книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

БОКОВОЙ ПРОГИБ РЕЛЬСОВ

Хорошо известно, что при определенных условиях колеса локомотива оказывают на рельс не только вертикальное, но и значительное боковое давление, поэтому изучение бокового прогиба рельсов при таких условиях важно для практики. Пусть единичная боковая нагрузка Н действует на рельс (рис. 4). Легко увидеть, что при действии такой нагрузки в рельсе

возникает не только боковой прогиб, но
и кручение, а также			носящий местный
характер изгиб в головке рельса.
Кручение рельса. Если рельс со сво­
бодными концами подвергается действию
двух равных и противоположно направ­
ленных крутящих моментов Мт, то угол
закручивания может быть вычислен					из
известного выражения
		0 = МТЦС,			(6)
в котором		С — жесткость		рельса 1
кручение.
Если концы рельса держать закреп­
ленными, а крутящий момент 2Мт при­
ложить в среднем поперечном сечении
(рис. 5), то кручение			рельса будет		со-
лровождаться изгибом головки и подо-						/ N
швы рельса.			поперечном сече-­
В	произвольном					^ 'Tz
нии,	расположенном		на	расстоянии	х	рис 4#
от середины рельса,			крутящий момент
Мт будет		передаваться частично в форме чистого кручения и частично в

форме изгиба головки и подошвы рельса. Пусть Мг и М2 представляют со­

бой соответственно первую и вторую составляющие, а через	0 обозначен
угол закручивания, показанный на рис. 6. Тогда получим
Мг = — CdQ/dx.	(7)

Составляющая М2 представлена на рис. 6 моментом Q/i, где через Q обозна­ чена поперечная сила, возникающая при изгибе головки и подошвы рельса.

aft — расстояние между центрами	тяжести сечений	головки	и подо­
швы. Если пренебречь изгибом шейки, то положение		центра кручения О
будет определяться расстояниями,	выраженными следующим		образом:

1 Проведенные испытания показали, что для рельса известная приближенная формула Сен-Венана С = F*G/4QIP, где F — площадь поперечного сечения; G — модуль сдвига;

— полярный момент инерции, дает слишком большое значение для С.

ht = ft/2/(/1 + / 2); h2 = /i/1/(/1 + / 2), где / х и / 2 обозначают соответственно моменты инерции сечений головки и подошвы рельса.

Поперечную силу Q тогда можно определить из известного уравнения

Q =	= £ /Л		d3Q
			dx?
которое дает			d*Q
						(8)
			dx?
Если ввести обозначение	EIJJiK + / 2) =			D,	то дифференциальное
уравнение кручения примет вид
Мг = М1 +	М2 = - С - ^ - +		т	2^	- .	(9)
	Решение этого		уравнения для очень длин­
	ного рельса будет
	-W = — ^ f ( ' - e - yX)>					00)
	где у = V CIDh2.
	Для проверки уравнения (9) были про­
	деланы эксперименты по кручению рель­
	сов. Общая схема этих экспериментов пока­
	зана на рис. 7, на котором видно,					как был
	приложен крутящий				момент в поперечном
	сечении,	расположенном посредине. Углы
	кручения	замерялись оптическим				методом.
	Испытания дали			результаты, которые хо­
	рошо согласовывались с уравнением (10).
	Совместный			изгиб и кручение рельса.

Теперь рассмотрим совместный изгиб и кручение рельса, вызванные одной боковой силой Н (см. рис. 4). Эту силу можно заменить силой Я, приложенной в центре

кручения О, и моментом Не. Если опять рассматривать рельс как стержень, присоединенный к однородному упругому основанию, то при этом вдоль подо­ швы прогнувшегося рельса будут иметь место непрерывно распределенные реактивные силы q и реактивные моменты т . В последующем обсуждении принимается, что, во-первых, угол кручения рельса с произвольным по­ перечным сечением пропорционален т и, во-вторых, боковой прогиб подо­ швы рельса пропорционален q. На основе этих допущений имеем выражения

