книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf§5. СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ШКИВОВ |
41 |
||
Из (1) и (2) сейчас же получаем соответствующее уравнение |
|||
движения |
|
|
|
Ф"а+Фс=0, |
|
|
|
откуда |
|
|
|
Ф =Л cos (pt+a) |
|
|
|
и |
|
|
|
Р = |
OJpl |
|
|
01^1 + ©2^2 |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя вместо h и 12 их значения (5) § 2, найдем |
|
||
GJр (0i+ 6г) |
- 4 ° / ' |
GJp (©!+ ©,) |
|
IS A |
/©А |
|
|
что совершенно согласуется с |
результатами, |
полученными |
в § 1. |
Посмотрим, какое влияние на период колебания оказывает масса самого вала. Нужно заметить, что некоторые авторы *), желая при нять во внимание влияние массы вала, поступают таким образом: они делят момент инерции вала пополам и части эти прибавляют к моментам инерции шкивов. Сосредоточивая массу всего вала на концах, эти авторы, очевидно, переоценивают влияние вала и полу чают в результате период колебания более действительного.
Мы для определения периода колебаний воспользуемся основ ной формулой (4) § 3, причем для упрощения пренебрежем поправ ками, соответствующими второй степени изменений первоначальной системы.
Если мы примем в расчет массу вала, то потенциальная энергия системы от этого не изменится, следовательно, 8с=0.
Для определения да нужно определить предварительно прира щение живой силы. Называя по-прежнему через 0Омомент инерции
отрезка |
вала, длиной равного |
единице, получим |
||
|
|
|
+ /2 |
= (Ф')2 0. Ч-\-П |
|
|
дК- |
°о (ф')2 |
|
откуда |
ба- |
3 |
"• |
|
|
|
|
Число колебаний системы определится по формуле
Ыъ = п2
1
1 + ба
1) См. |
стр. |
144 книги |
Н. |
L o r e n z , упомянутой в сноске1) на стр. 13, а |
также стр. |
212 |
статьи G. |
W. |
M e l v i l l e , указанной в сноске3) на стр. 13. |
42 |
К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ |
|
|
|
Подставляя вместо а и 8а их значения и принимая во внимание, |
||
что /0Омало по сравнению с 9j и 02, получим |
|
||
|
N* = л* [' |
О! + /I) 80 |
(4) |
|
3 (01^1+0*^*) |
||
|
Если взять тот частный случай, когда 0 i= 0 2, то |
|
|
|
/ i = / a = 1_ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(5) |
В этом частном случае л* определится из формулы |
|
||
|
. |
30* ~ , |
(6) |
|
п* = —5- GJ *40! • |
Из формул (5) и (6) следует, что в случае шкивов с равными моментами инерции для вычисления числа колебаний нужно к моментам инерции шкивов прибавить по одной шестой от момента инерции вала и дальше вести расчет по тем же формулам, как и для невесомого вала.
Посмотрим, как нужно видоизменить это правило на случай шкивов с неравными моментами инерции. Подставим в формулу (4) вместо 1и /2 и л их выражения через 0! и 02. Тогда получим
Д72 |
_ 30* |
Ыр_ |
0! + 0 2 , |
/90 (е?—0 A + 9I) ' |
'V |
“ Я* * |
/ ' |
0!02 |
3 (01+ 0г) 010а |
Мы видим, что /V* отличается от л2 (см. формулу (3)) только тем, что вместо множителя
01 + 02
0102
входит множитель
01 + 02Г1 (Оо (01 — 0102+ 82) 010а L 3 (0!+ 02) 0102
Пока /0Омало по сравнению с 0i и 02, мы будем с достаточной точностью иметь
01+02Г1 |
/е0(о!—0102+el)] |
(й ■*8» |
82 |
\ , (а |
■1% |
01 \ |
|||
Г 1+ 3 91+eJ~l ABl+ 3 81+82J |
|||||||||
0102 L |
3 (0! + 02)0102 |
(а |
| |
/0„ |
02 |
\ (п |
I f®0 |
01 |
\ |
|
|
^ |
+ |
т |
0г+ т2Д еа+т 01+ 02; |
||||
а если так, то, значит, N2 отличается от л* тем, что |
вместо |
0! и 02 |
§5. СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ШКИВОВ |
43 |
||
поставлены соответственно |
|
|
|
/0о |
03 |
(7) |
|
3 |
’ 01 + 0*‘ |
||
|
Отсюда мы можем вывести следующее правило для вычисления числа колебаний в случае неравных шкивов: одну треть момента инерции вала делим в отношении, обратном 0! и 08; полученные величины прибавляем к моментам инерции шкивов и дальнейшие вычисления ведем по формулам, выведенным для случая невесомого вала.
