книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf$ 5. СТЕРЖЕНЬ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ |
191 |
§ 5. Стержень на сплошном упругом основании
Пользуясь нормальными координатами, мы без особых затруд нений можем получить уравнение изогнутой оси в том случае, когда опертый по концам стержень по всей длине своей лежит на упругом основании. К подобной задаче приходим мы, когда приходится рас считывать балку, лежащую на ряде равноудаленных поперечных балок. Обозначим через р коэффициент, характеризующий жесткость основания, тогда fiy-dx будет реакция упругого основания, прихо дящаяся на элемент dx балки. Оставляя для большей общности про дольную силу ± 7 \ получим для потенциальной энергии системы такое выражение:
v = ¥ 1 ( S O ’ ^ + I I |
) ' * • |
|
О |
0 |
0 |
Вместо у вставляем его общее выражение (2) для случая опертых концов, тогда
V = Т7? £ |
± 1 Г £ < т2 - |
На основании уравнения (1) получим для координаты <рт зна чение
фи EJn*m* , |
Фт |
2/» |
^ |
Фт |
р/ |
Тл 2т 2 ~ EJл4 |
, р/« \ • |
||
2/» + |
2 ± |
21 |
т‘ ( т 2 ± аг + - |
|
|
E J n i m2) |
Уравнение изогнутой оси в общем виде напишется так:
|
2/з |
у |
т пх |
-=■ |
|
|
|
sin ■~l— ’ Фт |
(22) |
||||
У |
EJn* |
m=l |
т 2 [ т2 ± аа + |
Р1* |
||
|
||||||
|
|
EJnlm2У |
||||
В частном случае сосредоточенной силы, приложенной на рас |
||||||
стоянии с от левого конца, |
|
|
|
|||
|
2Я/з m=" |
т ле . |
ттс |
|
||
|
sm -p sm — |
|
||||
У ~ |
EJn* |
X |
т ‘ {^т2± аг + |
Р/4 \ |
• |
|
|
|
т —1 |
EJn*m2) |
|
||
Возьмем, например, случай, когда с=112 и нет продольной силы, |
||||||
тогда прогиб посредине будет |
|
|
||||
(//)*=г/« = / = |
2Р/з |
|
|
|
||
|
|
зз ("згл__ Р*4 |
^ |
|||
|
|
|
L ^ E J n * |
V ^ E J n * 3 2J |
“ I - |
192 |
ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ |
Ряд сходящийся; число членов, которое нужно взять для опре деления прогиба с заданной точностью, будет зависеть от величины коэффициента |3. При малом р можно пользоваться приближенной формулой, аналогичной формуле (29).
От случая сосредоточенной силы легко перейти к равномерно распределенной нагрузке и к другим типам нагрузок приемом, ука занным в §§ 2, 3. При равномерно распределенной нагрузке будем иметь
У |
4gl* |
|
sin •nmx |
|
|
|
(22') |
||
|
|
|
PI4 |
|
|
|
|||
EJnbZ |
m* ± a2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
EJn4• ) ' |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В качестве примера рассмотрим |
изгиб |
перекрестной балки АВ, |
|||||||
|
|
поддерживающей |
систему |
равно |
|||||
|
|
удаленных |
балочек |
одинаковой |
|||||
|
В |
жесткости (рис. 4). |
обшивки на |
||||||
|
h |
Через |
|
посредство |
|||||
|
|
систему балочек |
передается |
равно |
|||||
|
|
мерно распределенная |
нагрузка. |
||||||
|
|
Пусть |
Q — нагрузка, |
приходя |
|||||
|
|
щаяся на одну балочку. Если бы |
|||||||
■l ■ |
|
балка А В была абсолютно жесткой |
|||||||
Рис. 4. |
|
и пересекала вертикальные |
балки |
||||||
|
посредине |
пролета, |
то |
давление |
|||||
|
|
от каждой из балочек, передаваемое перекрестной балке АВ, рав
нялось бы Q. Вследствие прогиба перекрестной балки давление
на нее от вертикальных балочек уменьшится. Пусть у — прогиб балки АВ под одной из вертикальных балочек, тогда давление этой балочки на АВ будет
(а)
где EiJi— жесткость вертикальных балочек.
