книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf§8. ПОПЕРЕЧНАЯ НАГРУЗКА |
201 |
y=b. Легко показать, что величины ц>тп, определяющие форму изог нутой пластинки,— нормальные координаты системы, т. е. что вы ражение для потенциальной энергии заключает лишь квадраты этих величин. В самом деле, потенциальная энергия изогнутой пла стинки, приходящаяся на единицу площади, будет
1 E h3 |
1 ' |
3 1—а2 |
т + к У ~ 2 { ' - а) RlRt. |
Здесь через h обозначена половина толщины пластинки, а пуассоново отношение; Ri и —
главные радиусы кривизны. При малых прогибах можно положить
1 + — |
d2w |
, |
d2w |
|
dx3 |
|
dy2 ’ |
||
+ |
-------R2 |
|
||
1 |
d2w |
d2w |
/ |
d2w \ a |
RIR2 |
dx2 |
dy2 |
\dxdy/ |
Если это вставить в написанное выше выражение для потенциаль ной энергии, принять во внима ние значение w согласно фор муле (38) и выполнить интегрирование в пределах х=0, х—а и
у= 0, у=Ь, то получим для энергии изгиба пластинки выражение
m= 1 n=l |
4 |
(39) |
' |
Здесь через с |
обозначена величина i tEfl 2—цилиндрическая |
жесткость пластинки. |
|
На основании |
общего уравнения |
d.V |
Фтп |
|
d<fmn |
||
|
получаем для какой-либо координаты tpmn такое выражение через соответствующую ей обобщенную силу Фтп:
|
4ФЯ |
|
Фтп |
(т2л2 |
Ь2 |
abc |
\ а Г |
Вставляя его в общее выражение для прогиба (38), получим
* |
|
|
птх |
пли |
|
|
т=« #1=« Фт„ .s in ------ Sin |
о |
|
||||
W ~ abc |
|
|
а |
|
(40) |
|
£ |
X |
(т2п2 |
п2л2у |
|||
|
т = 1 |
п —I |
\ а2 + |
Ь2 |
) |
|
202 |
ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ |
Для получения прогибов в отдельных частных случаях нужно
только в общее выражение (40) вместоФтп вставлять значения, соот ветствующие заданной нагрузке. Возьмем для примера случай сос редоточенной силы Р, приложенной в точке х —с, y=d. Обобщенная
сила Фтп определится из уравнения
-=r t |
ПК |
• тлс |
• ял4 |
Фтп 8фтл = ■Рбфят Sin “ Г |
Sln ~ • |
Вставляя это значение в общее выражение (40), получим
|
тле |
. nnd |
тлх |
. пли |
|
|
----- |
sin —=— s in ------ |
sin - г 2- |
|
|
Z |
a |
b |
а |
Ь |
(41) |
|
fm?n2 . |
л2 я 3 \ 2 |
|
||
m= 1 n =s 1 |
|
\~а* ‘ |
) |
|
|
В частном случае, когда сила приложена в центре пластинки с=а/2, d—b/2, наибольший прогиб получается в точке приложения:
тах л*аЬс |
У . |
У |
. |
(2л И ) 2] |
2 |
|
|
|
|
Г (2 т + 1 )2 |
|
|
|||
|
|
|
а2 |
Ьг |
|
|
|
|
|
|
|
4РЬ3 |
х* |
|
1 |
|
|
|
|
7ЙЗГ |
|
4 - [(12 (2ш+ |
1)2+ (2л+1)*1> • |
|
|
|
|
|
m=U n=U |
|
Здесь для краткости через р обозначено отношение Ь/а. Если принять во внимание формулу
т-о о |
|
^У |
[ ( 2 т + |
т—и |
|
1 ) 2 +
1 |
[» |
|
1г82 |
]21
Г \l aN
nz
2
c2 h 2 f -
то наибольший прогиб может быть представлен в такой форме:
Предположим теперь, что нагрузка равномерно распределена по срединной линии пластинки у=Ь/2, и обозначим через q нагрузку, приходящуюся на единицу длины этой линии. Для получения про гибов в этом случае вставим в общее выражение (41) вместо Р ве личину qdc и проинтегрируем в пределах от 0 до а, тогда прогиб на
§8. ПОПЕРЕЧНАЯ НАГРУЗКА |
203 |
линии распределения нагрузки будет
|
т = |
со nл s=eооo |
|
|
тлх |
|
|
8q |
|
s i n --------- |
|
||||
п |
|
|
|
|
а |
|
|
л ьЬс |
2 |
2 |
|
( 2 т + 1 ) а , (2 д + 1 )а1 г |
|||
|
|
0 п=0 (2т + 1) £ |
|
а‘ |
|
6* |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т = ео л = ее |
тлх |
|
|
|
= |
* е |
2 |
Е |
Sin ■ |
|
|
|
