книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

2) T + 14 ~ ^ = - h 5 x + 2z + 5 = 0,

3) ^ - Ç + ^ = l ,3 x - 1 2 y - 4 Z + 54 = 0.

5.5.32.Доказать, что плоскость 4я —5у —10z — 20 = 0 пересекает од-

2 2 2

нополостный гиперболоид + —^- = 1 по прямолинейным

образующим. Составить уравнения этих образующих.

5.5.33.Доказать, что плоскость 2х — 12у — z + 16 = 0 пересекает ги­ перболический параболоид 2z = х2 — 4у2 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямых.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1. Начало отрезка АВ находится в точке А(2; - 3 ; 4). Точка М (-1 ; 2; 5) отсекает от него четвертую часть (AM АВ = 1 4). Найти коор­ динаты точки В.

2. Какие поверхности определяются уравнениями: 1) х2 + у2 + z2 - 10æ + 8у - 8 = 0;

2)у = 4z2?

3.Составить уравнения плоскости, проходящей через:

1)ось Oz и точку А(2\ —3; 4);

2)точку А параллельно плоскости Оху.

4. Треугольник	АВС образован пересечением плоскости 2я + 3у +
+ 4г — 12 =	0 с координатными осями. Найти уравнения средней

линии треугольника, параллельной плоскости Оху.

5.Найти уравнения перпендикуляра к плоскости x —2y+z—9 = 0, про­ ходящего через точку Л(—2; 0; —1), и определить координаты осно­ вания этого перпендикуляра.

Вариант 2

1.	На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух точек А(3; —1; 2)
	и В (4 ;1 ;- 1 ).
o u		/ я 2 -I- у2 + Z2 =			64,	- о найти точку:
2.	На линии N 0 ,		0 ,	о	«
		+ ?/" + г- -			2я =	58
	1)	абсцисса которой равна 4;
	2)	аппликата которой равна 2.
3.	Составить уравнение			касательной плоскости к сфере (х — I)2 +
	+ (у + 2)2 + (z -		2)2 =	27 в точке Мо(2; - 1 ; - 3 ) .

4.Даны три последовательные вершины параллелограмма: >1(2; 4; 3),

В(—3; 0; 6), С7(—4; 2; 1). Найти уравнения стороны AD и диагонали

BD.

5. Найти расстояние оси точки Л(0; 2; 5) до прямой

= 1 =

•

Вариант 3

1.Найти центр шара радиуса R = 5, который расположен в пятом

октанте и касается всех трех координатных плоскостей.

2.Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек >li(3; 2; 1) и Л2( - 4 ; - 2 ; 1).

3.Найти угол между плоскостью х + у = 0 и плоскостью, проходящей через точку М(3; —1; —1) и содержащую ось Ох.

4.Через точку М (2 ;1 ;—4) провести прямую, параллельную биссек­ трисе координатного угла Oyz.

5.Найти проекцию точки А(2\ —1; 3) на плоскость 5х — 2т/-f z + 15 = 0.

Вариант 4

1. Отрезок АВ разделен на 5 равных частей точками С, D, Е , F {АХИ = CD = DE = E F = F В). Найти координаты точек D и (7, если известны точки А(2; 2; 5) и В {—3; 1;0).

2.Составить уравнение линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке (7(4; - 3 ; 2) и радиус равен 10.

3.На оси Ох найти точку, равноудаленную от точки А(1;2\/2;0) и от плоскости х + у — 5 = 0.

4.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точ­

ку М (5; — 7; 9) параллельно прямой

				f х —Зу + 2z —б =	0,
				[2х —у + 4z + 17 = 0.
5. Найти	расстояние			между прямыми	х ^ -	= Z	и
х 4- 5 _ У + 3 _ z + 6
8 ~	- 4	”	12	*

□

Глава 6. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

□

§1. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Определение функции

Везде далее в этом параграфе под множествами будут пониматься числовые множества, т. е. множества, состоящие из действительных чи­ сел.

Множество всех действительных чисел будет обозначаться буквой К.

^Пусть каждому числу х из некоторого множества X поставлено в соответствие одно и только одно число у. Тогда говорят, что на множестве X задана функция.

Способ (правило), с помощью которого устанавливается со­ ответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: /, g, h, tp,... Если, например, выбрана буква

/ , то пишут

У = Дя)- Переменная х при этом называется независимой перемен­

ной (или аргументом), а переменная у — зависимой. Множество X называется областью определения данной

функции и обозначается D (f ), а множество всех чисел у, соот­ ветствующих различным числам х £ Аг, — областью значений этой функции и обозначается E (f).

