книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf(3) Параболический (рис. 65)
у2 = 2рх.
Примечание. Если |
в каждом |
из |
приве |
|
денных |
канонических |
уравнений |
заменить |
|
х = х\ - |
х0, У = У1 - |
2/о, z = zi - |
z0, где |
(хо>Уо,2о) — фиксированные числа, то новые уравнения представляют те же поверхности и они занимают в системе координат 0 \X\y\Zi такое же положение относительно плоскостей £i = яо, 2/1 = 2/о, z\ = ZQ как поверхности, заданные канонически относительно коорди
натных плоскостей х = 0, у = 0, z = 0. Другими словами, приведен ные формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор
ОМ = (хо,2/о, 2о).
Метод параллельных сечений
Если задано уравнение той или иной поверхности, то возникает за дача исследования ее формы и расположения относительно координат ных осей. Для решения этой задачи обычно применяют метод парал лельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостям координат. Форма и размер полученных се чений позволяют выяснить геометрическую форму самой поверхности.
Пересечение поверхности с плоскостью
Линию в пространстве R3 можно определить как пересечение двух поверхностей. Таким образом уравнение линии можно записать в виде
системы |
, |
О, |
|
jF i(x ,7 /,z ) = |
|
|
\p2 (x,y,z) = |
0. |
Для исследования этой линии удобно воспользоваться цилиндром, про ектирующем ее на ту или иную координатную плоскость. Если, напри мер, проектируем линию на плоскость Оят/, то исключим г из системы и получим уравнение ip(x,y) = 0. Оно изображает направляющую проектрующего цилиндра на плоскость Оху. В зависимости от того, будет ли <р(х, У) = 0 эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых — изучае мая линия сохранит соответствующее название.
5.5.1. Составить уравнение сферы с центром в точке М о (-5;3;2) и касающейся плоскости 2х - 2у + z - 4 = 0.
О Для составления уравнения сферы нужен ее радиус. В дан ном случае Я — расстояние от Mo до плоскости:
|
„ |
|(—5 )-2 —2 |
- 3 + 2 - 4 1 |
|
|
|
л/22 + |
22 + 1 |
|
|
Искомое уравнение: (х + 5)2 + (у — З)2 + (z — 2)2 = 36. |
• |
||
5 .5 .2 . |
Составить уравнение сферы с центром в точке Мо(0;4; 0), если |
|||
|
она касается плоскости 2х + 6у — 3z — 3 = 0. |
|
||
5 .5 .3 . |
Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных |
|||
|
плоскостей 6х - |
Зт/ — 2z — 35 = |
0 и 6х — Зг/ — 2г + 63 = |
0, если |
ее центр расположен на прямой х ~
О1) Определим точки Mi и М2 пересечения прямой с плос костями (заметим, что прямая перпендикулярна плоскостям).
|
Для этого параметрические уравнения прямой х |
= 11 + 6i, |
|
|
2/ = —4 — 3^, J2T= —3 — 2i подставляем в уравнения плоскостей, |
||
|
находим t и возвращаемся к этим уравнениям. |
|
|
|
6(11 + б£) - 3(—4 - |
31) - 2 ( - 3 - 21) - 35 = |
0, |
|
* = - 1 , |
М! ( 5 ,- 1 ,- 1 ) . |
|
|
Аналогично находим М2(—7,5,3). |
|
|
|
2) Центр сферы Mo — середина отрезка Mi М2: Мо(—1,2,1). |
||
|
Радиус сферы R = МоМ\ = \/36 + 9 + 4 = 7. |
|
|
|
3) Уравнение сферы (х + I)2 + (у — 2)2 + (z — I)2 = 49. • |
||
5 .5 .4 . |
Составим уравнение сферы, проходящей через четыре точки |
||
|
0 (0 ; 0; 0), >1(2; 0; 0), В( 1; 1; 0), |
0 (1 ; 0; - 1 ) . |
|
|
О Уравнение сферы ищем в виде |
|
|
|
(х - а)2 + (у - |
b) 2 + (z - с)2 = Я2, |
|
где (а, 6, с) — координаты центра и R — радиус неизвестные. Координаты данных точек превращают уравнение сферы в вер ные равенства, т. е.