( 2 т + 1 ) [ Ц а ( 2 т + 1 ) а+ (2л+1)*]а |
|||||
|
|
|
я 6с |
т=о |
п=о |
В случае бесконечно длинной пластинки p= 0 и предыдущая фор
мула перепишется |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
8дб* л* f |
. |
лх . |
1 |
Зях , |
1 |
. 5лх |
|||
— |
|
|
|
|
|
с Sin--- |
+ |
||
( s ln - ^ + - s ln - ^ - + T ^ “ |
а |
- ) |
|||||||
я*с |
96 \ |
|
а 1 |
3 |
а |
5 |
|
||
Для получения |
наибольшего прогиба |
положим х=а/2, тогда |
|||||||
|
|
8qb3 я 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
W,тах |
я вс |
Л _ ± + 1 _ |
• • • J — |
48с ‘ |
|||||
96 V |
|
3 + 5 |
Прогиб такой же, как для балки, опертой по концам, имеющей жест кость с, пролет b и нагруженной посередине силой q.
Чтобы получить прогиб пластинки при действии нагрузки,
распределенной по поверхности, нужно в выражение (41) вместо Ртп вставить величину qdcdd (q — интенсивность нагрузки в рассматри ваемой точке; в общем случае это заданная функция от с и d) наг рузки, приходящейся на элемент площади, и проинтегрировать полу ченное выражение по с в пределах от 0 до а и по d в пределах от 0 до Ь. В частном случае, когда q постоянно, нагрузка равномерно рас пределена по поверхности пластинки. Для прогиба получим
|
m = се п=со |
. (2т + 1)ях |
, (2п-\-\)лу |
|
w = |
\6q |
a |
b |
(42) |
|
(2w+l)a (2л 1 а1 » • |
|||
|
2? 02^ o ( 2ffl+ 1H2rt+ 1) |
+ l)a~P |
|
|
|
|
|
b2 J |
|
Рассмотрим прогиб пластинки по линии x=aj2. Вставляя это |
||||
значение х в выражение (42), получим |
|
|
||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
(1 + ца)а |
3 ( 1 + 3 а|1а)а 1 5 ( 1 + 5 аца)а . . . ] + |
|
w= |
1 |
s n w + 8( 1 + i |
>• (43) |
2 0 4 |
ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ |
В случае бесконечно длинной пластинки ц= 0. Если принять во внимание, что
1 - 1 + 1 - 1 + |
л |
3 ' 5 7 ^ |
Т ’ |
то прогиб по линии х ~ а /2 представится так:
4об1 |
1 1 . |
пи |
. 1 |
S1I1 |
Зли |
, |
sin |
5лу |
|
W — —T" |
< тт |
sin —Ц-+ |
— |
+ |
|
||||
я ‘с |
|1 5 |
|
Ь |
1 З6 |
|
b |
1 |
56 |
|
что совершенно совпадает с полученным нами выше (см. § 2) выра жением для изогнутой оси равномерно нагруженного стержня.
Для получения наибольшего прогиба нужно в выражении (43) положить у —Ь/2. Сумма S получающегося при этом двойного ряда может быть для каждого р вычислена с любой степенью точности. Ряд значений S и соответствующие значения wmax приведены в таб лице С ‘).
|
|
|
Т а б л и ц а С |
и |
|
S |
wmaxc^ b* |
0 |
й п " “-783 |
А = ° ,0 1 3 ° 2 |
|
1 |
|
||
|
0,733 |
0,01219 |
|
Т |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
0,608 |
0,01010 |
2 |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
0,244 |
0,00406 |
§ 9. Совместное действие |
поперечных нагрузок |
и растягивающих контурных сил, расположенных в срединной плоскости
Перейдем теперь к случаям, когда изгибаемая поперечными на грузками пластинка сжимается или растягивается силами, при ложенными по контуру и действующими в срединной плоскости пластинки. Положим, что по сторонам пластинки х= 0 и х —а дей ствуют равномерно распределенные растягивающие усилия. Пусть Ti — равнодействующая этих усилий, приходящихся на единицу длины контура пластинки. Через Т л обозначим величину равнодей ствующей растягивающих усилий, приходящихся на единицу длины сторон у=0 и у=Ь. При изгибе пластинки точки ее контура несколь-
1) Числа взяты из статьи И. Г. Бубнова, упомянутой в сноске на стр. 190.