т = К10;	(И)
Я= КЛУ-№,	( 12)

в которых Кг — модуль основания, соответствующий кручению, т. е. кру­ тящий момент на единицу длины рельса, необходимый для поворота рельса относительно продольной оси на угол 1 рад\ Къ — модуль основания, со­ ответствующий боковому прогибу, т. е. боковая нагрузка на единицу дли­ ны, необходимая для бокового прогиба подошвы рельса, равного единице; у — боковой прогиб центра кручения рельса. Другие обозначения показаны на рис. 4.

Рассматривая отдельный элемент рельса длиной dx (см. рис. 5), можно получить следующие уравнения равновесия при кручении:

dMT

— , dx = qfdx — mdx

ние к

0 = Я 10—7 (11,8е~°’037х — 5,58в—°-0705дс: + 2,43а- *0’0218* sin 0,0212* +

+ О.ЗЗЗе- 0 -0218* cos 0,0212л).

у/Н107,сп/кг

240

200
160
120
80
40
					\
0	20	40	60	80	100к,сп
			а
						Рис. 8.
	Боковой прогиб рельса будет
	У1 =	у +	Ое = Н ■10		7 ( 160е	°-037л: _ 63,8е- 0 '0705* + 136е—00218дг sin 0,0212л +
					+	139е-°-0218* cos 0,0212л).

Кривая бокового прогиба головки рельса показана на рис. 8, а, а диаграмма распре­ деления изгибающего момента — на рис. 8, б.

Приложение. Для того чтобы получить вертикальную и боковую компоненты давле­ ния колеса на рельс в условиях эксплуатации, необходимо произвести измерение напря­ жения в трех волокнах, как показано на рис. 9. Лег­

ко видеть, что среднее напряжение в точках а и Ъне
влияет на боковой	прогиб или кручение и может			быть
использовано для	вычисления вертикальной		нагрузки
Р. Напряжение в точке с будет		зависеть	как	от Р,
так и от Я. За вычетом влияния Р		оставшаяся		часть,
т. е. (с) — [(а) +	(b)] m/2n, может быть использована

для расчета боковой силы Я.

Для получения достаточных данных для расчета по приведенной выше теории вертикального и гори­ зонтального воздействия движущегося локомотива на рельсовую колею необходимо произвести только сле­

дующие	два	предварительные статические испытания
в условиях		эксплуатации. Измерения вертикальных
прогибов	и напряжений, вызванных силой Р в точках

а, Ъи с (см. рис. 9), должны быть проведены совместно с измерениями бокового прогиба и напряжений, вызы­

ваемых боковой силой	Я в тех же самых точках	а, b
и с, при нагружении	вертикально направленной	си­
лой Р.

Эксперименты, проведенные в условиях эксплуатации, показали, что схема измерении напряжений, показанная на рис. 9, в сочетании с методом расчета вертикальной и боковой сил, основанном на этих измерениях, вполне достаточна для получения полной картины действия локомотива на рельсовую колею.

1 Эти расчеты были выполнены по просьбе автора сотрудником исследовательского отдела Д. ден Гартогом.

ДИНАМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В РЕЛЬСОВОЙ КОЛЕЕ

Динамический прогиб рельса и динамические напряжения, возникаю­ щие при действии движущихся колес локомотива, могут оказаться намного больше, чем те, что были подсчитаны по приведенным выше формулам ста­ тики. Существуют различные причины, вызывающие такое увеличение про­ гиба и напряжения. Некоторые причины объединены в три группы и приво­ дятся ниже:

а) изменение усилий, действующих на рельс, вызванное влиянием под­ рессоренных сил, действующих на колеса; вертикальная составляющая

центробежной силы от противовеса и
вертикальная составляющая		усилий
от присоединенного шатуна;
б) различного рода несовершенст­
ва в формах колеса или рельса такие,
как, например, плоские участки на
ободах, пологие	впадины на	рельсе
и разрывы непрерывности в рельсовых
стыках;	рельсов от движу­
в) колебания			Рис. 10.
щихся нагрузок.

