книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfкоторой, |
если матрица |
U имеет элементарные делители |
||
|
(Л — V ’s (Я— Я2)г»..........(Я— %t)rt, |
|||
то дефект матричного многочлена Аа (U) определяется фор |
||||
мулой |
|
t |
|
|
|
|
min(vt гд> |
|
|
|
d - |
2 |
|
|
где V/ — кратность Я/ как |
корня Да (Я). |
|
||
Если |
Яj принадлежит |
группе о, то vj |
= Q. Если же Я/ |
|
не принадлежит группе а, |
то V/ ;> Г/, так |
как степень эле |
ментарного делителя не может превосходить кратности соб ственного значения Я;- матрицы £/, а кратность собственно го значения Я/ матрицы U совпадает с кратностью Яу как корня многочлена Да (Я) (в правой части (3.2) множитель (Я— Я;) повторяется столько раз, какова кратность Я/). Поэтому дефект матрицы До (U) равен сумме степеней эле ментарных делителей, соответствующих всем собственным значениям, не включенным в группу а, или, учитывая, что сумма элементарных делителей, соответствующих данному Я/, равна кратности Я/ как собственного значения матрицы
С/, получим, |
что дефект матрицы Д0 (U) равен п — ka. |
Отсюда ранг |
матрицы До (U) в точности равняется ka — |
числу собственных значений матрицы U (с учетом их крат ностей), включенных в группу а.
При возведении матрицы Д0 (U) в целую степень нену левые числа V/ увеличиваются,.в то вр.емя как все ^ остаются без изменения. Поэтому ранг любой целой степени этой матрицы также равен ka.
Матрицу До (U) как матрицу ранга kaможно представить в виде произведения матрицы Ко типа п X ka с ka ли нейно независимыми столбцами на матрицу MQ0 типа ka X
X п с ka линейно независимыми строками: |
|
До (U) = КоМоа. |
(3.3) |
Поскольку ранг матрицы Д£ (U) равен k0y то из равенства |
|
Да (U) := КаМоаКаМоа |
|
следует, что квадратная матрица |
Моо Ко порядка kQявля |
|
ется невырожденной матрицей. |
|
|
Введем в рассмотрение матрицу |
|
|
Мд — (MQOKQ) |
*М$д> |
(3.4) |
Принимая во внимание, что матрицы (/ и Д, (U), как многочлены от одной и той же матрицы U, перестановочны, будем иметь
M JJ K , = M JJK sMt*Ks ( М о Л Г '
Отсюда в силу (3.5)
MoUKs= о МхиКг 0
0 м 2и к 2
0 0
= M aK,M asU K ,(M asK ,r ' -
(и Ф s).
0
0
М.
М ри к ,
|
Ап = |
м „ и к „ , |
(3.8) |
|
|
А, |
0 |
0 |
|
|
0 |
Л2 |
0 |
|
|
Л = |
|
|
|
будем иметь |
0 |
0 |
АР |
|
U= |
КАМ, |
(3.9) |
||
|
или, принимая во внимание (3.7),
U = КАК~1
Таким образом, построенная матрица К преобразует матрицу U к квазидиагональному виду А.
§ 4. Собственные значения субматрицы преобразованной квазидиагональной матрицы
Матрицы U и А, как подобные матрицы, имеют одни и те же собственные значения.
Покажем, что собственные значения субматрицы А0 матрицы А суть собственные значения матрицы U, включен
ные в группу а. |
|
Пусть X] — собственное |
значение матрицы Аа. Тогда |
Ао — XjEka — вырожденная |
матрица. |
Предположим, что Я/ не принадлежит группе о. Тогда U — KjEn является множителем Д0 (U). Имея в виду, что,
ka линейно независимых линейных комбинаций столбцов этой матрицы.