^Если числу хо из области определения функции f{x) соответ­ ствует некоторое число уо из области значений, то уо называ­ ется значением функции в точке XQ (или при х = хо).

График функции

^Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функ­ ция у = f{x). Графиком функции f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х ;/(х )), где х € D (f).

Множество точек на координатной плоскости является графиком не­ которой функции в том и только в том случае, когда каждая вертикаль­ ная (т. е. параллельная оси Оу) прямая пересекает его не более чем в одной точке.

График функции у = f(x ) зачастую можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

В частности:

1* График функции у = /(ж) + а, получается из графика функции У = /(ж) сдвигом вдоль оси Оу на \а\ единиц (вверх, если о > 0, и вниз, если а < 0);

2. График функции у = f(x - b) получается из графика функции У = /(ж) сдвигом вдоль оси Ох на \Ь\единиц (вправо, если b > 0, и влево,

если 6 < 0);

3. График функции			у = kf(x)	получается	из	графика	функции
У ~	f{x )	растяжением (сжатием) вдоль оси Оу в к раз (1/к					раз), если
* > 1	(fee	(0,1));	у = /(тж )
4. График функции				получается	из	графика	функции

У = /(;х) сжатием (растяжением) по оси Ох в т раз (1/т раз), если т > 1

( т е	(0,1));	функции у = -/(ж )
5.	График		получается из графика	функции
У = f(x ) симметричным отражением относительно оси Ох;
6.	График	функции у = /(-ж )	получается из графика	функции
У = f{x) симметричным отражением относительно оси Оу.

Четность, нечетность и периодичность функции

^Функция называется четной, если:

1) множество D (f) симметрично относительно нуля (т.е. Vx £ 6 D (f) = ï - x € D(f))-,

2) для любого х е D (f) справедливо равенство /(-ж ) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Оу.

^Функция f(x ) называется нечетной, если:

1)множество D (f) симметрично относительно нуля;

2)для любого х G D (f) справедливо равенство / ( —ж) = -/(ж ).

График нечетной функции симметричен относительно начала коор­ динат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функ­ цией общего вида.

^Функция f{x ) называется периодической, если существует чи­

сло Т ф 0, что для любого ж G D (f) справедливы условия:

1) * + Г 6 !> (/); 2) А * + Г ) = /(* ) .

Число Т называется периодом функции /(ж). Если Т — период функ­ ции /(ж ), то числа ± Т , ±2Т , ± 3 Т ,... также являются периодами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из

ееположительных периодов (основной период), если таковой существует. Если функция f(x ) периодическая с периодом Т, то ее график пере­

ходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на Т единиц влево или вправо.

Сложная функция. Элементарные функции

^Пусть область значений функции у = /(х ) содержится в обла­ сти определения функции д(у). Тогда функция

* = 0(/(я))| x e D { f )

называется сложной функцией или композицией функций / и g и обозначается до f.

Основными (или простейшими) элементарными функциями назы­ ваются: постоянная функция у = с; степенная функция у = ха , a G К; показательная функция у = ах, а > 0; логарифшическая функция у =

= logrt х, а > 0, а ф 1;		тригонометрические функции у = sin я, у =	cos ж,
у = tgx,	2/ = ctgx,	у = secx (где secx = —-— ), у = cosecx	(где
cosecх =	—7^— ); обратные тригонометрические функции у = arcsinx,
	Sill X J

у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx.

На рисунках 68,а и 68,£ приведены соответственно графики функций у = arcsinx и у = arctgx.

б

Рис. 68

^Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью

конечного числа арифметических операций	и ком­
позиций (т.е. образования сложных функций).

Монотонная, обратная и ограниченная функция

^Функция /(х ) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X Ç £>(/), если для любых значений x i,x 2 Е X таких, что Х\ < Х2, справедливо неравенство /( х i) ^ /( х 2) (соответственно, f{x i) ^ /(я 2)).

^Функция /(ж) называется монотонной, если она невозрастаю­ щая или неубывающая.

^Функция /(ж) называется возрастающей (убывающей) на мно­

жестве X Ç D (f), если для любых значений х\,Х2 € X таких,

что Ж1 < ж2, справедливо неравенство /(ж 1) < /(хо) (соответ­ ственно, f(x i) > /(ж2)).

^Функция /(ж) называется строго монотонной, если она возра­ стающая или убывающая.

^Пусть для любых различных значений Ж1,ж2 G D (f) справед­ ливо, что /(.ci) ф / ( ж2). Тогда для любого т/ G £ ( / ) найдется

только одно значение ж = 0(2/) G £ ( / ) , такое, что 2/ = /(т). Функция ж = Q(2/)j определенная на Е (/), называется обрат­ ной для функции /(ж).

