книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf§ 5. ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ ПЛАСТИНКИ |
Щ |
т. е. наибольшие напряжения при наличии отверстия в два раза пре восходят первоначально равномерно распределенное растягивающее или сжимающее напряжение р. Как видно из формул (13), значитель ные изменения в напряжениях имеют место только вблизи отверстия.
С увеличением г напряжения гг и 00 быстро приближаются к зна чению р. При г=10р
г? = 0,99р, 00 = 1,01/7,
следовательно, наше допущение, что при большом R напряжение можно считать равным р, вполне допустимо.
§ 5. Пластинка подвергается равномерному растяжению или сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 2)
Обозначим через q растягивающее напряжение в направлении оси х, через р — в направлении оси у. Вырежем из нашей пластинки кольцо с большим наружным радиусом R, внутренний радиус, рав ный радиусу отверстия, обозначим через р.
Напряжения на наружном контуре кольца будут
|
rr = psin 20+ ^cosa0, |
rb = — sin 20. |
||
Полагая |
- = п, |
= 8 и вводя синус и |
косинус двойного |
|
угла, получим |
|
|
|
|
|
г? = п —б cos 20, |
г0= б sin 20- |
(14) |
112 О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ
На внутреннем контуре
Гг = 7Ь = 0. |
(14') |
Кольцо подвергается равномерно распределенному по наруж ному контуру растягивающему усилию п, и, кроме того, сжимаю щему и тангенциальному усилию, распределенным по закону
гг = — б cos 20, Я )= 6sin 20. |
(15) |
Мы знаем, какие напряжения получатся от равномерного растя жения п, остается определить напряжения, вызываемые усилиями (15). Возьмем функцию F — функцию напряжений в таком виде (см. §3):
F=(ara-\-br*+or"2+P)cos 20.
Соответствующие напряжения будут |
|
|
гг = (—2а —баг-4— 4p/-~2)cos20, |
|
(16) |
00= (2а-)- 12Ьга-\- баг-4) cos 20, |
► |
г§ = (2а + 66г2—баг- 4—2Pr- 2)sin20. ,
Произвольные постоянные а, Ь, а и р должны быть подобраны та ким образом, чтобы при г=р были выполнены условия (14'), а при r=R, где R велико, должны быть выполнены условия (15). Получаем четыре уравнения:
—2а— 6а/?-4— 4р/?“ 2 = — б,
—2а— бар-4— 4Рр~2 = 0, 2а + 66/?2— 6aR~* = 2р/?-2 = б, 2а+ббр2—бар"4—2Рр2 = 0.
Решая их относительно произвольных постоянных и считая R очень большим, найдем
а = | - , 6 = 0, а = ^ - , р = — бр2;
подставляя эти величины в выражения для напряжений (16), по лучим
гг = ^—б—36-^- + 46 -^ -^ cos 20,
60 = ^6+ 36-^-)cos20,
г'0 = (б —36-j£ + 26 -ei)sin20.
Складывая эти напряжения с напряжениями, обусловленными растягивающими усилиями п, найдем решение поставленной нами
§ 5. ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ |
ИЛИ СЖАТИЕ ПЛАСТИНКИ |
113 |
|
задачи: |
|
|
|
rr = n — jr п — 8 ( l —4 -^- + 3-^-) cos20, |
|
||
00= |
п -f--jy- п -J- б ^1 + 3 |
cos 20, |
(1 7 ) |
f0= |
6 ( l —3-£- + 2 -|£) sin 20. |
|
Из этих формул, как частный случай, получится решение Г. Кир ша и П. А. Велихова, относящееся к растянутой по одному направ лению пластинки.
Положим <7= 0, тогда п=р/2, Ь—р/2 и |
|
||
гг = f |
| 1 — |
(:1— 7 ? + 3 - £ ) cos201 , |
|
® = у |
{ 1 + |
S + l ^ 3 ^ - ) 00329} - |
(1 8 ) |
r9 = f { 1 + 2 ^ ~ 3 T r } s in 2 0 -
Наибольшие растягивающие напряжения получатся на контуре отверстия в точках а, а (см. рис. 2), т. е. на концах диаметра отвер стия, перпендикулярного направлению растягивающей силы. Для этих точек
0 0 = 3 р.