Пусть |
(5.1) |
Да (U) в КаМоа, |
где Ко и Мои — какая-нибудь пара матриц, удовлетворяю щая условиям разложения на множители матрицы Д„ (U) в форме (3.3). Тогда множество всех матриц, удовлетворяю щих условиям разложения на множители Дст (£/) в форме (3.3), может быть представлено соотношениями
|
Ка = KaNo, |
Моа = N7' М<п, |
(5.2) |
где |
Na — произвольная |
невырожденная матрица |
поряд |
ка |
&о. |
|
|
Всамом деле, Ко и А1о<т также являются матрицами типа
пX ka и ka X п соответственно и ранга ka и в силу (5.1)
КаМ0а= Д*(1/). |
(5.3) |
С другой стороны, если
Д0 (U) = КоМоо
и
Дa (U) = КоМ0о,
то существует такая невырожденная матрица No порядка kg, Ч Т О
Ко = KoNo.
Действительно, умножая обе части равенства
K ONIQO = K OM QO
справа на Ко (MQOKO)*1» получим
Ко = КаМооКо(МоаКоГ\
т. е. Ко представляется как произведение матрицы Ко на матрицу
Na = МоаКа(МоаКаГ'
типа k0 X ka.
Остается доказать, что No — невырожденная матрица. Для этого достаточно показать, что МооКо — невырожденная
матрица. Что это так, видно из равенства
До ('JJ) До (U) — КаМцаКоМоо»
В левой части этого равенства стоит матрица ранга kat поэтому ранг каждого сомножителя в правой части не может быть меньше, чем ka. В частности, не меньше, чем ka, ранг
матрицы МооКо, а так как ее порядок равен kCt то ранг этой матрицы в точности равен ka-
Теперь о М 0о — втором сомножителе в разложении матри цы Д0 (U).
Если Ка = KoNa, то, как было отмечено выше, матрица
Ма1Моа удовлетворяет условиям разложения матрицы Да (U) (см. (5.3)). Покажем, что это единственная матрица, удовлетворяющая соотношению (5.3) при выбранном первом
сомножителе /(0. Действительно, пусть
До (U) = Кг.Мйо и Д0 (U) = КоМ°оа.
Вычитая из первого равенства второе, получим
/Со (Моо — Д^Осг) = 6»
Отсюда, учитывая, что Ко есть матрица с ka линейно неза висимыми столбцами, имеем
^ —о
MQO — MQQ.
Итак, выражения (5.2) определяют общий вид сомножи телей матрицы Д0 (V) в разложении (3.3).
Выясним далее, в каком соотношении находятся ма трицы
Ма — (МооКо) |
MQа |
И |
|
Ма = (МооКо) |
М0а. |
Подставляя в правую часть второго равенства соотно шения (5.2) и сравнивая с первым равенством, находим
Ма = Ы7'м„.
Наконец, сравнение друг с другом матриц
даст |
Ла = МаиКо и |
Aa = MaUKo |
|
|
|
|
Ас = NC 'ACNC. |
|
Таким |
образом, матрицы /(0/V0, Nc'Mc, Nc'AcNc, где |
|
Ко, М0, |
Аа — какая-нибудь |
тройка матриц, удовлетво |
ряющая соотношениям (3.3), (3.4), (3.8), a Na— произволь ная невырожденная матрица порядка kQ, можно рассмат ривать как общий вид отвечающих группе а собственных значений матрицы U блоков преобразующей матрицы, матрицы, обратной преобразующей, и соответствующей квазидиагональной матрицы.
В соответствии с вышеизложенным множество всех матриц, преобразующих квадратную матрицу к квазидиагональному виду при данном разбиении собственных значе ний матрицы U на некоторое число р групп, исчерпывается выражением
K = KN.
где К — какая-нибудь матрица, приводящая U к квазидиагональному виду А, а N — квазидиагональная матрица, у которой /-я диагональная клетка (/ = 1 , 2 , .... р) занята произвольной невырожденной матрицей того же порядка, что и /-й диагональный блок матрицы А.
