книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

= Э3 w/bx3 и 1 /Ру = Ь3 w/by3 - относительные кривизны при изгибе; 1/РХу = w/(bxb y) - относительная кривизна при кручении.

Два первых уравнения (1.139) аналогичны дифференциальному уравнению изгиба балки:

М = - E J v "

Как видим, все перемещения, деформации, напряжения и внутрен­ ние силы выражаются через функцию прогибов w = w(x, у ) у поэтому эта функция называется разрешающей.

Расчет пластины при действии поперечной нагрузки. Рассмотрим пластину произвольной формы, нагруженную перпендикулярно ее плоскости. Для составления дифференциального уравнения, связываю­ щего прогиб w(x, у) с нагрузкой q(x, у ), вырежем элемент пластины dx х dy х hyобозначенный на рис. 1.54, г только срединной плоскостью dx и dy. К этому элементу приложим внешнюю силу qdxdy и действую­ щие по его граням внутренние силы (поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты), учитывая, что при приращении координат х н у они также получат соответствующие приращения. Из условий равнове­ сия элемента: 2Z = 0; 2 Л/* = 0; ЪМу = 0 получим дифференциальные зависимости между внутренними силами и интенсивностью нагрузки

я(х, у ) :

bQx !bx	+	dQy/Ъу = - q ;
Ш х 1Ъх +		ЪМх у !Ъ у	= Qx ;	(1.141)
ЪМу !Ъу +		ЪМху!Ъх = Qy .
Взяв частные производные bQ/bx и				bQ/by и подставив их выраже­
ния в первое уравнение (1.141), получим
Э3МХ	^	Ъ3 МХу	Ъ3Му	я ( х , у )
дх3		дхд у	ду 2	D

И, наконец, подставляя в это уравнение выражения (1.139), получим

дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластины (уравне­ ние Софи Жермен):

b4w	Э4 и>	b4w	q ( x , y )	(1.142)
-----	+ 2 ----------	+ -------	= ----------
d*4	bx3b y 3	by4	D

Его можно назвать основным, поскольку оно непосредственно свя­ зывает разрешающую функцию с нагрузкой. Если это уравнение будет решено, т.е. будет найдена разрешающая функция w(*, у ) , то по форму­ лам (1.139) можно определить значения Мх >Му и Мх у . Значения попе­ речных сил Qx и Qy можно определить в соответствии с выражениями (1.141) по формулам:

= - D {	Э 3w	Э 3w	(1.143)
	+	);
	Ьх3	bx b y2

b3w

Оу	дхг Ву	)•
		91

По найденным моментам и поперечным силам можно вычислить напряжения в любой точке пластины:

12 Мху	6QX h 2
т =	z ;
ху

2У

Итак, главная задача расчета пластины на поперечную нагрузку заключается в отыскании разрешающей функции w(x, у ) у которая должна удовлетворять дифференциальному уравнению (1.142) и гранич­ ным условиям —условиям на контуре пластины, зависящим от характе­ ра ее закрепления по краям.

Граничные условия необходимо записать также через разрешающую функцию w(x, у ). Рассмотрим простейшие граничные условия на приме­ ре пластины с заделанным, шарнирно опертым и свободным краями

(рис. 1.55).	(АС) кинематические факторы — прогибы и
На заделанном краю
углы поворота должны быть равны нулю, т.е.
wx = 0 = 0; (dw /dx)x =0 = 0.		(1.144)
На шарнирном краю (CD) равны		нулю прогибы и изгибающие
моменты, т.е.	Ъ2 w	b2w
wy = b = °> Mv = h = - D ( — + — - ) v =h = 0.
y = b	by2	dX2 'y = b

Так как при непрерывном шарнирном опирании этого края кривиз­ на 92 w/0x2 равна нулю, в соответствии с выражениями (1.139) гранич­