В точках Ь, Ъ, т.е. на концах диаметра, параллельного направле нию действующей силы,
0 0 = — р .
Из формул (17) легко получить и другой интересный частный слу чай, именно: случай чистого сдвига. Для этого положим
я= —р>
т. е. растяжение по оси у сопровождается равным ему сжатием по оси х. В таком случае Ь=0, 6= р,
/т = — р ( l —4-^- + |
cos20, |
|
00 = р ^ 1 -f 3 |
j cos 20, |
(19) |
r0= p ( 1 - 3 - £ |
+ 2 |
sin 20. |
Как видно из этих формул, наибольшее растяжение будет в точ ках а, а (см. рис. 2), где
00 = 4 р ,
114О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НЛ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ
вточках b, b будем иметь наибольшее сжатие
00 = —4р.
Если мы будем скручивать тонкую цилиндрическую трубку, то стенка трубки будет примерно находиться в таких же условиях, как и только что рассмотренная пластинка. Если в стенке
I |
сделать |
круглое отверстие, диаметр |
которого мал по |
|
|
сравнению с |
диаметром трубки, то |
в точках а, а |
|
|
(рис. 3) |
получим сжимающие напряжения, превосхо |
||
|
дящие |
в четыре раза тангенциальные напряжения |
||
|
от кручения. |
В точках b, b получим растягивающие |
||
|
напряжения. |
|
|
|
/а> |
а |
|
|
|
§ 6. Случай, |
когда напряжения меняются |
|||
|
по линейному закону |
|
Пусть пластинка подвергается действию растяги вающих или сжимающих усилий, причем величина этих усилий пропорциональна расстоянию от неко торой оси тп. Под этот тип напряженного состояния подойдет внецентренное растяжение и сжатие, а так-
Рис. з. же случай чистого изгиба. Задав себе таким образом закон распределения напряжений, посмотрим, как напряжение изменится, если мы сделаем круглое отверстие малого
радиуса р в точке, удаленной от контура пластинки.
Положим, что в точке, соответствующей центру отверстия, в пер воначально цельной пластинке было растягивающее напряжение р, расстояние центра отверстия от оси тп (ось нулевого растяжения) обозначим через h (рис. 4). Если из центра отверстия опишем круг большим радиусом R, то получим кольцо, внутренним контуром его будет контур отверстия, наружным — круг большого радиуса R. Если пренебречь влиянием отверстия на величины напряжений в точках, удаленных от отверстия, то легко получить те напряжения, которые действуют по наружному контуру кольца. Напряжения эти будут
гг = р ^1 — R c°s6) sin20,
; g = ^ l _ * c o s 0) sin20
Выражения эти преобразовываем, вводя sin и cos кратных дуг, тогда
гг = у ( 1 —cos 20) + у - у (—cos0 + cos 30),
( 2 0 )
г0 = у sin 2а—у — (sin 0 + sin 30).
§6. ЛИНЕЙНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ |
115 |
Первые члены в правых частях написанных выражений пред ставляют собой не что иное, как те усилия, которые мы имели бы по наружному контуру кольца, если бы пластинка была равномерно растянута. Вызываемые этими усилиями напряжения у отверстия определятся по формулам (18). Нам остается изучить влияние вторых
Рис. 4.
членов в выражениях (20) — следовательно, определить напряже ния, соответствующие таким усилиям на наружном контуре:
(21)
Функция напряжений F должна иметь в данном случае форму
F = -у r 0sin 0+ (bxr3-f <xxr~x+ рхг In г) cos 0+
|
|
|
|
+ (а3г3+ Ь3гй+ а3г~3 + рзг" *) cos 30. |
|
Соответствующие |
напряжения |
будут |
|
||
|
|
|
|
\ |
|
+ (—6а3г—4Ь3г3— 12аЗг~3— 10рзг-3) cos 30, |
|
||||
0 0 |
= |
|
+ ^ + |
COS0+ |
(2 2 ) |
|
|
(6а3г + 20 b3r3+ |
> |
||
|
+ |
12а3г-5 + 2рзг - 3) cos 30, |
|
||
^ |
= |
( 2 |
+ |
sin 0+ |
|
|
+ |
(6a3r + 12ft3r3— 12а 3г- 3—6p3r - 3)sin30. |
|
116 |
О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ |
Произвольные постоянные должны быть подобраны таким обра зом, чтобы при r= R были выполнены условия (21). При г=р долж ны иметь
гг = 0 и г0= 0.
