книги / Основы механики горных пород
..pdfПрименительно к процессам деформирования горных пород задачи о напряженно-деформированном состоянии рассматри вают преимущественно в статической постановке. При этом ус ловия равновесия любой внутренней точки деформируемого
тела могут быть записаны в виде |
|
|
|
||||
да. |
|
дх■“if |
| |
д т . |
|
|
|
— — 4 |
ду |
|
- Г - + - |
|
|
||
дх |
1 |
|
dz |
|
|
|
|
дХух |
1 |
да»- |
I |
дХух |
\| - Y = |
0 ; |
(104) |
дх |
1 |
а |
|
dz |
|
|
|
|
ду |
|
|
|
|
||
дХ2Х |
|
дхгу |
|
s°* |
+ 2= 0, |
|
|
дх |
|
ду |
|
dz |
|
|
|
где X , У, Z — проекции |
массовых сил на оси Ох, Оу, Oz. |
|
|||||
Для точек же поверхности рассматриваемого тела уравне |
|||||||
ния равновесия имеют вид |
|
|
|
|
|
||
N х— a j -f- ххут -f- xxzn\ |
|
(105) |
|||||
Ny= xxyl + aym-\-xyzn\ |
■ |
||||||
N2 = xzxl + xzym-\-ozn, , |
|
|
где Nx, Nv и Nz — проекции внешних сил на нормаль к поверх ности деформируемого тела; I, т, п — направляющие косинусы нормали.
Уравнения (105) характеризуют связь между внешними си лами, действующими на поверхности тела, и компонентами на пряжений, действующими внутри тела у поверхности.
Однако для того чтобы основное условие — сплошность сре ды — выполнялось и после деформирования, соотношение ком понент деформаций должно удовлетворять условиям неразрыв ности деформаций. Эти условия, называемые уравнениями Сен-
Венана, непосредственно следуют |
из |
соотношений (103) и |
||||||
в прямоугольной системе координат имеют вид |
|
|||||||
|
дЧх |
|
д2гу |
|
д2уХу |
ш |
|
|
|
ду2 "Г~дх2 |
“ |
дхду |
’ |
|
|
||
|
д% |
, |
д% |
|
д2ууг . |
|
|
|
|
dz2 |
|
ду2 |
_ |
дудг |
’ |
|
|
|
д% |
|
дгех |
д2угх . |
|
|
||
-2-1' дУуг |
дх2 |
1 |
dz2 |
|
дхдг |
’ |
|
( 106) |
., |
дуы |
|
дУху \ _ о |
дЧ2 |
’ |
|||
dz У, дх |
h |
а» |
|
dz |
) |
|
дхду |
|
J__(' дугх . |
духу |
|
дУиг \ _ |
о |
д2гх |
’ |
||
дх 1. ьу |
|
dz |
|
дх |
) |
|
дудг |
J L (
ду \,
д
dz
. дЬг
1 ах
дЪх
ду
\
)
одЧу
дгдх
Уравнения (106) являются необходимым и достаточным ус ловием интегрируемости уравнений (102) для нахождения пере мещений и, V и w.
Таким образом, в соответствии с моделью сплошной среды для определения напряженно-деформированного состояния ка кого-либо тела имеется основная система из девяти независи
мых |
уравнений |
(104) и |
(106), в которых содержится 15 неиз |
|
вестных: ах, Gy, |
Gг, Хху, Тхг, Гуг, &х, 8 у, Sz, |
Уху, Ухг, Ууz, U, V, W. |
||
В |
основу уравнений |
(103) — (106) |
положены самые общие |
представления о равновесном состоянии отдельных точек рас сматриваемой среды, а также выполнение условия ее сплошно сти в течение всего процесса деформирования. В силу этого данные уравнения являются общими для любых моделей сплошной среды.
Однако в зависимости от конкретного вида применяемой мо дели сплошной среды, например упругой, пластической, вяз кой и т. д., для отражения особенностей деформирования вво дится специальная группа уравнений, описывающая эти фи зические законы связи напряжений и деформаций. В частности, упругая модель основывается на прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями — законе Гука. При этом связь компонентов напряжений с компонентами деформа ций — обобщенный закон упругости — имеет вид
в*= |
- - |
le*— V (сг^+ ог)]; |
уху = - ^ х ху; |
|
||
= |
|
К |
— v (a * + ог)]; |
ууг = ~ х уг; |
(107) |
|
®г = |
~ |
[®г' |
У (Oz "Г 0^)1 » |
Ухг ~ ~~ртТге» |
|
|
|
Е |
|
|
|
О |
|
где Е — модуль |
упругости; |
G — модуль сдвига; v — коэффици |
||||
ент поперечных деформаций |
(коэффициент Пуассона). |
|
Дополнением указанной группы уравнений к общей системе уравнений сплошной среды удается избавиться от статической неопределенности и число независимых уравнений становится равным числу неизвестных, которые таким образом могут быть найдены в ходе решения поставленных задач.