га2 + 62 + с2 = Я2, |
|
|
^ (2 — а)2 + |
62 + с2 = Я2, |
|
' (1 - а)2 + |
(1 - Ъ) 2 + с2 = |
Д2, |
,(1 — о)2 + |
Ь2 + (1 + с)2 = |
Д2. |
После возведения в квадрат, приведения подобных слагаемых
получается система, из которой а = |
1, b = 0, с = О, Я 2 = 1. |
Ответ, (х — I)2 + 2/2 + z2 = 1. |
• |
5.5.5.Составить уравнение сферы если:
1)точки Л(3; —2; 6) и В(5; 2 ;—2) являются концами одного из
ее диаметров; 2) имеет центр в точке Мо(5;0;3) и проходит через точку Л(4; 1; - 1 );
3)имеет центр в точке М0(2; 1; 3) и касается плоскости 2 = 6;
4)имеет центр в точке Мо(5;2; - 1 ) и касается плоскости 2х —
— у + 3 z + 23 = 0;
5)она симметрична сфере (х - I)2 + (у - З)2 4- (2 + 4)2 = 46 относительно плоскости Зх + у — 2z = 0;
6)она проходит через точки J4(1, —6, —2), В(4; —3; 2),
С(—3; —3; 9) и Z>(4; 1;6).
5.5.6. |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
Найти точки пересечения поверхности yg + ^ — |
= 1 и пря |
|||||
|
мой х _ |
У |
_ |
2 + 2 |
|
|
|
М0Й 4 “ |
^ 3 |
” |
|
|
|
О Параметрические уравнения прямой х = 41, у = —3£, z = = —2 + 4£ подставим в уравнение однополостного гиперболоида
1 |
QJ.2 |
f4 i_2)2 |
а |
и определим значение - g - + ^ — |
-— у ■7 |
= 1, (t - I)2 = 0, |
^i,2 = 1- Следовательно, х = 4, ?/ = —3, 2 = 2. Прямая имеет с гиперболоидом две совпадающие точки пересечения, т. е. пря мая касается поверхности гиперболоида в точке Mi (4; —3; 2).
5.5.7.При каких значениях параметра р плоскость 2х — 2 у —z = р касается сферы х2 + у2 + z2 = 81?
Q Если плоскость касается сферы, то расстояние от ее центра
до плоскости равно радиусу сферы, т. е. |
1 2 - 0 |
-2 0 —0 —р\ |
Отсюда \р\= 27, т. е. р = ±27. |
V |
4 + 4 + Ï |
|
• |
5.5.8.Установить при каких т плоскость у + mz = 1 пересекает двуполостный гиперболоид х2 + у2 —z2 = — 1:
а) по эллипсу, б) по гиперболе.
5.5.9.
5.5.10.
Установить при каких т плоскость тпу+ 2 = 2 пересекает эл-
2 |
2 |
липтический параболоид у = |
: |
а) по эллипсу, б) по параболе.
Методом параллельных сечений исследовать поверхность, оп-
2 -.2 |
2 |
|
|
ределяемую уравнением f g + g — |
^- = — 1. |
|
|
|
2 |
-.2 |
2 |
О 1) Перепишем уравнение в виде yg |
+ ^ = |
^- — 1и пересе |
каем поверхность плоскостями 2 = h параллельными коорди натной плоскости Оху.
2 |
2 |
В сечениях получаются линии с уравнениями |
= |
h2 |
9 |
= т - ‘- |
|
При |ft| < 2 эти уравнения не имеют изображения (мни
мые эллипсы) при h = ± 2 они изображают точки (0; 0; 2) и
2 ? 2
(0; 0; —2), а при \h\2 > 2 получаются эллипсы тт-rj + 7о 'у2' = 1» (4с) “ (Зс)
где с =
С увеличением |/i| увеличиваются и полуоси эллипсов 4с и Зс, т. е. эллипсы расширяются (рис. 66). Поверхность симме трична относительно плоскости Оху.