§9. ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И КОНТУРНЫХ СИЛ 205
ко перемещаются в срединной плоскости пластинки и усилия 7\ и Та совершают некоторую работу. Работа эта в нашем случае легко может быть выражена в нормальных координатах. Рассмотрим сна чала работу усилий Тх. Так как сближение двух точек, лежащих по краям пластинки х=0, х=а и имеющих одну и ту же координату у, может быть выражено при малых прогибах формулой
_1_ |
dx, |
|
2 |
||
|
то усилия Т1 при изгибе пластинки совершат работу
dx.
Вставляя сюда вместо w его общее выражение (38), получим для работы усилий 7\ такое значение:
1 > 2
: 1П= 1
Подобным же образом для работы усилий Г2 найдем выражение
П%—ао л = со
m = 1 п= |
При вычислении прогиба пластинки при наличии усилий Тг и Тя придется к потенциальной энергии изгиба (39) присоединить ве личину, равную, но противоположную по знаку, работе усилий Тх и Ts, тогда получим
у _abc
Е Е «Ч г£ +!£ ) ,+
+ т ^ £ т Е Е т > ~ + т 7'> £ т Е Е '*’А
Для какой-либо координаты <pmJf получим выражение
„ _ |
aiyC/ т 2„2 |
п2л2 |
Фд»я_____________ _ |
|
Фям — |
я2 аЬ . |
я2 ab |
||
|
-T [ — |
+ - W - ) + T l l * T m + T * W T |
Вставляя это в общее решение (38), получим для прогиба такое выражение:
гп —со л = со |
Ф„ |
m nx . |
nny |
|
||
|
s i n -------sin |
|
b |
|
||
W = I G E s Ё ( m* |
|
|
|
(44) |
||
п2\» |
7 > 2 |
|
Г8па ‘ |
|||
m = 1 n = 1 \ a 2 • |
b2) |
' a V c ' |
b2n2c |
|
206ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Вслучае действия сосредоточенной силы Р в точке х~с, y=d бу дем иметь прогиб
лт> |
m=<B п=а> |
■ |
п и к |
■ |
n n d |
. т п х |
. |
п п у |
|
- |
|
sin -------sin |
. |
sin ------- sin --- c-Z- |
|||||
w = n*abc4P |
n |
r i |
/ |
а |
I |
b |
Г хт 2а |
Т ,п * |
Ь |
|
£ |
S |
д»а |
«М |
I Tin |
й2я 2с |
|
||
|
m = 1 |
п = 1 |
\ |
аг |
|
Ь'2 ) |
;2с "г |
|
При действии равномерно распределенной нагрузки q получим
ДО= |
m—со л = « |
|
|
|
|
|
|
Ё Ё [sin |
^ |
. ^ |
s i n (2п+ |
1)ПУ] |
: |
|
|
.Г,«_ , |
Л! = 1 Л = J |
|
|
, (2я+1)*1* |
, Гх(2т + 1)2 , Га(2п+1)2П |
" 1 |
|
,'wo. , ,ЛГ(2/п+1)2 |
|||||||
,^ ( 2 т + 1 ) ( 2 л + 1 ) ^ |
а2 |
■ + — Jr— | + - " Ж |
- + |
• |
(45)
Рассмотрим и в этом случае прогиб по линии х=а/2. Вводя для сокращения письма обозначения Тф2/сп2= аг, 7У7’1= р, можем ин тересующие нас прогибы представить в таком виде:
sin |
пу |
|
1 |
|
1» Li [(i+p2)a+«a(i+iAaP)] |
|
1 |
|
3 [(1 + 3 2р,2)2+ а 2 (1 + 32Рц2] + • • • ] + |
|
^У |
|
1 |
3,6 |
[-K'+W +SO+S)] |
|
16<7<i4 |
|
(46) |
ДО= —jr— |
+ |
|
я ®с |
|
5яу
+
3 [(1+g,*)>4 (.4 ;^)]+"']
+
В случае бесконечно длинной пластинки р= 0 . Выражение (46) может быть представлено в таком виде:
[ |
шпу |
. 3пу |
5яу |
|
16qb* |
sin -£ |
Sill - г 2- |
Sin —г2- |
|
____Т6 |
о |
о |
■] |
|
w- п*с |
l+ a ! |
3*(32+ a 2)~ 5 * (5 2+ a 2) + |
||
|
|
§ 9. ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И КОНТУРНЫХ СИЛ 2 0 7
Полученный результат совершенно совпадает с выражением (16) для изогнутой оси стержня, изгибаемого равномерно распре деленной нагрузкой. Этого и нужно было ожидать, так как при большой длине можно положить, что пластинка в сечении лс=а/2 изгибается по цилиндрической поверхности. Элементарная полоска (шириной единица), выделенная по линии х=с/2, будет в таких же условиях, как стержень жесткости с и пролета Ь, нагруженный равномерной нагрузкой q. Для определения наибольшего прогиба можно пользоваться приближенной формулой
