книги / Структурно-аналитическая теория прочности

2.6. Тензор микроповреждаемости и условия сплошности

Введем в рассмотрение тензор я,-*, характеризующий раскры­ тие микротрещин отрыва и среза:

n ik ~ ^ ip Цk q ^ р Ъ ^ ip ^ k q ^ p i^ q *

Здесь	первое		слагаемое	относится к трещинам отрыва, а вто­
рое — к		трещинам среза.		Сам же тензор образован	диадным
произведением			нормали	к плоскости трещины на	векторы
/ч	—
JС^ И	Ji ^•
Через		тензор л 1к можно определить микродеформации в виде
			Мк = с & 1к + *кд'		(2.29)

где с — постоянная.

Скорость макроскопической деформации обусловленная микроповреждаемостью, составит тогда

t b - S f W W b ' P p , * 0 -

Введение тензора требует естественного уточнения усло­ вий сплошности (1.121). Понятно, что теперь в качестве сум­ марной неупругой деформации в (1.121) следует брать слагаемое

вида е ^ + е^кр, т. е. учитывать тензор деформации, связанный с разрыхлением тела. Как уже отмечалось выше, это определяет

второй уровень связности.	мож­
В контексте с введением тензора микроповреждаемости
но задать и тензор макроповреждаемости в виде формулы

n tt = //( 0 ) » i|t (Q)rf3Q .

Н
Свертка сг/^П,* или с	учетом перенормировки Oik [1-
- (П/По)^]-1 П/А: определяет	специфическую работу напряжений

на перемещениях, связанных с раскрытием трещин. По-видимому, можно полагать, что эта работа на момент разрушения будет достигать некоторой критической величины мкр. Тогда макроско­ пический критерий разрушения сведется к выражению

2.7. Проблема связности в теориях деформации и разрушения

Из предшествующих материалов первой и второй глав видно, что основные определяющие уравнения по своей конструкции очень просты и, казалось бы, не должны описывать сложные свойства кристаллов. Между тем, как показывает практика рас­ четов, функциональные возможности развиваемой теории прак­ тически не ограничены. Обусловлено это тем, что совокупность выписанных соотношений для актов деформации и разрушения представляет собой систему связных уравнений. Фактор связности как раз и придает теории широкие аналитические возможности. Поскольку проблема связности носит принципиальный характер и затрагивает глубинные физические причины продуцирования механических свойств, рассмотрим данный вопрос более подробно на одном частном примере.

Пусть имеет место изотермическое деформирование, реали­ зуемое исключительно через скольжение. Предположим, что внешнее воздействие сводится к заданию изменяющегося поля напряжений oik> ориентационная функция /(Q ) известна, а так­ же известны все константы материала, содержащиеся в урав­ нениях. Поставим задачу нахождения выходных переменных — макроскопической деформации eik и параметра разрушения Пм, проследив за характером связности системы уравнений. Диаг­

рамма	связности	для этого частного примера	изображена на
рис. 2.1,а.		следует, что напряжения aik	непосредственно
Из	рис. 2.1,а

дают вклад в xik, xi/c и xilc, подвергаясь при этом перенормировке через параметр повреждаемости материала П. Основные мик­ ронапряжения, фигурирующие в теории: г*к ,xifc и xik — зависят, кроме того, от p ik, aXifi, р Xik, причем так, что рис определяется неупругой деформацией. Неориентированные микронапряжения 0Xik зависят не только от ом , но и от ориентационной функции /(Q ) и микроповреждаемости тг^, а неориентированные микро­ напряжения pXik определяются функцией /(Q ), неупругой сдви­

говой деформацией		и фактором		Из диаграммы связности
следует прямое влияние х*к на активную					пластичность 0 *к	и
деформацию	ползучести 0\к,		причем	такое,	что /3^ зависит	от
Xs, которое	в свою	очередь	определяется		суммарной микроде­

формацией /??£. Напряжение xlk влияет непосредственно только на упругую деформацию 0yik, которая вместе с ориентационной

функцией	/(Q ) позволяет рассчитать			упругую	деформацию
е^. Точно	так же	вместе	с /(Q )	определяет	суммарную
неупругую	макроскопическую		деформацию е"л, последняя же в

свою очередь влияет на функцию /(Q ).

Напряжение

г,* и сум­

марная

повреждаемость

полностью лимитируют кинетику об­

разования

термофлуктуационных трещин

отрыва л \

а вместе с

и

силовых

трещин

отрыва,

т.

