книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfценность ее |
собственных значений. Поэтому при фиксированном |
|||||
е 2 Е |
(0, e j существует такое число я2, что |
|
|
|||
|
|
|
( < e [ 0 , f ) ) . |
(9.10.31) |
||
|
|
|
О |
|
|
|
Следовательно (см. (9.10.19)), |
|
|
|
|||
|
|
IW0II s |
l|y(0)||exp(a,L + a,) |
(f е [0,£1) |
|
|
и тем более |
|
|
|
|
|
|
|
|
11у(011 < c0exp(a,L + а2) = с |
(t Е [0, ^]): |
|
|
|
|
Таким образом, имеет место |
положительное |
число |
|||
Л ем м а |
9.10.4. |
Существует такое |
||||
£, < |
е0, что для каждого фиксированного числа е2 Е |
(0, s t) |
мож |
|||
но |
указать |
такое |
с> 0, что любое решение y(i) |
однородного |
уравнения (9.10.14), начальное значение которого ограничено
условием |
||у(0)|| < с0, будет |
удовлетворять неравенству |
||
1|У(0И<? |
(< S |
[0, L/eJ). |
|
|
Обратимся теперь к неравенству (9.10.22). При фиксированном |
||||
£2 ( е2 Е (0, E j ) ) , |
учитывая (9.10.31), находим |
|||
ИКОН |
|
(а2 + £<2,0 |
|
|
Принимая |
во |
внимание, |
что |
подынтегральная функция |
о |
еax)dt" ограничена на [0, *], т.е. |
|||
ехр ^ (р + |
||||
v |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp J (ц + ta{)dtn < b{ (5t >0), |
||
имеем |
|
v |
|
|
И К О Н ^ ехр ( а 2 + |
|
|
||
|
Е а , 0 ( | | у ( 0 ) | | + a 3V ) - |
Отсюда следует Л ем м а 9,10.5. Существует такое положительное число
Ej е0, что любое решение y(t) неоднородного уравнения (9.10.12), начальное значение которого ограничено условием ||у(0)|| ^ с0, на промежутке 0 ^ t < L/zv где % — фиксированное число из интер вала (0, Ej), допускает оценку
ИКОН * ехр (а2 + fljOCeо +
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (ВТОРОЙ МЕТОД)
Алгоритм расщепления системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка, изложенный в гл. 9, приводит к расщеплен ной системе, состоящей из подсистем линейных дифференциальных уравнений, матрицы коэффициентов которых могут принимать в каждом конкретном случае тот или иной вид. Ниже указывается дру гой метод расщепления линейной системы, при котором матрицы подсистем расщепленной системы получаются в канонической фор ме, а именно — в естественной нормальной форме. Применительно к однородной системе дифференциальных уравнений этот метод приво дит к системе, состоящей из независимых дифференциальных урав нений 1-го или более высокого порядка.
§ 10.1. Две леммы
Пусть собственные значения квадратной матрицы U(т) порядка п
разбиты на р групп |
..., |
р |
|
|
(а — 1 , ..., р); ^ к„ = п, так что |
||||
|X f> ( x )-A < /> (t) | > 0 |
(10.1.1) |
|||
(о s, i — 1,..., |
ка, j |
1, ..., ks> т G [О, LJ). |
||
|
Тогда (см. гл. 5) могут быть построены матрицы Ка(т), А0(т), Ма(т) размеров соответственно п х £0, kg X kp>ках п (ст= 1, р),
дифференцируемые по т столько раз, сколько раз дифференцируема матрица £/(т), такие, что
Р
U = ^ U a= КАМ, и а= КаАаМа,
(10.1.2)
где К, Л, М — соответствующие блочные матрицы. Собственными значениями каждой матрицы Л0 служат собственные значения мат
рицы (/, включенные в соответствующую группу о.