Сосредоточенное давление R заменим сплошной нагрузкой, рас пределенной равномерно на протяжении d, равном расстоянию меж ду вертикальными балочками. При значительном числе вертикаль ных балочек такая замена не произведет значительного влияния на прогиб балки АВ, и мы можем с достаточной точностью считать, что на перекрестную балку АВ передается сплошная нагрузка, рас пределенная по закону
R |
5 Q |
у 48Е ^ ! |
|
d ~ 8 d |
d i\ |
я — $ у , |
где р=48 EiJJdlf.
§ 5. СТЕРЖЕНЬ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ |
193 |
Для определения прогибов можем пользоваться ранее выведен ной общей формулой (22').
Вводя обозначение
р/4 |
48[£1У1. V М » |
„ |
£ / л 4 ~ я 4 EJ d \ / J |
А |
и принимая во внимание, что на практике обыкновенно К — не большое число, можем ограничиться лишь первым членом в общем выражении для прогиба. Прогиб балки АВ посредине определится в таком случае формулой
4ql* |
1 |
_ 5 Q 4 !‘ |
1 |
'EJn61+ Я 8 dEJnb\ + K ‘
Соответствующее давление средней вертикальной балочки на основании формулы (а) будет
* - И ‘ Ч т т * ) -
Увеличивая жесткость перекрестной балки, мы тем самым умень
шаем величину К |
и, следовательно, увеличиваем давление |
R; в |
пределе при К=0 |
5 |
балки |
R=-g-Q- Если жесткость перекрестной |
уменьшать, то вместе с тем увеличивается К, уменьшается давление R. При 4К/я(1+Ю=1, т. е. при /Г=я/(4—я)«3,6, давление R обращается в нуль, перекрестная балка становится бесполезной. При дальнейшем уменьшении жесткости балки А В давление R становится отрицательным. Перекрестная балка увеличивает про гиб средней вертикальной балочки. Увеличение это, как видно из по лученной выше формулы, может достигать 30%.
Из общего выражения (22) легко получить значение критической сжимающей силы для стержня в упругой среде. Критическая сила в этом случае, очевидно, определится наименьшим значением а 2, при котором знаменатель
т*_а *_|___ Р*4 .
т “ ^ £ / л 4т 2
обращается в нуль. Нужно, следовательно, найти минимум выраже ния
а* = т* + |
Р'4 |
( 2 3 ) |
£ /я 4т 2 ‘ |
В случае длинных стержней т велико и для нахождения наимень шего значения для а 2 можно производную по тг правой части вы ражения (23) приравнять нулю. Получим
т |
EJя* |
(24) |
|
р ’ |
|||
|
194ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
т.е. длина б полуволн, на которые стержень подразделяется при вы пучивании, зависит лишь от жесткости стержня и коэффициента р, характеризующего упругие свойства среды. Вставляя найденное значение Цт в выражение (23) ддя а*, получим
а®=2тг.
Следовательно, критическое значение сжимающей силы вдвое больше эйлеровой нагрузки для стержня длиной Цт—б.
Общим выражением (22) можно воспользоваться также для опре деления критической угловой скорости быстровращающегося вала постоянного кругового сечения. Если какая-либо причина вызо вет изгиб вращающегося вала, то на каждый элемент вала длиной dx будет действовать центробежная сила p c o dx. Здесь через р, обо значена масса единицы длины вала, со — угловая скорость. Для
определения изгиба быстровращающегося |
вала можно восполь |
зоваться выражением (22), полагая в нем |
рсо2. Критические |
значения скорости со получим, приравнивая нулю знаменатель ка
кого-либо члена ряда (22). Наименьшее значение |
для coft полу |
чаем, полагая m = 1: |
|
<*>*= |
(25> |
Полагая а 2=0, придем к известной формуле для критической уг ловой скорости гибкого вала.
