книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

а2 = 8, а =	2%/2; Ь2 =	5, Ь =		\/б. Из соотношения сг = а2 —Ь2
находим с:	с2 = 8 -	5,	с =	\/3. Можно записать: А ( 2 у / 2 ;0 ) ,
В (—2у/2;0),	FJ (—л/З;0),		1*2(\/3;0) (рис. 38). Обозначим через

йг, Ьг, сг — соответственно полуоси гиперболы и половину рас­ стояния между ее фокусами. Тогда, согласно условиям зада­

чи,	можно записать: аг = OF2 , т.е. аг = л/3 и сг = ОА , т.е.
сг =	2>/2. Из соотношения с2 = а2 + 62 находим 8 = 3 + 62, по­

этому Ь2 = 5, 6Г = \/5. Подставляя найденные значения аг и Ьг
«)	2
в уравнение (3.12), находим	^ = 1 — искомое уравнение
гиперболы.	#

22

4.3.70.Дана гипербола yg — = 1. Найти софокусный эллипс, про­ ходящий через точку М

Дополнительные задачи

4.3.71.Найти эксцентриситет гиперболы, зная, что расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами.

4.3.72.На гиперболе 9а;2 — 16у2 = 144 найти точку, для которой рас­ стояние от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого.

4.3.73.Найти уравнения касательных к гиперболе 9х2 — 8у2 = 72, про­ веденных из точки <7(2; 0).

4.3.74. Найти уравнения касательных к гиперболе ^

= 1, парал­

лельных прямой х + у — 4 = 0. 4.3.75. Построить линию:

а) 9х2 — 16т/2 — 36а; — 32у — 124 = 0;

-(е* + е *),

4.3.76. Доказать,что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.

4.3.77. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гипер­ болы х 2—у2 = 4 до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная 2.

4.3.78. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами ги­ перболы 9а;2 — 4у2 = 36 и прямой 9а; + 2у — 12 = 0.

4.3.79. Вершины квадрата лежат на гиперболе 9х2 — 4у2 = 125. Найти его площадь.

4.3.80. Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой состав­ ляет с действительной осью угол а.

4 .3 .8 1 .	Найти расстояние между точками пересечения асимптот гипер­
	болы 9.т2 — 16т/2 = 144 с окружностью, имеющей центр в правом
	фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.
4 .3 .8 2 .	Найти траекторию пути точки М, которая при своем движе-
	ниии остается вдвое ближе к прямой х — 2 =	0, чем к точке
	А(8;0).
4 .3 .8 3 .	На гиперболе х 2 —у2 = 1 найти точку, фокальные радиусы
	которой перпендикулярны.	0
4 .3 .8 4 .	Найти расстояние между левым фокусом Fi гиперболы Цг -
	2	У

—= 1 и правым фокусом Fo сопряженной с ней гиперболы.

	4 .3 .8 5 .	Найти фокальные радиусы точки М { 10;3л/б), лежащей на ги-
			2	2
		перболе YQ —		= 1* Найти расстояния от точки М до дирек­
		трис.		2
	4 .3 .8 6 .	На гиперболе
				—у2 = 1 найти точку М , ближайшую к прямой
		2х+у —2 = 0, и вычислить расстояние от точки до этой прямой.
	4 .3 .87 .	Через левый фокус гиперболы х2 —у2 = 8 проведем перпен­
		дикуляр к ее оси, содержащей вершины. Найти расстояния от
		фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гипер­
		болой.
	4 .3 .8 8 .	При каких значениях а прямая у = 2х+а пересекает гиперболу
		2	2
			~ 1? Касается ее?
	4 .3 .8 9 .	Составить уравнение гиперболы, зная ее эксцентриситет € = |,
		фокус ^ ( 5 ; 0) и уравнение соответствующей директрисы
	4 .3 .9 0 .	Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы i7! (—8; 2),
		F 2(12; 2) и расстояние между вершинами, равное 16.
	4 .3 .9 1 .		2	2
		Дан эллипс		+ 5 = 1* Найти уравнение софокусной равно­
		бочной гепёрболы.
	4 .3 .9 2 .	Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9ж2+25т/2 =
		= 225. Найти уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ра­
		вен 2.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

4 .3 .9 3 .	Вывести условие, при котором прямая А х+ В у + С = 0 касается
	2	у2
	гиперболы ^2" -	pr = 1-
4 .3 .9 4 .	Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей
	координат и касающейся прямой х —у —2 = 0 в точке М (4;2).

