книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf$8. ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ |
91 |
Вторая формула, очевидно, даст для толщины стенки величину на 7% меньшую, нежели первая формула.
Третья гипотеза даст такое условие прочности:
oz—ox^ R i . |
(3) |
В нашем случае это условие эквивалентно условию (1):
2pi^.Ri.
Случай толстостенной трубы. Пусть г0 и гх — наружный и внутренний радиусы трубы, р0— величина внутреннего давления.
Рассмотрим случай, когда деформация по направлению оси трубы равна нулю. Тогда тангенциальное и радиальное главные напряжения в какой-либо точке будут
тPor\ (r2+ r l ) ____
|
(гг-г?)г» |
г* |
( 1) |
R |
Р<А(гг—Го) |
|
|
|
|
||
|
|
|
гЧ П - r t )
Через г мы обозначаем переменное расстояние рассматриваемой точки до оси трубы. Третье главное напряжение параллельно оси трубы, по величине занимает среднее значение между т и R и по тому в условия прочности не войдет.
Наиболее напряжен материал стенки по внутренней поверхно сти трубы, т. е. при r=rlt Формулы (1) в этом случае нам дают
Р» (rt -f-го) |
R = — Po- |
2 2 |
|
ro—/i |
|
Если вести расчет трубы на основании первой гипотезы, то условие прочности будет
Ро (г1~\-Го)
2 2 |
(П |
Го —Гг |
|
При заданном внутреннем радиусе гх и заданном давлении р0 наружный радиус трубы и толщина стенки б определятся по фор мулам
г0 = г1 |
Pi~\~ Ро |
б = гг ( 1 / |
^1 + Ро |
|
( ) |
Ri—Po |
V V |
R i-P o |
О- |
2 |
|
|
|
Когда внутреннее давление достигает величины допускаемого напряжения, выполнение трубы становится невозможным, так как наружный радиус, определяемый на основании формулы (2), получает значение, равное бесконечности.
92 |
ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ |
Положив в основание расчета вторую гипотезу, мы при коэф фициенте поперечного сжатия &=1/4 будем иметь условие проч ности *)
5 rl + 2rl |
|
8 г\- ■л Po< R 1- |
(3) |
Для определения наружного радиуса трубы и толщины стенки получим формулы
г , = Г, |
8 f l i + 5р 0 |
S= Px |
8^ 1+ 5рр |
(4) |
— Юро ’ |
8^?1— Юро |
Предельное давление, при котором исполнение трубы стано вится невозможным, будет
р0= 0,8^ 1,
т.е. на 20% меньше, нежели в случае расчетов на основании фор мулы (2).
По третьей гипотезе разность между наибольшим и наименьшим напряжениями не должна превосходить определенной величины. Условие прочности в этом случае будет
или
(5)
го— Г1
Наружный радиус и толщина стенки будут
Го = Г] P i - 2p0’ б = Гх U x -V o - 0 ' |
(6) |
Предельное давление в этом случае будет, очевидно,
Нетрудно видеть, что толщина стенки, определяемая на осно вании формулы (6), будет всегда больше, нежели в обоих преды дущих случаях. Когда p0= 0,2x1, то формулы (2) и (4) дают для толщины стенки одну и ту же величину:
б = ^ 0/175 — 0 = 0,22/4.
Формула (6) в данном случае нам дает величину
S= r t ( | ~ l ) =0,29r1,
т.е. величину на 30% большую, нежели формулы (2) и (4).l
l)L о v е А. Е. Н. A treatise on the mathematical theory of elasticity. Cam bridge, University Press, vol. 1, 1892, 354 p. CM . p. 226.