Отметим, что £(#) = £>(/).

Если функция /(ж) имеет обратную функцию, то каждая горизон­ тальная прямая у = с пересекает ее график не более чем в одной точке.

Пусть функция ж = д(у) (иногда ее обозначают ж = f~ 1(y)) — обрат­ ная для функции у = / ( ж). Если обозначить аргумент этой функции через ж, то ее можно записать в виде у = д{х). Тогда

g(f{x)) = х Для всех ж G £>(/), f(g{x)) = ж для всех ж G £ ( / ) .

Иными словами, если функция </(ж) — обратная для функции /(ж), то функция /(ж) — обратная для функции у(х); поэтому обе эти функции называют еще взаилюобратными.

Пусть функция у = /(ж) вырастает (убывает) на отрезке [а; 6]. Тогда на отрезке [/(a); /(&)] (соответственно, [/(&);/(а)]) определена возраста­ ющая (убывающая) функция д(ж), обратная для функции /(ж).

График функции д(ж), обратной для функции /(ж), симметричен гра­ фику /(ж) относительно прямой у = ж.

^Функция у = /(ж) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X С D (f), если существует такое число М, что

	/(ж) ^ М (/(ж) ^ М) для всех ж G X .
^	Функция 2/ = /(ж) называется ограниченной на множестве
	X С D (f)yесли существует такое число М > 0, что
	|/(ж)| ^ М для всех ж G X .

Гиперболические функции

Гиперболическими функциями называются следующие четыре функ­

ции:
1) гиперболический синус 2/ = sh ж, где shx = е	— (график этой

нечетной возрастающей функции изображен на рис. 69,а);

2) гиперболический	косинус у =	d ix,	где chx	= е	~^е—	(график
этой четной функции см. на рис. 69,б);
3) гиперболический	тангенс у =	thrr,	где thx	=	=	е^х ~ е_х

(график этой нечетной возрастающей функции см. на рис. 69,в);

4) гиперболический котангенс у = cthx, где cthx = sh х = е-~—-ее „

(график этой нечетной убывающей функции см. на рис. 69,г).

У

1

y= thx

О х

-1

в

Для гиперболических функций имеют место формулы, аналогичные (с точностью до знака) соответствующим формулам для обычных триго­ нометрических функций:

ch2 х — sh2 х = 1, ch 2х = ch2 х + sh2 х , ch(æ ± у) = ch х ch у ± shxshy,

sh(a- ± у ) = sh х ch y ± ch a; sh y и т. д.

Неявные и параметрически заданные функции

Формула у = f(x) определяет явный способ задания функции. Одна­ ко во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.

^Пусть данная функция определена на множестве D. Тогда, если каждое значение х £ D и соответствующее ему значе­ ние функции у удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F (x ; у) = 0, то говорят, что эта функция задана не­ явно уравнением F (x ; у) = 0. Сама функция в этом случае на­ зывается неявной функцией.

^Графиком уравнения F(x;y) = 0 называется множество всех точек координатной плоскости Оху, координаты которых удов­ летворяют этому уравнению.

Пусть на некотором множестве X С R заданы две функции х = x(t) и у = y(t). Тогда множество всех точек на плоскости Оху с координа­ тами (x(t),y(t)), где t G X , называется кривой (или линией), заданной параметрически.

Если кривая, заданная параметрически, является графиком некото­ рой функции у = f(x ), то эта функция также называется функцией, за­ данной параметрически (или параметрически заданной).

6 .1 .1 .	Найти области определения функций:
	! ) /( * ) = â f i l ;
	2) f(x ) = у/Ъ - Зх;
	3) /(х ) = 1п(х + 2).
	О	1) Дробь Щ		}	определена, если ее знаменатель не ра-
			х	— 1
	вен нулю. Поэтому область определения данной функции на­
	ходится из условия х2 - 1 ф 0, т.е. х ф ±1 . Таким образом,
	D (f) = (—оо; - 1 ) U ( - 1; 1) U (1; +оо).
		2) Функция /(х )			= у/Ъ —Зх определена, если подкоренное
	выражение неотрицательно, т.е. 5 — Зх ^ 0. Отсюда х ^ |, и,
	значит, D (f) =			(-о о ; |].
		3) Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно
	быть положительным, поэтому функция 1п(х + 2) определена в
	том и только в том случае, когда х + 2 > 0, т. е. х > —2. Значит,
	£ ( / ) = ( - 2; +оо).				•
6 .1.2 .	Найти области определения функций:
	1)	f i x) =	2 * + arcsin		+
	2)	/(® ) =	з/п ^	9	^COS 2х.
			V 2х -	х2

О 1) Функция а®, а > 0 определена при всех действительных
значениях я, поэтому функция 2 * определена в точности при
тех значениях я, при которых имеет смысл выражение —, т.е.
при я ф 0.
Далее, область определения второго слагаемого находим из
двойного неравенства — 1 ^ --	^ 1. Отсюда —3 ^ я 4- 2 ^ 3,
т.е. —5 ^ я ^ 1.