е.

микроповреждаемость

л°. В то же

время ?;* совместно с неупругими деформациями

и параметром л2 контролируют образование силовых тре­

щин

среза,

т. е. л с.

Кроме того,

л% влияет

на

aXjk и

pkik,

а

следовательно,

на

г**, т}*, г

и

т. д. Векторы повреж­

даемости

Л(

и

л /

определяются

соответственно

через

л ° ,

л {, Tik,

л с ,

г/*,

формируя

тензор

повреждаемости л,-* и

(совместно

с

^°, я*, лс

)

силовой

микроскопический параметр

разрушения П . Рассеянное микронапряжение П определяется микроповреждаемостью л г и ориентационной функцией f(Q ).

При этом П вызывает перенормировку напряжений а,*. Со­ вместно П и П° образуют макроскопический критерий раз­

рушения	Пм, который является	искомым выходным звеном
задачи.	В другом канале тензор	микроповреждаемости л,-*

приводит к появлению деформаций микроразрыхления /?Р*, что

совместно с /(£2) дает Сумма деформаций eyj)c, , Е?к оп­ ределяет искомую деформацию ецс как итоговую искомую пе­ ременную.

Здесь не отражен еще один уровень связности, включая и завязку через повреждаемость, возникающий при решении краевых задач через условия сплошности для полных деформа­ ций в блоке систем уравнений «уравнения равновесия—реологи­ ческий закон—уравнения совместности».

Получается, таким образом, что прямо или косвенно все рассматриваемые в теории переменные увязаны между собой. Характер такой зависимости можно детально проследить по ди­ аграмме связности, изображенной на рис. 2.1,а.

Из этой диаграммы вытекает, в частности, важнейшее за­ ключение о прямых и обратных связях в иерархии структурных уровней. Они прослеживаются как между элементами одного структурного уровня, так и между элементами, принадлежащими различным этажам структурной градации. Нет необходимости обосновывать ту мысль, что конечные достижения теории могут быть сведены на нет при недостаточном учете связности.

Фактор связности затрагивает еще один принципиальный вопрос. Как видно из рис. 2.1,я, соотношение между входными и выходными переменными, в данном случае между перемен­ ными ом и £/*, определяется не каким-либо отдельным блоком диаграммы связности, а функциональной структурой ее в целом. Это означает невозможность сведения макроскопических свойств к свойствам любого блока или группы блоков диаграммы связ-

ности путем простого изменения масштаба. Например, в общей постановке, согласно этой логике, невозможно отождествлять ме­ ханические макро- и микросвойства. Даже при весьма простых

законах развития микродеформации законы деформирования

для £& могут получиться чрезвычайно сложными. Поскольку связность несет на себе большую смысловую и аналитическую нагрузку при формировании макроскопических свойств, свойства отдельных блоков диаграммы связности можно, и даже крайне необходимо, предельно упрощать, доводя их в допустимых слу­ чаях до операций логического характера. Как показывает опыт вычислений, подобные упрощения практически не сказываются на результатах расчета.

Использование аппарата таких функций, как функции Хе­ висайда, оператор знака, дельта-функции Дирака, что широко практиковалось выше, обеспечивает двойную совместимость те­ ории: и с физикой явлений, и с особенностями современных цифровых ЭВМ. Мы не будем, однако, развивать здесь эту интересную тему.

Отметим, наконец, что структура всех выписанных соотноше­ ний (а следовательно, и диаграмма на рис. 2.1,а) зависит от фи­ зических процессов (математической модели поведения среды). Поэтому конкретное содержание теории не может быть аналити­ чески единственным. Еще один пример связности представлен ди­ аграммой на рис. 2.1,6, где показано, как реализуется деформа­ ция £/*, когда нет процессов разрушения и действуют два внешних фактора — напряжение и температура. Последняя порождает теп­

ловые микронапряжения ^Х^ и тепловое расширение /3]* (которые соответствующим образом дают вклад в микроскопическую дефор­

мацию	через	их	влияние на		г ' и непосредственно tjp	и влияет
на /О,*,	г ,	,	р	и aXifi.	Остальные связи на этой	схеме по­

нятны без дополнительных разъяснений.

Диаграмма на рис. 2.1,в дает представление о характере связности в задачах расчета свойств мартенситной неупругости. Напряжение сг,* и температура Т приводят к изменению эф­ фективной температуры Т , что определяет фазовый состав Ф,

деформации /3$ и £^, а также ориентационно-статистическую функцию xp(s)f(Q), причем с каналом обратной связи через тепловыделение Q, определяемое суммарным количеством мар­ тенсита Фг .