В виде численного примера разберем случай, приведенный у |
|
Г. Лоренца 1). |
машина мощностью 3000 л. с. де |
Паровая трехцилиндровая |
|
лает обычно 75 оборотов в минуту. |
|
Полная длина вала |
|
/=50 |
.«=5000 см. |
Полярный момент инерции поперечного сечения вала диаметром |
|
d=35 см будет |
|
Jp= 147 324 смК |
|
Модуль упругости при сдвиге взят для стали |
|
G=880 000 кг/см*. |
Относительно моментов инерции масс, сосредоточенных по кон цам вала, имеются следующие данные.
Масса кривошипов 4500 кг с радиусом инерции относительно оси вала
г= 0,40 м.
К этому нужно прибавить часть массы движущихся взад и впе ред частей машины. Эту часть на основании своих расчетов Г. Ло
ренц оценивает в 7750 кг с радиусом |
инерции относительно оси |
вала / 1= 0,60 м. |
6480 кг. |
Вес гребного винта принят равным |
Соответствующий ему радиус инерции г2=1 м.
Для удобства вычислений все массы приведены к радиусу инер ции Г!=0,60 м, соответствующему радиусу кривошипа.
Тогда момент инерции масс, соответствующих переднему концу вала, будет
01=45ОО- (0,40)*+7750- (0,60)*= (2000+7750)-3600 кгсм\
Подобным же образом для гребного винта будем иметь 0з=648О- (1,0)*= 18 000-3600 кгсм*
J) См. стр. 144 его работы, указанной в сноске1) на стр. 13.
44 |
К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ |
Момент инерции самого вала относительно его оси будет
/00=1667-3600 кгсм\
Пользуясь приведенными данными, мы для сравнения подсчи таем число собственных колебаний в трех предположениях:
1)совершенно пренебрежем массой вала;
2)проделаем вычисления так, как рекомендует Г. Лоренц, т. е. разделим момент инерции вала пополам и полученные части при бавим к моменту инерции гребного винта, с одной стороны, и дви
жущихся частей паровой машины — с другой; 3) решим ту же задачу, распределив момент инерции вала так,
как нами было выведено выше.
Чтобы сравнить, насколько близки к истине полученные по этим трем способам результаты, мы в дальнейшем точно определим число колебаний, соответствующих выбранному валу.
1) |
Пока масса вала не принимается в |
расчет, число колебаний |
|
определяется по формуле |
|
|
|
|
G ^(0,+ 0s) |
|
|
|
|
/0102 |
|
Подставляя значения входящих в формулу величин, получим |
|||
30 | / |
880 000-147 324-27 750-3600-981 |
= 319,2 |
колебания в минуту. |
п = я V |
5000-9750-18 000-(3600)а |
||
2) Если вести расчет по способу Г. Лоренца, то придется вместо |
|||
вычисленных выше значений 0t и 0а взять |
|
||
0i |
/0о |
|
|
= 0, + ip = (9750 + 833)• 3600 = 10583-3600 кгсм\ |
0; = 02 + ^-° = (18 000 + 833) -3600 = 18 833 • 3600 кгсм*;
на основании этого Г. Лоренц определяет число колебаний
30 л /~880 000-147 324-29 417-3600-981 = 309,3 колебания в минуту. П~*ИУ 5000-10 583-18 833-(3600)23
3) При распределении момента инерции вала по формулам (7) будем иметь
г,- |
/гч-ггп , 833 |
18 |
000 |
\ ослл |
кгсм ' |
0! — (9750 + з |
' 18 000 |
+ 9750) |
|||
0®= |
(18 000 + "з" • 18 000+9750) |
кгсм2< |
|||
п = — 1/ |
GJp |
=314,1 |
колебания в минуту. |
||
я У |
/0+; |
|
|
|
|
§6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛА СО ШКИВАМИ НА КОНЦАХ |
45 |
Как мы увидим ниже, более точное вычисление дает для числа колебаний в минуту значение п=314,9.