Рис. бб
|
2 |
2 |
2) Перепишем уравнение поверхности в виде T F ~ тг = |
||
2 |
1о |
9 |
= — ^ — |
1 и пересечем ее вертикальными плоскостями у = /. |
При каждом I £ (—оо; +оо) соответствующие уравнения описы
вают гиперболы. В частности, при I = 0 получаем гиперболу
2 2
Yg — — 1, расположенную в плоскости Oxz.
3) Сечения поверхности плоскостями х = г также гипербо-
Но из пп. 1) и 2) уже можно сделать вывод о строении поверх
ности: она состоит из эллипсов, «нанизанных» на гиперболу
2 2
Yg — = —1 (Z = 0). Поскольку два сечения, параллель
ных Oxz и Oyz — гиперболы, а одно — параллельное Оху —
эллипс, то поверхность называется гиперболоидом эллиптиче ским; для уточнения — двуполостный, ибо состоит из двух от дельных частей (над и под плоскостью Оху). •
5.5.11.Установить тип заданных поверхностей и построить их.
2)х2 + у2 - 4z2 = - 1 ;
3)Зж2 + т/2 = 2 a(z —2);
4)2у = х2 - £ -
5)у2 = 15z;
6)z = 5 — х2 —у2\
7)х2 - 9у2 = 4z2;
8)х2 = 5 у - 1;
9)2.т2 — 4х + у2 — 6т/ — z2 = 0;
10)2х2 - 7у2 + Hz2 = 0;
11)х + 2 = у2 - Зу + 3z2 4- 6 z;
12)х2 = yz.
5.5.12. Определить линию пересечения поверхностей
(х —4) 2 + (у —7) 2 + (z + I)2 = 36 и Зх + у - z - 9 = 0.
О Первая поверхность — это сфера, вторая — плоскость. Они пересекаются или по окружности, или в одной точке, или вовсе не пересекаются.
Найдем расстояние d от центра сферы Mo(4; 7; —1) до плос
кости Зх + у —z —9 |
= 0. |
|
л — 13 |
-4 + 7 + 1 —9| __ |
П „ д т |
|
ч/з2 + 1 + 1 |
VÎT |
Поскольку d < R (R = б — радиус сферы), то плоскость пере секает сферу по окружности.
Центр 0(х 1\yi\z\) этой окружности расположен на перпен дикуляре MoО, опущенном из центра сферы Mo на заданную плоскость (рис. 67).
Уравнение перпендикуляра MoО в параметрической форме имеет вид
ж = 4 + 31, т/ = 7 + £, z = - 1 - т / .
Подставим эти равенства в уравнение плоскости и находим L 3(4 + 3t) + (7 + 1 ) — ( - 1 — t) — 9 = 0, t = - 1 .
Подставим t = — 1 в параметрические уравнения перпенди куляра МоО. Находим: х = 1, у = б, г = 0, т. е. 0(1; 6; 0) — центр окружности пересечения сферы и плоскости.
Из АОMoА (рис. 67) находим г2 = R2 - d 2, г2 |
= 3 6 -1 1 = 25 |
г = 5. |
* |
Таким образом получено, что кривая
Г (х — 4)2 + (у — 7)2 + (z 4- I)2 = 36, |з.т + у - z - 9 = 0
представляет собой окружность радиуса 5 с центром в точке
0 (1 ; 6; 0). |
|
• |
5 .5 .13 . Составить |
уравнения |
касательных плоскостей к сфере |
(х - 2)2 + |
(у + I)2 + (z |
— З)2 = 6 в точках ее пересечения с |
прямой х |
|
^ |
О Точки пересечения прямой со сферой получаются подста новкой равенств х = 1 + t, у = —t, z = 1 + 2£ в уравнение сферы, определением t и подстановкой обратно в уравнения прямой.
Имеем (1 + |
1 - 2)2 + ( - 1 + |
I)2 + |
(1 |
+ 2t - З)2 = 6, 6(* - I)2 |
= б, |
t\ = 0, t2 = |
2. Далее х\ = |
1, yi |
= |
0, z\ = 1, х2 = 3, у 2 = |
- 2 , |
Z2 = 5. Итак, Mi (1; 0; 1), Мг(3; —2; 5) — точки пересечения пря мой и сферы.
