книги / Функциональный анализ

| 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

31

Пополнением Е метрического пространства Е называется полное метрическое пространство, содержащее Е в качестве всюду плотного подмножества. Всякое метрическое простран­

ство обладает пополнением.
Приведем пример.
15.	П р о с т р а н с т в о	Wlp(G).	Пусть G — область в	п-мер­
ном пространстве с гладкой		границей	и C^(G) — линейная	си­
стема	всех / раз непрерывно дифференцируемых функций			x(t)
в области G. В норме, которая определяется равенством

пространство C^(G) не полно. Пополнение этого пространства

называется пространством Wlp(G). Пространства Wp}(G) были введены С. Л. Соболевым и играют важную роль в различных задачах теории уравнений в частных производных.

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [30], [39], [53].

7. Компактные множества. Множество Т в метрическом про­ странстве Е называется компактным, если из всякой бесконеч­

ной последовательности {хп} d Т можно	выделить подпоследо­
вательность, сходящуюся к некоторому пределу х ^ Е .
К р и т е р и й к о м п а к т н о с т и . Для	компактности множе­

ства Т метрического пространства Е необходимо, а в случае полноты Е и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовала

конечная е-сеть, т. е.	такое конечное множество элементов
хи ..., хп е Е, что для	каждого элемента X G T найдется эле­

мент Xk, находящийся от х на расстоянии меньше е:

р(ху хк) < е.

Влинейном нормированном пространстве компактность множества означает, что его можно с любой точностью при­ близить множеством, лежащим в конечномерном подпростран­ стве.

Полезными являются утверждения: если множество ком­ пактно, тощего выпуклая оболочка также компактна; замыкание компактного множества компактно.

Вконечномерном банаховом пространстве всякое ограничен­ ное множество компактно. Линейное нормированное простран­

ство, в котором какой-либо шар компактен, является конечно­ мерным

32			ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ	ПОНЯТИЙ
П р и з н а к и к о м п а к т н о с т и .					множе­
1)	К о м п а к т н о с т ь в С(0, 1). Для компактности
ства	Т а	С(0,	1) необходимо и	достаточно, чтобы	функции
x ( t ) ^ T		были	равномерно ограничены и равностепенно непре­

рывны ( к рит е рий Арцела) . При этом равномерная ограни­

ченность означает, что существует константа								К	такая,		что
\x(t) \ < К	для всех x(t)		е Г и /е [0 ,		1], а		равностепенная				не­
прерывность		означает, что		для всякого		е >	О существует				б =
= 6(e) такое, что |x(ti)			— x(t2) | < е		для		любых		iu	/г е [ 0,1]
при \t\ — i21< б и для любой функции х (t) е							Т.	компактности
2) К о м п а к т н о с т ь			в	См(—	оо).		Для
множества	Т а С ( —оо, оо)			необходимо		и	достаточно, чтобы
функции x(t)		были равномерно ограничены и						чтобы для			ка­
ждого е > 0		существовало		покрытие	оси		(—оо, оо)			конечным

числом открытых множеств, в каждом из которых колебание любой функции x(t) е Т меньше е.

3) К о м п а к т н о с т ь	в Lp(0, 1)( р>1) . Для компактности
множества Т с Lp (0, 1)	необходимо и достаточно, чтобы это

множество было ограничено в Lp(0,1) и чтобы для любого г > > 0 существовало б > 0 такое, что при h <. б для любой функ­ ции x(t) е Г расстояние р(х,хъ) < е, где

(вне		отрезка		[0,1] функция x(t). полагается					равной нулю)
( к рит е рий				А. Н. К о л м о г о р о в а ) .						в Lp(0, 1 )(/?^
4)		Д р у г о й п р и з н а к					к о м п а к т н о с т и
^	1). Для		компактности множества Т a LP(T), 1)							необходимо и
достаточно, чтобы это множество было ограниченным в Lp(0,1)
и чтобы для любого г >					0 существовало б > 0 такое, что
				J \x{t -\-h) — x(t)\p dt <&
				О
при	\h\ < 6		( крит е рий М. Р ис е а).
5)		К о м п а к т н о с т ь				в	lp(p ^	1). Для компактности неко­
торого множества Т а 1Р необходимо и достаточно,										чтобы Т было
ограниченным				и чтобы	для	произвольного г >			0	существовал,
номер N =			N (&) такой, что для всех х = {£1э						...»
					оо
имеет место неравенство					2	I It \р <		е-

В последние . годы усиленно изучались количественные ха­ рактеристики «массивности» компактных множеств. Через N?\T ) обозначают минимальное число точек во всевозможных

§ 2. Ли н е й н ы е т о п о л о г и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а

33

e-сетях множества Т. Число

Не(Т) = log2Ne(T)

называется е-энтропией множества Т.