4.3.95.	Даны точки Л(—1;0) и В(2;0). Точка М(х;у) движется так,
	что в треугольнике AMВ угол В остается вдвое больше угла
4.3.96.	А. Найти уравнение траектории движения точки М.
	Доказать, что отношение расстояний от любой точки гипербо­
	лы до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина
4.3.97.	постоянная, равная е.
	Эксцентриситет гиперболы равен 3, фокальный радиус ее точ­
	ки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 12. Найти рас­
	стояние от точки М до односторонней с этим фокусом дирек­
	трисы.
4.3.98.	Доказать, что касательная к гиперболе в ее произвольной точ­
	ке М составляет равные углы с фокальными радиусами этой
	точки.
4.3.99.	Доказать оптическое свойство гиперболы: луч света, исходя­
	щий из одного фокуса гиперболы, отразившись от нее, идет по
	прямой, соединяющей точку отражения с другим фокусом.
	2	2	= 1 провести касательные лю-
4.3.100.	Можно ли к гиперболе а	и
	бого направления? Какое ограничение наложено на угловые
	коэффициенты касательных к этой гиперболе?
4.3.101.	Какие линии определяются следующими уравнениями:
	1) У = —2Уж2 + 1;
	2 ) х = -у/у1 +4?
4.3.102.	Чему равен угол между асимптотами гиперболы у2 = 100 + лг?
4.3.103.	Чему равна площадь треугольника, образованного асимптота­
	ми гиперболы х2 — у2 = 1 и прямой х = 2?
4.3.104.	2	“	712
	Проходит ли гипербола fg		2 = ^ чеРез точки 0 (2 ; 0),

Л (-2 л / 1 0 ;2 ),в (б ;| ^ )?

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, ка­ ждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называ­ емой директрисой.

Каноническое уравнение параболы имеет вид

у2 = 2рх,	(3.22)
где число р > 0, равное расстоянию от фокуса F до директрисы /, называ­
ется параметром параболы. Координаты фокуса F	(J^; о ) . Точка 0 (0 ; 0)

называются вершиной параболы, длина г отрезка FM — фокальный ра­ диус точки М , ось Ох — ось симметрии параболы.

Рис. 39

Рис. 40

Уравнение директрисы I параболы имеет вид

X =

(3.23)

фокальный радиус вычисляется по формуле

»•= * + ! •

(3-24)

В прямоугольной системе координат парабола, заданная канониче­ ским уравнением (3.22), расположена так, как указано на рисунке 39.

Замечания. 1) Парабола, симметричная относительно оси Оу и про­ ходящая через начало координат (рис. 40), имеет уравнение

	х2 = 2ру.	(3.25)
Фокусом параболы (3.25) является точка
	F ( O; § ) .	(3.26)
Уравнение директрисы этой параболы
	Р	(3.27)
	У = - 2 .
Фокальный радиус точки М параболы
	Р	(3.28)
	г = У + 2 -
2)	На рисунках 41 и 42 изображены графики парабол у2 = —2рх и
х “ = —2ру соответственно.

Рис. 41

Рис. 42

3) На рисунках 43-46 приведены уравнения и графики парабол с ося­ ми симметрии, параллельными координатным осям.

Рис. 43. (у - I/o)2 = 2р{х - хо)

Рис. 44. (у - уо)2 = -2 р(х - х 0)

Рис. 45. ( х - х 0)2= 2р(у-уо)

Рис. 46-

= ~ Ы у ~Уо)

4 .3 .1 0 5 .	Дана парабола х 2 = 4у. Найти координаты ее фокуса, уравне­
	ние директрисы, длину фокального радиуса точки М (4;4).
	О	Парабола задана каноническим уравнением (3.25). Следо­
	вательно, 2р = 4, р =				2. Используя формулы			(3.26),	(3.27),
	(3.28) находим, что фокус имеет координаты (0; 1), т. е. F (0; 1);
	уравнение директрисы есть у = —1; фокальный радиус точки
	М (4; 4) равен 7* =			4 + 1 =		5.		у =	•
4 .3 .1 0 6 .	Найти вершину,			фокус	и директрису параболы				—2х2 +
	+ 8х — 5, построить эскиз графика.
	О	Преобразуем уравнение у = —2х2+ 8х —5, выделив в правой
	части полный квадрат:
		у =	- 2 (х 2 —4х +		=	“ 2 ^.т2 -	4х 4- 4 — 4 4- ^	=
					=	- 2 ((ж -	2)2 - | ) = —2(ж - 2)2 + 3,
	т . е . у		= —2(х —2)2 + 3 или (х —2)2 = —А(т/ —3). Уравнение пара­
	болы имеет вид, как на рис. 46. Вершина параболы имеет коор­
	динаты (2; 3); 2р = А, р =					А. Прямая .г* = 2 является осью сим-
								1	7
	метрии параболы. Координаты фокуса x = 2,T/ = 3 - - g = 2 g ,
	т.е. F^2\2^j. Уравнение директрисы у = 3 + ^							= 3 4- g, т.е.
	у = 3g . График изображен на рис. 47.								•

