книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Задача 2.1.2. Пусть в дискретные моменты гг, i = l./n заданы измерения

)>i = A sin(cotj + Фо ) + Vj, i = 1 .т ,

где А - амплитуда; ш = 2л/ - круговая частота; <р0 - фаза.

Считая частоту и фазу известными, запишите постановку зада­ чи оценивания амплитуды в виде (2 .1 .1 1 ).

Р е ш е н и е . Для получения представления (2.1.11) следует принять:

х= А; v = (v,,...vw)T

иН Т =(5 т(<й/] ч-сро),sin(cor2 +Фо)>-8 т(оэгш + ф0)).

Задача 2.1.3. Пусть в дискретные моменты времени tt , i =\.m

заданы измерения у,- - х ] + A sin со/,- + v,-, в которых круговая час­

тота со = 2л/ считается известной, а х\ и А - неизвестные вели­ чины.

Запишите постановку задачи оценивания в виде (2.1.11) в слу­ чае, когда по этим измерениям ставится задача найти только ам­ плитуду, а сумма в,- = x1 +v,- трактуется как ошибка. Сделайте то же самое, полагая, что оцениванию подлежит Х[ и А.

Задача 2.1.4. Пусть заданы измерения, как в задаче 2.1.2, и тре­ буется найти фазу при известных значениях частоты и амплитуды. Запишите линеаризованную постановку задачи, принимая в каче­ стве точки линеаризации ф0 . Сделайте то же самое в случае, если стоит задача нахождения частоты при известных значениях фазы и амплитуды.

Р е ш е н и е .	Вводя обозначения х = ф0, хл = ф0 ,
_	д

5х = (ф0 - Ф0) , У1 (хл)=У{ - Si^x'4) в первом случае и используя приближенное представление

s, (х) « A sin(co/ + х л) + ( х - х л)А cos(oи, + х п) ,

можем записать

У( (хл ) = 8хА cos(о/, + х л) + Vj, / = 1 м .

Таким образом, линеаризованная постановка задачи сводится к задаче оценивания 5а- по этим измерениям.

Аналогично, вводя обозначения а = <в , а '7 = W , 5A = (CÛ- ÛJ),

д

5 >,- (а-1) = V/ -Sj(ал) во втором случае, можем свести задачу к ли­ неаризованной постановке нахождения 5а по измерениям

у,- (Xя ) = dxAtj cos(cùti + фо) + v,-, г = 1 .т ,

Д_

вкоторых у,-(ал)=)’j - /4sin(œ/,- + сро).

Задача 2.1.5. Задача слежения за подвижным объектом - (задача траекторией) измерения) (рис. 2.1.6). Пусть на плоско-

* *

сти известны координаты точки Aj ,а2 , из которой до подвижного объекта, осуществляющего прямолинейное движение с постоян­ ной скоростью, в дискретные моменты времени могут быть прове­ дены измерения дальностей р; и пеленгов 0 ,, с ошибками 5 рг- и

50,-, / - \ . т . Сформулируйте задачу оценивания составляющих скорости и координат подвижного объекта в начальный момент времени по измерениям (2 .1 .2 0 ), (2 .1 .2 1 ), полагая, что имеются из­ мерения дальностей (а); пеленгов (б); дальностей и пеленгов - задача комплексной обработки (в).

Траектория подвижного

Рис. 2.1.6. К задаче определения координат подвижного объекта по измерениям дальностей и пеленгов

Р е ш е н и е (для случая а). Значения дальностей могут быть определены в виде

	(1)
Координаты подвижного объекта запишем как
хп - * 1 0	(2)
ха ~ * 2 0 + ^2 0 {i-	(3)
Подставляя (2), (3) в (1) и вводя оцениваемый	вектор:

* = (*m»*2 0 >^io>^2 o) 1 ’ можем сформулировать следующую зада­ чу. Оценить JC= 0 по измерениям (2.1.21), в которых

где V,- = 8 р,

Задача 2.1.6. Сформулируйте задачу слежения за подвижным объектом, полагая, что выполнены условия задачи 2.1.5, а ошибки измерения дальностей й пеленгов имеют, кроме того, подлежащие определению постоянные составляющие.