11.ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ С ЗАДЕЛАННЫМИ КОНЦАМИ
§6. Прогибы
Вэтом случае прогиб стержня в каком-либо сечении можно пред ставить так:
с/=ср1ы14-ср*и,4-срзи3+ . . . |
(26) |
Здесь Их, ы2, . . .— нормальные функции для |
случая стержня |
с заделанными концами. Значения этих функций |
мы получим из |
выражения *) |
|
и = (sin т —sh т) {c.os ™ —ch ^ j — |
|
—(cos т —ch m) ^sin ^ |
—sh - f ) . |
*) Определение нормальных функций и исследование их свойств можно найти |
|
в книге: S t r u t t J.W . ( L o r d R a y l e i g h ) . The theory of sound. |
2nd edition, |
London and New York, MacMillan and Co., vol. 1, 1894, 480 p.; vol. 2, |
1896, 504 p. |
(Перевод на русский язык: С т р э т т Дж. В. (лорд Р э л е й ) . Теория звука |
М.—-Л., Гостехиздат, том 1, 1940, 499 стр.; том 2, 1944, 476 стр.1
§6. ПРОГИБЫ |
195 |
вставляя в него вместо т корни трансцендентного уравнения cos т ch т= 1.
Потенциальная энергия системы при изгибе поперечными силами будет
или, воспользовавшись свойством нормальных функций, в силу ко торого при заделанных концах
(через ик обозначена вторая производная от uh, взятая по mkxfl\ значение этой производной при х=1 обозначено через («*),), получим для V выражение
0D
У = ^ ^ т \ { и “к)\ук-,
на основании уравнения (1) получим для какой-либо координаты выражение
4/8 ф*
т%{ик)Г
Вставляя это в выражение для у (26), получим общее выражение для изогнутой оси стержня в случае заделанных концов:
Л=® _
4/8I я V7I. |
и к Ф „ |
(27) |
У- |
( “ *)? |
|
E J |
|
Если на стержень действует сосредоточенная сила Р на расстоя нии с от левого конца, то обобщенная сила
Фк= {ик)хЫ Р.
Прогиб посредине на основании общего выражения (27) будет
t o w . - / — п Ь - ^ щ г - |
<“ ) |
|
fc=l |
т, |
|
Вычисление прогибов в данном случае гораздо сложнее, чем при опертых концах. Возьмем для примера случай действия изги бающей силы посредине пролета. Пользуясь таблицей значений тк,
196 ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
приведенной в вышеупомянутой книжке Дж. Рэлея, стр. 278, най
дем («!>*/,= 2 , 566, (ы3)?/*= 1,977. Величины (и,)?/», (ы7)?/а, . . .
можно положить равными 2. Нормальные функции четного порядка при х=Ц2 в случае симметричной нагрузки обращаются в нуль. Далее находим (uj)}=4,071. Величины (и£)J, (ul)* можно поло жить равными 4. Тогда прогиб посредине будет
2,566
4,071т \
Для корней mk, начиная с ms, можно с достаточной точностью брать значения
mA= y(2fe-f 1) я.
Чтобы перейти от сосредоточенной силы к сплошной нагрузке, нужно в общее выражение (28) вместо Р подставить величину qdc и произвести интегрирование по с в пределах от 0 до /. В частном случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности q получим
/.Л |
с 4?/* |
Г 1,602-3,964 |
(y)x=l/t — / — ~рТ |
----j |
|
|
|
L mJ-4,071 |
Уже из этих простейших примеров видно, что пользование нор мальными координатами в случае заделанных концов не представ ляет никаких выгод. Еще сложнее становятся выкладки и окон чательные формулы при действии продольной силы. В результате оказывается, что влияние продольной силы на величину прогиба и наибольшего изгибающего момента в этом случае несравненно меньше, чем при опертых концах. Прогиб посредине с достаточной для практики точностью можно вычислять по приближенной фор муле
(29)
где f„, как и прежде, обозначает прогиб посредине при действии только поперечных сил.
К этой приближенной формуле можно прийти скорее, рассмат ривая стержень как систему с одной степенью свободы и принимая такое уравнение изогнутой оси:
(1 2ядс \ j/ = (p ^ l _ c o s - 7- J .
Уравнение это, как легко видеть, удовлетворяет условиям на концах.
