространством (идеальным, если Е идеально). Во многих слу чаях Е° не имеет замкнутого дополнения в Е (например, в про странствах Орлича без Д2-условия).
Правильные пространства обладают рядом интересных свойств. Так, для сходимости последовательности функций хт из правильного пространства Е к функции х необходимо и доста точно, чтобы последовательность хт сходилась к х по мере и чтобы нормы функций хт были равностепенно абсолютно непре рывными. Последнее означает, что
lim suplxo.*,J = 0
я-»оо т |
" 1 |
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ |
93 |
для любой убывающей последовательности множеств Dn с пу стым пересечением.
Пусть |
Е — идеальное |
пространство. Сепарабельность про |
странства |
Е равносильна |
тому, что Е — правильное, и мера на |
£2 сепарабельна (это означает, что существует такое счетное се
мейство |
подмножеств £2, что для любого измеримого D c Q |
||
конечной меры и любого е > Осуществует D0 еЯЙ, для которого |
|||
mes(£>\A)U DQ\ |
D) *< е). В частности, лебегова мера |
и мера |
|
на подмножествах |
натурального ряда N, указанная в |
начале |
этого параграфа, сепарабельны. Поэтому сепарабельность иде альных пространств функций, определенных на множествах ко нечномерного пространства, пространств последовательностей, равносильна их правильности.
Ли т е р а т у р а : [100], [103].
4.Двойственные пространства. Носителем предидеального пространства Е называется минимальное подмножество £2, вне которого аннулируются все функции х из Е. Если Е — идеальное пространство, то в Е существуют так называемые единицы —
функции Wo, положительные во всех точках носителя Е. Ниже через (х, у) обозначается число
Пусть Е — предидеальное пространство. Двойственным (или иначе ассоциированным) к Е пространством Ех называется про странство аннулирующихся вне носителя Е функций у, для ко торых (х, у) < оо при всех х из Е. С нормой
II у |1£, = sup {х, у) ||*||£<1
Ei является совершенным идеальным пространством, причем носители Е и Е1 совпадают.
Пространство Е1 можно рассматривать как подпространство
сопряженного |
к Е пространства |
так как каждая функция |
У о ^ Е 1 определяет на Е линейный |
непрерывный функционал |
|
f o { x ) = (х, Уо), |
причем Ш1г'=11#о11£|- |
|
Подпространство Е1 замкнуто в Е' и совпадает с Е' в том и только том случае, когда Е — правильное. В случае, когда Е не является правильным пространством, пространство Е' суще ственно шире Е1. В пространстве Е' существует проектор на Е 1 с единичной нормой. Функционалы f из Е \ принадлежащие Е1, характеризуются специальным свойством непрерывности: они преобразуют сходящиеся почти всюду и ограниченные функцией из Е последовательности в сходящиеся числовые последователь ности.
94 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
По аналогии со вторым сопряженным пространством можно рассматривать второе двойственное пространство L11. Оказы
вается, что Е п = Е и || х ||£„ = || х ||g. |
В частности, |
для совер |
||||
шенных пространств Е и Еп совпадают. |
являются |
двойствен |
||||
Пространства |
Lp и |
LP' (l/p + |
\/р' = 1) |
|||
ными друг другу, |
при |
этом для |
1 ^ |
р < |
оо пространство Lp' |
совпадает с сопряженным к Ер, а пространство L\ является за мкнутым подпространством пространства (Loo)'.
Пространства Орлича LM и Ем*, порожденные дополнитель ными друг другу М-функциями М(и) и М*(и), также оказы ваются двойственными. Однако нормой, двойственной к первой (второй) норме пространства LM, будет вторая (первая) норма пространства Ем*» Пространство Ем* совпадает с сопряженным к Ем в том и только том случае, когда ЛЛфункция М(и) удо влетворяет Аг-условию.
Пространства Лф и Мф также являются двойственными друг другу, при этом Мф совпадает с сопряженным к Лф.
Ли т е р а т у р а : [32], [114].
5.Симметричные и однородные пространства. Идеальное про странство Е называется симметричным или перестановочно ин вариантным, если вместе с каждой функцией х оно содержит и все равноизмеримые с нею функции у, причем \\х\\ = \\у\\ *).