Задача 2.1.7. Сформулируйте в линеаризованном виде две пре­ дыдущие задачи как одну задачу комплексной обработки измере­ ний дальностей и пеленгов в целях оценивания составляющих скорости и координат подвижного объекта.

Контрольные вопросы

1.Поясните смысл и приведите соответствующие постановки ли­ нейных задач оценивания постоянной скалярной величины, ко­ эффициентов линейного и квадратичного трендов, одномерных координат и скорости при равномерном движении объекта, а также задачи оценивания коэффициентов полинома.

2.Поясните смысл и приведите математическую постановку зада­ чи оценивания при выставке ИНС в ее простейшем варианте.

3.Поясните смысл и приведите математическую постановку зада­ чи оценивания сдвига реализаций. Проиллюстрируйте ее на примере решения задачи оценивания фазы гармонического сиг­ нала. Почему эта задача является нелинейной?

4.Поясните смысл и приведите математические постановки задач оценивания частоты гармонического сигнала и фазовой авто­ подстройки частоты.

5.Поясните смысл и приведите соответствующие математические постановки нелинейных задач оценивания координат на плос­ кости и в пространстве по измерениям дальностей до точечных ориентиров при наличии и отсутствии постоянных составляю­ щих ошибок измерения. Что такое мешающие параметры?

6 . Сформулируйте в общем виде постановку задачи оценивания постоянного вектора по зашумленным измерениям и проиллю­ стрируйте ее на примерах. Поясните, в чем особенности задач синтеза алгоритмов и анализа их точности.

7.Поясните смысл процедуры линеаризации и сформулируйте соответствующую ей линеаризованную постановку задачи на примере определения координат по точечным ориентирам и слежения за подвижным объектом по измерениям дальностей на плоскости.

8 . Сформулируйте задачу комплексной обработки избыточных измерений и проиллюстрируйте ее на примерах.

2.2. Решение задач оценивания на основе детерминированного подхода.

Метод наименьших квадратов

Как отмечалось во введении, при решении задач оценивания могут быть использованы различные подходы к построению алго­ ритмов в зависимости от уровня привлекаемой априорной инфор­ мации статистического характера об искомом векторе х и ошиб­ ках измерения v . В настоящем разделе рассмотрим так называе­ мый детерминированный подход, в котором не вводится предпо­ ложения о случайности вектора х и ошибок измерений v и, сле­ довательно, отсутствует необходимость в привлечении какой-либо априорной информации статистического характера.

2.2.1.Основные положения и постановка задачи

вметоде наименьших квадратов

Отличительная особенность этого подхода заключается в том, что задача синтеза алгоритма, т.е. получения процедуры вычисле­ ния оценки неизвестного вектора х по измерениям у , основана на выборе таких ее значений, которые обеспечивают минимизацию некоторого выбранного критерия, характеризующего меру близо­ сти между измеренными и вычисленными значениями ^(х) или

Нх. В качестве простейшего варианта такого критерия может быть выбрана функция

т

^ " H,'t o = 0 ' - i M ) T0 ’- » M ) = 2 > < -*,(*))*	(2.2.1)
1=1

Для критерия (2.2.1) будем использовать в дальнейшем термин наблюдаемый критерий, подчеркивая тем самым факт возмож­ ности непосредственного вычисления его значений как функции х при наличии измерений у Разности ц,- = у,- - j f-(x) обычно назы­ вают невязками измерений.

Таким образом, при решении задачи оценивания на основе ми­ нимизации наблюдаемого критерия в качестве оценки следует вы­

брать такое значение х, при котором обеспечиваются определен­ ные требования к невязкам измерений; их значения должны быть минимальны в смысле выбранного критерия.