Сравнивая коэффициенты при cos 0 и sin 0, получим для опреде ления постоянных аи Ьи а 1р рх систему уравнений:
ai + Pi |
f 2 b,R |
2а, |
Р |
R_ |
|
|
R* |
’ |
|||||
R |
|
4 ' |
А |
|||
ai + Pi |
i |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
о/, |
D __I Pi _ |
|
P |
A |
’ |
|
|
|
|
|
|||
2V |
- ^ + A = |
O. |
|
|
Сразу видно, что ai= 0, тогда четыре уравнения приводятся к двум. Чтобы определить из них три постоянные bit а х и рь нужно воспользоваться условием однозначности перемещений. В данном случае это условие будет *)
Р1 = —2 (Х+ц) ai = 0*
тогда при большом R |
|
|
Ь |
= — В. |
а - — р-^~ |
01 |
8А’ |
8А |
Сравнивая коэффициенты при cos 30 и sin 30, найдем четыре урав нения для определения постоянных а3, Ь3, а3, р8:
—6a3R —4b3R3— l2a3R~*— 10р3R~3 = \ |
• -J-, |
|
—6a8p—4ft3p3— 12a sp - '— 10psp~3= 0, |
|
|
6a3R + |
12b3R3- l 2 a 3R - * - ( $ 3R -3= - |
• -£ , |
6a8p |
+ 12ft3p3— 12a 3p" ?— 6p3p~3= 0. |
|
При R большом находим
b3— 0, |
JL |
ft - PP* |
a |
3 |
= — .££- |
|
24A ’ |
8A ’ |
|
12A |
x) См. стр. 374 работы A. Timpe, приведенной в сноске 3) на стр. 106.
§ 1 . п е р е м е щ е н и я в с л у ч а е простого р а с т я ж е н и я |
117 |
Подставляя полученные значения произвольных постоянных в выражения для напряжений (22), получим
" = £ { ( - т + £ Ь в + ( т + £ - ^ Ь 3 9 } .
® - i i ( - 3 T - $ “ se+ ( - T - £ + £ . ) “ s3eb
^ = т { ( — т + А ? 0 s i n 0 + ( — т + % — % ) s in 3 0 } -
При г= р, т. е. на контуре отверстия,
rr = rb —0, |
= -|- {—4 cos 0— cos 301 , |
при 0=0 в точке а (см. рис. 4)
0§ = - 2р £ ,
при 0=90° или 0=270° в точках b u d
09 = 0',
при 0=180° в точке с
0 '9 = + 2
Налагая полученные величины напряжений на те, что найдутся для простого растяжения по формулам (18), получим решение для задачи о распределении напряжений в случае внецентренного растя жения, внецентренного сжатия и чистого изгиба.
Пользуясь общими формулами § 3, можно задачу решить и в са мом общем случае, если бы для того представилась надобность. За метим, что указанная метода может быть распространена и на слу чай задачи в трех измерениях, так как задача о деформации тела, ограниченного двумя концентрическими сферами, решена в самом общем виде. Считая, что по поверхности внутренней сферы никаких усилий нет, а по наружной поверхности усилия такие же, как и в том случае, когда нет внутри малой сферической пустоты, можно за дачу решить в самом общем виде.
§ 7. Перемещения в случае простого растяжения
Рассматривая задачу о влиянии круглых отверстий на распре деление напряжений в пластинке как обобщенную плоскую задачу, мы пришли к дифференциальному уравнению четвертого порядка:
Д2Д2^ = 0.
118О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ
Ктакому же уравнению пришли бы мы и в том случае, если бы считали деформацию плоской. Поэтому полученный нами закон рас пределения напряжений при простом растяжении совершенно сов падает с результатами Г. Кирша. Если от напряжений перейти к определению перемещений, то тут такого совпадения уже не полу чится.
