книги / Системы экстремального управления

т. е. амплитуда предельного цикла равна нулю (ж0 = 0), что свидетельствует об отсутствии] предельного цикла, который в пределе стягивается к экстремуму ж*.

Таким образом, при е = 0 в процессе поиска траекто­ рия у (ж) «навивается» на экстремум.

Доказанное выполнение неравенства (7.2.2) гаранти­ рует сходимость поиска к экстремуму, т. е.

Иваxi — х*.

i-*o o

Однако следует отметить, что при е = 0 работа поиска в экстремуме (ж*, ж*) заключается в переключении режи­ мов ж = ± а, строго говоря, с бесконечной частотой

Рис. 7.2.3. Поиск экстремума инерционного объекта первого ро­ да при е > 0 (предельный цикл).

(это и обеспечивает неподвижность системы в пределе). Очевидно, что практическая реализация подобного режима невозможна.

Рассмотрим теперь работу поиска при е > 0 (рис. 7.2.3).

Пусть моменты реверса (точки 1, 2, 3 на				рисунке) проис­
ходят при отклонении	от	экстремального состояния
у = х* на величину Ô, которая			в свою очередь зависит
от е. В момент реверса ^	= е,	у = х* ±		Ôи, следователь­
но, для квадратичного объекта			щ .
Из первого уравнения (7.1.5) получаем в результате
зависимость между Ô и е:
Tie	**) - р		-J- Ô = Х \	(7.2.7)
2к (б +		Ж

И Л И

Tie	-|-х* — Ь = х2,	(7.2.8)
2к (я* —Ô)

где хх и х2 — значения управляемого параметра х в мо­ менты реверса (см. рис. 7.2.3). В силу симметрии доста­ точно рассмотреть одну ветвь траектории системы (напри­ мер, 1—2 на рис. 7.2.3). Для нее в точке 2 имеем & = —а,

х0 = xlt у0 = б:

*a-3Ci

у (х2) = X* — Ô = х2 -f (х* + Ô — Хх — а711)еаТ‘ + аТг. (7.2.9)

Из этого выражения для исследования сходимости обра­ зуем (7.2.2)

хх + х» — 2х* =	*1~*»\	/	Xi—X,\
/
= (xj — х* — ô) (1 -f- e aTi ) — aTx \1 — e			aTl )
Аналогично тому, как это сделано выше при е =			О, рас­
смотрим два крайних	случая:
а) хг — х2 ;> aTx +	Ô, т. е. система находится вдали
от экстремума. В этом случае получаем
Хх + х2 — 2х* =	(хх — х*) — (ô +	аТг)	О,

т. е. система имеет тенденцию к уменьшению размаха ко­

лебаний относительно	экстремума и, следовательно, стре­
мится к цели.	б, т. е. система находится в рай­
б) 0 <| Хх — х2

оне экстремума. В этом случае получаем

Хх + х2 — 2х* = 2 (xj — х* — ô) < О,

т. е. система стремится увеличивать амплитуду колебаний относительно экстремума. Это означает, что должен су­ ществовать предельный цикл. Найдем его. Для определе­ ния амплитуды предельного цикла нужно удовлетворить условиям (7.2.4). Получаем следующее уравнение отно­ сительно предельного цикла:

Это уравнение удобно решать обратным способом, т. е.,

задавая	, получать	• На рис. 7.2.4 показана	эта
зависимость
		(7.2.11)
Как видно из (7.2.10), она имеет асимптоту гс° = Ô +			аТх.

Это означает, что при больших значениях Ô зависимость

(7.2.11)	имеет вид
æ° «	Ô + аТх. (7.2.12)

Характер этой зависи­ мости показывает, что уже при малых значениях Ô амплитуда колебаний х° возрастает значительно, что является особенностью параболического объекта, на примере которого рас­ смотрен предельный цикл.

Рассмотрим эту зависи­

Рис. 7.2.4. Зависимость F (Ь/аТх). мость при малых значе­

ниях х°/аТ1. Применяя раз­ ложение в ряд по этому малому параметру в выражении (7.2.10) и пренебрегая малыми высокого порядка, полу­ чаем зависимость (7.2.11) в виде параболы

(7.2.13)

аТх~ \aTij

что подтверждает указанные выше соображения. Определим теперь потери на рысканье в процессе пре­

дельного цикла. Для этого нужно знать амплитуду колеба­ ний выхода у инерционного элемента.

Максимальное отклонение этой величины имеет место при у = х и из (7.1.9) равно

ï/max — 2/max “Ъ (# *4*0 — Х \ —0,Т\)в aTl - }

- (7.2.14)

где хг = х° + я*. Обозначая амплитуду предельных ко­ лебаний у (г) через у0

получаем	из (7.2.14)	хО—уР
	(*® — ô +	аТг) е аТ‘ = аТъ
откуда после очевидных преобразований получаем
	ÿ° = x° +	„ r 11 ° а.Л ^ ‘ + , 0 .	(7.2.16)
Оценим величину амплитуды у0при малых и			больших
значениях	Ô.

