книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии
..pdfна его сечение S , концентрацию i в потоке С{ и время поступле ния потока х:
g2i = vSCix
или для элементарного объема за элементарное время:
dg%i = vSCidx
Аналогично находят количество г, уходящее с конвекцион ным (массовым) потоком; в этом случае лишь учитывают, что на выходе произведение vCL может измениться на A (уС£):
g'2i = s [vC i+A {vCi)]x
иди для элементарного объема за элементарное время:
dg'2i = S[vCi + d[yCi)) dx
Учитывая, что SvCl есть мольный поток вещества i, т. е. и£, находим:
S2i — е'2[ = —SA (vCi) х = —Ап[Х
dg2i — dg2l = Sd (vCi) dx = —due dx
Диффузионный поток вещества i во входном сечении опре деляется для гомогенной системы согласно закону Фика:
dCi g3i= -S D i~ ^ -x
где D t — коэффициент молекулярной диффузии; знак «минус» показывает, что диффузионный поток идет в направлении убыли концентрации, т. е. что этот поток выходит из объема.
Для элементарного времени получим:
dCi
tigu ~ — S D i |
dx |
Диффузионный поток в выходном сечении, где концентрация равна С( ДС£, составляет
s'zi = —SDi |
d(C i + ACj) |
|
dx |
или для элементарных объема и времени:
d-g'st— |
SDi |
d(C j+ d C j) |
dx |
dx |
|||
Очевидно, что |
|
|
|
|
, |
d ACi |
|
83i |
8 3i |
S D i fix |
T |
dgzi tig21 —SDi |
fix {tiCi) dx —SDi 4 ^ ~ dxdt |
61
Эти соотношения применимы для однофазной системы. Для много фазных систем можно использовать видоизмененные формы записи закона Фика.
Если вещество i переносится из фазы / в фазу I путем диффу зии, то принимается, что у поверхности раздела фаз существует тонкая неподвижная пленка толщиной 6 (ламинарный подслой), через которую идет диффузия. Концентрацию i в фазах / и I (у гра ниц слоя) обозначим соответственно Сц и Cir Тогда получим
d ACj |
Си—Сц |
dx |
б |
Величина диффузионного |
потока |
Обозначив D J б чере8 pt (коэффициент массопередачи) по лучим:
gsi— g‘3i =<SPi (Си — Сц) т
Величина {3 входит в диффузионный критерий Нуссельта Nup = рdID (где d — диаметр). Ее находят на основании экспе риментальных исследований из критериальных зависимостей Nup = / ( Re, Ргр). Например, для процессов сорбции газа твер дым веществом при поперечном межфазном диффузионном потоке имеем:
NuD = 1.9Re0.5pr“*33
Если вещество i переносится в одной фазе, но поглощается в другой, и система в целом является гетерогенной, как, напри мер, при потоке газа через зерна твердого вещества (продольный однофазный диффузионный поток), расчет переноса в обеих фазах довольно сложен. При этом обычно принято .рассматривать сис тему как квазигомогенную, к которой применимы законы Фика для описания возникавшего в ней продольного перемешивания. Величина Di при этом приобретает смысл коэффициента продоль
ного перемешивания |
Таким |
образом, для продольного |
перемешивания получим: |
|
|
i2 i— |
nn |
dCt |
SD iL |
dx X |
Величина DL входит в критерий Пекле для продольного пере мешивания Рвх, = vLID'l. Ее находят на основании эксперимен тальных данных по критериальным зависимостям PeL — / (Re, Ргр). Аналогичные зависимости получены и для критерия Пекле, характеризующего поперечное (по радиусу) перемешивание: Рел = = vdlDR.
Например, для потока жидкостей при (L/d)Re > 2 0 0 (лами нарный режим) имеем:
Pet = l92(Re Ргр)-1
62
Количество вещества gt, образовавшегося за счет физико-хими ческого процесса, находят умножением скорости процесса w на объем аппарата V и время процесса т. При этом в соответствии с определением, введенным Г. М. Панченковым [6 ], скоростью процесса будем называть количество вещества, образовавшегося в единице объемами ^единицу времени:
£4=Ц>УТ
или для элементарного объема за элементарное время:
dgi=wdV dx
Для многостадийного химического процесса, в котором веще ство образуется по нескольким стадиям со скоростями wx, ..., wr (г — число стадий), величина w — общая скорость процесса, представляющая собой алгебраическую сумму скоростей этих стадий.