При обсуждении первой группы причин следует отметить, что соответ­ ствующие периодические силы имеют более низкую частоту по сравнению с частотой колебания колеса на рельсе, поэтому учет их влияния на проги­ бы и напряжения в рельсах может быть подсчитан с незначительной ошиб­ кой по уравнениям статики.

Напряжения, вызываемые в железнодорожной колее из-за пологих впадин, могут быть подсчитаны следующим образом.

Пусть г] — переменная глубина пологой впадины (рис. 10); Wlq — постоянная масса, приходящаяся на колеса; у — прогиб рельса под коле­

сом; а = 2/<7Р — вертикальная					нагрузка,		необходимая для того,				чтобы
вызвать прогиб, равный единице [см. формулу (3)].								колеса	в вертикальном
Тогда дифференциальное				уравнение движения
направлении	будет			А		d2y .				dh1	/1СЧ
W	d2(y +	r\)	f Щ =		W			W
g	dt“			0	или —— Jr + a y = ----- -—					at2	(15)
			■		g	dt2	' ^	g

Если форма пологой впадины и скорость локомотива известны, то т) можно легко выразить как функцию от времени. Положим, например, что форма пологой впадины представлена следующим выражением:

Л =	“ 2“ \!	— c°s -	2лх	(16)
в котором I — длина пологой	впадины; X— глубина впадины посередине
ее длины и в начальный момент (t =		0), когда точка контакта колеса с рель­

сом совпадает с началом пологой впадины. Тогда, обозначив через v постоян­

ную скорость локомотива, получим				х =	vt.	Подставляя это выражение
в формулу (16), получаем такие зависимости:
	к	1,	_		2лvt \
	T1= _	^		cos_ _ j :
W	cfr)		W	X	4л2и2	2лvt
g	dt2		g	2	l2	■COS-----:-----

Теперь из уравнения (15) можно получить

где т = 2n V'W/ag — период колебания колеса на рельсе, = // о — вре-

мя прохождения колеса по пологой впадине.

Видно, что дополнительный динамический прогиб пропорционален

глубине впадины X и зависит от величины отношения тг/т. Изменение этого прогиба в рельсе, нагруженного

				колесом,			в	интервале		време­
				ни	0 < / < т х для				различных
				отношений тх/т представлено на
				рис.		11,	где по горизонтальной
				оси отложена безразмерная дли­
				на	впадины.			заметить, что в тот
					Можно
				самый момент, когда колесо до­
				стигает края впадины, давления
				на	рельс		и	прогиб	начинают
				уменьшаться, а колесо						приоб­
				ретает ускорение, направленное
				вниз. Затем				начинается		замед­
				ление		этого движения и				увели­
чение давления и прогиба, как показано на рис. 11.							Величины		максималь­
ного прсгиба, подсчитанного по выражению (17)						для различных значений
отношения тА/т, даются ниже:
Vx	2	3/2	1	4/5	2/3	3/5		1/2
У т а х / Х	°>33	° ’ 6 5	* ’ 2 1	Ml	I»4 7	М5		1.33

Максимальный прогиб, равный 1,47Я, появляется при скорости, со­ ответствующей отношению тх/т = 2/3. Таким образом, сравнительно не­ большая пологая впадина дает при определенных скоростях очень существен­ ный динамический эффект, который добавляется к прогибу, найденному из статических условий с помощью выражения (3). Аналогичные результа­ ты могут быть получены для пологих выбоин различной формы.

В общем случае, который можно описать уравнением

W dh\

g

d t2

получим решение уравнения (15) в следующей общей форме: ti

(18)

о

Расчеты, проделанные для нескольких различных форм пологих впа­ дин, показали, что отношение Утах/у не зависит существенно от формы впадины, если она представляет собой непрерывную линию; данные, приве­ денные выше, могут быть использованы для приближенного учета соответ­ ствующих динамических эффектов.