Составим уравнение первой касательной плоскости, про ходящей через M i(l;0 ;l). Ее нормальный вектор МоМх, где М о(2;—1; 3) центр сферы: МоМг = (—1; +1; —2), а уравнение плоскости: —(х —1 )+ у —2(z — 1) = 0 или х —y + 2z —3 = 0.
Уравнение второй плоскости, по аналогии: х—у+2z—15 = 0. Полученные плоскости параллельны потому, что данная
прямая проходит через центр сферы М о(2;—1;3) |
(получается |
при t = 1). |
• |
Установить, что плоскость у —2 = 0 пресекает эллипсоид
Yg-f-^- + “ - = ln o эллипсу. Найти его полуоси и вершины.
О Пересечение двух поверхностей в пространстве преставляет некоторую линию, принадлежащую как одной так и другой поверхности. Уравнение этой линии в нашем случае имеет вид
£ 1 -1. 1L л. Z1 = I
16 |
+ 8 |
+ 9 |
’ |
|
[У - |
2 = |
0. |
2 |
2 - 1 |
|
|
|
||
Подставим у = 2 в первое уравнение и получаем fg + ^ |
= 5* |
Это уравнение эллипса, расположенного в плоскости у —2 = 0. |
|||||||
Поскольку каноническое уравнение полученного эллипса име- |
|||||||
,2 |
2 |
= |
1, то его полуоси равны а = |
|
_ |
>/Зр> |
|
ет вид |
|
V8 и 6 = |
|||||
(с2 = о2 — 62, с |
= V^ 5 ) J а |
вершины эллипса расположены |
|||||
в точках -Ai (—л/8; 2; 0) и А2(8; 2; 0) — на большем диаметре, |
|||||||
В\(0; 2; - |
|
и 2?>(0; 2; |
— на меньшем диаметре. |
• |
|||
5.5.15. Исследовать линию пересечения гиперболоида ^ |
2 |
2 |
|
||||
|
— z2 = 1 |
с плоскостью 4а; —Зу —12z — 6 = 0, пользуясь ее проекциями на координатные плоскости.
ОЛиния пересечения гиперболоида с плоскостью определя
ется системой |
|
|
" |
~ z* = |
|
9 + |
|
|
[4а; —Зу —12г — 6 = |
0. |
|
Выражаем из второго уравнения |
|
|
= -----------------4а; - Зу —6 и 2?о = |
------------16я2 + 9у2----------------------------------------+ 36 — 24х у — 48а; + 36у |
|
12 |
|
144 |
и подставляем в первое уравнение. Получаем |
||
9у 2 + 8х у + 16а; - 12у - |
60 = 0. |
Это уравнение проекции на плоскость Оху линии пересече ния гиперболоида с плоскостью. Вместе с тем это уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz, направляющая которой есть исследуемая линия. Уравне ние этой линии следует привести к каноническому виду извест ными формулами преобразования координат (поворот осей и сдвиг). В данном случае методом разложения на множители можно получить (у + 2) (9у + 8а; - 30) = 0, т. е. наша линия представляет пару прямых у+ 2 = 0 и 8х + 9у - 30 = 0, которые пересекаются в точке
Г2/ + 2 = 0, [8а; + 9у - 30 = 0,
|
По аналогии с этим, проектируем искомую линию на плос |
|||||||
|
кость Oxz. Получаем пару прямых x - 3 z = 0 и 5х — 9z —12 = О, |
|||||||
|
которые пересекаются в точке АД(6;2). |
|
|
|||||
|
Наконец, на плоскость Oyz искомая линия проектируется |
|||||||
|
в прямые у + 2 = 0 и Ъу 4- Sz — 6 = 0, которые пересекаются в |
|||||||
|
точке АД(—2; 2). |
|
|
|
|
|||
|
Если проекции на координатные плоскости данной линии |
|||||||
|
являются пересекающимися прямыми, то сама эта линия пред |
|||||||
|