Пусть мера на Q непрерывна, т. е. каждое множество поло жительной меры может быть разбито на две части одинаковой меры. Тогда равенством
<p£ (mes Z)) = || %Dlb
(%D ~ характеристическая функция множества D) определена на [0, mes Q1 так называемая фундаментальная функция уЕ(Х).
Для пространства Lp "(pLp(k) — Xi,p, для пространства Марцинкевича (^) = "Ф* (^)> для пространства Лоренца <РЛф (А) = ф (А,). Фундаментальная функция каждого симметричного простран
ства |
на (0, mesQ) не убывает вместе с функцией А/ф£ (А); функ |
||
ции |
фЕ(А) и А,/ф.еМ непрерывны на |
(0, |
mesQ). В случае |
mes Q < оо функция фе(А) непрерывна |
и в |
нуле, если Е ф L„, |
функция А/фВ(А) непрерывна в нуле, если Е ф Ь \. В симметрич ных пространствах множество Е° совпадает с замыканием мно жества ограниченных финитных функций.
Для нетривиального симметричного пространства Е всегда справедливы вложения La, а Е а Ь\.
*) Функции х н у называются равноизмеримыми, если т,(т) = m v (x) для всех т > 0.
§ 3. ПРОСТРАНСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ |
95 |
Пространство Е1, двойственное к симметричному простран ству £, также симметрично; его фундаментальная функция сов падает с Я/ф.еМ - Среди всех симметричных пространств с за данной фундаментальной функцией ф(Я) наиболее узким яв ляется пространство Лоренца Аф, а наиболее широким Мф* (ф*(Я) =А/ф(Я)); при этом
II * 1Ц,. < II * 11в |
(х*=Е), |
11*11£ <И*11Лф |
(лг ^ Лф). |
|
Пусть мера Q конечна и со= { £ > 1 ........Dj} — разбиение мно-, |
||||
жества £2. Интегральный оператор |
|
|||
|
Рфх (s) = |
| К {s, а) х (a) da, |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
п |
|
|
|
К (S, а) = 2 |
|
%D{ (s) %D{И - |
|
|
|
i = |
l |
|
|
является оператором проектирования, который принято назы вать проектором Хаара. Каждый проектор Хаара действует в любом симметричном пространстве Е и имеет норму 1. Пусть
соп — последовательность разбиений со„ = {й{\ \ ... , D/"}} множе
ства £2, причем шах mes £2(л) —►0. Тогда последовательность соот- 1<t<in
ветствующих этим разбиениям проекторов Хаара Р^п сильно
сходится к единичному оператору в каждом правильном сим метричном пространстве Е. Разбиения соп можно выбрать так, что последовательность Р&п будет сильно сходиться к единич
ному оператору на наперед заданном произвольном сепарабель ном подпространстве пространства Loo. Если пространство Е не является правильным и Е Ф Loo, то при х е £ \ £ ° последова тельность функций Р®пх некомпактна.
При изучении симметричных пространств особую роль играют пространства Лоренца. Если норма симметричного пространства обладает свойством Фату (совершенное пространство), то она может быть представлена как supremum некоторого множества норм Лоренца. В пространствах Лоренца описаны все крайние точки единичных шаров. Например, если фундаментальная функ ция ф(А) строго вогнута, то крайними точками единичного шара являются все функции с нормой 1, модули которых принимают лишь одно ненулевое значение.
Л и т е р а т у р а : [101], [109].
96ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§4. Векторнозначные функции
1.Непрерывность, дифференцируемость. В этом пункте бу дут рассматриваться функции x(t) вещественного аргумента, значения которых при каждом t ^ [ а, р] являются элементами линейного нормированного пространства Е (векторнозначные
функции): x ( t ) ^ E |
р). Такие функции являются |
обоб |
|||
щением обычных вектор-функций скалярного аргумента. |
если |
||||
Функция x(t) |
называется |
непрерывной |
в |
точке to, |
|
\\x(t) —■x(to) || —>-0 |
при t —►to, |
и непрерывной |
на |
отрезке |
[а, р], |
если она непрерывна в каждой точке отрезка [а, р]. Норма не прерывной на [а, р] функции есть скалярная непрерывная функ ция.
Множество всех непрерывных на [а, р] функций со значе ниями в Е образует линейную систему С(Е\[а, р]). В этой системе можно ввести норму
И*Ис(£-[а 0]>= max М О Ik.
после чего она становится линейным нормированным простран ством. Если Е — банахово, то С(Е; [а, р]) также банахово.