§ 6. Построение жордановой формы матрицы
Вопрос о построении жордановой матрицы, подобной данной, и соответствующей преобразующей матрицы может быть решен различными путями. Мы здесь приводим один простой способ решения этих задач, в котором используется алгоритм преобразования матрицы к квазидиагональному виду, изложенный в предшествующих параграфах.
Пусть дана квадратная матрица U порядка п. Собствен ные значения этой матрицы, которые предполагаются из вестными, разобьем на группы в соответствии с условием (3 . 1 ) при дополнительном требовании, чтобы в каждую груп пу были включены только равные между собой собственные значения. Итак, если U имеет р различных собственных
значений Я,х, Х2, ...»Хр, то при указанном разбиении собствен ных значений на группы будем иметь р групп, причем в пер вой группе окажутся, например, все собственные значения матрицы U, равные во второй группе — все собственные значения, совпадающие с Х2, и т. д. Как и прежде, число собственных значений, включенных в группу ст, будем обо значать через ko. Рассмотрим какую-нибудь группу, на пример группу s, объединяющую ks равных собственных значений матрицы V. Этой группе в жордановой форме матрицы будет отвечать одна или несколько клеток Жорда на, сумма порядков которых равна ks. Для построения жор дановой формы матрицы нужно знать, сколько клеток Ж ор дана отвечает данной группе, и порядок этих клеток. От вет на указанные вопросы может быть получен с помощью теоремы, которая приводится ниже.
Введем некоторые обозначения. Положим
f(%) = U — XE.
Через dSv) обозначим дефект |
матрицы fv (Xs) (v = |
0, |
1, |
||||
2, ...). Так как |
f° (As) |
= Е (по |
определению), то |
4 0> |
= |
0. |
|
Через уАт) обозначим число клеток т-го порядка с соб |
|||||||
ственным |
значением |
Xs в жордановой матрице, |
подобной |
||||
матрице |
U. |
|
|
|
|
|
|
Наконец, через ps обозначим общее число клеток Жор |
|||||||
дана с собственным |
значением |
Х$. |
значение |
||||
Т е о р е м а |
6.1. |
Пусть |
Xs — собственное |
{kfкратное) матрицы U. Тогда число клеток Жордана т-го
порядка (т = |
1, 2, 3, ...) с собственным значением Xs в жор |
||||
дановой матрице, |
подобной матрице U, связано с дефектами |
||||
матриц / v (AJ (v |
= |
0, 1, 2, ...) соотношением |
|
||
|
4 m) = |
2 d f]- |
d r~ X) - 4 m+,). |
(6.1) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть J — жорданова матри |
||||
ца, подобная матрице [/, a |
J — соответствующая преоб |
||||
разующая матрица, |
так что |
|
|
||
|
|
|
и = Т ]Т ~ \ |
(6.2) |
|
J = |
d in g [J i( X j) , |
* *j. sIа д , • • • > 3 p( ^ ) l - |
|
||
Здесь Xi Ф Xf (i ф /) и каждый из блоков Jj (Xj) (i = |
1, 2, |
..., p) является матрицей Жордана, состоящей из одного или нескольких клеток Жордана.
Согласно (6.2) матрицы |
(V — XsEn)v и |
|
(J - XsEny = diag {[/, flg - |
XsEki]\ |
[Jp (Хр) - \E kpY { |
подобны, и потому их дефекты совпадают. Дефект квазидиагональной матрицы (J — hsEn)v равен сумме дефектов ее диагональных блоков. Но все диагональные блоки, кроме
одного, а именно |
блока [J (A,J — XsEk 1 \— невырожден- |
|
ные матрицы, так как |
не является собственным значением |
|
матриц}, (%i) (i Ф |
s). Поэтому дефект матрицы (J — A,s£‘„)v, |
а значит и матрицы (U — A,s£„)v, совпадает с дефектом блока [Js (AJ — ^s£feslv. Вычислим дефект этого блока.