ные условия записываются так:
	Ъ2 w		(1.145)
">-» - 0: <— Ь - ь - 0.
На	свободном краю (АВ)	равны нулю	статические факторы:
( М у ) у =	о = 0, ( Q y ) y = о = 0 и	( М х у ) у = о =	0. Здесь имеется одно

избыточное граничное условие, для устранения которого вводят поня­ тие приведенной поперечной силы Q*(Q* = Qy + дМху/Ъх). Эту силу и приравнивают нулю. В соответствии с выражениями (1.139) и (1.143) граничные условия имеют вид:

Э ’ и>	Ъ2 w
	ю 1	w 1 х	0 II
д 3 w		b2 W
--------- +	( 2 - м	) —	—
Э у 3		Ъх2Ъу

(1.146)

Рис. 1.55. Схема для определения граничных ус­ ловий для пластины

Определение	точного выражения
функции w (х, у )	представляет собой

разрешимую задачу лишь для некоторых частных случаев. Например, для эллипти­ ческих (и, в частности, круглых) пласти­

нок, заделанных по контуру и нагруженных равномерно распределенной нагрузкой q:

w (x.y)	я
	X
D I 24/л’ +	16/ ( J ’ + Ьг ) + 24/** 1

I ) 2,

где а и Ь - полуоси эллипса, а начало координат находится в центре пластины.

Это решение удовлетворяет основному уравнению (1.142) и гранич­ ным условиям.

Для круглой пластины (а = b) при д = 0,3 получим: в центре плас­ тины wmax = 0,17 qa* I(Eh3), M0 =0,0813 qa2 и у краяЛ/к = -0,125^д2 Существуют различные приближенные методы определения разре­ шающей функции w (х, у ) и внутренних сил. Наиболее общими из них являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элемен­ тов (МКЭ) (методы математической дискретизации континуальной

системы).

1.7.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Основы метода. Метод конечных разностей заключается в замене дифференциального уравнения задачи системой алгебраических урав­ нений при использовании приближенных выражений для производных искомой функции. Этот метод можно успешно применять, если извест­ но дифференциальное уравнение задачи.

Запишем	выражение производных функций у (х) в точке к
(рис. 1.56, а)	в конечных разностях при постоянном шаге (интервале)

s между узловыми точками на оси х. Производная ук будет иметь сле­ дующее выражение:

•vjfc = O '**! - у к - хжг*).

(1.147)

Эта зависимость называется главной центральной разностью и пред­ ставляет собой тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки (к + 1) и (к — 1). Очевидно, что при s -> 0 эта секущая будет совпадать с касательной к кривой у(х) в точке к.

Записывая аналогичным образом выражения первых производных функции в промежуточных точках а и Ь9 расположенных посредине

Рис. 1.56. Схемы для пояснения метода конечных разностей и его применения к расчету балок

интервалов s, получим выражение второй производной у к как первой производной от них, т.е.

у к = о>'ь - У'а У s = (У к+ 1 - 2У к +

(1Л48>

Третью производную получим как первую производную от вторых:

у к	~ ^ * + 2	"	2ук+ 1	+	2Ук- 1	“ Ук	-	(1.149)
а четвертую как вторую производную от вторых:
У1к	= <Ук+ 2	-	4Ук+ 1	+	6Ук -	4Ук - 1 +	Ук-гУ**	( 1Л5°)

Отметим, что при получении каждой последующей производной использовалась центральная разность [см. выражение (1.147)]. Это эк­ вивалентно тому, что и функция у (х ), и ее производные аппроксими­ руются квадратной параболой на участке трех смежных узловых точек.

Прежде чем перейти к двумерным задачам, поясним применение метода конечных разностей на одномерной задаче об изгибе балки. При EJ = const дифференциальные уравнения изгиба имеют вид:

EJv" = -М ; EJv'" = -Q ; EJvIV = q.