С точки зрения практических вопросов механики горных по род большой интерес представляют частные случаи напря женно-деформированного состояния среды — плоское напряжен ное состояние и плоская деформация.
П л о с к о е н а п р я ж е н н о е с о с т о я н и е возникает, когда все напряжения параллельны какой-либо одной плоскости (см,
рис. '49). В этом случае сг2= т2х=т2у = 0 и тензор напряжений имеет вид
(108)
В то же время, несмотря на равенство нулю а2, тензор де формации содержит компоненту линейной деформации е2, она в соответствии с зависимостями (107) определяется уравнением
е * = - ~ К + <*!/)• |
(109) |
Таким образом, тензор деформации при плоском напряжен ном состоянии имеет вид
ех |
Т 1'" |
|
1 |
||
С |
||
|
О |
|
0 |
0 |
0
0
^ 2
(110)
Плоское напряженное состояние характерно для объектов, у которых один из размеров существенно меньше двух других, например для тонких пластин, нагруженных по контуру силами, параллельными их плоскости. В частности, если в гравитацион ном поле сил в массиве пород вокруг вертикального ствола мыс ленно выделить тонкий слой, перпендикулярный к его оси, то напряженное состояние пород в выделенном слое можно прак тически полагать плоским.
Условия п л о с к о й д е ф о р м а ц и и возникают в случае,
если перемещения точек |
деформируемого |
объема происходят |
только в одной плоскости. |
При этом ez=0; |
у*2=0; t Vz=Xxz=0 и |
тензор деформации может |
быть записан в виде |
Тд — |
-\-Ъ у |
(111) |
|
|
|||
|
~2^УХ |
&У |
|
Вместе с тем из уравнения |
|
|
|
е2= |
[ог V(ЦдсЧ* Оу)]= 0 |
( 112) |
|
получаем, что |
|
|
|
|
<Jz=v((JAr+CTу). |
(113) |
Таким образом, хотя ег= 0, тензор напряжений для условия плоской деформации содержит компоненту сг2 и определяется выражением
<*х |
^ху |
0 |
(114) |
^ух |
Оу |
0 |
|
0 |
0 |
а |
|
При плоской деформации находятся средние точки тела, размеры которого в одном каком-либо направлении очень ве лики, при условии, что не изменяющиеся по значению нагрузки действуют перпендикулярно к этой длинной оси. Например, в гравитационном поле сил в условиях плоской деформации фактически находятся породы вокруг сечения горизонтальной горной выработки.
При использовании упруго-пластической модели в соответ ствии с теорией малых упруго-пластических деформаций к об щим девяти уравнениям следует добавить шесть физических уравнений
2о,-
С х — <7Ср — |
Зе,- |
«V, |
|
|
|
|
|
|
|
||
Оу— СГср — |
2<г* |
|
|
|
|
Зге |
Ъу' |
|
|
||
<Уг — СГср : |
2Oj |
„ . |
|
|
|
Зе,- |
|
|
(115) |
||
|
|
|
|
||
ТЛГ1/ -- |
Зе,- |
Уху"' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TifZ -- |
Зе*<4 |
Ууг\ |
|
|
|
тгх = |
Oj |
Угх* |
|
|
|
Зе,- |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
сгср = |
( а х |
ст,,+ |
с2); |
(116) |
|
ü |
|
|
|
|
|
Ot = -----—1 л / ( а х — ° y f + (а у — |
а г)2+ (а г -— |
a x f + 6 (т?ху+ ^уг + |
T » ) Î |
||
д/2 |
|
|
|
|
(117) |
|
|
|
|
|
|
е |
л/2 |
X |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
/ \ J {&х'—8у)2+ (в*— е2)2 + (ег— е2)2+ - ~ {у2ху+ У% + у1х) |
(П6) |
Зависимость между а* и б,- выражается следующим уравне нием связи:
Oi = E (1—(!>)ег. |
(119) |
|
При этом вид функции ю = / (в{) устанавливают по результа |
||
там испытаний пород при одноосном |
сжатии — растяжении. |
|
Из рассмотрения уравнений (115) |
следует, что в отличие от |
|
упругого деформирования коэффициент |
пропорциональности |
(модуль деформации) при пластическом деформировании не яв ляется постоянным, а изменяется от точки к точке и уменьша ется тем сильнее, чем больше сама деформация.
