книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

	1	2у
		h
	а2= М0
		ydd

Результаты расчетов для различных значений отношения Did приводятся в табл. 1.

В случае постоянного Т-образного поперечного сечения (рис. 3) следует применять формулу (1). В формулы (2) и (3) надо вместо /г/2 подставлять величину с2, которая равна расстоянию от внешнего контура кольца до его центра тяжести. Обозначив п = Ыб, т = = aid, получим

				1+ (л -1)		m2d2
				h
				2d 1 , /	n	md
				1+ (л— 1)					(4)
и
	У_	P — r _	P		(n — 1) m +		JL
	d	d	d	(n — l) ln ( l+ 2 m )			+ ln
							Таблица		1
	Did	2y/h		ot/a		<J2/(X		W "
	3	0,1796		1,50		2,33		3,83
	4	0,2238		1,33		1,93		3,26
	5	0,2574		1,25		1,83		3,08
	6	0,2838		1,20		1,83		3,03
	8	0,3239		1,14		1,95		3,09
	10	0,3536		U 1		2.19		3,30
								Т а б л и ц а 2
Did	cjd	PId		ct/d	V/d		otio	o2/o	°max/c
4	0,703	1,203		0,797	0,1935		1,25	1,31	2,56
5	0,953	1,453		1,047	0,2907		1,19	1,34	2,53
6	1,202	1,702		1,298	0,3956		1,15	1,41	2,56

° l	6oD	^	М0	2 (сг — у)
	W	'	~ Fy	d
где F — площадь поперечного	сечения.		величин отношения		D/d при п — И, т = 0,01
Результаты расчетов для различных
			приведены в табл. 2.
			Когда т мало, можно вместо формул (3) и
			(4) использовать следующие приближенные выра­
			жения:	h		md
				2d	l - ( n -	1) ~
			_V_		(n — \) m -\— —		(5)
			d	2m (n — 1) + In (^ )
			в которых величины т и п —			1 входят	только в
			форме	произведения, т. е. напряжение			зависит
			от площади поперечного сечения подкрепляюще­

го кольца.

Если рассматривать величину т в качестве постоянной, а изменять только п при Did ==

=5, получим результаты, приведенные в табл. 3.

Вслучае усиления контура отверстия двумя стальными уголковыми профилями попе­ речное сечение вырезанного кольца будет иметь вид, показанный на рис. 4.

						Т а б л и ц а 3
						i
п — 1	cjd	РId	V/d	c2/d	OJG	а2/а	"max/*7
20	0,9095	1,4095	0,312	1,0905	1,14	1,03	2,17
30	0,8703	1,3702	0,326	1,1297	1,09	0,81	1,90
40	0,8342	1,3342	0.334	1,1658	1,04	0,65	1,69
50	0,8010	1,3010	0,339	1,1990	1,00	0,53	1,53

Используя следующие обозначения: п =									-м., —,
		I I	/		n m2rf2			• («i-		D--------------------
	сх _	1+		(л— 1)		Л2
		h									(4')
	~Т~~2Т			1 +	m (п —		1)		+ mx (fit — 1)
V_ =	_P				-~г +		(П— 1) m +			{пг — 1) mx
d	d	(п — 1) In (1 +			2m) +		(пг —		1) In	1 2т -{- 2тг	+ 1" ( т )
										1 -f* 2т

Для случая	mA— 0 или nx =	1 подставляем (4') и (5') в формулы (4) и (5).
В особом случае, когда п =		21, пх = 3,	т = 0,01,	тх = 0,1, Did == 5, найдем
dd	0,8388, уId == 0,323, ог =		1,04о, а2 =	0,69а, omax = 1,73а.

О ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ПРОГИБЕ, ВЫЗВАННОМ СДВИГОМ

On the additional	deflexion due to shearing. Glasnik	Hrvatskoga drustva,
Zagreb,	1921, godina 33, I polovina, N	1, str. 50—52.