Рис. 47

4 .3 .1 0 7 . Парабола симметрична относительно оси Ох, ее вершина на­ ходится в начале координат. Составить уравнение параболы, зная, что она проходит через точку А(—3; —3).

4 .3 .1 0 8 . Найти высоту арки моста длиной 24м, имеющей форму пара­ болы, уравнение которой х 2 = —48у.

4.3.109. Найти уравнение касательной к параболе у2 = 4а;, проведенной из точки А(—2; —1).

ОУравнение прямой будем искать в виде

у = кх + Ь.

(3.29)

Так как точка А принадлежит искомой касательной, подста­ вляя ее координаты в уравнение (3.29), получим тождество

- l = -2fc + 6.

(3.30)

Далее, прямая (3.29) и парабола у2 = 4а; имеют единственную общую точку (касаются). Следовательно, система уравнений

J У = кх + 6,

[у2 - 4.т

имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у.

Это можно сделать различными способами, например, возвести правую и левую части первого уравнения в квадрат и подста­ вить в левую часть полученного равенства вместо у2 его выра­ жение из второго уравнения. Получим к2х 2 -I- 2kbx + Ь2 = 4а;.

Это — квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом,

у = (kb — 2)2 - к2Ь2 = 0 или 4кЪ = 4,	b = р	(3.31)
4	К

Теперь для параметров к и b прямой (3.29) имеем два условия:

(3.30) и (3.31). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий:

Г —2к + b = —1 ,

l b = F

Подстановкой вместо b в первое уравнение его выражения из второго, получим —2кг + fe-+-1 = 0, откуда находим, что к\ = 1,

&2 = — 2 * Система имеет два решения:

f * ! = l ,	f &2 = —1/2,
\ b i = 1	И \ & 2 = - 2 .

Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи. Их уравнения: у = х + 1 и у = —^ — 2. •

4.3.110. К параболе у2 = 4а; проведена касательная параллельно пря­ мой 2.т — у + 7 = 0. Найти уравнение этой касательной.

4.3.111. При каких значениях к прямая у = кх - 1 пересекает параболу

у2 = —5а;? Касается ее?

Дополнительные задачи

4 .3 .11 2.	Составить уравнение параболы, симметричной относительно
	оси От/, имеющей вершину в начале координат, если она про­
	ходит через точку А (—2; 4).
4 .3 .1 1 3 .	Найти координаты такой точки параболы у2 = 6æ, которая на­
	ходится от директрисы на расстоянии 3,5.
4 .3 .1 1 4.	Через фокус параболы у2 = 12а; проведена хорда, перпендику­
	лярная к ее оси. Найти длину хорды.
4 .3 .1 1 5.	В параболу у2 = 2рх вписан равносторонний треугольник, одна
	из вершин которого совпадает с вершиной параболы. Найти
	длину стороны треугольника.

4.3 .116. Найти длину хорды, соединяющей точки пересечения двух па­ рабол, имееющих общую вершину в начале координат, а фоку­ сы в точках (2; 0) и (0; 2).

4.3.117. Трос, подвешенный за два конца на одинаковой высоте, имеет форму дуги параболы. Расстояние между точками крепления

	24 м. Глубина прогиба троса на расстоянии 3 м от точки крепле­
	ния равна 70 см. Определить глубину прогиба троса посередине
	между креплениями.
4.3.118.	Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей
	высоты 16 м. Описав параболическую траекторию, он упал в
	48 м от точки бросания. На какой высоте находился камень на
	расстоянии б м по горизонтали от точки бросания?
4.3.119.	На параболе у2 = —4а; найти координаты точки, расстояние от
	которой до прямой у = 1 + 3\/2 — х равно 3.
4.3.120.	Парабола у2 = х отсекает от прямой, проходящей через начало
	координат, хорду, длина которой равна \/2. Составить уравне­
	ние этой прямой.
4.3.121.	Составить уравнение параболы с вершиной в начале коорди­
	нат, фокус которой находится в точке пересечения прямой
	5х — Зт/ Ч-12 = 0 с осью ординат; осью абсцисс.
4.3.122.	Составить уравнение параболы, симметричной относительно
	оси Оу и проходящей через точку пересечения прямой у —х = О
	и окружности х2 + у2 — 4у = 0.
4 .3 .123.	Дана парабола х2 = 8у. Найти длину ее хорды, проходящей
	через точку Л(1; 1) перпендикулярно прямой 2х — у + 3 = 0.
4 .3 .124.	Уравнение линии привести к каноническому виду, построить
	ее:
	а)	у =	4х2 4- 8х + 7;
	б)	х =	5у2 — Юг/ + 6;
	в)	у =	х 2 — 4х + 5;
	г )	х =	у2 + Зт/.