“ ’max — 384 ? с ! _[_а а • |
(4 7 ) |
Для определения наибольшего прогиба в случае пластинки ко нечной длины придется пользоваться общим выражением (46), по лагая в нем у=Ы2 и вставляя соответствующие значения р и р. Заметим, что в тех случаях, когда р и р близки к единице, первый член двойного ряда с достаточной точностью представляет сумму ряда, и потому можно положить, что влияние продольных растя гивающих сил на прогиб таково, как и их влияние на величину первого члена двойного ряда. В таком случае для вычисления наи большего прогиба можно пользоваться приближенной формулой
w |
— w |
П + |
р8 ) 8________ |
/ 4 3 ) |
“ах |
К'0(1+ц2)а+ я*(1+Рц*)* |
^ |
||
Здесь Wo— наибольший |
прогиб |
при |
T *=T i=0. |
|
При р= 0 формула эта совпадает с формулой (47). При а*=0 формула дает wmtx=w0.
Применяя формулу (48) к квадратной пластинке и полагая р= 1, получим
Если приближенную формулу (48) применить к пластинке, у которой р=1/2 и p=p*=V 4, то получим
1
Пользуясь этими приближенными формулами, можно составить уравнение, аналогичное уравнению (21), для определения наиболь шего значения растягивающих усилий 7\, Т2в том случае, если края пластинки могут свободно поворачиваться, но не могут сближаться при изгибе. Усилия Тг и Т 2 распределяются по краям пластинки в этом случае, конечно, неравномерно. Наибольшие значения этих усилий будут соответствовать концам линий х=а/2 и у —Ь/2,
2 0 8 |
ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ |
причем с достаточной точностью можно полагать для этих точек:
Р= T-JTг=Ьг/аг=р*.
Кприближенной формуле (48) можно прийти иным путем, рас сматривая пластинку как систему с одной степенью свободы. Для
прогиба возьмем выражение
. пх . пу |
, . пч |
ffi>= <psm — sin |
(49) |
удовлетворяющее условиям на контуре. Потенциальная энергия в
таком случае представится формулой |
|
||
V = |
Я 2 . |
Я 2 \ S |
|
"а2" ' |
"б2" J • |
||
|
Выражая координату <р через соответствующую обобщенную силу, получим прогиб пластинки в такой форме:
рг . |
ПХ |
sin |
пу |
Ф sin — |
Ь |
||
w = abcn* |
а |
|
|
+' |
-b2 |
|
|
- |
|
Вставляя значение обобщенной силы Ф для случая равномерно распределенной нагрузки q, получим
|
.. |
. |
пх . |
пу |
|
sin — sin |
- ~ |
||
W - |
16qb* |
|
а______Ь |
|
I«С |
(1 |
+ | Х 2)2 |
|
|
|
|
Для определения наибольшего прогиба полагаем х=а/2, у=Ь/2:
16</64 |
1 |
,еЛЧ |
wmax— пвс ( l + |
ц у |
( 5 ° ) |
Эта приближенная формула дает вполне удовлетворительные ре зультаты для прямоугольных контуров, близких к квадрату. Для квадрата погрешность, как показывает сравнение с числами табли цы С, не превосходит 2,5%. В случае Ь/а= 1/2 погрешность около 5%. С дальнейшим возрастанием длины пластинки погрешность воз растает, так как действительная поверхность изгиба пластинки все больше отклоняется от принятой при расчете формы изгиба. Мы вос пользуемся тем обстоятельством, что приближенная формула дает удовлетворительные результаты для контуров, близких к квадрату, и определим для таких контуров влияние растягивающих усилий Тх и Г* на прогиб.