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
J,, (h) = diag I /'11 (X,), |
J» (X,), |
. . , |
(XJJ, |
|||||
где У'11 (>,,), |
.... Js1*1( \) |
— клетки Жордана порядка fci,... |
||||||
^^соответственно Щ |
ks[ = ks). |
Тогда |
|
|
||||
iy! ( y |
- ^ A , r = ”d iag (/n SI. т л..........т „ ), |
|||||||
где tfftSI. — матрица сдвига порядка ksl. |
дефект |
матрицы |
||||||
Согласно |
последнему |
равенству |
||||||
[Js (ks) — XsEk]v, совпадающий с дефектом |
4 V) |
матрицы |
||||||
/v (Я5), равен сумме дефектов |
матриц |
Hvks. (/ = |
1, 2, ...» ps). |
|||||
В свою очередь дефект матрицы Hlsl при |
v •< ksi |
равен v, |
||||||
а при v ;> ksi равен ksi. Учитывая это, имеем |
|
|
||||||
|
= dj? |
l) + |
ps — У| |is\ |
|
(6.3) |
|||
|
|
|
|
f=i |
|
|
|
|
Полагая |
в (6.3) v = |
m и |
v = m -1-1, |
получим соответ |
||||
ственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
4И) = 4т~»+ ps_ Vp”
/=1 (6.4)
4™+1>= 4M1+ и, - s 4w
(=1
Наконец, вычитая из второго равенства первое, находим
рГ = 24"" - 4я-"- 4а+,\
что и доказывает теорему.
З а м е ч а н и е . Общее число клеток Жордана с соб ственным значением Х< равно dil). Это следует, например, из первого равенства (6.4), если положить в нем т = 1.
Теорема 6.1 указывает простой путь построения жордановой формы матрицы. Однако в случае матрицы высокого порядка определение дефектов матриц fv (Xs) (v = 1, 2, 3, ...) может оказаться довольно трудоемкой операцией. Во избежаниеэтого целесообразно предварительно преобразовать матри цу U к квазидиагональному виду в соответствии с алгорит мом, изложенным в § 3. При том разбиении собственных чи сел матрицы U на группы, которое было указано в начале настоящего параграфа, группе s, состоящей из ks одинако
вых |
собственных |
значений, |
в |
квазидиагомальной |
форме |
|||
|
Л = MUК = diag (Л1, Л а.......... Ар) |
|
|
|
(6.5) |
|||
отвечает диагональный блок |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л5 = |
MSVKS |
|
|
|
|
|
— квадратная матрица порядка |
ks с ^-кратным |
собствен |
||||||
ным значением Х5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы Л5 и Js (As) подобны, поэтому |
дефекты |
мат |
||||||
риц |
[Л, - XsEks]' |
и [У, М |
- |
(v = |
0, |
1, |
2, |
...) |
совпадают. Учитывая это, приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 6.2. Пусть Х%— собственное значение (к5-кратное) матрицы U, Л5 = MSUKS— диагональный блок квазидиагональной матрицы, подобной U, отвечающей груп пе ks равных собственных значений Xs. Тогда число клеток Жордана т-го порядка (m = 1, 2, 3, ...) с собственным значением Xs в жордановой матрице, подобной матрице U,
связано с дефектами матриц
[As - X $Eksr |
(v = |
0,1, |
2, ... ) |
соотношением |
|
|
|
р Г = 24 m)- 4 m~ l)- 4 |
m+1). |
||
Здесь djp обозначает |
дефект |
матрицы [Л5 — XsEkJl- |
Теперь рассмотрим вопрос о построении матрицы Т, преобразующей матрицу U к форме Жордана У. Мы здесь не будем приводить методы построения преобразующей матри цы Т, описанные в имеющейся литературе (см., например, 19]), а ограничимся указанием способа сведения задачи о построении преобразующей матрицы Т л-го порядка к