Из этого примера видно, что, распределяя момент инерции вала по формулам (7), получаем результаты с точностью, вполне доста точной для практических целей.
§ 6. Точное определение периода свободных колебаний вала, на концах которого имеются шкивы
В тех случаях, когда моменты инерции шкивов 0t и 02 суть величины одного порядка с моментом инерции вала /0О, мы не можем пользоваться ни одной из приближенных формул, выведенных в §§ 4 и 5, и для решения вопроса о периодах свободных колебаний нужно исходить из уравнения, выведенного в § 4 для цилиндриче ского вала:
(1)
Мы займемся случаем основного тона и для удобства поместим начало координат в узловой точке. Частное решение уравнения (1) возьмем в форме
Ф = Л sin ^ sin ax . |
(2) |
Из того условия, что значение ф, определяемое формулой (2), должно удовлетворять уравнению (1), найдем зависимость, которая должна существовать между а и р:
Ga2= 8p2. |
(3) |
Теперь постараемся для а найти такое значение, чтобы удовле творить условиям на концах вала. Прилагая начало Даламбера, мы найдем, что к концам вала приложены моменты
М г = — 0 |
d2<Pi |
и М, = — 0, даФг |
■ |
|
1 Щ2 |
г dt2 |
обусловленные силами инерции вращающихся шкивов.
Как мы видели в § 4, момент внутренних сил для какого-либо поперечного сечения вала может быть представлен формулой
|
М = GJP^ . |
(4) |
|
|
|
Р дх |
|
Применяя формулу (3) к концам вала, будем иметь |
|
||
-Э х |
d2<Pi |
/дф\ |
|
dt* |
GJ, \ д х ) х = и ' |
|
46 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
Здесь через и /2, как и раньше, мы обозначаем расстояния от узловой точки до концов вала.
Подставляя вместо <рх и <р, их значения, получим два следующих уравнения:
G ^ s in a /j^ a c o s a /jG /j,, |
02p2sin a/a = acosa/,G y/). / |
(5) |
|
Вместо рг можно в уравнения (5) подставить его значение из (3), тогда
бJ p |
|
00 |
0i |
II ~®1 |
|
бJ p |
|
О |
a t g a / 2= ~0ГII |
о |
Если к этим уравнениям присоединим еще условие
(6)
h+l*=l, |
(7) |
то для определения трех неизвестных llt /2, а мы будем иметь до статочное число уравнений. Решать эти уравнения придется по следовательными приближениями. Задаемся сначала какой-либо величиной /i и по ней из первого уравнения системы (6) определяем соответствующее значение а. Найденное а подставляем во второе уравнение (6) и определяем оттуда /2. Если полученное значение /2 не удовлетворяет уравнению (7), то расчет нужно повторить, по ложив
Вычисление придется повторять до тех пор, пока /х и /2 не будут с достаточной точностью удовлетворять уравнению (7). Когда моменты инерции шкивов велики по сравнению с моментом инерции вала, то подобрать для /х и /2 достаточно точные значения можно довольно скоро. В этом случае начинаем с того, что полагаем
02 + |
1% |
02 |
|
/1 = Г |
3 |
' 01 + 02 |
( ) |
|
|
|
8 |
о .+ о .+ ^
Обыкновенно уже вторая подстановка дает для а значение, достаточно точное для практических целей. Применим вышесказан ное к численному примеру предыдущего параграфа:
1667
a t g a *i=-g; ~ 5000 -9750 ’
a t g a / 2 = | -
1667
5000-18 000’
5 7. РАССМОТРЕНИЕ СЛУЧАЯ ВАЛА С ТРЕМЯ ШКИВАМИ |
47 |
Положим по формуле (8) /t = 5000 18 ^ ^ g 195 = 3214 см. Под
ставляя U в первое уравнение, найдем
lg а = 4 ,00453.
