книги / Теория функций комплексной переменной

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Содержание этого выпуска в основном соответствует курсу лекций по теории функций комплексной переменной, читавше­ муся авторами в течение ряда лет на физическом факультете МГУ.

Изложение основного материала достаточно близко к тради­ ционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом нача­ ле курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосред­ ственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продол­ жении соотношений позволяют единообразно перенести в ком­ плексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.

Естественно, что стремление к цельности изложения заста­ вило рассмотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно удается в рамках сжатой лекционной программы. В пер­ вую очередь это относится к общим принципам конформно­ го отображения и применения методов теории функций комп­ лексной переменной к решению краевых задач гидродинами­ ки и электростатики. Кроме того, в книге имеются два при­ ложения, посвященные изложению метода перевала и метода Винера-Хопфа, которыми физики весьма широко пользуются.

При работе над книгой мы пользовались советами многих наших товарищей по кафедре, в первую очередь В. А. Ильина и Д. П. Костомарова. Большую помощь оказали многочислен­ ные и важные замечания, сделанные Г. Л. Лунцем и М. В. Федорюком, прочитавшими книгу в рукописи, а также тщатель­ ное редактирование текста книги, проведенное С. Я. СекержЗеньковичем. Всем этим лицам мы выражаем самую искреннюю благодарность.

Авторы

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем выпуске излагаются основные понятия теории функций комплексной переменной. Понятие комплексного чис­ ла возникло в первую очередь в результате потребностей авто­ матизации вычислений. Даже простейшие алгебраические опе­ рации над действительными числами выводят за пределы обла­ сти действительных чисел. Как известно, не всякое алгебраиче­ ское уравнение может быть разрешено в действительных чис­ лах. Тем самым надо или отказаться от автоматического приме­ нения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможностей их применения, или рас­ ширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким рас­ ширением области действительных чисел являются комплекс­ ные числа. Замечательным свойством комплексных чисел явля­ ется тот факт, что основные математические операции над ком­ плексными числами не выводят из области комплексных чисел.

Введение комплексных чисел и функций комплексной пере­ менной удобно так же при интегрировании элементарных функ­ ций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. , где часто приходится выходить в область комплексных чисел. Ком­ плексная форма записи оказывается удобной и при математиче­ ской формулировке многих физических положений (например, в электро- и радиотехнике, электродинамике и т. д. ).

Один из основных классов функций комплексной перемен­ ной — аналитические функции — находится в тесной связи с решениями уравнения Лапласа, к которому приводятся многие задачи механики и физики. Поэтому методы теории функций комплексной переменной нашли весьма широкое и эффективное применение при решении большого круга задач гидро- и аэро­ динамики, теории упругости, электродинимики и других есте­ ственных наук.

ГЛ А В А 1

КО М П Л Е К С Н А Я П Е Р Е М Е Н Н А Я И Ф У Н К Ц И И

КО М П Л Е К С Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й

§1 . Комплексное число и действия над комплексными

числами

1 . П онятие комплексного числа. Мы считаем, что с по­ нятием комплексного числа и определением арифметических действий над комплексными числами читатель уже знаком. Комплексные числа и действия над ними изложены в предыду­ щих выпусках курса1). Однако из соображений цельности изло­ жения имеет смысл еще раз напомнить основные понятия.

Комплексным числом z называется пара действительных чисел (а, 6) с установленным порядком следования чисел а и Ь.

Это условно записывается в виде z = (о, 6). Первое число а пары (а, 6) называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом а = Re z; второе число 6 пары (а, 6) называется мнимой частью комплексного числа z и обознача­ ется символом b = lm z.

Два комплексных числа Z\ = (ai,6i) и Z2 = (<22,62) равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т. е. когда а\ = 02 и 61 = 62.

2. Д ей стви я над комплексными числами. Перейдем к определению алгебраических операций над комплексными чис­ лами.

Суммой комплексных чисел z\ — (01,61) и Z2 = (<22,62) на­ зывается такое комплексное число z = (а, 6), для которого а = = 0 1+ 0 2 , 6 = 61 + 62Легко видеть, что при таком определении сохраняются переместительный и сочетательный законы сложе­ ния, т. е. z\ + Z2 = z2 + z\ и z\ + (Z2 + Z3) = (zi + Z2) + *з- Так

же, как и в области действительных чисел, нулем называется

1) См. вып. 1.

14 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

такое комплексное число 0, сумма которого с любым комплекс­ ным числом z равна этому числу 2, т. е. 2-f-O = z. Очевидно, что существует единственное комплексное число 0 = (0,0), облада­ ющее этим свойством.