В задаче Сен-Венана, как известно, дополнительный прогиб зависит от условий на закрепленном конце. Если элемент, расположенный вблизи центра тяжести соответствующего поперечного сечения, находится в вер­ тикальном положении, то дополнительный прогиб будет равен у/, где у — сдвиг в этом элементе, а / — длина балки. Для случая, изображенного на рисунке, поперечное сечение, расположенное в середине пролета, остается плоским вследствие симметричности, а «местная нерегулярность» имеет место только вблизи этого поперечного сечения. Для случая поперечного сечения в форме узкого прямоугольника дополнительный прогиб может

3	9	pi
быть взят равным1 — yl = —		^-Q- •Ниже будет дан приближенный метод

расчета дополнительного прогиба, вызванного сдвигом и местной нерегу­ лярностью в случае поперечного сечения в форме узкого прямоугольника. Будут использованы такие выражения для составляющих напряженного состояния, которые удовлетворяют уравнениям равновесия в напряже­ ниях, а постоянные, которые содержатся в этих выражениях, будут подо­ браны таким образом, чтобы обеспечить минимум потенциальной энергии. Граничные условия будут удовлетворены, если для напряжений принять следующие выражения:

Хх = - ^ - ( 1 - х ) у + а2е~ах (2Оу3- 12с2*,);

х д = — у 2) + а2ае ах(%4+ 6у2с2 + с4); ( 1)

Уу = а2а*е-ах(у * - с Г у .

Члены, содержащие коэффициент а19 соответствуют решению Сен-Венана, а остальные члены вводятся для того, чтобы определить местную нерегуляр­ ность. Постоянные а2 и а выбираются указанным выше образом.

1 F i 1 о n L. N. G. On the approximate solution the bending of a beam of rectangular cross-section under any system of load, with special reference to points of concentrated or dis­ continuous loading. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Ser. A, 1903, vol. 201, N 334, p. 65— 154.

Представление (1) вводится в выражение для энергии

v = -W И	- 2vX*y * + У2у + 2 (1 + V) Х У}2 dxdy.
Учитывая, что

I

e~axdx = —

,

а

•

получаем

8

2 Р

,

.

1/

1

(

6 4

с1

128

о ц

,

6 4

8

/3

2

9 Ту—g- aic11а3---- у—5 3

■vajOjC5 (la — 1)+

V ~ 2Е

{

9 Cl с “*■

7

“ 2

а

11

+

"9T f ~5~ vfl2C9a +

2 (1 + v) (-}g- a\cl +

- ^

T

a^ a ~ 7

7 -3 а1агсЪ)\ (3)

Из условия минимума получим уравнения

2 +

v

3 -1 2 8

7

ч4 ,

2

128

. o x , \о

64

2v

11

9

7

5

^

9 - 7 - 5 ^

+

2v) (а с )“

у-

(4)

(5)

Из соотношения (4) можно получить значения //2с, соответствующие заданным значениям ас. Из таблицы можно видеть, что изменения ас малы1 по сравнению с изменением величины //2с. Подставив величины а и с в вы­ ражение (3) и приравняв потенциальную энергию V работе изгибающей

силы Pfl2, получим прогиб в						|1 тс |
форме	Р/3	6	Р1		ас		т	1	.
f					6	4 ,3 9	0 ,0 3 6 3	0 ,0 2 2	0 ,0 1 9
	2 £ с 3 +	5	2Gc
					6 ,5	8 ,7 4	0 ,0 3 1 7	0 ,0 1 9	0 ,0 2 0
— /г Р1			РГ-	(6)
					7 ,0 7	о о	—	—	—
					7	7 2 ,0	0 ,0 2 7 9	0 ,0 1 7	0 ,0 2 0
	2Gc	Q	2Ес*

где

122 + v

=- з г т т т " 1-

9	m
q ~ ~	~ас -Т Г 5 Г Т v ( ^		) 2 - m [ l i	.- 9 2 8 7 . 5 {аС? +
	2(1 +	2v) 128	(ос)2 +	j| .
	9	7 - 5

1 При расчетах коэффициент Пуассона v полагался равным 1/4.

Некоторые значения п и q		приведены в	таблице.	Члены,	содержащие
коэффициенты п и qy очень малы, поэтому			приближенно можно принять
п = 0,02; q = 0,02.	Тогда
'	- W	( 1 + 3'07 T! -	- 0-02T	)-	<*>

Второй член в скобках описывает влияние сдвига. Здесь он имеет не­ сколько большее значение, чем в приведенной выше работе Л. Файлона.

Третий член отражает влияние «местной нерегулярности» на прогиб балки. Если обратить внимание на то, что расстояние, на котором ощущает­ ся проявление «местной нерегулярности», имеет порядок величины с и что местные напряжения имеют тот же порядок, что и напряжения, соответствую­ щие решению Сен-Венана, можно сразу же сделать вывод, что соответствую­ щий дополнительный прогиб должен иметь порядок с!1. Этот прогиб, не­ сомненно, зависит от характера распределения по поперечному сечению нагрузки 2Я, что не учтено предложенным методом приближенного решения.