Соответствующее число колебаний будет
«=314,1 колебания в минуту.
После ряда последовательных подстановок получим
lg а = 4 ,00560.
Этому значению а соответствует
71=314,9 колебания в минуту.
Зная а, можно вычислить и напряжения, которые имеют место в валу во время колебаний. Для наибольших касательных напряже ний в любом поперечном сечении вала будем иметь
|
_Gd |
d(р |
|
Тшах —~2'dx |
|
или, подставляя вместо ^ |
его значение, найдем |
|
т шах = |
Gd л |
л |
"2“ Аа s in |
pt COSCtJt. |
Величину А придется определить из наблюдений.
§ 7. Рассмотрение случая вала с тремя шкивами
Исследование вопроса о колебаниях вала нередко осложняется тем, что кроме сосредоточенных масс по концам имеется еще шкив в одном из промежуточных сечений вала. Такое расположение имеется, например, в случае паровой машины, приводящей в дви жение якорь динамомашины. На одном конце помещается якорь, на другом кривошип паровой машины, а в одном из промежуточных сечений располагают маховое колесо, которому для обеспечения равномерности хода машины нередко придают довольно значитель ные размеры. Мы в дальнейшем займемся только тем случаем, когда момент инерции вала мал и им можно пренебречь без большой по грешности. Тогда задача сведется к исследованию колебаний си стемы трех шкивов, соединенных невесомым упругим валом одно образного кругового сечения.
Пусть АВ (рис. 8) будет рассматриваемый вал. Назовем через lt и 1г расстояние между срединными плоскостями шкивов. Через
48 К. ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
01, 0а, 03 назовем моменты инерции масс шкивов относительно оси вала. При определении момента инерции 0Ь соответствующего кривошипу паровой машины, нужно кроме массы кривошипа при нять во внимание влияние инерции шатуна и поршней. Влияние это переменное и при расчетах для упрощения полагают, что половина массы шату на и поршней сосредоточе
на в пуговке мотыля.
На шкив А непосред ственно передается от ма шины касательное усилие S, момент которого относи тельно оси вала будет Sr. Шкив В соответствует яко
рю динамомашины, к нему приложены сопротивления, момент ко торых относительно оси вала назовем через Wr. К шкиву С ни каких внешних сил не приложено.
Назовем через фь фа, ф3 переменные углы поворота, соответст вующие шкивам А, С и В.
Живая сила системы напишется так:
(1)
Для модуля упругости и момента инерции поперечного сечения вала сохраним прежние обозначения G и Jp. Тогда момент внут ренних сил упругости по сечению I — I будет
^ 1 = ^ ( Ф 1 —Ф.) |
(2) |
Подобным же образом для сечения II — II будем иметь
, , GJP
—i-- (Ф*--- Фз). (3)
На основании формул (2) и (3) мы можем написать следующее выражение для потенциальной энергии системы:
у __GJP (ф 1~ ( |
^_Р (фа — фа)а |
(4) |
|||
h |
2 |
' / 2 |
2 |
||
|
На основании (1) и (4) напишем систему уравнений движения
|
0 l |
d*<p, |
GJб |
|
|
|
+ -jf- (ф| — Фа)— S r = ° , |
|
|
Йафа |
GJB |
|
GJ„ |
|
е ж * г |
/а (ф*~Фз)— тг (Фх—Фг1»== о, |
(5) |
||
|
d2ф3 |
GJp |
|
|
|
0 |
dt* |
(фа Фз) T" W r = 0 . |
|
§ 7. РАССМОТРЕНИЕ СЛУЧАЯ ВАЛА С ТРЕМЯ ШКИВАМИ |
49 |
Так как нас интересует вопрос о колебании системы, то из урав нений (5) нужно найти ф!—ф2 и <р2—ф3 в функции от времени.