Необходимо отметить, что прямое решение уравнений для условий упруго-пластического деформирования почти невоз можно вследствие большого числа уравнений в частных произ водных и их нелинейности. В настоящее время получены реше ния лишь для некоторых частных случаев.
При проведенном рассмотрении условий упругого и упруго пластического деформирования мы пока не учитывали время воздействия внешних нагрузок. Между тем опыт показывает, что практически все реальные материалы обладают способно стью даже под действием постоянных нагрузок деформироваться во времени. Для описания подобного деформирования обычно привлекают различные модели, основанные на гипотезах ползу чести. Наиболее широко используется, как упоминалось выше, гипотеза линейно-наследственного деформирования.
Для одноосного деформирования эта зависимость имеет вид
( 120)
где L (t, т) — функция ползучести, определяемая эксперимен
тально.
Акад. Ю. Н. Работновым показана возможность обобщения уравнения (120) на условия пространственного деформирова ния [115]. При этом физические уравнения ползучести приводят
к виду, аналогичному для упругих моделей: |
|
|
Еег= аг—v (а, + ау)\ |
Gyzx= тгх; |
|
Ёгх= ах—v (<уу+ аг); |
Gyxy = хху\ |
( 121) |
Еву= оу v (ctf -J- стг); |
Gyyz— туг, |
|
где Е = Е (1—Е*), G= G (1—G*), v = v (l+ v * ) — временные опе раторы, состоящие из упругой постоянной (Е, G, v) и интеграль
ной (Е *, G*, v*) |
частей, учитывающих изменение этих парамет |
|
ров во времени. |
(121) следует, что задачи теории ползучести |
|
Из |
уравнений |
|
могут |
быть сведены к решению задач теории упругости с после- |
дующей заменой в решении упругих констант соответствующими временными операторами.
Таким образом, для учета ползучести, так же как и для учета пластических деформаций, требуется знать различные па раметры деформирования, для чего необходимы трудоемкие и длительные эксперименты.
§ 38. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ СРЕД
Наряду с моделями сплошных сред для описания де формирования массивов горных пород используют модели дис кретных сред. В этом случае среду представляют в виде сово купности отдельных частиц; каждая из которых, взятая в от дельности, обладает всеми свойствами твердого тела. Вместе с тем силы сцепления между отдельными частицами отсутст вуют вообще либо настолько малы, что ими можно пренебречь. Вследствие этого дискретные среды не воспринимают растяги вающих усилий, что резко отличает их от твердых сплошных тел.
Вто же время дискретные среды, так же как и твердые тела, способны воспринимать сжимающие нагрузки и по ха рактеру передачи усилий от одной частицы к другой могут быть подразделены на распорные и безраспорные [57].
Впервом случае (рис. 50, /) каждая частица ведет себя внутри массива как клин, в силу чего при воздействии внешней вертикальной нагрузки внутри массива возникают горизонталь
ные составляющие усилия.
Во втором случае распора в среде не возникает, поскольку каждая частица передает нижележащим частицам только вер тикальные усилия (рис. 50, //) .
Вообще говоря, поскольку дискретные среды состоят из от дельных частиц-зерен, к ним лишь условно можно .применять понятие «напряжения». При этом под «напряжениями» в меха нике дискретных сред понимают усилия на отдельные частицы, отнесенные к площади сечения этих частиц. Таким образом, напряжение в какой-либо точке дискретной среды есть вели чина случайная, и для того чтобы характеризовать напряжен ное состояние какого-либо бесконечно малого объема, необхо димо усреднять значения напряжений в отдельных зернах. Подобное усреднение может быть представлено и как опериро вание с некоторым объемом эквивалентной сплошной среды, напряженное состояние которого в среднем соответствует на пряженному состоянию равновеликого объема дискретной среды.