Пусть и и v — перемещения по направлениям л: (направление ра стяжения) и у, к и р — коэффициенты Ламэ, тогда полученные Г. Киршем перемещения представятся в такой форме:
|
р |
f Х + р |
;1 + |
2ц |
р*х . |
(г« -р « ) |
) ’ |
|
|
р |
(3 ^ + 2р |
~t“ 2 (A ,+ p) |
л2 'г |
4л6 |
|||
. _ |
Р I |
>■ |
.. |
|
Р |
Р 2У | (г2— р 2) (Зд:2— у 2) р 2р |
||
и |
р ) |
2 (ЗА,- (-2р) |
“ |
2 ( Я + р ) |
г 2 ^ |
4/■« |
Эти перемещения получены Г. Киршем в предположении, что по поверхностям пластинки распределены нормальные напряжения Z0 по такому закону, что по оси z пластинка испытывает во всех точках одно и то же относительное сжатие
2 р ( З Л + 2 р ) •
Следовательно, для перехода от перемещений (1) к случаю пло ской деформации нужно на деформации, приведенные у Г. Кирша, наложить растяжение в направлении оси г, равное по величине сжа тию (2). Тогда перемещения будут следующие:
р ] _ Х + |
2р_ |
, |
* - + 2 р |
Р2* |
| |
(г2 —р2)(х2—3у2) р 2х \ |
|
||
и ~ р |
\ 4 (X Н- р) Л ~1~ 2 ( Я + р ) |
г2 |
^ |
4г6 |
) |
’ |
|||
. . . . . Р |
I |
к |
|
Р |
Р 2У | (г2— р 2)(3 л 2— у 2) р 2у \ |
||||
р \ |
4 ( А . + р Р |
г ^ + |
р ) / - 2 |
"1" |
4г« |
) • |
Чтобы от перемещений в случае плоской деформации перейти
кперемещениям в случае обобщенной плоской задачи, нужно вместо
кпоставить величину
2Яр А.-)- 2 р
Тогда |
перемещения будут |
|
|
|
|||||
, , — Р |
I |
Я+ Р |
, |
2 (Л + |
р ) р 2д: |
, (r2—p2)(x2~3i/2) p 2x \ |
|||
и ~ |
р |
\ З Х . + 2 р Л '1" |
З Х + 2 р г 2 |
"1_ |
4г® |
/ ’ |
|||
|
Р_ / |
_________к |
|
|
р ( Я + 2 р ) р 2у |
(г2— р 2) (3JCZ— у 2) р 2у |
|||
|
р \ |
|
2 ( З Я , + 2 р ) г/ |
2 р ( З Я + 2 р ) г2 |
|
4г» |
Следовательно, для удаленных точек, т. е. при г большом, пе ремещения (3), как и нужно было ожидать, одинаковы с перемеще ниями (1), полученными Г. Киршем. Вблизи отверстия перемещения (1) и (3) различны.
§8. РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНКИ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ |
119 |
При р=л, т. е. на контуре отверстия,
р З ( к + у ) х _ 3 р х
ц(3*,+ 2ц) ~ |
Е |
’ |
_ Р(Ь + Ц)У |
___РУ |
|
ц (З Л + 2 ц ) |
— |
£ ’ |
Круговой контур отверстия обращается в эллиптический.