Название это связано с идеями теории информации. Энтро­ пия множества сообщений при передаче с определенной точ­ ностью есть число двоичных знаков, требуемых для восстанов­ ления с этой точностью любого сообщения.

Если считать компактное множество Т множеством сообще­ ний, а под воспроизведением точки JC из Г с нужной точностью понимать указание некоторой точки х' из е-окрестности точки

х, то оба понятия энтропии приобретают аналогичный смысл. Другой количественной характеристикой массивности Т яв­

ляется г-емкость. Она определяется формулой

Се (Т) — log2 Ме (Т),

где Ме(Т) — максимальное число точек с взаимными расстояниями больше е, которое можно разместить в компактном множестве Т. С помощью е-емкости можно оценивать снизу е-эн* тропию, так как

M2e(T )< N e(T).

Для ряда важных классов компактных множеств имеются асимптотические оценки е-энтропии при е— >-0.

Для куба Q в «-мерном пространстве Еп

е^° loS2 7

В пространстве C(G), где G — замкнутая ограниченная «-мерная область с гладкой границей, рассматривается ком­ пактное множество Viya(Ci,Cz), состоящее из всех функций, имеющих частные производные порядка /, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем а, 0 < а ^ 1 , и таких, что производные до порядка I ограничены числом Си а константы Гельдера 1-х производных — числом С2. Тогда

/ 1\n/(/+а)	/ 1\ пЩ+а)
а (т )	< Я е(^ .а(С 1, С2))< б (-1 )
где а > 0 и & > 0 н е	зависят от е.

Значительно менее массивными в C(G) являются множе­ ства аналитических функций. Если через /4Q(CI) обозначить множество всех функций из C(G), допускающих аналитическое продолжение в фиксированную область Q «-мерного простран­

ства	и остающихся	в ней ограниченными некоторым числом
'С,, то	a log«+' (1/е) <	Не (AQ (С-,)) < b log"+‘ (1/е).

Л и т е р а т у р а : [23], [39], [77], [83].

34	ГЛ.	I. ОСНОВНЫЕ	п о н я т и я
8.	Сепарабельные	пространства.	Линейное нормированное

пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Пространства			Rn,	1Р,	с, с0, Ьр(0,1), С(0, 1),		С®(0, 1).
W{p (G)		сепарабельны, в то время как пространства т, М(0, 1),
V(0, 1),		Са(0,1)	дают	примеры		несепарабельных пространств.
Л и т е р а т у р а :			[23], [25], [39].
9.	Изометрия,		изоморфизм,			гомеоморфизм. Линейные нор­
мированное пространства Е и F называются изометричными>
если	существует		взаимно		однозначное соответствие х		у	ме­
жду	элементами		х и у	( х ^ Е ,		y ^ F ) , удовлетворяющее		еле-
дующим условиям:					У2, то и
1)	если Xt		уи х2
			^1*1	+ h2X2		Х\Ух + Х2у2
для любых чисел Xt, Х2\
2)	если х<->у, то \\х\\ — ||*/||.

При изометрии сохраняются все свойства пространства, свя­ занные с алгебраическими операциями и нормой элементов, так что различия между изометричными пространствами могут быть лишь только в природе их элементов. В абстрактном функ­ циональном анализе, при изучении линейных нормированных пространств, интересуются как раз теми свойствами простран­ ства, которые связаны с особенностями алгебраических опера­ ций и нормы этого пространства, и вовсе не исследуют природу самих элементов. Поэтому изометрические линейные нормиро­ ванные пространства просто отождествляются. В приложениях функционального анализа обычно приходится иметь дело с кон­ кретными линейными нормированными пространствами, в кото­ рых игнорировать природу элементов нельзя. Перевод всех по­ лученных фактов с «языка» одного пространства на «язык» изометричного ему пространства часто является практически неосуществимым. В этом случае отождествление изометричных пространств является нерациональным.

Пространство Ь2(0,1) изометрично пространству /2.