Применение к дискретной среде понятия «деформация» также имеет некоторую условность. Под влиянием приложенных усилий отдельные частицы могут деформироваться сами, пере мещаться поступательно с поворотом, в результате чего проис-
Рис. 50. |
Модели дискретных |
сред. |
/ |
Р |
|||||
I — распорная |
зернистая среда; |
II — без- |
|
|
|||||
распорная |
среда |
блочного строения. |
|
|
|||||
ходит |
переупаковка |
частиц и |
|
|
|||||
может |
изменяться |
плотность |
|
|
|||||
среды. В соответствии с этим |
|
|
|||||||
под |
деформациями |
|
какого- |
|
|
||||
либо объема дискретной среды |
|
|
|||||||
также понимают деформации |
|
|
|||||||
равновеликого |
объема |
сплош |
|
|
|||||
ной |
упругой |
среды, |
т. |
е. и |
|
|
|||
в этом случае производят за |
|
|
|||||||
мену |
дискретной среды |
неко |
|
|
|||||
торой |
|
эквивалентной |
ей |
|
|
||||
сплошной |
средой. |
сред спра |
|
|
|||||
Для |
дискретных |
|
|
||||||
ведливы |
|
уравнения |
равнове |
|
|
||||
сия в |
форме |
равенств |
(104). |
|
|
||||
Однако |
необходимо |
помнить, |
|
|
что они выполняются лишь статистически, т. е. в среднем для какой-либо области.
Вместе с тем в отличие от сплошных сред к дискретным сре дам не могут быть применены уравнения совместности дефор маций. Вместо них для дискретных сред существуют свои соот ношения между компонентами напряжений и деформаций.
В частности, в дискретных средах любые две частицы (блока) связываются друг с другом через третью. При этом в случае, если вертикальные усилия на них будут различными,
то |
в связывающем их блоке возникает перерезывающая сила |
Т |
(рис. 50, II), которая в первом приближении может быть при |
нята пропорциональной разности вертикальных усилий. В свою очередь от перерезывающей силы легко перейти к касательным
напряжениям, действующим |
в связывающем блоке (частице), |
и, таким образом, получить |
соотношения между касательными |
и нормальными компонентами напряжений в дискретной среде. Эти соотношения характеризуют способность рассматриваемых сред распределять действующие нагрузки и для безраспорной среды имеют вид
Т х г —
II
N
Г---- .
ьу х
.
2а * |
д х |
’ |
ГГ |
1 |
|
д 2в ; |
---- |
2 |
д х 2 |
||||
|
|
|
х |
, |
||
1 |
д а г |
|
|
4а |
; |
|
|
|
|
|
( 122) |
||
2а и ’ |
|
|
|
1 |
|
|
д у |
’ |
|
|
д 2а г |
||
1 |
|
|
° У — |
. 2 |
' |
|
д * о г |
|
|
4а * |
|
д у 2 |
|
|
|
|
|
У |
|
|
i a x a y |
д х д у ' |
где oz— функция внешней нагрузки; ах— а/(2СхЬ2); ау= = а/(2СуС2)\ Сх и Су — коэффициенты пропорциональности в на правлениях соответствующих координатных осей (с учетом ани зотропии массива); а, Ь, с — поперечные размеры блоков (час тиц).
В случае распорной среды коэффициенты пропорциональ ности a.v, av в уравнениях уже не являются постоянными, а ме
няются с глубиной z : |
|
|
-1 — = ф(2) = |2; |
= ф(г) = 6г, |
(123) |
zax |
Му |
|
где £ — коэффициент бокового распора. |
|
|
Уравнения, характеризующие распределительную |
способ |
ность дискретной среды, называют физическими уравнениями [57, 89]. Однако в отличие от физических уравнений для сплош ных сред, отражающих взаимосвязи между компонентами на пряжений и деформаций, они имеют форму соотношений компо нент напряжений, действующих в массиве.
Вообще говоря, в подобной же форме можно представить и физические уравнения для сплошной среды. Например, для слу чая идеально упругой среды акад. А. Н. Динником получено непосредственно из закона Гука известное соотношение между вертикальными и горизонтальными компонентами нормальных напряжений* [41]:
а х = |
7 3 7 ° ^ ' |
( 124> |
Поскольку между компонентами напряжений в дискретных средах существуют приведенные выше соотношения, очевидно, им должны соответствовать и определенные соотношения ме жду компонентами деформаций.
В частности, для безраспорной дискретной среды в предпо ложении равенства нулю коэффициента поперечных деформа ций V связь между средними перемещениями (горизонтальными и вертикальными) и поворотами частиц имеет вид
и = |
д-о> |
|
||
дгдх |
|
|||
|
|
|||
1 |
д2а> |
|
||
V= • |
дгду |
|
|
|
4а? |
|
|
||
Ухх = |
1 |
а2© |
|
|
ах |
дгдх |
’ |
||
Ууг = |
1 |
д2© |
|
|
ау |
дгду |
’ |
||
|
||||
Уху = |
1 |
д2® |
||
2ахау |
дхду |
|||
|
* Вывод этой формулы дается в гл. 8.
i |
с |
где to = ~ |
I ozdz\ ш, a, v — соответственно вертикальное и |
с |
b |
горизонтальные перемещения в направлении осей Oz, Ох и Оу; yXz, Ууг и уху — сдвиги в направлении соответствующих коорди натных осей.