Уравнение теплового баланса
Уравнение теплового баланса записывают не для отдельных компонентов, а для потока в целом. В общем случае в уравнение включают следующие члены:
Накопленпе тепла в объеме .............................................. |
q1 |
Количество тепла, поступающее в рассматриваемое вре |
|
мя в объем |
q» |
с конвекционным потоком |
|
за счет теплопроводности ..................... |
gj |
через стенку от внешнего теплоносителя . . . . |
д6 |
Количество тепла, уходящее в рассматриваемое время |
|
пз объема |
|
с конвекционным потоком |
д2 |
за счет теплопроводности |
q'3 |
при поглощении физико-химическим процессом . |
qt |
Учитывая эти обозначения, получаем уравнение теплового баланса в виде:
|
|
|
<71 = (9з — |
“Ь (Зз — ?з)— ?4+?5 |
(П.3) |
HJJH для |
элементарного объема за элементарное |
время: |
|||
|
|
|
dqi = (dq2—dq^-\-{dq3—dgg)—dq^+dq^ |
(П.4) |
|
|
Теплоту |
можно выразить через изменение температуры АТ |
|||
в |
рассматриваемом объеме |
V за время т. Если р — плотность, |
|||
а с |
— удельная теплоемкость вещества, то, учитывая, что р У есть |
||||
масса g |
вещества в объеме |
У, получим: |
|
gt = cpV AT = cg AT
63
Для' элементарного объема за элементарное время
dqi = cpdV dx —cdg dx
Количество тепла g2, поступающее с потоком вещества, равно
q^CnSvpnTt
где рп и сп — соответственно плотность |
и теплоемкость потока. |
|
Для гомогенной системы рп = р , |
сп = |
с. |
Для элементарного объема за |
элементарное время |
|
|
4т |
|
Количество тепла q'%, выходящее из объема с потоком веще ства, найдем из условия, что на выходе величина cnvpnT может измениться на А (спурпУ):
"ЬА (спурп?’)] т
Для элементарного объема за элементарное время
dg'2 —S [спУРпГ-И (сп^РпГ)] ах.
Учитывая, что Svрп — массовый поток вещества (Gn) находим
q2—q‘2 = —SA (урпспГ) т = —A (GncaT) х
dqa— dq'^=—Sd (урпСнГ) d x = —d (Gnca T ) dx
Количество тепла q3, поступающее за счет теплопроводности, определяется законом Фурье:
* ат q3= —S X - ^ - x
где А, — коэффициент |
теплопроводности; |
знак |
«минус» показы |
||
вает, что поток, идет в направлении убыли температуры. |
|||||
Для элементарного |
объема за элементарное |
время4 |
|||
|
dq$ ~ |
dT |
dx |
|
|
|
^ |
|
|
||
Соответственно для |
q3 и dqs получим: |
|
|||
q ^ - S X |
d { T + A T ) |
x |
|
||
|
|
dx |
|
|
|
dq’3 = -S X |
d (T + |
dT) |
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
4z~q'a~s% d(AT) |
T |
|
||
|
|
dx |
|
и
64
Количество тепла qi , поглощенное в ходе физико-химиче ского процесса, рассчитывают, умножая теплоту процесса д пр на
количество образовавшегося вещества wVr:
to—qnpwVr
и л и
dq^ = qnpW dV dx
В сложном процессе количество поглощенного тепла равно сумме количеств тепла, поглощенного на отдельных стадиях:
?пр“? = 2 tfnp[V>j i =i
где / — индекс стадий, г — число стадий.
Теплота дъ, полученная через многослойную стенку поверх ностью F от внешнего потока с температурой Гвн, определяется соотношением:
95== K JIF {Т вн Т) X = K JI у V (Гвн “ Т )х
Для элементарного объема за элементарное время с учетом того, что поверхность теплопередачи пропорциональна объему системы (F/V — const), имеем:
F
dqb= К т (Тт — Т) dF dx = K T - у (Т вн— Т) dV dx
Здесь К т — общий коэффициент |
теплопередачи: |
||
1 |
^ 1 : V |
Si , |
1 |
ICj, |
<Xi |
Кi |
ct*2 |
где a x и a 2 — коэффициенты теплоотдачи от .потока к стенке изнутри и извне; б£ и — соответственно толщина и коэффи циент теплопроводности г-го слоя стенки.