Алгоритмы, основанные на минимизации критерия типа (2.2.1), получили наименование метода наименьших квадратов (М НК) (least squares method (LSM)). В дальнейшем алгоритмы, основан­ ные на минимизации других наблюдаемых критериев, также будем называть алгоритмами МНК.

Критерий (2.2.1) и соответствующая ему оценка

Г " к (_у) = arg m in(>’ - s(x) )т(у - s(x) )	(2 .2 .2 )
Л*

имеют вполне понятный смысл - выбрать такое значение искомого параметра, при котором минимизируется сумма квадратов откло­ нений вычисляемых величин от их измеренных значений, т.е. ми­ нимизируется сумма квадратов невязок измерений.

Определяя производную для / мнк(х) в соответствии с приве­

денными в приложении правилами (П1.1.63) и учитывая необхо­ димое условие минимума, можем записать так называемую систе­ му нормальных уравнений

сЦшк(х)

2 dsT(x) (y-s(.\-)) = 0 .

(2.2.3)

dx dx

Следует напомнить, что (2.2.3) является лишь необходимым ус­ ловием, и для обеспечения локального минимума требуется прове­ рять справедливость выполнения достаточного условия

д2

> 0 .

(2.2.4)

дхдхг

Вместо (2.2.1) в качестве наблюдаемого критерия может быть использована функция

у омнк(х) =( у - s(x))rQ(y - 5(х)),

(2.2.5)

в которой Q - некоторая симметричная неотрицательно опреде­

ленная матрица. Так, если считать Q диагональной матрицей с

элементами q,, i - \.т, то вместо (2 .2 .1 ) будем иметь

т

/=1

Смысл введения весовой матрицы О заключается в том, чтобы

обеспечить возможность по-разному учитывать вклад отличий из­ меренных и вычисленных значений, соответствующих различным компонентам вектора измерений. В этом случае говорят об обоб­ щенном методе наименьших квадратов (ОМНК). Его иногда называют методом взвешенных наименьших квадратов

(weighted least squares method).

В наиболее общем случае, вводя симметричную неотрицатель­

но определенную матрицу	D, в качестве минимизируемого на­
блюдаемого критерия можно использовать функцию
j ммнк(х) = (у _ 5(х))т Q{y _ J(JC)) + {х_ х)т Щ х - х ),			(2.2.6)
которая при диагональном характере матриц О и D примет вид
т	0	п	п
J MM H K (v)_ £ g . (у . _ 5 . (а.))2		+ Е d j ( X j _ X j ) 2 }
i= \		j =1

где x = (x, ,....xn)T - некоторый известный вектор.

Будем называть далее метод, основанный на минимизации кри­ терия типа (2 .2 .6 ), модифицированным методом наименьших квадратов (ММНК). Смысл второго дополнительного слагаемого

заключается в том, что при отличии получаемых оценок хДу) от

некоторых значений ху., устанавливается определенный штраф,

уровень которого задается коэффициентами d j, j - 1 .п .

Из сказанного следует, что нахождение оценок, соответствую­ щих методу наименьших квадратов или одному из его обобщен­ ных вариантов, сводится к отысканию минимума функций (2 .2 .1), (2.2.5) или (2.2.6).

♦ П р и м е р 2.2.1. Пусть требуется оценить амплитуду А гармони­ ческого колебания по измерениям (2.1.14) в предположении, что фаза и частота известны.