В конечных разностях эти уравнения с учетом выражений (1.148) — (1.150) можно записать так:

v*+ 1	-	2\ +	v* - i =		~Mks2l(EJ)-
vk+ 2	~	2чк+ 1	+	2чк - 1		_ vJt-	2	^	(1-151)
vfc+ 2	-	4v*+ 1	+	6чк	~	4чк - 1	+	4 - 2	=

Последнее уравнение (1.151) является основным, так как оно не­ посредственно связывает искомые прогибы vk с нагрузкой qk в узловых точках. Заменяя распределенную нагрузку q на участках сосредоточен­ ными силами qs (рис. 1.56, б) и разнося эти силы по правилу рычага в узлы, получим для промежуточных узловых точек Рк = qs, а для кон­ цевых —Р'о = Рп = qs/2. Исходя из этого приведенная нагрузка для про­

межуточных узловых точек qk = Pk/s, а для концевых — q0 = 2P0/s

или % = После решения системы основных уравнений, составленных для каж­

дой узловой точки балки, можно в соответствии с формулами (1.51) определить внутренние силы:

Мк = - 0 * + 1 - 2vk + vk _ l )EJ/s2 ;

(1.152)

Qk = ~ ( * к * 2 ~ 2v* + 1 + 2v* - l - V* _ 2)£7/(2S3).		(U 5 3 )
Граничные условия (условия опирания	балки) также необходимо
записать в конечных разностях. В общем	случае их выражения будут

содержать прогибы v двух законцевых (заопорных) точек с каждого конца (v_2; v.i и v„+i, v„+2). Если прогибы v0 или vn равны нулю, то записывать выражение прогибов для второй законтурной точки не надо.

Наиболее простые граничные условия соответствуют заделке (v =

= v' = 0), шарнирной опоре				(v = М = 0) или свободному концу (М =
= Q = 0). В соответствии с выражениями (1.147), (1.152) и (1.153)
после преобразований [8] можно получить							для левого конца балки
(* = 0):
для заделки
v.i = Vi;	v0 = 0;		Q0 = (4v! -		v2	+	q0)E J/s3 ,	(Ы 54)
для жесткого шарнирного опирания
v.i = —Vi;		v0 = 0 ;	Q0 = (2v! -		v2 + q0)EJ/s3f			(1.155)
для свободного конца
v.i = 3vi	-	2V2 +	q0\	v0 = 2v!	-	v2	+ q0\ G o=0,	(1.156)

где <7„ = q0S* /(2EJ).

Формулы граничных условий на правом конце балки (А: = п) будут иметь аналогичный вид; только в выражениях для Qn надо знак изме­ нить на обратный.

Если опора имеет упругоповорачивающееся защемление (v0 = 0, угол поворота <р0 ^ 0) (рис. 1.56, в ), то граничные условия записывают­ ся так:

v.i	=	V!	1 - 2В	v0 =	0;
			---------
			1 + 2в
Qo	=	EJ	[(3 +	1 - 2 в	)v-i - Vj + <7о],
		—		~
		s 3		1 + 2 В

где В = ip EJ/s (здесь ip —податливость опоры при повороте).

Поясним применение метода конечных разностей на примере. Опре­ делим прогибы, моменты и поперечные силы в узловых точках балки (рис. 1.56, г). Составляя уравнения (1.151) в конечных разностях для каждой узловой точки и учитывая граничные условия (1.156), получим

5v, - 4V2 + v3	= Ps3/(EJ); - 4 v , + 6v2 + 4v3 = 0;
v, - 4V2 + 5v3	= 0,

1 г

з

*

i-1J+1 1,1*1 L+1,j+r I

0,1 *2

4 (

Л 0,1

6

7

8

t . S '

N

-f, 1 * 1 ,

....

w

10

11

12

.

И| >

-1,J

•h

r

Lf ' J

v l

hJ

L+1,JL+2,j

-2 ,1 - Ы

0,1

V 2 ,j

4

r—

^; г

13 1¥ IS 16

j-t

H j -2

0,j-1

V i-1

V S

-1 ,1 -1

HH

г

s

J 3

5

s

3)

~ U j

"fj

S)

»)

Рис. 1.57. Схемы для расчета пластин методом конечных разностей

откуда

Vl = 7Ps3l(SEJ); v2 = P s 3/(Ejy,

v3 = 5/>s3 /(8£7).