Вообще изометрия линейных нормированных пространств — явление редкое. Можно ослабить требование сохранения нормы. Говорят, что два линейных нормированных пространства Е и F изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, обладающее свойством линейности 1) и такое, что

2') существуют постоянные Ci > 0 и С2> 0, не зависящие от элементов х и у такие, что для х ч-> у

^1 II у II

л I ;^2И У I

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

35

При изоморфизме сохраняются лишь те свойства, которые за­ висят от природы алгебраических операций и топологической структуры пространств. В я-мерном пространстве Еп можно вводить норму различными способами, но все полученные при этом нормированные пространства изоморфны.

Если Ct(C2)— наибольшее (наименьшее) возможное значе­

ние константы в предыдущем неравенстве, то величина 4 —^ 1 Сj

характеризует степень отклонения изоморфизма от изометрии.

Величина	__
	d(E, F) = inf-gs-,

где infimum берется по всевозможным изоморфным соответ­ ствиям между Е и F, характеризует близость двух изоморфных пространств. Если Е и F изометричны, то d(E,F) = 1. Однако это равенство может выполняться и для не изометричных про­ странств, которые тогда называются почти изометричными.

Если Q — несчетное метрическое компактное множество (компакт), то пространство C(Q) всех непрерывных на Q функций изоморфно С(0, 1). Существует полная изоморфная классификация пространств C(Q) на счетных компактах.

Если d(C(Q\), C(Q2)) < 2, то компакты Qi и Q2						гомеоморф-
иы, а пространства C(Q\),C(Q2) изометричны.								1 и
Пространство № '(/“),		где	1п — n-мерный куб, при / ^
ft > 2	не изоморфно С(0, 1). Пространства № (0,1)					(/^ 0 )		по­
парно изоморфны.		( п ^	2), где	D(n) — единичный			поли­
Пространство A(D<п))
цилиндр в ^-мерном комплексном пространстве					(z: \\zi\\ ^		1), не
изоморфно пространству A(D) (см. п. 5, пример					14).
Пространства Lv попарно не изоморфны; то, же верно для /р.
Пространства LPl и 1Р2 не изоморфны,				за исключением случая
Pi =	р2 = 2.		каждое	бесконечномерное			бана­
Неизвестно, изоморфно ли

хово пространство своему гиперподпространству.

Недавно положительно решена проблема Банаха: если в /г-мерном банаховом пространстве при каждом k (1 < k < п) все подпространства размерности k изометричны, то простран­ ство гильбертово (см. гл. III).

Рассмотрение взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображений нормированных пространств (т. е. отображений, сохраняющих только их топологическую структуру без сохра­ нения алгебраических операций) приводит к понятию гомео­ морфизма нормированных пространств.

Неполное нормированное пространство не гомеоморфно ни­ какому банахову пространству. Недавно решена знаменитая

36	ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

проблема Банаха: все сепарабельные бесконечномерные бана­ ховы пространства гомеоморфны. Проблема гомеоморфизма не­ сепарабельных банаховых пространств данного веса (вес — минимальная размерность всюду плотного множества) еще не решена.

Единичная сфера и единичный шар бесконечномерного ба­ нахова пространства Е гомеоморфны Е.

Л и т е р а т у р а : [2], [9], [23], [72], [74], [80], [81], [84], [85], [87], [88], [89], [93].

§3. Линейные функционалы

1.Понятие линейного функционала. Гиперплоскость. Пусть

Е— вещественная (или комплексная) линейная система. Если каждому элементу х ^ Е поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число f{x), то говорят, что на Е определен функционал f(x).

Функционал f(x) называется линейным, если

f{ax + ру) = af (х) + Рf (у) (х, у <= Е).

Если f{x) — линейный функционал, то совокупность элемен­ тов, для которых f'(x) = 0, образует максимальное линейное многообразие. Всякое максимальное линейное многообразие имеет уравнение f(x) = 0, где f(x) — линейный функционал. Ги­ перплоскостью называется совокупность элементов, для кото­ рых f ( x ) = c . Каждая гиперплоскость L получается из неко­ торого максимального линейного многообразия М сдвигом на некоторый элемент L = х04- М.

Ли т е р а т у р а : [23], [25], [39], [51].

2.Непрерывные линейные функционалы. Функционал f(x),

определенный на линейном нормированном пространстве Е, на­

зывается непрерывным в точке х0е Е, если f (хп)-*>f (х0) при

Хп ►XQ.

Функционал f(x) называется непрерывным линейным функ­ ционалом, если он одновременно является линейным и непре­ рывным на Е.

Из непрерывности линейного функционала в одной точке следует его непрерывность всюду.