$ 8. ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ |
93 |
Случай быстровращающегося диска. Если деформации по на правлению оси диска равны нулю, то главные напряжения будут *)
й)2р ( 2 Я + З р ) . |
‘ -г2), |
|
||||||
радиальное |
4(х+2)1) |
(а |
|
|||||
тангенциальное |
|
|
|
[(2Я. + Зр) а2- (2Л. + |
р) г2], |
|||
й)2рХ |
. |
/ 2 Я + |
Зр . |
-2г2 |
|
|||
осевое .■.. , 0 |
|
— |
- |
а2 |
|
|||
4 (Л .+ 2 ц ) \ Я + р |
|
)■ |
|
|||||
|
|
|
||||||
В этих формулах а обозначает |
радиус |
диска; |
© — угловую |
|||||
скорость вращения диска, |
р — массу единицы объема диска. |
|||||||
Наибольшей величины достигают |
напряжения при г=0, т. е. |
|||||||
на оси диска. В этом случае мы будем иметь |
|
|
||||||
|
й)2р ( 2 Я + З р ) |
а2 |
|
|
|
|||
|
4 (Я + |
2р) |
|
’ |
|
|
||
°У — |
й)2р ( 2 Я + З р ) а 2 |
|
|
|
||||
4 ( Я + |
|
2р) |
|
’ |
|
|
||
° х ~ |
й)2рЯ ( 2 Я + З р ) |
а 2 |
|
|
||||
4 ( Я + 2 р ) |
Я + р ’ |
|
|
|||||
На основании первой гипотезы условие прочности будет |
||||||||
ш2р (2Я + |
Зр) а2 |
|
|
|
(1) |
|||
|
4 ( Я + |
2р) |
|
|
|
Положим коэффициент поперечного сжатия равным &=1/4, тогда, как известно, Я=р и условие прочности (1) перепишется так:
j2 ©2ра2 < Ri- ( У )
Отсюда для заданного материала и при заданном радиусе диска можем определить предельную безопасную угловую скорость.
Вторая гипотеза нам дает 2)
со2р а 2р (ЗЯ + 2р) (2Я + |
Зр) |
(2) |
|
8 ( Я + р ) 2 (Я + |
2р) |
!< * х |
|
или, полагая коэффициент поперечного сжатия |
|
||
k = -r, |
Л,= |
р, |
|
будем иметь |
|
|
|
ОС |
|
|
|
| © 2ра2< ^ . |
(2 ') |
*) L о v е |
А. Е. Н. См. стр. 224 и 225 его книги, упомянутой в сноске на |
стр. 92. |
А. Е. Н. См. стр. 225 его книги, упомянутой в сноске на стр. 92. |
2) L о v е |
94 ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
На основании третьей гипотезы будем иметь
а>2р а 2р ( 2 А , + З р ) |
(3) |
4 ( Я + р ) ( Я + 2 р ) |
или, полагая
k = \ , Я = р ,
получим
(3')
Таким образом, предельная допускаемая угловая скорость по лучится наибольшей при расчете по формуле (3'). Называя через <■>!, ю„ и й>з предельные угловые скорости, определяемые по фор мулам (Г), (2') и (3'), будем иметь следующее между ними соотно шение:
<о1:ю2:а),= 1 : j ' V 2 .
§ 9. Формулы сложного сопротивления для чугунах)
Для чугуна, цемента и других материалов, не имеющих предела упругости, допускаемые напряжения назначаются в зависимости от временного сопротивления. Так как временное сопротивление сжатию обыкновенно больше, нежели растяжению, то предельная прямая АВ (см. рис. 7) наклонна к оси абсцисс и угол <р — острый.
Уравнение прямой АВ, как мы видели, будет
x _ ± V ^ F . [ l - ^ ] . |
(» |
Для более удобного пользования предельной прямой мы напишем ее уравнение в нормальном виде. Для этого введем новые перемен ные
*о= 2 |
|
и угол ф. Тогда уравнение прямой (1) перепишется так: |
|
о cos фЧ-т sin ф—то8т ф = 0. |
(2) |
Если в уравнение (2) вместо а и т подставить координаты какойлибо точки, то левая часть (2), как известно, представит собой тогда расстояние от этой точки до прямой. Всякий главный круг, определяющий одно из предельных напряженных состояний, дол жен касаться прямой (2); центр его имеет координаты
о' = а£+ о£ и т, = 0*)
*) R о t h Р. См. его работу, указанную в сноске #) на стр. 79.
s 9. ФОРМУЛЫ сложного СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ ЧУГУНА |
95 |
Вставляя эти величины в уравнение (2), найдем радиус любого предельного главного круга
„az+ a*
Вслучае чугуна можно положить
*2= 4*!.
Следовательно,
COS(P = F*2T+ F*1 = 0>6-
Из рис. 7 нетрудно видеть, что
т0sin ф = ОС = -^-(1 -t-coscp) = 0,8*!.