4.3.125.	Найти уравнение линии, все точки которой одинаково удалены
	от точки 0(0 ; 0) и от прямой х + 4 = 0.
4.3.126.	Найти уравнение прямой, которая проходит через вершину па­
	раболы у = —2х2 —6ж — 4 параллельно прямой 2х — у + 3 = 0.
4.3.127.	Дана парабола у2 = 12я. Найти длину ее хорды, проходящей
	через точку Л (8;0) и наклоненной к осп Ох под углом 60°.
4.3.128.	Составить уравнение касательной к параболе у2 = Збх, прове­
	денной из точки А(1] 10).
4.3.129.	К параболе у2 = Збж проведены из точки А(1; 10) две касатель­
	ные. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
4.3.130.	Доказать оптическое свойство параболы: луч света, исходящий
	из фокуса параболы, отразившись от нее, идет по прямой, па­
4.3.131.	раллельной оси этой параболы.
	Доказать, что касательная к параболе в ее произвольной точке
	М составляет равные углы с фокальным радиусом точки М
	и с лучом, исходящим из точки М и сонаправленным с осью
	параболы.
4.3.132.	Из фокуса параболы у2 = 12х под острым углом а к оси Ох
	направлен луч света. Известно, что tg a =	Дойдя до пара­
	болы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на
	которой лежит отраженный луч.
4.3.133.	Дана парабола у2 = 4æ. Через точку ( 2 ’ *)	пРовестп такую
	хорду, которая делилась бы в этой точке пополам. Составить
	уравнение этой хорды.
4.3.134.	Показать, что фокус параболы и точки касания двух касатель­
	ных к параболе, проведенных из любой точки директрисы, ле­
	жат на одной прямой.
4.3.135.	Каково будет уравнение параболы у2 = 4ж, если ее ось симме­
	трии повернуть на 90°? на 180°? на —90°?
4.3.136.	Каково уравнение параболы с вершиной в точке (0; 0), если
	уравнение ее директрисы 2у + 7 = 0?
4.3.137.	Найти фокус и директрису кривой, заданной параметрически
	3
	У = Г
4.3.138.	Решить графически систему уравнений
	( х2 + у = 4,
	\ х + у2 = 9.

4 .3 .1 3 9 . Чему равна длина хорды, проходящей через фокус параболы х2 = 8 у и перпендикулярной к ее оси симметрии?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1.На биссектрисе первого координатного угла лежат точки Л(3;3) и В (х;у), расстояние между которьши равно у/2. Найти координаты точки В.

2.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения пря­

мых 2гс—2/—1 = 0 и Sx—у+4 = 0 параллельно прямой 4х+2у—13 = 0.

3. Найти угол между высотой AD и медианой АЕ в треугольнике с вершинами в точках Л (1;3), В(4; —1), С(—1; 1).

4.Найти каноническое уравнение эллипса, если

а) расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин полуосей равна 7;

б) расстояния от его фокуса до концов большой оси равны 2 и 14.

5. Через фокус параболы у2 = —х проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти длину образовавшейся хорды.

Вариант 2

1. Дан треугольник АВС с вершинами А(1; 5), В(4; 1), (7(13; 10). Най­ ти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной

ВС.

2 . Прямая у = кх + 4 удалена от начала координат на расстояние d = л/З. Найти значение к.

3. Даны последовательные вершины параллелограмма ABCD: А(—2; 5), В (2; 7), <7(—4; —3). Найти координаты четвертой вершины D и написать уравнение диагонали BD.

4. Найти уравнение прямой, содержащей диаметр окружности х2 + у2 —6 х + 4у + 8 = 0Уперпендикулярный прямой х — Зу 4- 2 = 0.

5. Найти уравнение гиперболы, зная, что ее эксцентриситет е = 2,

2

фокусы гиперболы совпадают с фокусом эллипса у^ + т/2 = 1.