Коэффициенты теплоотдачи находят из зависимости крите рия Нуссельта Nu,. = ad!'к от других критериев подобия. На пример, при перемещении нагретой жидкости в трубе при Re > 4 1 0
NuT =0,032Re’nPr” (L /d )-М64
где m = 0,80, n = 0 ,3 7 |
— при нагревании; m = 0,80, n = 0,30 — |
при охлаждении. |
|
Иоффе и Письмен |
17] приводят критериальное соотношение |
для потока через слой твердых частиц, справедливое для массо-" и теплопередачи:
е |
0,30 |
Ts Nu Pr“1/»Re-i = |
R eo,35_i,go |
где e — доля свободного объема в слое; fs — отношение внешпей поверхности частицы к поверхности сферы того же объема.
3 Заказ 072 |
65 |
В это соотношение могут входить или только тепловые кри терии (тогда оно используется для определения коэффициента теплоотдачи а ), или только диффузионные критерии (тогда оно используется для определения коэффициента массопередачи (3).
При адиабатическом процессе в уравнении теплового баланса можно пренебречь количеством, тепла qb, передаваемого через стенку.
Для адиабатического процесса дифференциальное уравнение теплового баланса можно проинтегрировать независимо от урав нений материального баланса. При таком интегрировании полу чают алгебраическое уравнение, позволяющее рассчитать измене ние температуры в адиабатическом аппарате А Гад. Пусть система уравнений материального и теплового балансов для установив шегося [Ci Ф Сс (т), Т Ф Т (т)] процесса в адиабатическом аппа рате идеального вытеснения записана в виде:
d(G cnT) -
dV qnpW
А(SvC{)
'dV '
Подставив ы? из первого уравнения во второе, получим урав нение в полных дифференциалах:
A {GcnT) =s— qnpd (SvCi)
Проинтегрировав, найдем:
|
QnpSv |
(?пр |
|
ДГад= |
Gcn |
Priori ДCi |
(II.5) |
Если |ЛГад |> 3 0 —4 0 °С, процесс может «затухнуть» (АТаА< 0) |
|||
или стать неустойчивым и менее селективным (ДГдд |
> 0 ) . В этих |
||
случаях прибегают к |
секционированию аппарата. |
|
Уравнение баланса кинетической энергии
Это уравнение в очень редких случаях используется для сов местного решения с уравнениями материальных и теплового балансов с целью определения поля давления. К таким случаям относятся системы уравнений, описывающие процессы в ддлппт-ьтт трубах (пиролиз углеводородов, полимеризация этилена при вы соком давлении). Обычно его применяют для расчета перепада давления в аппарате, При этом нет необходимости рассматривать полное уравнение, например уравнение Бернулли (см. главу IV).
Пренебрегая работой подъема, можно представить изменение давления как следствие действия сил гидравлического сопротив ления — трения. При однофазном потоке через трубу изменение давления dp на элементарном участке dx зависит от коэффициента
66
трения /, плотности потока р , линейной скорости потока v, диа метра трубы d:
1 |
ру2 |
|
dP = - r f T ' ~ 2 f dx |
(П.6) |
|
где g — ускорение свободного падения. |
потока v |
|
В общем случае плотность р |
и линейная скорость |
меняются по длине трубы в соответствии с уравнениями материаль ного и теплового балансов, и проинтегрировать уравнение (Н -6 ) можно, лишь используя полную систему уравнений балансов. Однако, поскольку изменение давления обычно невелико, а его влияние на основной процесс слабее, чем влияние других пере менных, мояшо приближенно оценить перепад давления, не при бегая к совместному решению всех уравнений балансов.
Так, пренебрегая для полой трубы длиной L , |
изменением |
|
плотности и скорости потока, |
найдем: |
|
I Ар I |
. Р”3 |
(И.7) |
L |
2g |
Коэффициент трения /т определяют на основании эксперимен тальных исследований с помощью метода анализа размерностей. Например, для условий, существующих в промышленных реакто рах, при 5000 <С Re < 200 000 (турбулентный поток)
/T=0.046Re-o,2
В технических процессах часто приходится определять харак теристики потока газа и жидкости через неподвижные или движу щиеся слои твердых частиц. Обычно зернистый слой рассматри вают как систему параллельных изогнутых капиллярных труб. При этом для зернистого слоя можно использовать .модифициро ванное соотношение:
1Ар | |
pv2 |
а_ |
L |
~ /з 2g |
' 6 |
где а — удельная внешняя поверхность зернистого слоя, м2/м3; 8 — доля свободного объема; отношение а/е представляет собой поверхность слоя на единицу его объема.