Произведением комплексных чисел z\ — (сц, £>i) и 22 = = (<i2) 62) называется такое комплексное число z = (а, 6), для которого а = а\а2 — 6162, 6 = <2162 + 0261. При таком определении произведения выполняются переместительный (Z\Z2 — 2221), сочетательный (21(22 • 23) = (z\ • 22)23) и распределительный ((21 + 22)23 = 2123 + 2223) законы.

Включим действительные числа в множество комплексных чисел, рассматривая действительное число а как комплексное число а = (о,0). Тогда, как следует из определения действий

сложения и умножения, для комплексных чисел сохраняют­ ся известные правила действий над действительными числами. Поэтому множество комплексных чисел рассматривается как расширение множества действительных чисел1). Заметим, что умножение на действительную единицу (1,0) не меняет комп­ лексного числа: z -1 = z.

Комплексное число вида z = (0, 6) называется чисто мни­

мым и символически обозначается как z = %Ъ. Чисто мнимое число (0,6) = гЬ можно рассматривать как произведение мни­ мой единицы (0,1) и действительного числа (6,0). Мнимую еди­ ницу обычно обозначают символом (0, 1) = г. В силу определе­

ния произведения комплексных чисел справедливо соотношение

г • г = г2 = —1. Оно позволяет придать прямой алгебраический смысл так называемой алгебраической форме записи комплекс­ ного числа

2 = (а, 6) = а + ib

(1.1)

и производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.

Комплексное число z = а —гЪназывается комплексно сопря­ женным числу z = a + ib.

Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число z — a + ib называется разностью комплексных чисел 21 = <21 + ib\ и 22 = = <22 + 262, 6ели а — а\ — <22, b = Ь\ — 62.

Операция деления комплексных чисел определяется как опе­ рация, обратная умножению. Комплексное число z — a + ib на-)*

*) Как будет следовать из дальнейших рассмотрений, множество комп­ лексных чисел, в отличие от множества действительных чисел, не обладает свойством упорядоченности, так как не существует рациональной системы сравнения комплексных чисел.

§1	КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО	15
зывается	частным комплексных чисел z\ — а\ + ib\ и z*i —ач+

+ г6г ф 0, если z\ —z- z^. Отсюда следует, что действительная о и мнимая bчасти частного z определяются из линейной системы алгебраических уравнений

			ага —	= яъ
			620 +	fl2& ==
с определителем			отличным от нуля. Решив эту систему,
получим		Z]_	aia2 + 6162		b\CL2 ““ ^1^2
	z =					(1.2)
3.		Z2	a\ + b\		at + H
	Геометрическая интерпретация комплексны х чи­

сел. При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация. Поскольку комп­ лексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изобра­ жение комплексного числа z — a + ib точкой плоскости ху с де­ картовыми координатами х = а и у = Ь. Число z —0 ставится в

соответствие началу координат данной плоскости. Такую плос­ кость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоско­ стью, ось абсцисс — действительной, а ось ординат — мнимой

осью комплексной плоскости. При этом, очевидно, устанавлива­ ется взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоско­ сти, а также между множеством всех комплексных чисел z = а+ +ib и множеством свободных векторов, проекции х и у которых на оси абсцисс и ординат соответственно равны а и Ь.

Весьма важной является также другая форма представления комплексных чисел. Для определения положения точки на плос­ кости можно пользоваться полярными координатами (р, <р), где р — расстояние точки от начала координат, а <р — угол, кото­ рый составляет радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс. Положительным направлением из­ менения угла <р считается направление против часовой стрелки

(—оо < (р < оо). Воспользовавшись связью декартовых и поляр­ ных координат: х = рcos <р,у = рsin <р, получим так называемую

тригонометрическую форму записи комплексного числа:
z = p(cos<p + г sin у?).	(1.3)

При этом р обычно называют модулем, а — аргументом комплексного числа и обозначают р = \z\,ip — A rg z. Предше­ ствующие формулы дают выражение действительной и мнимой частей комплексного числа через его модуль и аргумент. Легко выразить модуль и аргумент комплексного числа через его дей­

Рис. 1.1

16 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

ствительную и мнимую части: р = л/а2 + Ь2, tg ip = - (при выбо­

ре из решений последнего уравнения значения (р следует учесть знаки а и 6). Отметим, что аргумент комплексного числа опре­ делен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2п. В ряде случаев удобно через arg z обозначать зна­ чение аргумента, заключенное в пределах (ро ^ arg z < 2 тг+ ipo,

где ipo — произвольное фиксированное число (например, щ = О или ipo — —тг). Тогда A rgz = argz + 2/г7г (к = 0, ± 1 , ± 2 , ...) . Аргумент комплексного числа z = 0 вообще не определен, а его

модуль равен нулю. Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отличаются на число кратное 2я. Комплексно сопряженные числа имеют один и

тот же модуль, а значения их аргументов при соответствующем выборе областей их изменения различаются знаком. Наконец,

используя известную формулу Эйлера1) егч> =	cosip +	г sin </9,
получаем так	называемую
показательную	форму записи
комплексного числа:
z = рег(р.		(1.4)

Отмеченное выше соответ­ ствие между множеством всех комплексных чисел и плоски­ ми векторами позволяет ото­ ждествить операции сложения и вычитания комплексных чи­

сел с соответствующими операциями над векторами (рис. 1.1). При этом легко устанавливаются неравенства треугольника:

\zi+z2\^	\zi\ +	\z2\,
\ z i-z 2\ ^	\zi\ -	\z2\.