Рассмотрим, к чему сводится решение этой задачи с использованием МНК. Критерий (2.2.1) при х = А в этой задаче запишется как

т

Умнк (х) = 2 ] O'/ - xsin((0f, + Фо))2 •

/=1

Оценка, соответствующая данному критерию, отыскивается доста­ точно просто. Действительно,

	dJ	мнк/ \		т
			(х)	= 2 ^ i	(у , -xsin(co^ + cp0))sin(co// +cp0)=05
		dx
откуда					ш	ш
j£MHK			_
					Z sin(<*#, + % )У, = T i 9 ,y , ’
			Z	sin2(^,- + % ) ,=1		1=1
			/=1
где q i - коэффициенты, определяемые как
					sin(œ^ + ф 0)
				4i ="
					X sin2((of,-+сро)
					i=\
Ясно,	что		выполнено		и достаточное условие	(2.2.4), поскольку
? 2 т мнк/	\		т
------ =			sin2(co// +ф0)>0.
dx			i=i

На рис. 2.2.1 представлены реализация измеренных значений гармо­

нического колебания с частотой 1 рад/с, фазой — и единичной амплиту-

2

дой на интервале 2 с с шагом 0,02 с и реализации значений гармониче­ ского колебания без ошибок, вычисленные при тех же параметрах и трех

значениях амплитуды

=0,5, А2 =1,0 и А3 =1,5.

Рис. 2.2.1. Измеренные и вычисленные значения гармонического колебания при различных значениях амплитуды:

7-0,5; 2-1,0; 5 - 1,5

Из этого рисунка становится прозрачным геометрический смысл за­ дачи нахождения оценки с ломощью МНК - подобрать (найти) такое значение амплитуды, при котором будет достигаться наилучшее совпа­ дение измеренных и вычисленных реализаций гармонического колеба­ ния.

т

Минимизируемый критерий J M,!K(*) = (у{ - xsin(coix+ <р0))2 для

/=1

рассматриваемого примера изображен на рис. 2.2.2, из которого видно, что функция У м н к( а ) представляет собой параболу, имеющую один экс­

тремум в точке, которая и определяет значение оценки, соответствующей МНК.

Рис. 2.2.2. Вид минимизируемого критерия / мпк(л')

Значение самого минимизируемого критерия для трех значений ам­ плитуды А} =0,5 А2 =1,0 и А3 = 1,5 и минимальное значение критерия,

достигаемое в рассматриваемом примере при х = 0,9448, приведены в табл. 2.2.1.

Т а б л и ц а 2.2.1 Значения минимизируемого критерия при разных значениях амплитуды

х - А	0.5	1.0	1.5	X = Â= 0.9448
Уммк(л-)	18.8	9.0	24.4	8.86

Из таблицы следует, что значение критерия достигает своей мини­ мальной величины в точке, не совпадающей с истинным значением ам­ плитуды. Это является следствием наличия ошибок измерения, порож­ дающих отличие оценки от истинного значения отыскиваемой величины, что вполне объяснимо, поскольку выражение для оценки может быть записано как

	Zm s in K	% t x s+in (©f, ф+0) +	V.)
	j£MHK _ J = \	—	= * + 2 > , >
	Z
		s in 2(co/. + cp0)	1=1
	/=1

и, таким образом, для ошибки оценки справедливо выражение

i=i

Нетрудно получить решение рассматриваемой задачи и для случая ОМНК. Так, при диагональном виде матрицы Q и х = А критерий (2.2.5) запишется как

т

•/“ “ (*) = 2 > ( У / -хяп(Ш; +Ф0 ) ) 2 /=|

Оценка, соответствующая этому критерию, находится достаточно просто. Действительно,

çjjOt-WK / л т

----- ------- = 2 Z Я1Су,- - Xsin(to/, + Фо))sin(û)?y + ф 0) = 0 ,
ах
/=1
откуда	Iт		= тZq,У ,.
Z ъ ы ' Ч щ + ф0)		Я( sm((ùî. +ф0)д>,
	,=		i=i
i=i
где #,• - коэффициенты, отыскиваемые в виде
ZtfiSinCcory + ф 0)
/=1_______________
= Zт	ç ;xsin(co^ + ф 0)
,=1

Не представляет особого труда найти оценку и для ММНК, поскольку и в этом случае решение задачи также сведется к нахождению располо­ жения точки экстремума параболы

У (х) = У (*) + d(x - г г

♦