Следует отметить также, что точность приближенного решения можно повысить, увеличив число членов в выражении (1) для напряжений.

КУЧЕТУ СДВИГА

ВДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ 1

On the correction for shear of the differential equation for transverse vibra­ tions of prismatic bars. Philosophical Magazine and Journal of Science, ser. 6, 1921, vol. 41, May, N 245, p. 744— 746. Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. New York — London — Toronto, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd, 1953, p. 288—290.

При изучении поперечных колебаний призматических стержней обычно исходят из дифференциального уравнения

Eh	дху	рF	д2ц	= 0,	(i)
	дх*	g	dt2

в котором EI означает изгибную жесткость стержня, F — площадь попереч­ ного сечения, p/g— плотность материала.

В случае, когда принимается во внимание инерция вращения, уравне­ ние имеет вид

	р г д*у	/р	д*у	РF	д2у _	0	(2)
	дх*	g	dx2dt2	g	dt2	и

Покажем, как можно учесть влияние сдвига при исследовании попереч­ ных колебаний, и выведем общее уравнение колебаний, из которого урав­ нения (1) и (2) могут быть получены как частные случаи.

Пусть abed (см. рисунок) есть элемент призматического стержня, ограни­ ченный двумя смежными поперечными сечениями; М и Q означают соот­ ветственно изгибающий момент и поперечную силу. Положение элемента в процессе колебаний будет определяться перемещением центра тяжести и углом поворота ср в плоскости (х, у), ось Ох может быть принята совпадаю­ щей с начальным положением оси стержня.

Угол между касательной к кривой, в которую изгибается ось стержня (линия прогиба), и осью Ох будет отличаться от угла ср на угол сдвига у.

Следовательно, для очень малых прогибов можно записать
	дх = ф + у-		(3)
Для определения М и	Q имеем известные	выражения
Л* =	Q = XGFy = XGF	ср) ,	(4)

где G — модуль упругости при сдвиге материала стержня, а X— постоян­ ная, которая зависит от формы поперечного сечения.

1 Представлено Р. Саутсвеллом.

Уравнения движения будут иметь теперь следующий вид: для вращения

дМ

j

,

г\л..

р/

d2cp

-dx%

dx

■dx +1

Qdx =

g

dt2

или, если ввести

в него

значения

величин из соотношений (4),

д2Ф

,

'ьпк I дУ

Р7

^2Ф

= 0,

g

Л*

для поступательного движения в направлении Ог/

dQ

djt =

pF d2y

dx,

cto:

g

dt2

или

р/7

d2*/

d2y

£

d/2 — XGF (

dx2

Исключая ф из (5) и (6), получаем искомое уравнение в форме

д*у

_РL

д2у

р/

+1 •ж)AG /

d4y

р2/

а/4

0.

(7)

Е1 dx4

g

dt2

g

d * w

• g2XG

=

Вводя обозначения ElglpF = a 2, //F

=

/г2, можно записать

уравнение

(7) в форме1

v2

fry

,

д2у

_

& ( j I JL\

fry _j_

fe2P

fry

= 0.

(8)

o r

dx4

'

ot2

"

[ л

1

KGX )J

dx2dt2

1

g X G d t 4

Для того чтобы оценить влияние сдвига на частоту колебаний,

рассмот­

рим случай

шарнирно опертого

призматического стержня. Предположим,

что тип колебания определяется зависимостью

у =

Y sin

/

■cos pm ,

(9)

где / представляет собою длину стержня, а рт— искомую частоту. Подстав­ ляя (9) в уравнение (8), получаем для частоты следующее уравнение:

а	т4п4	Рт-	m2n2k2		XG ) ит '	gXG	Рт = 0 .	( 10)
	I*	ит	Р	(* ■"*"
Если в левой части этого уравнения сохраняются только два члена [что
будет соответствовать		уравнению (1)], то имеем
			Рш =	“	ал-			( П )
					~1Т

где L = Пт — длина волны.