Модуль разности двух комплексных чисел имеет геометриче­ ский смысл расстояния между соответствующими точками на комплексной плоскости. Отметим, кроме того, очевидные нера­ венства \z\ ^ а, \z\ ^ Ъ.

Для выполнения операции умножения удобно пользовать­ ся тригонометрической формой представления комплексных чи-)*

*) Это выражение мы пока будем рассматривать как сокращенную форму записи комплексного числа z = cos <р + гsin tp. Полный смысл этого обозна­ чения будет установлен в дальнейшем.

4>k = ^

п

§1

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО

17

сел. Согласно правилам умножения получаем*)

z = p(cos <р+ гsin ip) = z\ • г2 =

=/?i(cosv?i + isiny>i)p2(cos<p2 + isiny>2) =

=PlP2(cOS (pi COS (p2 — sixilpi sin</J2)+

+*PlP2(sin (pi COS lp2 + COS tpi sin Ф2) =

=PiP2[cos (<P1 + Ф2) + гsin (<pi + (p2)\ = Pi • P2 • el^ 1+V2\

Отсюда p = pi • P2, <p = <Pi -f p2) т. e. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей. В случае деления комплексных чисел при р2 Ф О имеет место аналогичное соотношение:

£i _ Pi ei(<Pi-<P2)' Z2 р2

4. И звлечение корня из комплексного числа. Три­

гонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны при рассмотрении алгебраических операций воз­ ведения комплексного числа в целую положительную степень и извлечения корня из комплексного числа. Так, если z = 2” , то

Р = Pi и tpi = rupi.

Комплексное число z\ = Цг называется корнем n-й степени из комплексного числа z, если z —zf. Из этого определения сле­

дует, что pi = ?/р и (р\ = —. Как было отмечено выше, аргумент

71

комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 27г. Поэтому из выражения

для аргумента комплексного числа z\:

аз . 27гА:

п ?

где (р — одно из значений аргумента комплексного числа z, по­ лучим, что существуют различные комплексные числа, которые при возведении в n-ю степень равны одному и тому же комп­ лексному числу z. Модули этих комплексных чисел одинаковы

и равны У/9, а аргументы различаются на число, кратное — .

Число различных значений корня n-й степени из комплексного числа z равно п. Точки на комплексной плоскости, соответству­ ющие различным значениям корня n-й степени из комплексно­ го числа z, расположены в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса у/p с центром в точке z —0. Соответствующие значения (рьполучаются при &, принимающем значения к = 0, 1, .. . , п — 1.

0 Эта формула показывает, что введенная выше функция e*v’ обладает свойством e,v>1 •etlp2 = e*^1+v>2K

18 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

Классический анализ поставил задачу так расширить мно­ жество действительных чисел, чтобы не только элементарные алгебраические операции сло­

жения и умножения, но и опе­

рация

извлечения

корня

не

выводила из этого расширен­

ного множества. Как мы ви­

дим,

введение

комплексных

чисел решает эту задачу.

П р и м е р ы: 1. Найти все

значения уД. Записав в по­

казательной форме комплекс­

ное число z =

* =

ехр

получим

для

значений ква­

дратного

корня

из данного

комплексного числа выраже-

ния

zk

=

ехр

/. 7Г . .2тгк\

+ г— J ,

Рис. 1.2

к = 0 ,1

(рис. 1.2), откуда

.тг\

7Г

,

• •

7Г

у/2 /-,

,

( г-

1 = cos -

+

гsin -

= -^-(1

+ г),

zi = ехр (»Y )

= - ехр (ijj

= - ^ ( 1

+ г).

2.

Найти все значения \Д, где р > 0 — целое число. Восполь­

зовавшись представлением 1 =

ег0, так же, как и в предыдущем

примере, получим Zk —ехр

, к =

0, . . . , р — 1, откуда

гО

1

z \=

ехр

/.27г\

27Г .

. .

2ж

ZQ = е

= 1 ,

J =

cos — +

гsin — ,

. . . , Zp-i =

/

.27Г/

-Л

(

.27г\

27Г

. .

2тг

ехр

(р ~ 4 j

—ехР

г— J

=

cos ——

гsm — .