Кроме введенного понятия (сильной) непрерывности функ ции x(t), можно ввести понятие слабой непрерывности. Функция x(t) называется слабо непрерывной (в точке, на отрезке), если для любого непрерывного линейного функционала f ^ E f ска лярная функция f(x(t)) непрерывна (в точке, на отрезке). Из сильной непрерывности вытекает слабая. Обратное неверно.
Слабо непрерывная на отрезке [а, |
р] |
функция x(t) ограничена |
||||
на нем: ||х (/)||^ М |
( с с ^ / ^ р ) . |
Норма |
слабо |
непрерывной |
||
функции полунепрерывна снизу. |
|
|
|
|
если |
|
Функция x(t) называется дифференцируемой в точке to, |
||||||
существует такой элемент у е £, что |
|
|
|
|
||
IX (* (*о + h) — х (t0)) - |
у || |
0 |
|
|
||
при h-*0. Элемент у |
называется |
производной |
функции |
х(/) |
в точке to и обозначается у — х' {to). Функция дифференцируема на отрезке [а, р], если она дифференцируема в каждой его точке. Если при этом производная x'{t) непрерывна, то функция x(t) непрерывно дифференцируема. Если функция дифференцируема на отрезке [а, р], то справедливо неравенство
§ 4. ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ |
97 |
Это неравенство остается справедливым, если производная суще ствует на отрезке [а, р] всюду, за исключением счетного мно жества его точек.
Говорят, что функция x(t) имеет в точке |
U слабую производ |
|
ную x'(t0), если |
+ — *(^о)] слабо |
сходится при /*->- О |
к x'(to). Другими словами это означает, что при всяком f ^ E ' скалярная функция f{x(t)) дифференцируема в точке to и [f (x(to))]' = f (x'(f0)). Если функция x(t) имеет в каждой точке отрезка [а, р] слабую производную, то сохраняется написанная выше оценка нормы приращения функции. В частности, если слабая производная равна нулю во всех точках отрезка, то функция постоянна. Аналогично определяются производные лю бого порядка от векторнозначных функций.
Ли т е р а т у р а : [35], [39], [58].
2.Интеграл Римана. Если функция x(t) со значениями в ба наховом пространстве Е непрерывна на отрезке [а, р], то для нее можно определить интеграл Римана как предел интегральных
сумм:
N |
0 |
lim ^ |
х (tk) Atk = J x (t) dt. |
k=l |
a |
Здесь предел понимается в смысле сходимости по норме про странства £, когда диаметр разбиения а = U < h < ... < tN = = р стремится к нулю. Предел существует и не зависит от спо соба разбиения отрезка на части.
Справедлива оценка
J x(t)dt < | \\x{t)\\dt
и т е о р е м а о с р е д н е м
Р
j x(t) dt = ($— а)х,
а ■
где х — элемент замкнутой выпуклой оболочки множества зна чений функции x(t) на отрезке [а, р].
Функция
*
y (t) = J X (т) dr
а
является непрерывно дифференцируемой и у' {t)—x{t). Для лю бой непрерывно дифференцируемой функции y(t) справедлива
98ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
фо р м у л а Н ь ю т о н а — Л е й б н и ц а
Jу' (t) dt = у (Р) — у (а).
а
Так же, как и в классическом анализе, вводится понятие не собственного интеграла. Например, если функция непрерывна на [а, р] при любом р > а, то под ее интегралом на [а, оо] по нимают
ОО3
f x (t)d t= |
lim |
[ x(t)dt. |
aJ |
(3->oo |
aJ |
Если предел по норме пространства Е существует, то гово рят, что интеграл сходится. Интеграл абсолютно сходится, если
оо
J||*(*)|М*< оо.
а
Из абсолютной сходимости интеграла следует обычная схо
димость.
.Можно рассмотреть интегралы, зависящие от параметра. На них переносятся классические теоремы о непрерывной зависи мости от параметра, об интегрировании и дифференцировании по параметру.
Ли т е р а т у р а : [39], [58].
3.Аналитические функции. Пусть G — область комплексной
плоскости. Рассматриваются функции х(г), определенные в G и принимающие значения в комплексном банаховом простран
стве |
Е. Элемент |
x'(z0) ^ E |
называется производной функции |
|
x(z) |
в точке z0, если |
|
|
|
|
1 х (z0+ Аг) — X (г0) |
х' (z0) Л—> 0 |
||
|
1 |
А* |
||
|
|
|||
при Дг->0. Функция x(z) |
называется аналитической в области |
G, если она имеет в каждой точке этой области производную.