Пусть Ô мало. Тогда, воспользовавшись выражением (7.2.13) и представлением

1п Г Т ^ - 1п(1 - а + Т а2) - “ а + Y a2’

которое получается путем разложения логарифма в сте­ пенной ряд при малом а, получаем из (7.2.16) после необ­ ходимых преобразований

У0 « Ô,

(7.2.17)

т. е. амплитуда поиска при малом Ô пропорциональна Ô. Если Ô велико, то, воспользовавшись (7.2.12), полу­

чаем

у0 = Ô + аТг (1 - In 2).

(7.2.18)

В общем случае фигурирующие в выражении (7.2.16) параметры х° и Ô определяются при помощи зависимости (7.2.11), представленной графически на рис. 7.2.4, и вы­ ражения (7.2.7), которое удобно записать в виде

** = щ + 6.

(7.2.19)

Подставляя сюда (7.2.11), получаем уравнение для оп­ ределения Ôв функции величины порога е:

Wi [Р (ôri) — ôTl] = 2Шт[ »

(7.2.20)

которое можно решить графически, если знать зависимость

Эта зависимость показана на рис. 7.2.5. Пересечение этой

кривой с уровнем А = 2,^14 и обеспечивает решение уравнения (7.2.20).

Рис. 7.2.5. Графическое решение уравнения (7.2.20).

Теперь, располагая зависимостью ô (е) и х° (е) из (7.2.11) и подставляя полученные значения Ô и в выра­ жение (7.2.16), можно получить амплитуду у0.

Определим потери на рысканье. Они равны

Т ц / 2

R = T -	\ y(t)dt,	(7.2.22)
Ц	0
время предельного	цикла

тц =II 1

а у (t) берется из (7.1.9).

§ 7.3. Поиск с реверсом на инерционном объекте второго рода

(7.2.23)

Теперь рассмотрим поиск с реверсом на инерционном объекте второго рода, когда его инерционность определя­ ется в основном значением Т2, т. е. Т2^> Т1. Блок-схема такой системы экстремального регулирования с дифферен­ циатором показана на рис. 7.3.1, где все обозначения ана­ логичны обозначениям рис. 7.2.1: ИМ — исполнительный

механизм (интегратор), ДЭ — двустабильный элемент (триггер), р — оператор дифференцирования, РЭ — ре­

лейный элемент, срабатывающий при входе е,	ИЭ — им­
пульсный элемент.
Исследуем динамику процесса поиска. Эта динамика
в основном описывается уравнением (7.1.11),	где q =
= q (х) — нелинейная часть объекта.

М3

Рис. 7.3.1. Блок-схема экстремального регулирования инерцион­ ного объекта второго рода.

Пусть q (х) является квадратичной	параболой вида
q (х) = /сх2.	(7.3.1)

Подставляя это выражение в (7.1.12) и интегрируя, можно получить зависимость

Q (t) = к [xl (1 — e T«) -(- 2x0a (t — T2 +			T2 e	r ») +
+	à? ( f - 2tTt +	_		j£_	(7.3.2)
		2Tl - 2T\e~ r.)] + q (Xo)e~ T.,
где	x0 — исходное	положение объекта	при	t =	0.

При выводе этого выражения были использованы сле­ дующие интегралы:

J * = l î e Tdl = T ite T - J x) ,

о

^

'

На	рис.	7.3.2		показано	поведение Q (ж) в функции		ж =
=	ж0 +	xt	при различных значениях			ж = а, причем
ai	а2 <С		а3-	Наглядно	видно, что с	увеличением	ско­

рости форма кривой Q (х) все более отличается от q (ж), что

иследовало ожидать ввиду влияния динамических свойств объекта.

Следует отметить, что в момент совпадения значений q

иQy т. е. при Q (х) = q (ж), производная^ = 0. Действи­

тельно, из третьего уравнения (7.1.5) получаем при q = Q

Рис. 7.3.2. Поведение выхода объекта второго рода при по­ стоянной скорости изменения его входа.

^	= ^ я	= 0,	т. е. ^ = 0.
at	ах	1	ах

Это означает, что реверс на­ ступит не в момент пересе­ чения указанных кривых,

анесколько позже.

Сдругой стороны, в мо­

мент пересечения q = Q зна­ чение функции качества все­ гда будет меньше, чем в ис­ ходном состоянии ж0, т. е.