Говорят, что линейный функционал ограничен на Е, если существует такое неотрицательное число с, что для всех

\Н х)\<с\\х\\.

Наименьшее из чисел с, удовлетворяющее этому неравен­ ству, называется нормой ограниченного линейного функционала f (x) и обозначается ||/||. Справедлива формула

1fll= SUP н г а т =	sVp ifMl-
*€=£ 11*И	II *11=1

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

37

Понятия линейного непрерывного функционала и ограничен­ ного линейного функционала оказываются эквивалентными: для того чтобы линейный функционал f(x) был непрерывным, необ­ ходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Для того чтобы линейный функционал f(x) был непрерыв­ ным, необходимо и достаточно, чтобы определяемая им гипер­ плоскость Lf — { x : f ( x ) = 0} была подпространством (замкну­ тым!) линейного нормированного пространства Е. Для непре­ рывного линейного функционала справедлива формула

р(х, Lf)= l II ^ 1		(х е £ ),
где р(х, L f ) — расстояние	от точки х	до подпространства	L/,
равное inf ||JC— £/||, когда у	пробегает	все Lf. Эта формула	ана­

логична известной формуле аналитической геометрии для рас­ стояния от точки до плоскости.

Если линейный функционал f(x)y определенный на всем про­ странстве £, не является непрерывным функционалом, то ги­ перплоскость Lf всюду плотна в пространстве Е.

Ли т е р а т у р а : [25], [39].

3.Продолжение линейных непрерывных функционалов.

Пусть f( x ) — линейный функционал, определенный на линей­ ном многообразии М линейной системы Е. Линейный функцио­

нал /( а:), определенный на		всем	пространстве £, называется
продолжением	функционала	f(x),	если	f(*) = /(* )	для	всех
х ^ М .
Фундаментальным является следующее утверждение.
Т е о р е м а	Ха на — Б а н а х а .		Пусть р (х )— полунорма на
линейной системе £, М — линейное многообразие в Е					и f —ли­
нейный функционал на М такой,			что	\f{x) \ ^ р(х)	для	всех

х<=М. Тогда существует продолжение J функционала f на все Е такое, что \f(x) | ^ р(х) для всех х <=Е.

Для линейных нормированых пространств сформулирован­ ная теорема приводит к таким следствиям:

1. Если на пространстве М, являющемся линейным многооб­ разием в линейном нормированном пространстве £, задан не­ прерывный линейный функционал f(x)t то существует непре­ рывный линейный функционал f(x), являющийся продолже­ нием f(x) на все пространство Е и такой, что норма его равна норме функционала f(x):

\\f\\ = \\f\l

2. Ка^ов бы ни был отличный от нулевого элемент хо ли­ нейного нормированного пространства Е, существует линейный непрерывный функционал f(x) на Е такой, что

11/11=1

И

/(*o)H I*o||.

38	ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

3.Пусть Т — непустое выпуклое открытое множество в ли­ нейном нормированном пространстве Е и М — линейное много­ образие, не пересекающееся с Т. Существует замкнутая гипер­ плоскость, содержащая М и не пересекающаяся с Т.

Ли т е р а т у р а : [23], [25], [39].

4.Примеры линейных функционалов. Математический ана­ лиз дает много примеров линейных функционалов. Функционал

/(*) = 2 akh

/2 = 1

является непрерывным линейным функционалом на простран­ ствах /р, т , с, с0, элементами которых являются последователь-

НОСТИ Х =	Н и 12............ In,	■■ .}.		ограничена,	то	функционал
Если	последовательность {ап}
			оо
		f(x) =	2	akIft
			/2 = 1
будет непрерывным линейным			функционалом		на	пространстве
	оо
li. Если	2 | а * К ° ° ,	то этот	линейный функционал непреры-
	k—\		а значит, и на подпространствах
вен и на пространствах 1Р и т ,
с, с0 пространства т .
На пространстве с непрерывным является функционал
		/(*) =	lim Ife.
			k->oo

Его норма равна единице.

На функциональных пространствах Ьр(0, 1), М(0, 1), С(0,1) примером непрерывного линейного функционала служит опре­ деленный интеграл

f (х) = Jx{t)dt.

о

При этом интеграл Лебега, определенный на Li(0, 1), можно рассматривать как продолжение функционала, порожденного интегралом Римана на пространстве С(0, 1) c=Li(0, 1).