Если х{г) аналитична в G, то при любом линейном функцио нале f ^ E ' скалярная функция f(x(z)) аналитична в G: Спра ведливо и обратное утверждение: из слабой аналитичности сле дует сильная. Эти обстоятельства позволяют получать свойства аналитических функций со значениями в £ из свойств скалярных
аналитических функций.
Аналитическая функция в окрестности каждой точки z0е G разлагается в ряд Тейлора
оо
х (z) = 2о (in (z — го)".
§ 4. ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ |
99 |
где ап *—элементы пространства £, равные (1//г!)л:(гг>(^о)- Обрат но, всякий ряд такого вида определяет аналитическую функцию внутри круга сходимости, радиус г которого находится из фор мулы Коши — А д а м а р а
•7 = |
Пт У\\ап|| . |
1 |
П -> о о |
Интеграл от непрерывной функции по спрямляемой жордановой кривой определяется аналогично тому, как определялся ин теграл Римана в предыдущем пункте. Для аналитической в об ласти G функции остается справедливой интегральная теорема Коши и вытекающая из нее и н т е г р а л ь н а я ф о р м у л а К о ш и
где Г — спрямляема^ жорданова кривая, ограничивающая об
ласть G1 такую, что Gi с: G и z <= G\.
Для производных функции х(г) справедливы формулы
*"•’<*>- i S r l
Функция х(г), аналитическая |
в кольце ос С | z — z0| < Р, до |
|
пускает разложение в р яд |
Л о р а н а |
|
|
оо |
|
x (z )= |
2 |
an(z — z0)n. |
п= —оо
Вчастности, такое разложение имеет место в окрестности изолированной особой точки, что дает возможность провести обычную классификацию таких точек (существенно особая точ ка, полюс, устранимая особенность).
Функция х(г) называется целой, если она аналитична во всей
комплексной плоскости. Справедлива т е о р е м а |
Л и у в и л л я : |
|
если целая функция ограничена, то она — константа. |
||
Норма ||x(z)|| аналитической |
в G функции х(г) |
является ло |
гарифмически субгармонической |
функцией в G. В частности, от |
сюда вытекает, что функция |U(z)|| не может достигать макси мума внутри области G.
Л и т е р а т у р а : [27], [58].
4.Интеграл Бохнера. Суммируемые функции. Наиболее упо
требительным |
обобщением |
интеграла Лебега для |
функций |
со значениями |
в банаховом |
пространстве является |
интеграл |
100 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Бохнера. Здесь излагается конструкция этого интеграла для функций, заданных на отрезке; однако она почти без измене ний переносится на функции, определенные на пространствах с мерой.
Функция, заданная на отрезке [а, р], со значениями в бана ховом пространстве £, называется простой, если она принимает лишь конечное число значений Xj на измеримых множествах Д,-:
х(1) = х} (te=A}), UAj = [а, р].
(При определении простой функции на множестве бесконечной меры требуется, чтобы mes(Aj)< оо и чтобы x(t) = 0 на допол нении к UAj.)
Функция x(t) называется сильно измеримой, если существует последовательность простых функций xn(t), сильно сходящаяся почти всюду к функции x(t). Функция x(t) называется слабо измеримой, если для всякого / е Е; скалярная функция f(x(t)) измерима на [а, р]. Для сепарабельного пространства Е понятия слабой и сильной измеримости совпадают. В общем случае для сильной измеримости функции необходимо и достаточно, чтобы она была слабо измеримой и чтобы все ее значения, за исключе нием, быть может, совокупности значений на множестве меры нуль, принадлежали некоторому сепарабельному подпростран ству пространства Е. Если функция x(t) сильно измерима, то ее норма ||x(f)|| является измеримой скалярной функцией.
Для простой функции x(t) интеграл определяется естествен ным образом:
а
Функция x(t) называется суммируемой (или интегрируемой по Бохнеру) на отрезке [ос, р], если существует сходящаяся в ней почти всюду последовательность простых функций xn{t) такая, что
а
При этом интегралом от суммируемой функции x(t) назы вается
аа
Предел понимается в смысле сходимости по норме.