Во всех приведенных рассуждениях массой колеблющейся части рельса пренебрегали по сравнению с массой колеса. Ошибка, возникающая при этом упрощении задачи, незначительна, если время xlf требующееся колесу для прохождения впадины, достаточно велико по сравнению с периодом

основного тона собственных колебаний рельса на упругом основании. Этот период может быть вычислен очень несложным способом, если принять во внимание, что основной тон колебаний относится к колебанию рельса как абсолютно жесткого тела в вертикальном направлении.

Пусть q — погонный вес рельса, К — модуль основания при изгибе в вертикальной плоскости. Статический прогиб рельса под действием соб­ ственного веса равен qlK, а период т2 основного тона колебаний будет

(19) Возьмем для примера рельс с погонным весом 59 кг и К = 105 кг/см3. Тогда

Приведенная выше теория учета динамического эффекта пологих впадин достаточно точна только для случая, когда тг велико по сравнению с т2.

Теперь рассмотрим колебания, вызываемые периодической вертикальной возбуждающей силой Р = Р0sin со/, действующей на рельс в данной точке (см. рис. 1). Дифференциальное уравнение колебания стержня на упругом основании будет 1

(20)

Рассмотрим вынужденные колебания рельса в форме

у = X sin со/,

где X — функция только от х, и, подставляя это выражение в уравнение (20), получаем

Отсюда видно, что прогиб рельса при динамических нагрузках можно вычислить тем же самым способом, что и при статических нагрузках [см. уравнение (1)], необходимо только взять вместо модуля основания К мень­ шую величину, равную

где т3 = 2л/со — период возмущающей силы.

Когда период т3 достаточно велик по сравнению с т2, различие между статическими и динамическими прогибами будет мало и этими различиями можно пренебречь.

Теперь рассмотрим прогиб рельса при действии постоянной вертикаль­ ной силы Рудвижущейся вдоль рельса с постоянной скоростью. Допустим, что рельс опирается по длине на сплошное упругое основание, а по краям — на жесткие опоры, как показано на рис. 12. Общее выражение для кривой прогибов может быть взято в форме тригонометрического ряда следующего вида:

лх	,	. 2лх ,	.	Злх .	(21)
У = <PiSin—Г	+	ф2 sm— ---- Ь ф з sm		— 1
				---- h

1 В последующих рассуждениях массой колеблющегося основания пренебрегают.

в котором Фх, ф2 и фз — обобщенные координаты системы. Кинетическая энергия системы будет

<2 2 >

О

Потенциальная энергия V системы состоит из двух частей: энергии изгиба

т,	EI [' (	d2y \2 1		Е1пА	4 2	(23)
= — .)			dx- - i f - J j		11ф*
Р				с	ж
					Р
'Ш М Ш .	\ Х			s 'Аш т ш т ш ш т ш \ S
L				х	i	Т
У					Рис.	13.
Рис. 12.
и энергии деформации	упругого		основания
		о		п=]		(24)

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение Лагранжа

	J L (J ?L \ _____JLd						+		J }L = ф„
		dt \ d(fn)			д(Рп		^		<3фл
и принимая во внимание тот факт,					что обобщенная сила, соответствующая
координате <рп, равна								nnvt
			Фп =		Р sin -
получаем									I
.	2g	I Е 1 п Ап*		,	/С/	\			2g	п • n n v t	(25)
<р» +	~w (—			+ — )Фп= - j r р sm—г •
Амплитуда соответствующих вынужденных колебаний1 будет
						sin -			nnvt
		2РР							/	I2
	<Ря — £/л4				/С/4
			л4 +		£ /JI4				g	Eln2
Подставляя это соотношение в уравнение (21), получаем следующее
выражение для динамического прогиба рельса:
			П=оо					ппх		nnvt
	_	2РР			Sin-----;----Sin -					l
			S.			К/4			/		(26)
у	~	Eln*							nivzq
			"П=1	1 4 .
				n	+	Eln*			g	Eln2

Если принять в этом уравнении v = 0 и vt = с, то можно получить кривую прогибов для статической силы Р, приложенной на расстоянии с от левой опоры (рис. 13).