Сохраняя в уравнении (10) первые три члена (т. е. пренебрегая членами,

содержащими X), находим	приближенно
	ал 2	/ .	1	n2k2	\	/IO
Р™	L2	(	2	L2	)	’

что соответствует уравнению (2), в котором принята во внимание инерция вращения. Используя полное уравнение (10) и пренебрегая малыми втого порядка, приближенно получаем

L2	1—	1	л2/г2	(1+ тИ]	( 13)
		2	L2		отсюда ви­
Принимая значения X = 2/3,		Е =	8G/3, имеем E/XG = 4,

дим, что поправка на сдвиг в четыре раза больше, чем поправка на инерцию вращения. Величина поправки увеличивается с уменьшением длины волны L, т. е. с увеличением т.

Лето 1920г.

О ДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА РЕЛЬСЫ

Etude de Taction des charges roulantes sur le rails. Le Genie Civil, 1921, December, 24, N 2054, t. 79, N 26, p. 555— 556.

Задача об изгибе рельса под действием колес поезда может быть упро­ щена, если рассматривать рельс как стержень бесконечной длины, лежащий на сплошном упругом основании. Пусть D — величина двух вертикальных сил, которые будут приложены к шпале в точке крепления ее к рельсу и вызывают оседание этой шпалы, равное 1 см, а / — расстояние между осями шпал. Податливость упругого основания будет определяться величиной k — = Dll. Рассмотрим случай действия вертикальной силы Р. Если взять ось х в направлении оси рельса и ось у в направлении силы Р, то для линии прогибов получим известное выражение

у =	POL		(1)
	—е~'lx (cos ах -f sin ах),
4 у
где а = у &/4EI\ Е — модуль упругости или модуль Юнга41.
Выражение для изгибающего момента имеет вид
М = — El	d \	е~~ах (cos ах — sin ах).	( 2)

Используя принцип наложения (действия сил), можно легко найти с по­ мощью выражений (1) и (2) зависимости для у и М в случае действия какойлибо комбинации вертикальных сил. Если ограничимся одной силой, полу­ чим следующие формулы:

Мтах = PI4а, утах =				Pa/2k.	(3)
Значение, соответствующее	максимальному			напряжению,	равно
а =	Мmax	рр	*гш ~		(4)
	W	4F	V	D ’
где F — площадь поперечного сечения		рельса и р = F-\fII W.

Для геометрически подобных сечений величина (J остается постоянной, так как она зависит от нулевой степени продольной координаты; тогда, со­ гласно формуле (4), можно заключить, что максимальное напряжение об­ ратно пропорционально F, т. е. обратно пропорционально весу рельса.

1 F 6 р р I A. Resistance des materaux et elements de la theorie mathematique de l’elasticitd. Paris, Gauthier — Vi liars, 1901, 489 p.; см. стр. 238.

Максимальное давление R, передаваемое со стороны шпалы на рельс1, может быть вычислено по приближенной формуле

n	Ui	Pal		Р	/сч
^тах — klym?ix —			-	— — у ~Щ]~	(5)
Отсюда видно, что давление зависит главным образом от расстояния /
между шпалами.	прогибы	рельса	под действием движущихся нагрузок
Динамические

часто значительно превышают те, которые могут быть найдены из формулы (1), соответствующей статическому случаю. Причины, которые обусловлены динамикой и вызывают увеличение этих прогибов, могут быть следующими: 1) изменение усилий, которые действуют на колесо, например изменение подрессоренных сил, изменение вертикальных составляющих центробежной силы от противовесов; 2) неправильности в форме окружности колеса и на поверхности рельса; 3) колебание рельса.

Динамические прогибы, вызванные первыми двумя причинами, могут быть вычислены без труда, если рассматривать рельс как невесомый стер­ жень, лежащий на упругом основании.

Если формы колес и поверхность рельса абсолютно правильные, то вер­ тикальные перемещения колеса равны прогибу рельса и тогда уравнение,

описывающее движение колеса, примет вид
в №	«5)

где q — вес колеса; Q — вертикальная сила, действующая на колесо и пред­ ставляющая собой собственный вес колеса, подрессоренные силы и в некото­ рых случаях силы инерции от противовесов и других движущихся частей локомотива, а также вертикальную составляющую усилий от присоединен­ ного шатуна.