Область определения функции /(я ) есть пересечение обла­

стей определения обоих слагаехмых, откуда £ )(/) = [—5; 0)U (0; 1].

2)

Функция 7 cos 2я определена при всех действительных

значениях я, а функция

3/ ^

— лишь при тех значени-

V 2я — я2

ях я, при которых 2я — я2 ф 0, т. е. при я ф 0, я ф 2.

Таким образом, D (f) = (-о о; 0) U (0; 2) U (2; 4-оо).

•

Найти области определения функций:

6.1.3.

/( * )

-

6 .1 .4 .

/ ( l )

=

sinR ^ 2 ‘

6.1.5.

f(x) = log3(—ж).

6 .1 .6 .

f(x) =

</x2 - 7 x

+ 10.

6.1.7.

f(x) = x2 + tgæ.

6 .1 .8 .

f(x ) = \/x —7 +

\/10 - x.

6Л’9 -

f{x) = T ^ 2 \ -

6 Л Л 0 -

№

= < Æ + î + ÿ ^ -

6.1.11.

/(я )

=

e

•log2(2 - Зя).

6.1.12.

/(я )

=

агссоБ(я - 2) - 1п(я - 2).

6.1.13.

Найти множества значений функций:

1) f(x)

= X2 + 4 я + 1;

2) / ( я ) = 2*2;

3) /(я )

=

3 - 5 cos я.

О

1) Так как я2 4- 4я + 1 =

(я 4- 2)2 -

3, а (я + 2)2 ^ 0 для

всех значений я, то /(я )

^ - 3

для всех я. Поскольку к тому

же функция (я 4- 2)2 принимает все значения от 0 до оо, то

£ ( / ) =

[-3;+ o o ).

2) Е {я2) =

[0;+оо), поэтому множество значений функции

2х

совпадает с множеством значений функции 2х при я ^

0.

Отсюда E (f) =

[1; 4-оо).

3) Е (cos я)

= [—1; 1], откуда E

( - 5 COS.T ) = [-5 ; 5]. Так как

/(я )

=

- 5

cos я 4- 3, то E (f) = [ - 2; 8].

•

Найти множество значений функций:

6 .1 .14 .		/(я )	=	ж2 -	8я + 20.	6.1.15.	f ( x ) = 3-**
6 .1 .16 .		f(x) =		2 sin х —7.		6.1.17.	/ ( i ) =	i + 4.
6	.1 .18 .	f(x)	=	ia rc tg x .		6.1 .19 .	/(я ) =	\/5 — ж + 2.
6	.1.20.	Для функции f(x) =				^ найти:
		1) / ( 0);				'	2) / ( - 2);
		3)	fW 2);				4) /( - я ) ;
		5 ) /( А ) ;					6) Д а + 1);
		7)	/(а ) +		1;		8) / ( 2.т).

О1)-3). Подставляя значение х = 0 в аналитическое выраже-

АI О

ние для данной функции, получим: / ( 0) =		= —3. Ана-
логично находим / ( - 2) =	= ^> Д \/2) =	^ ^ 2^	=

=\/2 + 3.

4)-6). Для того, чтобы найти / ( —ж), надо формально заме­

	нить х в формуле для /(.т) на —я. Тогда f ( —x) =								=
							i	(“ ®)“ - 1
	= А —	Точно так же найдем f ( - )				=	-д ^ ^		1 —•£*"
	X** — 1				2»	(~)		_ 1
	7) Д а) + 1		_ о 4- 3 1 2 _от а			2
			а- -	1	а2 —1
	8) / ( 2х) =		2я + 3	_	2х + 3
			(2х)2 -	1	4я^ - 1 '
	Для функции /(я ) = я3 •2х найти:
	1) / ( 1);				2 ) / ( - 3 ) ;
	3) H - V 5 );				4) / ( - * ) ;
	5) Д ЗД ;				6 ) /(!>
	Г)				8) / ( 6 -		2).
	Ш '
6 .1.2 2 .	Для функции <p(t) =				найти:
	1) Д -1);
	2) Д -5 );
	3) Д §);
	4) Д г + 3);
	5) tp(2t -	1).