Соотношения (125) по их сути аналогичны уравнениям не разрывности для-сплошной среды.
Итак, для описания напряженно-деформированного состоя ния дискретных сред в настоящее время создан общий матема тический аппарат, а также имеются решения для некоторых частных случаев. Однако существенную трудность представляет экспериментальное определение коэффициентов, характеризую щих структурные особенности дискретных сред.
Дискретные модели, как и модели сплошных сред, весьма идеализированно отражают свойства реальных массивов горных пород, поэтому их применение носит характер определенного приближения к действительности. Вместе с тем модель безраспориой дискретной среды может быть, по-видимому, успешно применена для описания массивов скальных трещиноватых по род в случае их простейших структур, а модель распорной дис кретной среды — для описания грунтов.
§ 39. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД
Параметры напряженно-деформированного состояния горных пород, т. е. напряжения и деформации, являются исход ными для оценки их прочности. При этом в зависимости от свойств пород условия их разрушения могут быть охарактеризо ваны различными комбинациями параметров напряженно-де формированного состояния.
По современным воззрениям разрушение кристаллической решетки твердых тел может происходить путем разъединения (отрыва) или скольжения (сдвига) атомов. Если в первом слу чае решетка сразу же распадается на части, то во втором ее разрушению предшествуют значительные искажения. Разруше ние поликристаллических тел протекает более сложно, оно яв ляется следствием многих разрушений как внутри отдельных кристаллов, так и по поверхностям их контактов.
По-видимому, в общих чертах таков же механизм разруше ния и горных пород, если учитывать присущие им неоднород ности структуры и состава. При рассмотрении этого процесса также выделяют две формы разрушения: а) отрыв, обусловлен ный деформациями удлинения, т. е. преимущественным дей ствием нормальных растягивающих напряжений; б) срез или скалывание вследствие преобладающего развития деформаций сдвига, вызванных касательными напряжениями.
В' настоящее время экспериментально обосновано, что любое твердое тело в зависимости от условий нагружения может раз рушаться с проявлением обеих выделенных форм. При этом в одних случаях разрушение наступает после стадии малых де формаций (хрупкое разрушение), в других материал до раз рушения испытывает значительные остаточные деформации (вязкое или пластическое разрушение). Между тем на протя жении почти двух столетий представления о разрушении твер дых тел путем отрыва и среза противопоставляли друг другу. Это нашло отражение и в созданных теориях, а точнее, гипоте зах прочности, которые четко можно подразделить на две группы в соответствии с гипотетическим механизмом разруше
ния, положенным в их основу. |
теорий прочности — т е о р и я |
|
Так, одна из |
самых ранних |
|
н а и б о л ь ш и х |
н о р м а л ь н ы х |
н а п р я ж е н и й — была вы |
двинута в 1688 г. Г. Галилеем. Согласно этой теории опасное состояние материала наступает при достижении наибольшим нормальным напряжением некоторого определяемого экспери ментально критического значения. В то же время влияние дру гих компонент тензора напряжений совершенно не учитывается. Вследствие этого различия в поведении материалов при одно осном, двухосном и объемном напряженном состояниях также не учитываются. Последнее обстоятельство существенно огра ничивает область применения этой теории как для пластичных, так и для хрупких материалов, в том числе и для горных по род. Практически данная теория применима лишь в условиях одноосного растяжения.
Условие прочности по этой теории записывают в виде |
|
сг < [а], |
(126) |
где tri— наибольшая из нормальных компонент тензора |
напря |
жений; [а] — допускаемое напряжение для рассматриваемого материала.
При этом под [а] для хрупких материалов понимают значе ние предельного напряжения, вызывающего появление неупру
гих деформаций, т. е. предел упругости, |
а |
для пластичных — |
|
предел текучести. |
т е о р и я |
н а и б о л ь |
|
В отличие от первой теории прочности |
|||
ш и х д е ф о р м а ц и й (теория Мариотта, |
1682 г.) |
принимает, |
что критическое состояние материала определяется его дефор мациями, т. е. наибольшим удлинением (или укорочением). В случае объемного напряженного состояния в пределах уп
ругого деформирования |
условие |
прочности по этой |
теории |
|
8 т а х — “Г Г |
[ ° 1 v |
( ^ 2 |
f f 3) ] ^ п |
(127) |
Е |
|
|
Е |
|
или |
V ( a 2+ |
|
|
(128) |
{(T l— |
a 3)} < [ с г ] . |
1 6 0