На основании зависимостей (1.152) и (1.153) с учетом формул (1.155) получим

Л/j = 3/V/16; М2 = 2Р1/16; М3 = />//16;

Go =	Gin =	3/74;	Gi	= Gin = - / 7 4 ;
Ga =	- P / 4 ;	G4 = -F /4 .
Обратим внимание			на то,	что значения М и Q получились точно,

несмотря на то, что значения прогибов отличаются от точных. Это объяс­ няется тем, что уравнение искомой функции описывается ветвями кубической параболы, а ее производные — линиями низших степеней.

Применение метода конечных разностей к расчету пластин. Расчет прямоугольных пластин на изгиб по методу конечных разностей заклю­ чается в следующем. На пластину наносят сетку с прямоугольными или квадратными ячейками. Естественно, что чем меньше ячейка сетки, тем точнее будет решение. Для приближенных расчетов можно рекомен­ довать каждую сторону прямоугольной пластины разбивать на шесть — восемь частей. Прямоугольная сетка является более общей, так как она не требует соблюдения кратности сторон. Квадратная сетка приводит к более простой записи основных уравнений.

Порядок расчета пластин тот же, что и порядок расчета балок. Все узлы, которые могут иметь прогибы w, нумеруют в определенной после­ довательности. Нумерации подлежат все внутриконтурные точки, а так­ же точки на краю пластины, если этот край свободен или имеет упруго­ податливое опирание (рис. 1.57, а).

Основное уравнение (1.142) составляют для каждой узловой точки пластины. Общее выражение основного уравнения получают аналогично

третьему уравнению			(1.151)		на основе записи производных от w (х, у)
в конечных разностях. Для узла /, /							передвижной квадратной сетки
(рис. 1.57, б) при D = const
20wi,f	- 8(*,-,/+		1 +	wi j -		1 +	wi+ i j +	% - ! , / ) +
+ 2<W/ + 1 , / + 1		+	’V	i . z - I		+		+ WI - 1 , / - 1>	+
+ К	/+ 2 +	w , j _ 2		+	W/+ 2J		+ w. _ 2	.) = PU S 2/D.	(1.157)

96

В соответствии с формулами (1.139) записывают выражения изги­ бающих и крутящих моментов в конечных разностях:

Мх = “ I ( w / + 1 > / + w , _ i f / ) + M 0 v , . / + 1 +				-
-	2(1 + H)w..]	f -		(1.158)
My = ~ U wu +1 + wu - 0 + ^OVi,/ +			wi - i J	-
-	2 ( 1 + M)w7]	4
	1	S2
	D( 1 -	M)
^		1 . / + 1 - wi - h f + 1	- *,+	i . / - i +
+	" i - u - i b			(1.159)

Граничные условия также записывают в конечных разностях через прогибы точек, расположенных на контуре и внутри контура пластины. Помещая центральную точку передвижной сетки на край пластины (рис. 1.57, в ) , получим в соответствии с выражениями (1.144) и (1.145) для заделанного края (рис. 1.57, г ) :

W0J = 0 ; w uj = + W

,

(1. 160)

для шарнирного края (рис. 1.57, д):

wo j = 0; w-i,j = ~ wi , r

( 1Л61>

Как видим, в обоих случаях прогибы законтурных точек выра­ жаются через прогибы точек, лежащих внутри контура пластины.

На рис. 1.58, а изображена шарнирно-опертая по контуру и нагру­ женная равномерно распределенной нагрузкой квадратная пластина. Определим максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент, принимая квадратную сетку с s = д/4. Ввиду того, что данная пластина имеет две оси симметрии (геометрические и по расположению нагруз­ ки) , расчетными (’’характерными”) являются три точки 2, 2 и 3. Состав­ ляя для них основные уравнения (1.159) с учетом граничных условий (1.161), получим

для точки 1	20и>! -	32W2 + 8w3	= qs*/D;
для точки 2	- 8Wi + 24W2 - 16w3 =*qs4/D;
для точки 3	2w t -	16w2 + 20w3	= qs4/D.