5 6. ПРОГИБЫ |
1 9 7 |
Потенциальная энергия системы при действии продольной силы Т и при выбранной форме изгиба будет
V
E J
2
Величина координаты q> на основании уравнения (1) будет
^______ ФР
8Е/л4^1 ± i- a a^
Уравнение изогнутой оси пишется так:
Ф Р |
’ | |
2лх \ |
(30) |
У- |
1—cos — J = t/0 |
||
8 E J n 4 ( “ т * ) |
|
|
1 ± т а* |
Через у9мы обозначили прогиб при отсутствии продольной силы. Таким образом, мы приходим к ранее приведенной приближенной формуле (29). Примененный нами здесь прием сходен с тем, которым пользуется Дж. Рэлей для нахождения частоты основных колеба ний системы. Для суждения о степени точности вычислим прогиб стержня при отсутствии продольной силы и при сосредоточенной
нагрузке Р посредине пролета. Обобщенная сила Ф в данном случае будет
Ф = р ( i - c o s - ^ ) |
= 2 Р. |
|
\ |
I 1хЫ/2 |
Вставляя это в общее выражение (30) и полагая в нем а*=0,
х=-1[2, получим
/.Л г Р Р
(У)х=1/г — J — 2E J n 4 '
Полученный таким образом прогиб отличается от истинного Pl3/192EJ приблизительно на 1,5%.
Для определения продольной силы в том случае, когда концы не могут сближаться, можно пользоваться уравнением
П= 4t2a>,
аналогичным уравнению (21). В качестве числового примера возь мем стержень прежних размеров (см. § 4). Значения а 8, соответству ющие различным значениям нагрузки q, а также значения наи большего прогиба f и продольных растягивающих напряжений t
198 |
ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а В |
<7, кг/см |
f „ СМ |
ft СМ |
f \ см |
о* |
t, кг/см* |
V , кг/см* |
0,03125 |
0,0965 |
0,0939 |
0,101 |
0,0307 |
3,87 |
3,10 |
0,125 |
0,388 |
0,350 |
0,355 |
0,410 |
53,0 |
48,0 |
0,25 |
0,777 |
0,599 |
0,609 |
1,18 |
152 |
141 |
0,375 |
1,16 |
0,779 |
0,787 |
1,99 |
254 |
240 |
приведены в таблице В. Для сравнения приведены значения про гибов f' и значения продольных напряжений ?, полученных
И.Г. Бубновым *).
§7. Опорные моменты
Все обстоятельства изгиба стержней с заделанными концами мож но получить, пользуясь решениями для стержней с опертыми кон цами, если иметь формулы для углов поворота концов и для прогиба при действии на сжатый или растянутый стержень изгибающей пары сил, приложенной на конце.
Дифференцируя по с выражение (12) для изогнутой оси стержня при действии сосредоточенной силы в сечении с и полагая Pdc—M, придем к общему выражению изогнутой оси при действии пары сил М в сечении с:
|
2М1г |
лс |
. |
лх |
2лс . |
2лх |
|
|
COS у |
Sin - у |
COS - у |
sin |
— |
||
У ~~ EJn3 |
П Г а 5 |
I |
2 (2 2 |
± а 2) |
|||
Полагая в этом выражении с = 0, |
придем к изгибу парой М, при |
||||||
ложенной к левому концу стержня: |
|
|
|||||
|
|
|
sin |
• |
2пх |
|
|
|
|
2М12 |
~ Г |
(31) |
|||
|
У |
|
|
||||
|
£ 7 я 3 |
1 ± |
а 2 |
2 (2 2 ± |
а 2) |
||
Для прогиба |
посредине получаем |
|
|
|
|||
,.л |
£ |
2Ml3 |
1 |
|
1 |
|
1 |
(У)х = 1Ц — |
I — E J n 3 |
± а 2 3 (З 2 ± а 2) |
5 (5 2 ± а 2) |
||||
|
|
1 |
Уравнение изогнутой оси в рассматриваемом случае легко мо жет быть найдено в замкнутой форме интегрированием дифферен
циального уравнения изогнутой оси |
= М. Мы получим при |
См. стр. 28 упомянутой в сноске на стр. 190 статьи И. Г. Бубнова.
§7. ОПОРНЫЕ МОМЕНТЫ |
199 |
действии продольной сжимающей силы
Ml* |
Гsin а я (1— х) |
/ . |
дс\] |
EJn*a* |
I sin от |
\ |
t ) J 1 |
Прогиб посредине будет
0И1 ,
secT " 1
(y)x=i/t — f — f 0 1
(т Г
где f0= M l2/l6EJ — прогиб при а 2=0.