2.8. Циклическая повреждаемость

Выведенные выше соотношения справедливы для любых ре­ жимов температурно-силового воздействия, если только в пре­ делах изменения соответствующих переменных сохраняются фи­ зические законы микродеформации и микроразрушения. Изло­ женная техника расчетов пригодна, в частности, для анализа явлений малоцикловой и термической усталости. Однако в слу­ чае многоцикловой усталости определяющие уравнения уже мо­ гут потерять смысл из-за смены механизмов разрушения или из-за нецелесообразности детального анализа ситуации в устье распространяющейся усталостной трещины.

Покажем на одной из простейших аналитических схем ва­ риант техники расчетов усталостных характеристик.

Если повреждаемость возникает вследствие циклического из­ менения напряжений од, давления р или температуры Т, кри­ терий разрушения должен учитывать усталостный его характер. Выберем в качестве такового условие типа Коффина-Менсона

[44,	191,	428]:
		Л Ъ (А Л 1 )* °« ^ р ,	(2.30)
где	A/?3i — амплитуда неупругой составляющей		деформации в
цикле; KQ		, ка — постоянные; Np — число циклов до разру­

шения. При этом считается, что деформация реализуется иск­

лючительно сдвигом		в	направлении I.				в виде
	Если ввести параметр циклической повреждаемости
			* а = ^ .				<2-31)
где N — текущее число циклов,				то амплитуду А		можно рас­
считать, исходя из		следующего соотношения:
	1/4 й ц
	ЛДз1= /	$ lS g n $ i{ l - < t ,W l* Q(Q )]}A .					<2.32)
Здесь ал — постоянная,			учитывающая		влияние повреждаемости
на	микродеформацию;		£2Ц — частота		циклирования,	задаваемая
для	о д , р или Г,	например в		форме
	ол = o'ik+ A			sin 2 л: ° v •			(2.33)
		р = р' + p°sin2jTQ"4f ,					(2.34)
	Т = Г + 7° sin 2я Й "'ц t,						(2.35)

где o 'ft, p ' ,	T -	средние, a	, p 0 , T 0 -	амплитудные зна­
чения Ufa, p ,	T ; й 'ц , Й "ц , й " 'ц - частоты			циклирования.
Параметр циклической макроповреждаемости Пд введем по
аналогии с (2.19)		следующим	образом:
		Пд = / / (£2) лд (Q)d3 £2.		(2.36)

Р )

Если разрушение наступит после того, как Пд достигнет кри­

тического уровня n|jf, целесообразно записать для параметра макроскопического разрушения условие

П^ = Я ( П д - П ^ ) .	(2.37)
При П”р = 0 тело считается неразрушенным,	а при Пд = 1

(т. е. при Пд > n£f) — полностью разрушенным. Макроскопическая неупругая деформация, образующаяся за

N циклов, очевидно, составит

N	1/4оц
4 = 2		ал Н [Я£2 (Q) 1} х
п=1
	Х Я Ц	<2.38)

где п — число циклов, по которому производится суммирование. Для сильно разрыхляющихся материалов может потребовать­ ся учитывать накопление деформации разрыхления, например

в форме

(2.39)

где Дд — постоянная.

Когда усталостные эффекты связаны только с процессом скольжения в условиях действия закона изотропного их рас­ крытия в плоскости сдвига, уравнение Коффина-Менсона

(2.30)		должно быть	переписано в	следующей форме:
			Яд (АТр)к° = Яр,		(2.40)
где	ДГ^ — амплитуда		интенсивности	деформаций,	рассчитывае­
мая	по	формуле
		1/4Пц
		Д1> = /	f>H(s ){ l-а„ Я [л п (Я )1 } Л .		(2.41)

Система уравнений (2.30)—(2.41) намеренно упрощена, и, конечно, представляется реальным сформулировать гораздо более представительную математическую модель. Но даже в такой предельно схематизированной формулировке теории удается ре­ шать целый ряд задач по развитию усталостных повреждений. Так, положив р = 0 , а/* = 0 , А,* = 0 , р/* = 0 и взяв для Т урав­ нение (1.122) при Ф2 = 0, приходим к задачам термоусталости;

если при этом Л,* * 0, a = 0 , оцс = 0 и pik - 0 , р = 0, получаются соотношения для расчета термической усталости

второго рода; при р = 0,	А/* = 0 и Т =	const, а а/*,	задаваемом
с помощью (2.33), имеем обычную малоцикловую			усталость;
если же ад = 0, Яд = 0	и Т = const,	a р задано	с помощью

(2.34), имеем соотношения для расчета усталости от цикличе­ ских баросмен. Имеются значительные возможности и для рас­ чета комбинированных эффектов, когда ни одно из соотношений (2.33)—(2.35) не равно нулю.