Соотношения для определения величины / 3 для неподвижного слоя зерен различной формы при различных условиях обтекания
приведены в |
монографии |
Аэрова |
и Тодеса |
[8 ]. |
|||||
Наиболее |
часто для |
неподвижного слоя зерен используют |
|||||||
соотношение |
Эргуна |
[9], |
которое |
можно |
представить в виде: |
||||
|
(А р ) |
(1 —е)2 |
|
|
|
1 —е |
рgv% |
||
|
L = 150 |
|
2 |
'■ ^ |
|
+ |
1 ’75 |
S3 |
da |
|
|
|
е |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
G |
1 —s |
|
<1 —в) I* |
1,756] |
||||
|
Pgd3 |
|
8» |
|
|
|
d3 |
|
3 * |
67 |
|
где jx — динамическая вязкость;. d3 — диаметр зерна; р — плот ность потока; v — линейная скорость потока; s — доля свобод ного объема; g — ускорение свободного падения; G — поток вещества, отнесенный к единице сечения аппарата; значения коэффициентов (150 и 1,75) справедливы для измерения массы в кг, длины в м, времени в ч.
Работы по изучению перепада давления при потоке вещества через движущийся слой шарикового катализатора обобщены Хап-
|
|
пелем |
[10]. Им предложено |
соотно |
||||||
|
|
шение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Др| |
|
2G2 (1 — е)3 |
|
|
||
|
|
|
|
L |
“ |
/я |
gpd3 |
|
|
|
|
|
где коэффициент трения / д |
в |
зависи |
||||||
|
|
мости от величины Gd3 (1— е)/р, может |
||||||||
|
|
быть найден |
по |
рис. |
Н - 2 |
(для си |
||||
|
|
стемы единиц: кг, м, ч.) |
|
|
||||||
|
|
Следует |
отметить, что в |
промыш |
||||||
|
|
ленных |
контактных |
аппаратах пе |
||||||
Рмс. Н-2. Зависимость [коэффици |
репад |
давления |
в |
неподвижном |
||||||
ента трения /д в движущемся слое |
слое |
обычно несколько меньше, чем |
||||||||
от величины |
—е)/ц по [10]. |
в движущемся. Оценив перепад давле |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
ния |
по |
приведенным |
выше |
(или |
||||
иным) соотношениям, используют |
в |
уравнениях |
материальных |
|||||||
и тепловых балансов среднее давление. |
|
|
|
|
|
|||||
М. Г. Слинько [11] проанализировал |
величины, |
входящие |
в уравнение баланса кинетической энергии, полученное при не зависимом интегрировании, применительно к гетерогенно-ката литическим процессам. Исследуя, в частности, уравнение типа (II.6 ), он получил рекомендации по выбору диаметра зерен ката лизатора и их формы для неподвижного и псевдоожиженного слоев.
Р дальнейшем будет рассмотрено описание процессов систе мами уравнений материального и теплового балансов.
Проиллюстрируем запись уравнений материального и теплового балан сов для аппаратов с продольным перемешиванием. Уравнения балансов записывают для элементарного объема потока сечением S и толщиной dx за время dx, так как только в этом случае концентрации и температуру можно охарактеризовать истинными величинами. Учитывая приведенные выше выражения для dglt . . ., dg6 и dqv . . ., d q b, имеем:
d*Ci |
1 = 1, . . . . p |
dCiS dx = —Sd{vCi) dT-\-SDlL -fcp~dxdx-\ -w S dx dx |
|
d*T |
- |
cpS dx d r — —,Sd (i?pcT) d x d x ^ ^ ^ |
|
F |
|
—?npu>S dxdx-\-hT - у - {T BH— T) S dx dx |
|
68
Переходя к дифференциальному уравнению и учитывая, что Sup = G, после несложных^преобразований получим:
|
дСс |
д (vCi) |
|
ЭаCi |
|
i = 1, |
|
|||
|
дх |
|
дх |
+ DiL |
дх* |
|
р |
|||
|
|
дТ |
|
1 |
d(GcT) |
ч . |
аат |
(II.S) |
||
|
|
дх |
|
Spc |
|
дх |
‘ |
ср |
дх% |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
— •^~«'npU’+ — |
fcr ~ |
(Т вн— Т) |
|
|||||
„ |
стационарного |
режима |
( |
dci |
дТ |
\ |
|
|||
Для |
1 - ^ - = |
- ^ - = 0 ) |
|
|||||||
|
|
d*Ci |
|
d (vCj) |
|
|
|
i = 1 , |
|
|
|
DIL dx2 |
|
dx |
|
■f ш= 0 |
(II.9) |
||||
|
|
d*T |
d (6cT ) |
|
|
|
F |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
vb |
dx2 |
|
S dx |
|
ffnpu> -\~kT -Гу- (Г вн— Г ) = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Процесс -будет адиабатическим, если |
kT (F/V)(TBH— Г) s O . Условие |
|||||||||
изотермичности определяется соотношением dT/dx ^ 0. |
|
|||||||||
Для |
оценки значимости перемешивающего потока по сравнению с кон |
векционным удобно перейти к безразмерной форме уравнений. Введем с этой
целью |
безразмерные |
величины — концентрацию |
£ = С/С0 и |
длину I — |
|||
= х/Ь |
(С0 — концентрация |
на входе в |
аппарат, |
L — полная длина аппа |
|||
рата). Принимая v постоянным и |
обозначая vLJDL через Ре^, |
из первого |
|||||
уравнения системы |
(II.9) найдем: |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
d% |
dt, |
. wL |
|
|
|
|
P eL |
* d l2 |
dl |
vC0 —0 |
|
Величина Ре^ представляет собой критерий Пекле для продольного перемешивания.