То есть корень р-й степени из 1 имеет ровно р различных значе­ ний. Эти комплексные числа соответствуют вершинам правиль­ ного р-уголышка, вписанного в окружность единичного радиу­ са с центром в точке z = 0, причем одна из вершин лежит в точке z —1.

3. Найти все значения \]\ —%у[Ъ. Так как z — 1 — iyfb =

= 2е_г7Г/3, то для значений квадратного корня из данного комп-

лексного числа получим выражения Zk = у 2 е х р ( —г - 4-

1,

§ 2	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 19
к =	0 ,1, откуда
	z0 = л/2ехр	= у/ 2	( COS ^ -	г sin
	zi = \/2ехр	( i y )	=	= - z 0.

Итак, для извлечения корня п-й степени из комплексного числа надо перейти к показательной форме записи комплексного числа, извлечь корень п-й степени из модуля данного комплекс­ ного числа (берется арифметическое — действительное и поло­ жительное — значение корня), а аргумент данного комплексного числа разделить на п. (Для получения всех значений корня надо иметь в виду многозначность аргумента.)

§ 2. П редел последовательности комплексных чисел

1. О пределение сходящейся последовательности. Для построения теории функций комплексной переменной большое значение имеет перенесение основных идей анализа в комплексную область. Одним из фундаментальных понятий анализа является понятие предела и, в частности, понятие сходящейся числовой последовательности. Аналогичную роль играют соответствующие понятия и в области комплексных чисел. При этом многие определения, связанные с предельным переходом, полностью повторяют соответствующие определения теории функций действительной переменной.

Последовательностью комплексных чисел называется пе­ ренумерованное бесконечное множество комплексных чисел. В

дальнейшем последовательность комплексных чисел мы будем обозначать символом { zn}. Комплексные числа zn, образующие

последовательность {zn}, называются ее элементами1).

Число z называется пределом последовательности {zn}, ес­ ли для любого положительного числа е можно указать такой номер N(e), начиная с которого все элементы zn этой после­ довательности удовлетворяют неравенству

\z —zn\< е при п ^ N(e).

(1.6)

Последовательность {.zn}, имеющая предел z, называется схо­

дящейся к числу z, что записывается в виде lim zn —z. n—toо

Для геометрической интерпретации предельного перехода в комплексной области удобным оказывается понятие е-окрест- ности точки комплексной плоскости.

1) Определение последовательности не исключает возможности повторя­ ющихся элементов, и, в частности, все элементы последовательности могут совпадать между собой.

20

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛ. 1

Множество точек z комплексной плоскости, лежащих вну­ три окружности радиуса е с центром в точке zo(\z —zo\ < е), называется е-окрестностью точки ZQ.

Из этого определения следует, что точка z является пределом сходящейся последовательности {zn}, если в любой е-окрест- ности точки z лежат все элементы этой последовательности, на­ чиная с некоторого номера, зависящего от е.

Поскольку каждое комплексное число zn = ап + гЪп харак­ теризуется парой действительных чисел ап и Ъп, то последова­ тельности комплексных чисел { zn} соответствуют две последо­ вательности действительных чисел {а п} и {Ьп}, составленные соответственно из действительных и мнимых частей элементов zn последовательности {zn}.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 . 1 . Необходимым и достаточным условием схо­ димости последовательности { zn} является сходимость по­ следовательностей действительных чисел {а п} и {6n} (zn =

—tt/j -Н ibji').

Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, если последова­

тельность {zn} сходится к числу z =	a + ib, то для любого е > 0
\ап — а\ < \zn —z\ < е и |6П — 6| <	е при п ^ N(e). Это и до­

казывает сходимость последовательностей {а п} и {Ьп} к а и 6 соответственно. Обратное утверждение следует из соотношения \zn —z\ = у/(ап — а)2 + (Ъп —Ь)2, где а и Ъявляются пределами последовательностей {а п} и {Ьп} и z = а + ib.

Последовательность {zn} называется ограниченной, если существует такое положительное число М , что для всех эле­ ментов zn этой последовательности имеет место неравен­ ство \zn\ < М. Основное свойство ограниченной последователь­ ности характеризует следующая теорема.

Теорема 1 .2 . Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку последователь­ ность {zn} ограничена, то ясно, что соответствующие ей дей­ ствительные последовательности {а п} и {6П} также ограниче­ ны. Рассмотрим последовательность {а п}. Так как эта последо­ вательность ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность *) {a ni}, предел которой обозначим бук­ вой а. Последовательности {a ni} соответствует последователь­ ность {Ъп.}, также являющаяся ограниченной. Поэтому из нее можно в свою очередь выделить сходящуюся подпоследователь­ ность {&п*}> пРеДел которой обозначим буквой 6. При этом со­

*) См. вып. 1.