Если предположить, что Q = 0, то можно определить свободные коле­

бания	колеса на рельсе. Период	этих колебаний равен	Т =	2n]/rX/gJ
где А, =	aq!2k представляет собой статический прогиб рельса под действием
веса колеса. В обычных условиях		величина Т колеблется	между 1/20 и
1/30 сек.				период Т,
Чтобы приближенно учесть влияние массы рельса на этот

нужно в уравнении (6) прибавить к весу колеса q приведенный вес рельса2. Если через р обозначить вес единицы длины рельса и если у имеет значение, взятое в соответствии с выражением (1), то приведенный вес можно выразить следующим соотношением:

р j е~2ах (cos a* -f sin ах)2 dx = Зр/2а.

Прогиб рельса, соответствующий постоянной части силы (собственный вес колеса и подрессоренная сила), может быть вычислен по формуле (3). Вертикальная составляющая сил инерции от противовесов может быть вы­ ражена таким образом: q1co$>2ntlT1, где Тг — продолжительность одного оборота колеса. Соответствующий прогиб ух примет вид

Уг = <*7i2k

(7)

1	Так сказать, часть веса рельса, участвующая в этих колебаниях.
2	Часть полного веса рельса, которая принимает участие в колебаниях.

Так как Тг обычно в 4 — 5 раз больше Т, можно сделать вывод, что динамический прогиб (7) очень мало отличается от прогиба, найденного из условий статики по формуле (3). Для случая действия сил, имеющих период ТУ2 (сила инерции поршня), влияние динамики будет более заметно.

Если на окружности колеса или на поверхности рельса имеются не­ правильности, то вертикальные перемещения колеса не будут равны про­ гибу у рельса. Допустим, что rj — переменная глубина впадины на поверх­

ности рельса. Тогда перемещения колеса будут равны у +					т),	а	соответ­
ствующее уравнение движения колеса примет вид
_q_ д2 (у + ф		2к_	Q				(
g	дР	' а ^					'
Сопоставляя уравнение (8) с уравнением (6), можно заключить, что
действие впадины на поверхности рельса такое			же, как	и	действие вер-
тикальной переменной силы, задаваемой выражением ср (t)				=	—	q	d2\]
						g	dt2-.06-

щее выражение для колебаний, обусловленных этой силой, будет следующее:

У _ Т	g f m „ , e5ri	2 я (t — гг)	-dti,	(9)
2л	У (уsin

где время t±отсчитывается с момента начала прохождения колеса по впадине рельса.

Переменная глубина этой впадины может быть выражена следующим

образом:		I I -	Л 1 .1	\
	л =	f 11	2л*
		^ _ ^ _ с°5_ - )		( 10)
где а — длина впадины;	/ — максимальная ее глубина.
Пусть v — скорость поезда и Т2 =			a/v — продолжительность пробега
по впадине. Считая, что лс	=	vt, можно вычислить из зависимости (9) сле­

дующее выражение для прогиба рельса, вызванного впадиной на его по­ верхности:

f	1	/	2лt	2nt \	(11)
У = ^Г	1 — (Г./Г)2	(cos ~ Т г		cos -jT-J •

Влияние этой впадины зависит не только от ее профиля и глубины, но также и от соотношения между Т2 и Т. В момент входа колеса во впадину давление на рельс уменьшается и колесо приобретает вертикальную ско­ рость, направленную вниз. Из-за наличия этой скорости по истечении ка­ кого-то времени давление на рельс значительно возрастет. Если, например,

Т2 = 772,		то по выражению (11)	можно найти ymin=— 0,75/при t =
=	0,427\> и	r/max = 1,33/ при t = Т2. При Т2 = 2773 можно найти ymin =
=	—0,64/,	когда t = 0,385Г2, и утах	= 1,47/, когда t = 0,92Т2. Если пред­

положить, что отрицательные прогибы гораздо меньше положительных про­ гибов, вызванных постоянным давлением, то в этом случае можно рассмат­ ривать отрыв рельса от упругого основания. Величина максимальных положительных прогибов, вызванных действием впадины на рельс, будет при­ мерно в 1,5 раза больше, чем глубина этой впадины. Для других профилен впадин были найдены почти такие же соотношения. Определив r/max, можно легко найти по формулам (3) и (4) давление и соответствующие напряжения.

Влияние неровностей самого колеса, обусловленных главным образом его износом, определяется таким же образом. Аналогичным образом с по­ мощью общего выражения (9) может быть учтено влияние воздействия этих неровностей, периодически повторяющегося при вращении колес.

В рассмотренном случае, в котором использовалась зависимость (10), предполагалась непрерывность перехода контура впадины в поверхность