Матрицы Ра = КаМа (о = 1, 2 , |
р) являются проекционными |
||
(Р0 = Ра) и обладают свойствами |
|
|
|
Л Л = о |
( » * * ) . |
о= 1 |
(10.1.3) |
|
|
||
P0U = U Pa = Uo, |
Р0£/, = |
= 0 |
( s * o ) . |
Для удобства дальнейшего изложения введем в рассмотрение л-мерное векторное пространство R и действующие в нем
линейные операторы U, |
Р0 (о = 1, 2,..., р), которые в |
некото |
|||
ром |
базисе е ,,е 2, ... ,еп |
отвечают |
соответственно матрицам |
U, |
|
Ра |
(а — 1, 2,..., р). Эти |
операторы |
и матрицы связаны |
соотно |
|
шениями |
|
|
|
|
|
|
UГ = Г1/, Ра& = $’Ра |
(а = 1, ..., р), |
(10.1.4) |
||
где & = (et е2 ... еп). Операторы Р0 |
являются проекционными, |
и |
|||
для любого g 6 R , как это следует из (10.1.3), |
|
|
|||
|
|
|
р |
|
|
|
рар*8 = ° |
(«*<0. |
2 Ро8 = 8‘ |
|
|
|
|
|
0 = 1 |
|
|
В соответствии с последними соотношениями пространство R расщепляется на р подпространств:
R = Rj + ... + Rp, R0 = P0R (о — 1, 2,..., л).
Эти подпространства инвариантны относительно оператора U. Дей ствительно, пусть, например, g Е Ra. Тогда, используя равенства
(10.1.3) и (10.1.4) и учитывая, что вектор g, как и любой другой вектор из R, можно представить в виде g = S'g, где g — столбцовая матрица, составленная из координат вектора g в базисе е,, е2, ..., еп, последовательно получим
t/g = UPorg = &UPog = %PaUg = PaVi?g E Rc.
Следующая лемма устанавливает связь между аннулирующи ми многочленами подпространства R0 и матрицами Ла в разло
жении (10.1.2).
Л е м м а 10.1.1. Всякий аннулирующий многочлен подпрост ранства Ra является аннулирующим многочленом и для матрицы
Лп, и обратно, всякий аннулирующий многочлен матрицы Аа яв ляется аннулирующим многочленом и для подпространства R„.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть <ра(Л) — некоторый многочлен от к.
Учитывая, что UкРа = КаЛ0Ма, для любого вектора g из R будем иметь
(p0(U)P0g = <p0(U)P0^ = &9o(U)Pag = ZKava(Aa)M ag. (10.1.5)
Если <pD(X) — аннулирующий многочлен подпространства R„, то
«po(U)Pog = 0 (gGR), |
(10.1.6) |
и, значит, согласно равенству (10.1.5) ^K a*pa(Aa)M ag = 0. Но это
равенство может выполняться для любого g из R тогда и только тогда, когда
Фо(Ло) = о. |
(10.1.7) |
Поэтому <р0(Я) является аннулирующим многочленом матрицы Ла. И обратно, если ipc(X) — аннулирующий многочлен матрицы Л0,
то имеет место равенство (10.1.7) и в силу (10.1.5) — равенство (10.1.6) для любого вектора P0g £ Re g € R. I
С ледстви е . Минимальные аннулирующие многочлены под пространства R0 и матрицы А0 совпадают.