Углы поворота концов стержня легко находятся ванием выражения (33):
(33)
дифференциро
Ml |
1 |
а л ----—'l , |
|
EJ ал |
ал J |
’ |
|
Ml |
1 |
1 |
(34) |
EJ ал |
cosec а л ------ |
/ |
|
ал |
При действии по концам стержня двух равных и прямо противо положных пар сил углы поворота концов будут равны по величине и на основании (34) представятся такой формулой:
|
Ml |
|
|
|
. ал |
|
_ |
1 |
(cosec а л —ctg ал) |
Ml |
tg T |
(35) |
|
о |
EJ |
ал |
|
EJ |
ад |
|
Заменяя круговые функции соответствующими гиперболически ми, получим формулы для случая растянутого стержня. Пользуясь формулами (34) и (35), легко можно определить опорные моменты при любой нагрузке стержня с заделанными концами. Возьмем для примера случай действия сосредоточенной силы Р на расстоянии с от левого конца. При опертых концах углы поворота концевых сече ний будут
. Я( |
|
2яс |
sin |
Зле |
|
|
sin—гt |
|
sin Т |
Т |
|
|
|
[1—а/ |
2(22—а2) 1 3 (З2—ocV |
]■ |
(36) |
|||
яс |
. |
2яс |
. Зяс |
|||
. |
яг |
sin_r . s,n— |
|
|
||
[1—5Ш1а' |
2(2»—а*) ^ |
3(32—а*) |
|
|
||
Опорные моменты |
|
и М г нужно подобрать таким |
образом, |
чтобы вызываемые ими углы поворота концов были равны по вели чине и противоположны по знаку углам (36). На основании формул
200 |
ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ |
(34) получаем два уравнения:
|
1 |
I |
EJ |
сел ^ c t g а п |
а л j |
|
|
) + Ш |
М21 1 |
1 |
|
EJ |
а л ^ c t g a n |
а л j) + ¥ |
1 |
( 1 |
1 А |
а л |
V sin а л |
а л J |
|
|
ПС |
|
. 2 я с |
|
|
|
2 Р12 |
s m T |
, |
Sin —J~ |
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
|
EJn3 1 1 — а 2 |
1 2 |
(2 2 — а 2) |
1 |
' * * . 9 |
|
1 |
( • |
1 |
|
|
|
|
а л |
Уsin а л |
а л J |
|
|
|
|
|
|
. ПС |
|
. 2 я с |
|
|
|
2Р13 |
Sin у |
|
sin —j- |
|
|
|
|
|
* |
1 |
_ ' |
|
|
EJn3 [_ 1 — а 2 |
2 |
(2 2 — а 2) |
1 |
В частном случае, когда сила |
приложена посредине |
пролета, |
||||||
M i= M t=M и величина М найдется из уравнения |
|
|
|
|||||
Ml |
2 Р1г Г |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
EJ ап |
EJn3 |
а2 3 ( 3 2 — а 2) |
5 (5 а — а 2) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 Р1г п |
/ л |
out |
, \ |
|
|
|
|
|
EJn3 4 а 2 |
( SeC |
2 |
1) • |
откуда |
|
, |
а л |
. |
ап |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P l t е |
т |
t g T |
|
|
(37) |
|
|
|
М = е± — 1- = м п |
4 |
|
|
|||
|
|
8 |
а л |
|
а л |
|
|
|
|
|
|
т |
|
т |
|
|
|
Через Мо обозначено значение опорного момента при отсутствии продольной силы.
Подобным способом можно найти опорные моменты при любой нагрузке.
III.ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ, ОПЕРТОЙ ПО КОНТУРУ
§8. Поперечная нагрузка
Начнем с рассмотрения изгиба пластинки силами, перпенди кулярными плоскости пластинки. Располагая координатные оси согласно рис. 5 и обозначая через до прогиб пластинки, можем пред ставить этот прогиб в нашем случае так:
/Л = 00 |
л = CD |
тпх |
• пли |
/ооч |
» = |
V' |
|||
/1=1 |
sin — |
sin ~ г • |
(38) |
|
171=1 |
|
|
|
Очевидно, что при этом условия на контуре будут выполнены,
так как до, |
d2w |
d2w , |
п |
х=а |
п |
|
обращаются в нуль |
при х=0, |
и у= О, |