§8. Растяжение пластинки конечной ширины
Внаших выводах мы везде предполагали, что диаметр круглого отверстия весьма мал по сравнению с размерами пластинки. На
практике |
приходится |
встречаться с такими |
|
|
X |
|
||||
случаями, где поставленное в основание |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
выводов |
предположение не имеет места — |
т |
|
■ Ж |
|
|||||
в таком случае полученные |
результаты не |
*-&-*■ |
|
|
||||||
могут быть прилагаемы непосредственно — |
|
|
||||||||
нужны дополнительные исследования. |
|
—с |
а( У |
|
||||||
Возьмем особенно часто встречающийся |
с |
|||||||||
случай |
растяжения |
пластинки конечной |
|
\ |
|
|
||||
ширины 2Ъ и постараемся оценить, как ве |
|
|
|
|
||||||
лики будут отклонения действительних на |
|
|
|
|
||||||
пряжений от тех, что мы получили |
в пара |
|
|
|
|
|||||
графе пятом (формулы (18)) для пластин |
1 ^ |
' |
1 11 |
|||||||
ки безграничных размеров. Если мы пере |
|
|
|
|
||||||
сечем |
пластинку по |
оси у |
(рис. |
5), |
то, |
|
|
Рис. |
5. |
|
прилагая |
формулы |
(18), |
найдем, |
что |
|
|
||||
|
|
сечения будет |
||||||||
сумма |
всех растягивающих |
усилий по плоскости |
||||||||
|
г-Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(о |
|
|
г = р |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из полученной формулы видно, что при отношении р/Ь<1/7 раз ность между суммой усилий, вычисленной по формуле (18) для пла стинки бесконечной ширины, и действительной силой, растягиваю щей пластинку ширины 2Ь, не превосходит 1 %; следовательно, формулы (18) в данном случае вполне применимы. На практике часто отношение р/Ь достигает значения 1/4 (такое соотношение встреча ется в случае заклепочных отверстий). В этом случае разность меж ду суммой растягивающих усилий, вычисленной по формуле (1), и действительной растягивающей силой несколько больше 3%. Если через р обозначим величину растягивающих напряжений по концам пластинки, то нужно ожидать, что в точках а, а (см. рис. 5) растя гивающие напряжения больше 3р, т. е. больше того напряжения, которое получилось бы в точках а, а при бесконечной ширине. Чтобы оценить величину необходимой поправки, допустим, что взятая нами
120 О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ
пластинка составляет часть растянутой пластинки бесконечной ши рины, тогда по боковым сторонам пластинки mmх и ппг будут дей
ствовать |
как |
нормальные усилия |
Y y, так и тангенциальные уси |
|||
лия Ху. |
|
|
|
|
|
из формул (18): |
Выражения для них могут быть получены |
||||||
у |
р 2р I |
\ |
х2— Ь* |
(262+ 2 x 2— Зр2) [(62+лс2)2— 862л:2] |
||
ГУ— 2 |
(62+ * 2)2+ |
(&2+ * 2)4 |
|
|||
У |
|
I |
Ьх |
■ 26л: (2й2 + |
2л:2— Зр2) (х2— 62) ) |
|
л у ~ |
V У \ (л:2+ 6 2)2 Т |
(Ь2+ х 2)* |
f ■ |
|||
При х=0, т. е. в точках с, с при р/6= 1/4, |
|
|||||
|
|
|
|
1^=0,0878 р. |
(3) |
|
С возрастанием х напряжения |
Y у быстро убывают, при x=bj2 |
|||||
они близки к нулю, далее становятся отрицательными. |
||||||
При х= 0 |
напряжения Х у= 0 . |
бесконечной ширины вырезаем |
||||
Если |
мы теперь из |
пластинки |
пластинку шириной 26, то для того чтобы напряжения у отверстия остались прежними, необходимо по сторонам mmi и nth приложить усилия, равные Y у и Х у, заменяющие действие отброшенной части пластинки на вырезанную полоску шириной 26.
В действительности этих усилий по боковым сторонам пластинки нет, и потому распределение напряжений будет несколько иным, чем то следует из формул (18). Отбрасывание растягивающих уси лий Y у, очевидно, увеличит растягивающие напряжения в точках а, а. Если бы Y y везде имели свое максимальное значение 0,0878 р (см. формулу (3)), то тогда их отбрасывание вызвало бы увеличение растягивающих усилий в точках а, а примерно на ту же величину, т. е. на 0,0878 р. Так как Y yбыстро убывает с возрастанием х, то нужно полагать, что отбрасывание этих усилий вызовет еще мень шие изменения напряжений в точках а, а. Рассмотрим теперь, как скажется на величине напряжений в точках а, а отбрасывание уси
лий Х у. Если мы составим сумму этих усилий |
по сторонам /и/Пх |
и nn-i, меняя х от нуля до оо, то получим |
|
се |
|
2 5 х „ Л = 2 р б Ш £ + £ ) } . |
(4) |
0
Сравнивая этот результат с формулой (1), видим, что усилия Х„ по боковым сторонам пластинки вместе с растягивающими усилиями по сечению сс уравновешивают растягивающую силу 2р6, прило женную по концам. Отбрасывание усилий Х у, очевидно, вызовет увеличение растягивающих напряжений по сечению сс. Если до пустить, что это увеличение распределяется по закону, определяе мому формулами (18), то растягивающие усилия в точках а, а возрастут при р/6=1/4 примерно на 0,09 р. Приняв во внимание