Решая эту систему уравнений, находим (рис. 1.58, б)

w 1	=	66qs4/(64D); w2 = 4Sqs4/(64Я );
w3	^	25qs4 /(64D).
Учитывая выражение (1.140) и принимая			м = 0,3, получим для
центра пластины wm ах = w \ = 0,044 qa4 / (Eh3);			(расхождение с точным
4-5*5

решением менее 1 %); Л/тах = Mxi = Му1 = 0,0457 qa2 (расхождение с точным решением около 4,5 %).

Применение метода конечных разностей к расчету перекрестных систем. Отдельные части строительных и дорожных машин представляют собой листовые конструкции, усиленные ребрами жесткости. Точный расчет таких систем весьма сложен. Один из приближенных методов расчета заключается в замене заданной системы системой перекрестных балок (’’перекрестной системой”). Такой подход называется физичес­ кой дискретизацией, так как заданная континуальная система заменяет­ ся еще до расчета другой физической моделью. Рассчитать эту модель можно различными методами, в том числе и методом конечных раз­ ностей.

Иногда для упрощения расчетов предполагают, что в каждом узле перекрестной системы имеется только шарнирная связь между балками (рис. 1.59, а) и, таким образом, влиянием кручения балок друг на друга пренебрегают. Учитывая только деформации изгиба балок, дифферен­ циальное уравнение изгиба можно записать в виде

Э4 W

д 4W

=

q,

(1.162)

EJX —

+

EJy —

дХ4

7

Ъу4

щ е

EJX и EJy

-

жесткости

балок при изгибе

(индексы

соответствуют

направлениям

осей

балок); w

=

w (х,

у )

-

искомая

функция,

представляющая собой, как и в пластинах,

прогиб; q = qx + qy

-

приведенная к

узлу

распределенная (линейная) нагрузка.

Рис. 1.58. Схемы для расчета квадратной плас­

тины методом конечных разностей

Рис. 1.59.

Схемы

для

расчета

перекрестных

систем методом конечных разностей

r l

C]

c<r i

B \r * —

ц

/

) (Z

}{2

jt1

о

-

Ш

t /

}{2

) f2

j i

B4 * *■

a)

Ы

• f /

:

c<

s

B<

/ * / , у

T

5

^

- и

'' • И

i.j

i+lj

К

H j

■v,

0,МЙЧ

к ®

4.

•-ZJ

г

5

5

__ J

5

0,3866'

V	Множитель Рз

Для записи основного уравнения (1.162) в конечных разностях рассмотрим выражения дифференциальных зависимостей, соответствую­ щих сетке с постоянными интервалами s и t (рис. 1.59, б). Введя обо­ значения

а	= EJx l(EJy ); Р = t/s			и	1? =	а/0 4	(1.163)
и используя зависимости			(1.147)		— (1.150), запишем основное уравне­
ние задачи в конечных разностях:
6W./1 + TJ) -		4(w.	+ J ;	+	w. _u	+ VwiJ+ J	+
+	VW. f _ +	(w.+ 2	. +	w . _ 2 ; +		J?w. /+ 2 +
+	=	4^I(E JX).					(1.164)
Если нагрузка		сосредоточена			в узлах, то между		узловой силой Р

и распределенной нагрузкой q можно установить зависимость, рассуж­ дая следующим образом. Так как

Я = Ях + Яу , a qx = P j s и qy = Py/ t

(где Рх и Ру — составляющие узловой силы Р, приходящиеся на соот­ ветствующие балки, пересекающиеся в узле), то q = Px/s + Py/ t . Пред­ полагая, что соотношение сил Р* и Ру обратно пропорционально подат­ ливости балок при изгибе, запишем

Рх	EJX	*3	= Ofj33	=	у .	(1.165)