ставляет пару пересекающихся в точке М (6; —2; 2) прямых. Ко |
|||||||
|
ординаты М получаются из координат ее проекций АД, АД, |
|||||||
5 .5 .1 6 . |
АД. |
|
|
|
|
|
|
• |
Установить какие линии определяются системами уравнений: |
||||||||
|
Го2 _ (X- |
I)2 . (у + I)2 |
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
т |
6 |
|
|
|
|
[Зх —у + 6 z — 18 = 0; |
|
|
|
||||
|
2) |
|
|
|
Ü/ + D2 |
|
|
|
|
2 у - |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
I.т - |
1 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
'(* |
- I ) 2 |
, |
(.V + |
1)2 _ 2 1 |
= 1 |
|
|
|
3) |
4 |
+ |
9 |
36 |
’ |
|
|
|
[9х - 6у + 2z - 43 = 0. |
|
|
|
||||
5 .5 .1 7 . |
Дан гиперболический параболоид а;2 |
У1 |
- |
|||||
|
= z и одна из его |
|||||||
|
касательных плоскостей: Юл:- 2 у- z - 2 1 = 0. Найти уравнения |
|||||||
|
каждой из тех двух прямых, по которой плоскость касается с |
|||||||
|
параболоидом. |
|
|
|
|
|
||
|
О Уравнения искомых прямых задаются системой уравнений, |
|||||||
|
которую последовательно преобразуем. |
|
|
|||||
|
Г I 0 x - 2 y - z —21=0, |
(z = 10х —2 у —21, |
||||||
|
|
|
|
|
|
x2 —lÇ = lQx—2 y—2 l |
||
|
|
|
|
j z = |
lOx - 2 2 / - 2 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
\ (2x —y —6)(2a; + y - 14) = |
0 |
|||
|
|
|
|
|
lOx — 2y — 2 — 21 = 0, |
|
(5.1)
2x — y —6 = 0
f lOx — 2?/ — ^ — 21 = 0,
(5.2)
^2x + 2/ — 14 = 0.
Уравнения прямых (5.1) и (5.2) получены в общем виде. Приведем (5.1) к каноническому виду. Для этого найдем две точки на прямой (5.1):
Юх - 2 y = 21, 2x - y = G
|
|
|
y = 0 { г х - б ^ о 21, |
^ |
jV/2(3;0;9)- |
|
|
|||||||
|
|
|
Составим уравнение прямой, проходящей через точки М\ |
|||||||||||
|
и Л/г- М\М2 = ^ ;3 ;9 ^ |
|
= § (1;2;6). Прямая (5.1) |
имеет вид |
||||||||||
|
x -j |
^ |
~ |
\ — Z g ^ или параметрически: ж = |
3 4- t, у = 2£, |
|||||||||
|
г |
= |
9 + 6 t. |
(Уравнение прямой |
определяется |
неоднозначно: |
||||||||
|
например, при t = |
2 находим на этой прямой точку жо = 5, |
||||||||||||
|
2/о — 4? %о — 21, а потому ее уравнение можно записать и так |
|||||||||||||
|
ж — 5 |
" |
^ 2 ^ |
г |
|
По аналогии, прямую (5.2) можно |
||||||||
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
привести к виду ж - 5 |
|
у —4 _ |
z —21 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
14 |
|
|
|
Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.5.18. |
Составить уравнение сферы радиуса R = 9, проходящей через |
|||||||||||||
|
точки Л (-5 ; 10; - 1 ), В( 1; - 2 ; - 1 ), |
С (-8 ; - 2 ; 2). |
|
|
||||||||||
5.5.19. |
Сфера |
|
проходит |
через |
три |
точки |
А(—2; 4; 1), |
£ ( —5; 0; 0), |
||||||
|
С(3; 1; —3), а ее центр лежит на плоскости 2х + у —2 + 3 = 0. |
|||||||||||||
|
Составить ее уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.5.20. |
Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки: |
|||||||||||||
|
А(1; - 2 ; |
- 1 ), |
В(4; 1; 11), |
С (- 8 ; - 2 ; 2) и £>(-5; 10; - 1 ) . |
||||||||||
5.5.21. |
Установить |