Деля первое уравнение системы (5) на 01( а второе — на 02 и вычитая из первого второе, получим
d2 (фх— ср2) . |
, |
ч |
р |
Sr „ |
/С ч |
|
~ЧГ2 |
Ч ' А ^ W J |
|
|
/2е2 |
(Тг— Фз) — 0^- —о. |
(6 ) |
Подобным же образом из второго и третьего уравнений системы
(5) найдем
d2 (ф2—фо) |
, (GJp , |
р\ 1 |
|
\ |
GJp |
Wr |
= 0. |
(7) |
||
~Ч Г2 |
^ "\/2е2"*" /203/ фа |
фз |
Tj0i |
Фх фг |
||||||
|
|
|||||||||
Для сокращения письма введем такие обозначения: |
|
|
||||||||
|
|
Фх—'Фз = г, |
ф2— Фз = 1/. |
|
|
|||||
|
GJp |
GJp |
GJр ' 0j + 02 ' |
= а, |
|
|
|
|||
|
/201 |
/х02 |
|
0102 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
GJp |
GJp |
GJp |
|
|
= b. |
|
|
( ) |
|
|
/202Г«Ч |
"/А = Т Г |
0чОч |
|
|
|
8 |
|||
|
GJB |
|
GJ в |
|
|
Q w_r__ n |
|
|
||
|
__ __Г |
* р _A Sr__ |
|
|
||||||
|
1& |
~ ' |
/102_ а ’ |
0, |
~ |
Ч' |
% ~ K- |
|
|
Тогда уравнения (6) и (7) перепишутся так:
d%z
M i+ az— cy— Q= 0,
(9)
Zj%+by— dx— R = 0.
Дифференцируя первое из уравнений (9) дважды по t, получим
d*z . d2z |
d2y d2Q л |
/ i m |
IF ^~a d F ~ Cd F ~ I t2 -
Исключим из уравнения (10) у, для этого из первого уравнения
(9) определяем у и подставляем во второе; будем иметь
W2 = dZ + R - t ( ^ + a z - Q ) .
На основании этого уравнение (10) можно представить в таком виде:
d£ + ( a + b ) ^ + (ab -cd)z = b Q + cR + d4%. |
( И ) |
dt2 |
|
Подобным же образом можно составить уравнение для опреде ления у:
^t |
+ ( a + b ) ^ + ( a b — c d ) y = a R + Q d + |
( 12) |
50 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
Уравнения (11) и (12)—линейные с постоянными коэффициен тами, и решение их не представляет никаких затруднений. Так как они совершенно одинаковы по форме, то ограничимся рассмотрением только уравнения (11).
Соответствующее однородное уравнение без последнего члена
будет |
|
^ + ( a + b ) ^ + (ab -cd)z = 0. |
(13) |
Полагая z=ert, для определения г будем иметь r*+ (a+b)r2+ab—cd=0,
откуда
Г = ± У ~ Ц ± ± У ( а~ ¥ ) г- а Ь + cd.
Нужно показать, что все четыре корня — мнимые.
В самом деле, выражение, стоящее под вторым корнем,— вели-
( а+ Ьу
чина положительная и всегда меньше, чем1 —g—J , так как
-а Ь + cd = (!= * )•+ Ы
И
ab—cd>0.
Последнее нетрудно доказать, если вместо а, Ь, с и d поставить их значения из (8):
G*Jp |
Г(9, + 92) (9 ,+ ej |
t |
|
,/29l |
L |
®1®з |
|
выражение, заключенное в скобки, равно
(0, + 02-)-03)
и, следовательно, всегда больше нуля. Из всего этого следует, что всегда
Положим
“- f* + |
= — **, |
в + 6 |
1/ ( т ) ’+“*= — Яг- |
2 |