EJV

С учетом того, что Р = Рх + Ру , после преобразования получим Рх =Р1( 1 + 7), Ру = Ру1(1 + т). Следовательно,

Р( 1 + л )

q — — --------

(1.166)

S(1+ 7)

Вчастном случае, когда а = 1 и 0 = 1 и, следовательно, у = т\ = 1, уравнение (1.164) имеет вид:

I 2 w. . - 4(w.+ 1у. +	w(. _ u	+	w ./+ t +	w .b	l ) +
+ ("7+ 2 ,/ + * 7 - 2 , /	+ w /./+	2	+ w , , / - 2 )	=	( U 6 7 >

Определив из решения системы основных уравнений значения w^., найдем изгибающие моменты:

м * и = -	EJX		- 2и 7 ./ +	(1.168)
		("7+ и
	s 7			* 7 - 1,/>
	EJy
м > и - -	t 2 > 7 , / - ы		- 2 w i.i +

Рассмотрим пример расчета симметричной перекрестной системы, на которую в узлах действуют силы Р (рис. 1.59, в). Опорные закрепления на рисунке пока-

заны повернутыми на 90° в плоскость чертежа. Полагая, что а = 0,5 и /3 = 0,5, получим г? = 8 и т = 4. Далее составим уравнения (1.164) для двух характерных то­ чек. Помещая центр передвижной сетки (рис. 1.59, б) в узел 7, получаем

6Wj (1 + 8) - 4 ( w 2 + w0 + 8w0 + 8w, ) +

+ (wa + + 8w0 + 8w_, ) = <7, s4/(£/*)•

Учитывая, что при шарнирном опирании w. х = - w , и согласно выражению (1.166) q x = 1,8/Vf, запишем это уравнение в виде

13wl -		3wa =	1,8PJ 3 l(EJx ) .
Поступая аналогично, получим основное уравнение для узла 2:
- 3 w l +		10wa =	1 tSPs3/(EJx ).
Решая эти уравнения совместно, находим
w l	= 0,1934Ps3/(EJX)			и wa =	0,23SPs3l(EJx ).
Затем в соответствии с уравнениями (1.168)						получим
MXl = 0,14887^;			Му, = 0,3868/»*;		MXl = 0,0447/Ъ;		My j =0A16Ps.
На рис.	1.59,	г изображена		эпюра изгибающих		моментов	для данной системы.

1.7.3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Основы метода. В стержневых системах напряженно-деформирован­ ное состояние каждого стержня полностью определялось значениями перемещений Z на концах (см. п. 1.6.3), поэтому решение задачи получа­ лось точным. В пластинах и других плоских и пространственных телах поведение каждого континуального элемента описывается конечным числом обобщенных координат, и уже поэтому расчет является прибли­ женным.

На рис. 1.60 изображена в плане трапециевидная пластина, которую можно представить состоящей из отдельных прямоугольных и треуголь­ ных конечных элементов, соединенных между собой только в узловых точках. При расчете на поперечную нагрузку предполагается, что пере­ мещения Z/ (линейные —w и угловые —3w/bx и dw/by) в узлах со­ прягаемых элементов одинаковы.

Основная идея метода заключается в том, чтобы, с одной стороны, описать напряженно-деформированное состояние каждого типа конеч­ ного элемента через обобщенные координаты Z, а с другой стороны, установить связь между нагрузкой, действующей на систему (пластину), и выбранными обобщенными координатами Z/. В методе конечных эле­ ментов, так же как и в методе конечных разностей, нагрузка считается приложенной в узлах. Существуют различные способы замены распреде­ ленной поперечной нагрузки внешними узловыми силами.

Одной из основных задач метода конечных элементов является вывод матрицы жесткости R3 конечного элемента, которая для двумер­ ных и трехмерных элементов (в отличие от стержней) является при­ ближенной. В основе этого вывода лежат энергетические теоремы (см. п. 1.4.4) и матричная форма расчетов (см. п. 1 .6.3). На основе матриц жест­