Далее, если Аа-мерное подпространство R0 — циклическое относительно оператора U, а е = &е — порождающий вектор
этого подпространства, то система. векторов е, Ue,..., U*o-1e линейно независима. Линейно независимой является также сис
тема столбцовых матриц е, U e,..., UAo_1e. |
Можно |
показать, что |
существует такая матрица аа типа |
kaх 1, |
что система |
аа, Аааа, ..., Ад"-1 также линейно независима. Более того, спра
ведлива следующая Л ем м а 10.1.2. Для того чтобы ка-мерное подпространство
R0, инвариантное относительно оператора U, было циклическим,
необходимо и достаточно существование столбцовой матрицы аа типа ka х 1, которой отвечает линейно независимая система
столбцовых матриц
я0. Аапа, ..., Л*о_1а0. |
(10.1.8) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим матрицу
& = (и*о-1еи*-"2е ... Ueе) |
(е = Рае). |
Используя разложение (10.1.2) и |
учитывая, что |
M se = |
= MsPae — 0 (s& o ), эту матрицу |
можно представить |
в виде |
-S? = Ка5?а, где |
|
|
& а = ( л У 1Мае АУ 2М0е |
... AaMae Мсе) |
|
— квадратная матрица порядка Ка. Матрицы и S?а имеют один и тот же ранг, так как матрица Ка состоит из линейно независимых
столбцов. Используя это обстоятельство, легко доказываем и лемму. Необходимость. Пусть Ra — циклическое подпространство, а
е = %е — его порождающий вектор. Тогда столбцы матрицы 5? ли нейно независимы. Значит, линейно независимы и столбцы матри цы -2?0. Если принять
а0 = М 0е, |
(10.1.9) |
то, очевидно, система (10.1.8) также будет линейно независимой. Достаточность. Допустим, что система (10.1.8), где аа — не
которая матрица типа kax 1, линейно независима. Тогда столбцы
матрицы Н также будут линейно независимы, если в качестве е принять какое-нибудь ненулевое решение матричного уравнения (10.1.9). Ясно, что такое решение всегда существует и соответству ющий вектор t = принадлежит подпространству Ra. Значит, Хи
мерное инвариантное подпространство Ra является циклическим. Лемма доказана. ■
§10.2. Преобразование однородной линейной системы
спостоянными коэффициентами
ксистеме независимых уравнений
10.2.1. Преобразование к расщепленной системе уравнений 2-го порядка. Рассмотрим линейную стационарную систему
А % = В х , |
(Ю-2-1) |
где А к. В — постоянные матрицы порядка л, причем п — четное число и det А Ф 0.
Т е о р е м а 10.2.1. Пусть собственные значения матрицы U = А~{ В четного порядка п разбиты на р = п/ 2 групп, по два собственных значения в каждой группе, так что
|Xj0) — |
> 0 ( i ,/ — 1,2; сг, s= 1, 2,..., р\ a*=s), |
а инвариантные подпространства RJr R2, ..., Rp п-мерного про странства R, соответствующие указанным р группам собствен-
пых значений матрицы U, являются циклическими. Тогда реше ние уравнения (10.2.1) может быть представлено в виде
X = 2 (^О ТТ + W . ) ■ |
(10.2.2) |
где qa — скалярные функции, удовлетворяющие уравнениям
+ °1а 7Г + «2,9. = 0 (0 = 1 , ...,р). |
(10.2.3) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим (10.2.2) в (10.2.1) и исключим при этом d2q j d t 2 с помощью равенств (10.2.3). Получим
2 ^1о(_ а 1a~jf “ а2оО + ^2
Приравняем в этом равенстве коэффициенты при d q jd t и qa:
^ioaio ^2а |
^io^2a = ^э2а |
= |
•••* Р)» |
ИЛИ |
|
|
|
= «Ю + <»|A c 0=£^2o + ajaW |
(Ю.2.4) |
Умножим слева первое равенство (10.2.4) на U и сложим со вто рым. Получим
(1Я + а1<,1/ + аг,,£ )|1о = 0.
В силу последнего соотношения система (10.2.4) эквивалентна сис теме
(U1 + aloU + а ^ Е ) ^ = 0, |
= £Л=1о + |
а,„^1ст. |
которую можно записать так: |
|
|
Фо(^)^1а = 0» Ъю= ^1о + а1о£1о, |
(10.2.5) |
где <р0(Х) = Х2а1оХ + а2о.