Всилу этого, уравнение предельной прямой для чугуна напи шется так:
acosq>+Tsin<p—0,8*i=0. (3)
Применим все сказанное к некоторым случаям сложного сопро тивления.
Чистый сдвиг. Определим величину напряжений, соответствую щих разрушению при чистом сдвиге. Для этого нужно построить соответствующий предельный круг. Так как в случае чистого сдви га az= —ах, то, очевидно, центр предельного круга совпадет с началом координат О (см. рис. 7).
Радиус ОС этого круга, очевидно, и даст искомое предельное напряжение. Называя предельное напряжение при сдвиге через *3, мы на основании предыдущего можем написать
*з= 0,8*i.
Допускаемое напряжение при сдвиге, очевидно, будет /?3= 0,8i?i.
В случае расчета вала кругового сечения, к которому приложен скручивающий момент М, будем иметь
\т |
5М |
тР |
<Р • |
Для определения диаметра получим уравнение
™ = R, = 0,BR„
откуда
d3 = 5RiМ•1,25.
96 ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Эта формула совпадает с тем, что дает теория наибольших рас
тяжений, тогда коэффициент поперечного сжатия &=1/4. |
§ 8, |
||||
Расчет толстостенной трубы. Сохраняя обозначения |
|||||
будем иметь |
|
|
|
|
|
-л |
|
2 » |
— |
РО- |
|
Но 2 |
|
||||
|
го— ri |
|
|
|
|
Диаметр предельного круга, очевидно, будет |
|
||||
|
ог- а х = р0 |
|
|
(4) |
|
|
|
Го— Гг |
|
|
|
Координаты центра предельного круга будут |
|
||||
о = q z |
~ |
Рог 1 |
|
0. |
|
|
|
Го— Г! |
|
|
|
Подставляя эти величины в уравнение (3) предельной прямой, |
|||||
будем иметь для определения размеров трубы уравнение |
|
||||
РоЛ |
cosq>— 0,8*! = |
|
Рого |
(5) |
|
rl —r\ |
|
|
|
■л |
|
При полученных из уравнения (5) размерах труба будет в пре дельном напряженном состоянии, если внутреннее давление сде лается равным р0. Так как допускаемые напряжения гораздо ниже предельных, то для практических расчетов в уравнение (5) придется вместо величины хх — предельного напряжения при растяжении — поставить величину Rx. Тогда наружный радиус трубы и толщина стенки определятся из формул
Га — Г |
Ri ~f~ 0,75ро |
*с _r I/ fli4ffi -+0>75pQ,75p00 |
1)- |
1 |
R1 — 1 ,2 5 р 0 |
" U i - l ^ p o |
Случай изгиба и кручения. Сохраняя обозначения § 8, будем иметь для определения главных напряжений выражения
аг = ^ ( М + У Ш + Щ ), ax = -§r{M -V M * + M $.
Диаметр предельного круга для этого случая напряженного состояния будет
ог- о х = £ у М * + М\.
Координаты центра предельного круга:
, _ о£+ о£ _5/И
т' = 0.
2 — <р '
§9. ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ ЧУГУНА |
97 |
Подставляя эти величины в уравнение предельной прямой, будем иметь
7? cos ф— 0,8*, = - 1 VM* + M\.
Для определения прочных размеров вала вместо х, подставляем прочное сопротивление растяжению R t:
= 0,375Af + 0,625 V W + Щ ,
Эта формула совершенно совпадает с тем, что дает гипотеза наибольших растяжений при fe=l/4.
К ВОПРОСУ О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ ЖЕСТКОСТЬЮ УЗЛОВ
Известия С.-Петербургского политехнического института, том 7, отдел техники, естествознания и математики, выпуск 1, стр. 135— 144.
§ 1. Постановка задачи
Обычная метода определения дополнительных напряжений ос нована на следующих двух допущениях:
а) перемещения в ферме с жесткими узлами под действием за данной нагрузки такие же, как и перемещения в соответствующей ферме с идеальными шарнирами под действием той же самой на грузки. Это допущение равносильно предположению, что изгиб отдельных стержней фермы при деформации не оказывает влияния на величины продольных напряжений стержней, получаемые в предположении шарнирных соединений. Напряжения эти называют «основными напряжениями»;
б) благодаря жесткости узлов отдельные стержни фермы при деформации изгибаются; изгибающий момент есть линейная функ ция расстояния рассматриваемого поперечного сечения стержня от одного из концов. На основании этого допущения получается из вестная формула, дающая выражения для изгибающих моментов у концов стержня через углы наклона касательных к изогнутой срединной линии стержня, проведенных в узлах, к хорде, соеди няющей эти узлы.