Можно представить аппарат с неполным перемешиванием как систему последовательно соединенных аппаратов идеального пе ремешивания (каскад). Способ такой интерпретации и оценка условий перемешивания в реальном аппарате будут рассмотрены в главе III. Полученные аналогичным образом математические описания стационарных непрерывных процессов для простых моделей перемешивания приведены в табл. И-З.
В этой таблице не приведены уравнения модели каскада, так как они представляют собой уравнения для аппарата идеаль ного перемешивания, записанные последовательно для 1 , 2 , аппаратов. Более детальное рассмотрение моделей дано в литера туре [1 ].
Эти уравнения используют для расчета результатов процессов в режимах нормальной эксплуатации. Уравнения для нестационар ного процесса позволяют предложить методы оценки перемеши вания в реальном аппарате (см. главу III). Их также используют при решении задач управления процессом в переходных режимах, качественного исследования поведения процесса в устойчивом и неустойчивом режимах (см. главу V).
69
ТАБЛИЦА Н-З
Математические описания стационарных непрерывных процессов при различных условиях перемешивания
|
Математическое описание |
Возможные граничные условия |
||||
|
А п п а р а т ы и д е а л ь н о г о п е р е м е ш и в а н и я |
|
|
|||
A[SvCt) = wV |
|
|
- |
|
|
|
Д(Сс2’)= - ?пршГ4-Ат^(г,вн-Г) |
|
- |
|
|
||
|
А п п а р а т ы и д е а л ь н о г о в ы т е с н е н и я |
|
|
|||
d (SvCi) -w |
|
SvCi (0) = |
const |
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
r d (ficT) |
' ^пр“7+ kT У |
(Гвн — T ) • |
GcT (0) = const |
|
|
|
dV |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
А п п а р а т ы с п р о д о л ь н ы м п е р е м е ш и в а н и е м * |
|
|||||
xL dx% |
dx |
|
vCi (0) —BiL -d-Cj J -0) |
—0; |
|
|
|
|
dx |
|
|
||
|
|
|
dC i(L ) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
d*T |
d (GcT) |
F_ |
%L |
dT(0) |
dT(L) |
|
* L dx* |
S dx qn*W + kT у |
vT (0)— ^-.— ^ = 0 ; |
- . |
= 0 |
||
pc |
dx |
dx |
А п п а р а т ы с п р о д о л ь н ы м п п о п е р е ч н ы м п е р е м е ш и в а н и е м *
92Ci |
|
d(vCi) |
uiL~d& |
r ’ dr [ dr |
dx |
-fw= 0 |
|
|
%L |
dzT |
Яд |
1 |
d |
Г_ dT ] |
cp |
* Их* |
|
* г |
* dr |
[ Г dx J |
|
d (vT) |
q JO |
|
k T |
F |
vc,(0. r)-D a r) =Q;
i £ d £ i j i = 0; ^ -[г ,0 )= О \ |
|||||
|
dx |
’ |
dr |
4 |
|
dCjdr |
(iг, Я) = 0 |
|
|
|
|
v T (0, |
Яг |
dT (0. г) |
л |
||
r ) ----- L --------— = 0; |
|
||||
|
|
cp |
da; |
|
|
d f |
(£. |
r) |
d f |
(ж, 0) |
n. |
dx |
U’ |
|
dr |
|
|
dT (x, |
B) |
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
* Коэффициенты перемешивания и £ тд и теплопроводности Xj, и Хд не за висят от л и г (где L —длина аппарата, В —радиус аппарата); с и р—постоянны.
70