Я (*i) < Я & а) < Я (ж3) < Я («о)-

(7.3.3)

Это положение	доказывается исходя из		следующих
простых соображений.
Известно, что выход апериодического звена всегда
стремится к значению		его входа. Действительно, из
(7.1.11) получаем	выражение
	§	= Т, \ q - Q \ ,	(7.3.4)

которое означает, что знак скорости изменения выхода соответствует знаку разности q — Q, т. е. Q возрастает при Q q и уменьшается при Q q. Вследствие этого в про­

межутке между	ж0 и точкой пересечения Q = q функция
Q (t) монотонно	уменьшается, так как здесь	q. Это

и обеспечивает выполнение неравенства (7.3.3) при любых значениях скорости управляемого параметра ж.

Пусть е = 0 и реверс происходит в момент ^ = 0, т. е. при q = Q. Тогда процесс поиска будет идти так, как

показано на рис. 7.3.3, и можно утверждать, что вследствие отмеченного монотонного уменьшения Q процесс сойдется

в точку минимума х*.

При е 0 процесс поиска происходит несколько иначе. Он показан на рис. 7.3.4. В этом случае процесс не сходит­ ся в точку х*, а образует предельный цикл в районе цели.

Рис. 7.3.3. Поиск экстрему­		Рис. 7.3.4. Поиск экстремума
ма	инерционного объекта	инерционного объекта второго
второго рода при е = 0.		рода при е > 0.
Определим этот цикл для кусочно-линейной функции
качества вида
	q (х) =	к |х|.	(7.3.5)
Рассмотрим одну ветвь		этого цикла от точки х0 до
точки	—х0 (эта ветвь показана жирной линией на			рис.
7.3.5).	При этом полагаем	Q (х0) = Q (—ж0) =	б,	где

б — некоторый параметр. Тогда воспользовавшись (7.1.12)

и (7.3.5), получаем для Q (t) на участке 0			х х0 при
0 < i < —
а
Qx (0 = — акТ2	— !Г2 -J- JГ26	-j- ба	^1.
На участке —х0<1 х < 10 имеем при — <1 f <; 2 —
	а		а
/	t—		^
Q%(t) = - акТ2	+ Т %е ~		~

Из последнего выражения получаем условие

<г*(2т) = «-	(7.3.6)

необходимое для замыкания предельного цикла. Однако отсюда нельзя определить неизвестные параметры предель­ ного цикла х0и Ô. К этому условию следует добавить урав­

нение момента реверса

						^dt _~~ Е’
				которое при			учете	(7.3.4)
				и Q = ô приводится к виду
					Т%& = кх0 — ô. (7.3.7)
				Из двух уравнений				(7.3.6)
Рис. 7.3.5. Предельный цикл при				и (7.3.7) уже можно				опре­
экстремальном управлении			объ­	делить х0 и Ô, необходи­
ектом	второго рода	(в ф	0).	мые для полного описания
				предельного цикла.
Время предельного цикла в					этом	случае	определяет­
ся из	очевидного	выражения:
			/г» _	4хо				(7.3.8)
			■*ц — ~ г »
а потери на рысканье
		Xt/a			S
	Я ” Т~ [	ÜQl (0 *		+		в . <0* ]		(7-3.9)
					—oclJa

Из физического смысла эадачи ясно, что потерина рысканье будут минимальны при а —> 0, т. е. при очень малой ско­ рости изменения управляемого параметра. Однако при этом быстродействие поиска также будет мало. Поэтому оптимальное значение параметра а = а* определяется при учете обоих факторов, т. е. скорости оптимизации и потерь на рысканье. Очевидно, что величина а* в каждом конкретном случав имеет собственное значение.

§ 7.4. Влияние инерционности объекта на процесс поиска методом синхронного детектирования

Рассмотрим особенности синхронного детектирования инерционных объектов.

На рис. 7.4.1 показана блок-схема синхронного детек­ тирования инерционного экстремального объекта с параболической нелинейной частью. Пусть сначала х = const. Рассмотрим гармоническое и случайное моду­ лирующее воздействие / (г). Для определения выходного

Рис. 7.4.1. Блок-схема синхронного детектирования инерционного объекта.

значения осредняющего фильтра Ф нужно последовательно разрешить следующую систему уравнений:

У — Wi (р) [* + / (01 = x + W1{p)f (0; ,

я =	я(у);
Q{t) = W2(p)q(t);		(7.4.1)
А (0 =	/(0 (? (0;
	Т
В =	A(t)dt,

где q = q (у) — характеристика нелинейного преобразо­ вателя, которую для простоты будем предполагать квад­ ратичной:

q = к (у — у*)2 + g*.

(7.4.2)

Инерционные звенья Wx (р) и W2(p), как это оговорено выше, в § 7.1, имеют единичный коэффициент усиления по постоянному сигналу, т. е. Wx (0) = W2(0) = 1.

Разрешим систему (7.4.1) при гармонической и случай­ ной модуляции.