Для доказательства теоремы достаточно показать разрешимость
уравнений (10.2.5) относительно |
и aJa (/ = 1, |
2). Пользуясь со |
отношениями (10.1.2), представим (10.2.5) в виде |
||
i*,<р„(Л,) м д ,„ = 0, |
^ = 1/|1о + |
а,А с (10.2.6) |
5» 1 |
|
|
По условиям теоремы двумерное инвариантное подпространство R0, соответствующее группе о собственных значений матрицы U, — цик-
причем соответствующие этим группам инвариантные подпро странства Rl, R2, ..., Rp являются циклическими подпростран
ствами п-мерного векторного пространства R. Тогда решение уравнения (10.2.1) может быть представлено в виде
р |
( |
dk°~2q„ |
(10.2.8) |
Х ” 2 |
(fclo dt„-1 + ^20 |
2 |
где <7а (ст= 1, 2,..., р) являются решениями независимых скаляр ных уравнений
dkaq dka lq dq
Н С + “ ■->П С ? + - + Ч - • i f + а * ч° = 0 |
(10.2.9) |
|
(Of* 1...... р). |
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим (10.2.8) в (10.2.1) и исключим dk° q jd tk° с помощью равенства (10.2.9):
р |
t ( |
®lo |
rf*° Ч |
|
|
|
|
1О |
dQa |
|
, |
, |
|
1 |
bio I |
j.k_—1 |
|
|
|
|
|
I "T" |
|
||||
а=1 |
|
|
rf/v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk« lQa . |
|
, . |
dq |
|
|
||
|
|
|
+£:2 a |
dV'o- l |
-L 4-t |
_2£ |
|
|
|||||
|
|
|
T |
*•* ~ *kmo |
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
P |
( |
dk°~xqa |
. „ dk°-2Qa |
\ |
|||
|
|
|
|
|
= u a2=1\ |
|
|
+ ^ 7 1°7 7 + |
+ M « |
||||
Приравняем |
здесь |
коэффициенты |
|
при |
dk° |
lq jd tk° *, ... |
|||||||
...» dqjdty qa ( o = |
|
1, 2, ..., p). Получим |
|
|
|
||||||||
|
|
^ 2 O = U^>\o |
a io^lo» |
|
^3a = U §2o |
a 2o^la» |
|
||||||
|
|
%>ko~ U\k. |
-1 a "t" a * -1 a^lo> |
|
® ~ |
U%k a |
a k o^lo*^ |
||||||
|
|
a |
о |
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
о |
Равенства (10.2.10) |
умножим |
слева |
соответственно на £/*<> 1, |
||||||||||
Uko~2, |
£/, Еп и сложим. Получим |
|
|
|
|
(*/А° 4- alaUk°~l + ... + a,ст 0 и + а ,а„Яй)!1а - 0.
Далее вместо системы (10.2.10) будем рассматривать эквива лентную ей систему
-PaW&lo = 0, \ t + la = Utja + 4j& v
(10,2.11)
О 1> •>>) ^о —
где
ФС(Х) = Я*» + а1оХ*« 1+ ... + а к |
о ^ + а к с- |
о |
о |
Положим | 1а = Кааа. Здесь а0 — некоторый А0-мерный вектор (столбцовая матрица типа &0 х 1). Тогда первое равенство (10.2.11) можно преобразовать к виду
= 0. |
( 10.2.12) |
Так как инвариантное подпространство Ra, соответствующее группе а собственных значений матрицы I/, циклическое, минималь ный многочлен этого подпространства является многочленом степени ка, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:
Ф0(А) = ЯЛ + aia>AA"1+ ... + aj£>_,A + aj£>,
aj°l = |
+ ... + |
af> = X(°)Xf) + |
... Ч- |
>, |
|
О |
о |
|
|
Примем |
а у.0 = а(^ . Тогда |
<ра(А) —^о(^)» |
й» значит, |
<ра(А0) = |
=я1>а(Ла) = 0 согласно лемме 10.1.1.
Вэтих условиях равенство (10.2.12) выполняется. Из остальных же равенств (10.2.11), зная | 1о, последовательно можно определить
^2о’ •“ » оа* |
|
|
= VKaaa + aloKaaa = К0(Л0 + aloEk )a„, |
||
|
|
a |
£зо = UKa(Ло + «1oEk )ao+ «2а^о«с = |
*о(Ло + |
а 1оЛо + «2oEk ) flo> |
о |
|
a1 |
+ а,„Л*.~г + |
+ “* |
1 a E к ) <2cr |
|
Q |
Q |
Если в качестве aa взять |
вектор, для которого <р0(А) является ми |
нимальным многочленом, |
то векторы | 1о, ..., а будут линейно не- |
в
зависимы. Тогда преобразование (10.2.8), приводящее систему (10.2.1) к расщепленной системе (10.2.13), будет невырожденным. Теорема доказана. ■
10.2.3. Случай матрицы простой структуры. Если U имеет простую структуру, то равенства (10.1.2) остаются в силе и в том случае, когда р = п. При этом К есть матрица, составленная из п линейно независимых собственных векторов, а Л — диагональная матрица, диагональными элементами которой служат отвечающие этим собственным векторам собственные значения матрицы £/. Имеет место следующая