как расположена точка |
>1(2; —1; 3) |
относительно |
||||||||||
|
каждой сферы — на сфере, внутри нее или вне: |
|
|
|||||||||||
|
1) |
(х — З)2 + |
(у + I)2 + (z —I)2 = 4; |
|
|
|
||||||||
|
2) |
(х + 14)2 + (у - |
И )2 + (z + 12)2 = 625; |
|
|
|||||||||
|
3) |
(х - |
б)2 + |
(у - I)2 + (* - г)2 = 25. |
|
|
|
|||||||
5.5.22. |
Определить центр Мо(хо;уо; zo) и радиус окружности: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г (ж - |
З)2 + |
(у + 2)2 + |
(z - |
I)2 = 100, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|2ж - |
2у - |
г + 9 = 0. |
|
|
|
|
||
5.5.23. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пе |
|||||||||||||
|
ресечения двух сфер. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2ж2 + 2у2 4 -2z2 + 3ж — 2т/+ 2 - 5 = 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ж2 + у2 + z2 - ж + 2>у- 22 + 1 = 0. |
|
|
||||||
5.5.24. |
Составить уравнение сферы, проходящей через начало коорди |
|||||||||||||
|
нат и окружность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Гж2 +?/2 + 2 2 = 25, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|2ж - |
Зу + 52 - 5 = 0. |
|
|
|
х2 |
О |
1) |
Z~ |
|
9 |
25 |
|
2) |
XО |
♦ $ + 16 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|||
|
|
|
о |
г2 |
|
|
|
|
3) |
.т2 + Г . |
|
|
|
||
|
9 |
+ 25 |
4 |
|
|
|
|
|
4) z - |
+ "«Ь" |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
5) |
Z =. х2 |
. 2il. |
|
|
|
|
|
|
' |
4 |
9 ’ |
|
|
|
|
6) |
X2 + У1 |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
4 |
+ 9 |
|
|
|
|
|
7) |
Xо |
_ uL |
= 1; |
|
|
|
|
4 |
9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
8) X2 = 22/. |
|
|
|
|
||
Более сложные задачи |
|
|
|
||||
5.5.26. |
Определить, как расположена прямая относительно сферы — |
||||||
|
пересекает ли, касается или проходит вне ее. Прямая и сфера |
||||||
|
заданы следующими уравнениями: |
||||||
|
|
х - 2 _ У + 2 _ z + 2 , x2 + y 2 + z2 4у - 3z + 1 = 0; |
|||||
|
|
- 2 |
” |
3 |
“ |
1 |
|
|
2) х = |
5+3£, у = 2t,z = - 2 5 - 2 1, x2+y2+z2- 4 x —6y+2z-67 = 0; |
|||||
|
3) |
Г2 х —у + 2 z — 12 = 0, |
|
||||
|
2а; - 4у - z + |
6 = |
х2 + у2 4- z2 - 2х + 2у -f 4z - 43 = 0. |
||||
|
|
0, |
|
||||
5.5.27. |
Найти кратчайшее расстояние от точки А до сферы с заданным |
||||||
|
уравнением: |
|
|
|
|||
|
1) |
А (- 2; 6; 3), х2 + у2 + z2 = |
4 |
||||
|
2) |
А(1; —1; 3), я2 + т/2 4- z2 - |
6ж + 4у - 10z - 62 = 0. |
||||
5 .5 .2 8 . |
Составить уравнение плоскости, касательной к сфере х2 + у2 + |
||||||
|
+ z2 = |
49 в точке М\(6; - 3 ; - 2 ) . |
|||||
5 .5 .2 9 . |
Доказать, что плоскость 2а; — 6т/ 4- 3z — 49 = 0 касается сферы |
||||||
|
х2 + у2 |
z2 = 49 и вычислить координаты точки касания. |
|||||
5 .5 .3 0 . |
Составить уравнения |
плоскостей, касательных к сфере а;2 + |
+у2 + z2 = 9 и параллельных плоскости х + 2у — 2z + 15 = 0.
5.5.31.Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну общую точку и найти ее координаты:
1) + Т- = 2у, 2х - 2у - г - 10 = 0,