1 Свободные колебания рельса под действием движущейся силы Р здесь не рассматри­ ваются. Предполагается, что они компенсируются начальными свободными колебаниями.

Для того чтобы сделать вывод о влиянии скорости v на величину про­ гиба, сравним кривую динамического прогиба (26) со статическим прогибом стержня, который дополнительно к изгибу силой Р сжимается силами S, как показано на рис. 13. Используя общее выражение (21) кривой прогиба, а также формулы (23) и (24), получаем формулу для потенциальной энергии

Е1п1

П = о о

ja

n=oo

V =

4Р

■2

«4Фп +

•4

2 чй.

(27)

п=\

п = 1

Работа, производимая сжимающими силами S при деформировании, будет

5_

(28)

2

Применяя принцип возможных перемещений, получаем

Я6фл sin -

5я 2

2

с

0V

=

(

£/я4 4

.

К1

\

2 /

« 2ф„бф„ = ^

( - 2 J - « 4ФП+

—

ФП/),

откуда

Фп =

2Р13

я/4

£/2

£/я4

£/я4

£/я2

Подставляя

в выражение

(21),

получаем следующее представление

для кривой прогибов:

2п = 1

.

ппс

.

пяд:

2Р13

sin— ;— sin — :—

(29)

КР

У = £/я4

п* +

S12

£ /я 4

EIri2

Сравнив это выражение с выражением (26) для вынужденных колебаний, можно сделать вывод, что скорость v движущейся силы Р влияет на прогиб так же, как дополнительная сжимающая сила S, определяемая зависимос­ тью

(30)

Этот вывод будет справедлив также для случая бесконечно длинного стержня и для случая рельсов может быть использован следующим обра­ зом. Хорошо известно, что в случае длинного стержня, лежащего на упругом основании, при значительном возрастании продольной сжимающей силы S могут быть достигнуты условия, при которых прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой и имеет место боковое выпучи­ вание.

Критическое значение сжимающей силы таковог:

SKP= 2 V K E l.

(31)

Влияние сжимающей силы S на прогиб длинного стержня под действием силы Р (рис. 13) зависит от отношения S/SKp = у, и можно вместо выраже­ ния (3) для максимального прогиба получить следующую зависимость:

	РР	1	(32)1
	~ 2Х	у \— у

1 Т и м о ш е н к о С. П. Курс теории упругости, ч. 2. Стержни и пластины. С.-Пе­ тербург (Сборник С.-Петербургского ин-та инженеров путей сообщения, том 92), 1916, стр. 135 [то же, Киев, «Наукова думка», 1972, стр. 283].

Из предыдущих рассуждений и зависимости (30) следует, что формула (32) может быть использована для расчета прогибов рельса, вызываемых вертикальной силой Р, движущейся со скоростью и, необходимо только подставить в него выражение у = v2/v2KPi где

Укр=	ч	= -Ц- VKET.	(33)
		ч

Можно заметить, что vKpстановится обычно очень большой по сравне­ нию со скоростью движения v и разница между прогибом, полученным по формуле (32), и статическим прогибом, полученным согласно выражению (3), будет очень мала. Возьмем для примера рельс с погонным весом 59 кг и положим К = 105 кг!см2утогда по формуле (33) получим скорость vKp = = 500 м/сек, т. е. в десять раз большую, чем наибольшая скорость движения локомотива, и поэтому разница между прогибами, выраженными формулами (32) и (3), будет всегда меньше 0,5% и для их вычисления можно использо­ вать уравнения статики.