При наличии усилий Тх и Тъвыражение для потенциальной энер гии напишется в такой форме:
V |
аЬс |
ф 2 ( п* _ |
l _ i i l V Т i _л2_ L |
ф2 “Ь 2 |
я 2 аЬ |
1 Г |
|
) "Г 2 ' 1 ^ 4 |
4 Ф |
S 9. ДЕЙСТВИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И КОНТУРНЫХ СИЛ 209
Пользуясь этим, выражаем координату через соответствующую ей обобщенную силу, тогда на основании общего выражения (44) получим
Ф sin — |
sin лу |
|
-= . |
лх . |
|
W л 4аЬс |
а |
b |
|
|
|
\ а2 ^ Ь2 ) |
^ |
агп гс ^ Ьгл*с |
Если вместо Ф вставить его значение для случая равномерно рас пределенной нагрузки и принять во внимание ранее введенные обо значения ТгЬг/сп2= аг и Тi/T2= Р, то мы получим формулу (48).
Только что изложенным приемом можно воспользоваться для определения влияния растягивающих усилий Ti и Т 2в случае пла стинки с заделанными краями. В основание расчетов положим та кую форму изгиба:
“» = ф (1 —cos^ ) ( l —c o s -^ p ). |
(51) |
При этом будут удовлетворены условия на контуре: w=dw/dn=
= 0.
Потенциальная энергия изгиба на основании общей формулы
(§8) будет |
|
|
V = 2abcn'y• (JL + -3. + |
-2 * -). |
|
Для координаты ф получаем выражение |
||
Ф = ------- |
|
— У |
АаЬсл4 |
|
|
|
|
агЬг I |
Вставляя это в выражение для прогиба (51), получим |
||
ГО)— K ~cos^i )( ~cosjF) |
||
_4 1 |
----- 7 4 1 |
/ |
Обобщенная сила Ф при действии равномерно распределенной нагрузки q определится из уравнения
а Ь
Ф бф = 6ф J J q ^ 1 —cos -f- ') ( 1 —c o s dxdy = qab бф.
о о
2 1 0 |
ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ |
|
|
На |
основании этого получим для прогиба выражение |
|
|
|
T I. |
|
|
|
Наибольший прогиб получим, полагая х=а/2 и у=Ь/2: |
|
|
|
Ф* |
1 |
(52) |
|
„4С (З + Зц1 + 2ц*) • |
||
|
|
||
|
Для квадратной пластинки эта приближенная формула дает |
||
прогиб |
|
|
|
|
—о 12е! |
^ |
|
|
W,max — U, I/O |
я4с . |
|
Для прямоугольника с отношением сторон Ь/а=ц=0,5
W„ |
qb4 |
= 0,271 Ц -. |
|
|
’ я 4С |
Значения этих же прогибов на основании решения Б. М. Кояловича ‘) будет *)
nfji
для р = 1 датах = 0 ,1 2 3 -^ ,
для р = 0,5 штах = 0,248 ^ .
Таким образом, принятая нами форма изгиба (51) дает довольно точные значения для прогиба пластинки в случае контуров, близ ких к квадратным. Этим обстоятельством воспользуемся для оценки влияния растягивающих усилий 7 \ и Т 2. Для этого нужно вычислить работу усилий Т\, Т2 для взятой нами формы изгиба. Вставляя в общее выражение для работы усилий 7\
- т М о М о ( - £ ) ’**
значение w и выполняя интегрирование, получим
да2! ТгФ*.
Ч К о я л о в и ч Б. М. Об одном уравнении с частными производными чет вертого порядка. С.-Петербург, тип. Императорской Академии наук, 1902, 125 стр.
*) Числа взяты из цитированной в сноске на стр. 190 статьи И. Г. Бубнова.