Пусть 1—2 (рис. 1) — первоначальное положение стержня 1—2 фермы, а 1'—2' — положение того же стержня после деформации. Обозначим через М 2 и М 2 моменты, действующие на стержень 1—2
в узлах, тогда для определения их имеем |
|
|
||
М 1= - ^ - ( 2 7 ’1 + 7’,), |
|
М, = - Ц ± ( Т 1 + 2Т2). |
(1) |
|
Здесь |
|
|
dy |
|
dy |
|
Т ,= + |
|
|
7\ = + dx ! |
И |
dx 2’ |
|
|
|
|
|
|
|
Если мы через tpt и ср2 обозначим углы |
поворота узлов 1 |
к 2, |
а через (0i2 угол между 1—2 и 1'—2’, то формулы (1) можно пере писать в таком виде:
, , |
2EJ |
2EJ |
$2. УРАВНЕНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ |
99 |
|
Таким образом, задача об определении дополнительных напря жений в стержне i — k сводится к определению углов mih, <рь <ph.
Углы ыik определяются одним из обычных методов, применя емых к определению перемещений шарнирной фермы. Углы же ,
определяются из условий равновесия отдельных узлов. Условия эти приводят нас к системе линейных уравнений вида
E J ik |
<0ik |
EJik |
0, |
(2) |
2» ' Е ^ + 2 > * hk |
hk |
здесь суммирование распространено на все стержни, сходящиеся в узле t.
Раз углы <р определены, вычисление изгибающих моментов по формулам (1) и соответствующих им дополнительных напряжений не представляет никаких затруднений.
§ 2. Уравнения и их решение
Что касается первого из допущений, на которых построена приближенная метода определения дополнительных напряжений, то оно подробно рассмотрено в известной работе Е. Ю. Пистолькорса х), там же дана общая метода для определения дополнитель ных напряжений и численный пример, относящийся к пространст венному покрытию системы Фёппля.
Несколько численных примеров на основании той же методы сделано в статье Г. П. Передерия *).
На основании этих исследований возможно установить те пре делы, в которых пользование первым основным допущением дает для дополнительных напряжений результаты, довольно близкие к действительности. Мы переходим ко второму допущению и по-
!) П и с т о л ь к о р с Е. Ю. Расчет ферм с жесткими узлами на основании принципа работы связей. С.-Петербург, Институт инженеров путей сообщения, 1903, отдельный оттиск, стр. 38.
а) П е р е д е р и й Г. П. Влияние жесткости узлов на усилия и напряжения в частях ферм. Москва, Университетская тип., 1904, стр. 100.
100 |
К ВОПРОСУ О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ |
смотрим, в каких случаях оно выражает истинную картину рас пределения изгибающего момента.
Второе допущение равносильно тому, что прогибы стержня оказывают ничтожно малое влияние на величину изгибающего мо мента. Чтобы отдать себе отчет о влиянии прогиба на величину момента, представим себе стержень, подверженный действию двух взаимно противоположных сил, эксцентрично приложенных к концам стержня, как показано на рис. 2.
Линия действия этих сил в общем случае составляет некоторый угол с хордой АВ, соединяющей концы изогнувшегося стержня. Выбирая направление координатных осей, как показано на рис. 2, и разлагая действующие силы на составляющие Р и Q, параллель ные координатным осям, получим для упругой линии следующее дифференциальное уравнение:
EJ j £ = p (a — y)— Qx > |
(3) |
где через а обозначено расстояние точки приложения силы от центра тяжести левого концевого поперечного сечения.
Если в уравнении (3) вместо Q вставить его выражение через значения Mi и М , изгибающего момента на концах стержня, то мы получим
d2y |
|
dx3 + а*У— EJ |
(4) |
где для сокращения введено обозначение:
(5)
Принимая во внимание условия на концах стержня, нетрудно из уравнения (4) получить выражение для ординат изогнутой оси стержня в таком виде:
У — ~р |[4 4 х ctga/ + Afacsca/] sin ах— Мг cos ах— |
—х + МХI . |
( 6)