Более общий вид имеет линейный функционал

Р ( х ) = J1x{t)a{t)dt.	.
о

Если а ( 0 — ограниченная измеримая функция, то он также не­ прерывен в пространствах Ьр(0, 1), М(0, 1), С(0, 1).

§ 4.

СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

39

6

пространстве

С(0, 1)

значение

функции

x(t)

в

фиксиро­

ванной точке to

будет непрерывным

линейным

функционалом

с нормой, равной единице:

f(x) = x(t0)t

||f ||= 1 .

дет

Аналогично значение k-n производной xW(to)

в точке t0 бу­

непрерывным

линейным функционалом

в

пространстве

С(0(0,1) при

Если рассмотреть функционал x(t0) в пространствах Wf{G),

то

оказывается,

что при / > -^

(п —- размерность

области

G)

этот функционал определен

на

Wp(G) и непрерывен. Если

же

/ < у ,

то этот функционал,

определенный на С(/) (G),

не будет

непрерывен в норме W{p (G).

функционалов

будут

указаны

Нормы ряда

рассмотренных

вследующем параграфе.

Ли т е р а т у р а : [39], [53].

§4. Сопряженные пространства

1.Двойственность линейных систем. Функционал В(х,у)

Определенный на прямом произведении Е X F линейных систем £ и F, называется билинейным, если он линеен относительно каждой из переменных х, у, т. е.

В (а{х{ + а2х2, у) = а{В(хи у) + а,2В{х2, у),

В {хи ахух+ а2у2) = а{В (х, у{) + а2В (х, у2).

Говорят, что билинейный функционал В(х,у) приводит ли­ нейные системы Е и F в двойственность или что £ и F нахо­ дятся в двойственности (относительно В), если выполнены сле­

дующие два условия:			из	Е существует		y ^ F	такой,	что
1)	для каждого	х ф 0
В (х, у) Ф 0;		у ф 0	из	F существует		х Е	такой,	что
2)	для каждого
В(х,у)	Ф0.				полем	вещественных		или
Пусть Е — линейная система над
комплексных чисел		и Е — множество			всех линейных функцио­

налов f(x), определенных на Е. В Е можно ввести операций сложения^ элементов f и g и умножения элемента f на число Я следующим образом:

1) h = f -f- g есть функционал на Е такой, что

h(x)— f (х) + g (х) (х <=Е),

40	ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2) fi = Xf (Я — числовой множитель, f<=E) означает:

U (x) = U {х).

Множество Ё становится при этом линейной системой, ко*

торую называют алгебраическим		сопряженным	пространством
к пространству £.		билинейный	функционал
Если	определить на Е у^Е
B(x,f) =	f (я), то Е и Ё приводятся с помощью этого билиней­

ного функционала в двойственность.

Ли т е р а т у р а : [5], [25], [51].

2.Сопряженное пространство к линейному нормированному пространству. Множество Е' всех непрерывных линейных функ­ ционалов, определенных на линейном нормированном простран­ стве £, является линейным многообразием алгебраически сопря­

женного пространства Е поскольку сумма двух непрерывных линейных функционалов и произведение непрерывного линейного функционала на число являются непрерывными линейными функ­ ционалами. За норму элемента f ^ E ' принимают норму ||f|| функционала f(x)\ при этом Е' становится линейным нормиро­ ванным пространством, которое называется сопряженным про­ странством к пространству Е.

Пространство Е' полно, так что сопряженное пространство к линейному нормированному пространству всегда является ба­ наховым пространством.

Понятие непрерывного линейного функционала для линей­ ных метрических пространств можно определить точно так же, как это сделано для линейных нормированных пространств. Од­ нако здесь нет утверждения типа следствия 2 п. 3 § 3, гаранти­ рующего существование нетривиального непрерывного линей­ ного функционала. Более тогр, существуют примеры линейных метрических пространств £, для которых сопряженное простран­ ство Е' состоит всего лишь из одного непрерывного линейного функционала, тождественно равного нулю на Е.

Необходимым и достаточным условием существования не­ тривиального функционала в Е является наличие в Е выпуклой окрестности нуля.

Для конкретных линейных нормированных пространств ча­ сто возникает задача об описании их сопряженных пространств. Постановку этой задачи следует уточнить. Дело в том, что само определение сопряженного пространства уже дает его описа­ ние. В узком смысле под описанием сопряженного простран­ ства понимают указание конкретного банахова пространства, изометричного пространству Е'у сопряженному к данному про­

странству £, и способа вычисления		значения f{x) функционала
f е	на элементе х ^ Е . Однако	так поставленная задача не