Дальнейшее улучшение аналитической модели усталости мо­ жет быть достигнуто путем рассмотрения процессов одновре­ менного накопления статической и циклической повреждаемости [232].

Пусть в этой связи в рассматриваемом промежутке времени

от /н (у) до f (/) следует m(f) = а>(у) [/к (у) - tu(j) ] механических импульсов с амплитудой Аад(/), частотой ш (у) при среднем напряжении ад(/), которым отвечают соответствующие значения

Дг)Л(/), rik (у) и Аг'д (у), Tik (у) в базисах		отрыва и среза. Здесь
индекс у, изменяющийся от 1 до N , характеризует число серий
импульсов напряжения с	заданными	значениями oik(j) и
àoik (у). Тогда, считая, что	скорость продвижения усталостной

трещины определяется только характером изменения поля напря­ жений, средним его уровнем и размером поврежденной зоны и не зависит (в первом приближении) от частоты механоцикли-

рования а) (у), получим для	скорости	накопления усталостных
повреждений отрывом к 0 (у)	и срезом	к с (у ) следующие оче­

видные соотношения, относящиеся к у'-й серии механоциклирования:

m(j)
n(j) =0		9	ïr 33 СУ) х
			\
	(у) + со 1(у ) п (у )
"i(0
k c U)= S	[(н(у) + с о '1(у)п(у) ]~ 1	У	31 СУ) х
n ( j ) =	0

/	\
x(A*3lC/)vSÔ]<5	- 1
^ H(/) + w 1(j)n 0 )	/

Здесь n ( j ) — текущий номер механоцикла j-й серии; s -

переменная		интегрирования;			<р(х) ,	<Р(х ) — известные			ф икции
переменной		х, зависящие		соответственно от F33 (J) , Дт33 (/) и
от л	г	Ат3i (j).			В _	простейшем			случае
<£ = А	ехр(а Атзз(j) ш ) ,				р = А ех р (аД ? 31 (/) ^ ) ,				где
Л , а , Л , а		— постоянные,		которые, вероятно, удовлетворяют
условию Л « Л и			а ~ а ; л =			+ я2 ; nN° , я ^		— суммар­
ные повреждаемости соответственно отрывом и срезом от N
серий	механоциклирования,				определяемые		равенствами
			t N			t N	с (j)ds,
		л % = /	2 я {			= / 2 >
		о у= 1				0 / = 1
Суммарная повреждаемость П, обусловленная и								усталостью,

и разрыхлением от «статического» нагружения, будет равна по

аналогии с (2.19)
П —J f (£2)(ядг +	+ я^) d,^ Q .

( “ }

Кроме того, вместо (2.24), (2.25) теперь нужно будет соот­ ветственно записать

Л 1 — [r 31^il + г32^/2 + r 33 Н (г33) ^/3 ] (п % + л ° + л *)Пг >

п i — [Г31 <5/1 + r 32 <5/2 + Г33 Н (F33) <5/3 ] (л% + Я С ) Пг.
По этим выражениям можно вычислить суммарное	количе­
ство трещин, способных к распространению, как это	следует

из (2.26), и, наконец, через (2.27) определить и макроскопи­ ческое условие образования трещины «долома».

Изложенная техника расчета позволяет в связной постановке оценивать прочностной ресурс, обусловливаемый зарождением, развитием и катастрофическим раскрытием трещин за счет эф­ фектов механического уставания, термических флуктуаций и концентраторов напряжений, возникающих при неоднородном

сдвиге.		применение	в выражениях	для
Следует сказать, что
я ° ( /)	и л с(/) фактора	позволяет рассчитывать усталост­
ные и	статические повреждения в такой		взаимосвязи,	когда

на начальных этапах могут возникать только «неусталостные» микротрещины отрыва или среза, а затем постепенно преоб­ разовываться в типично усталостные. Более того, выбранные соотношения допускают постепенную эволюцию трещин сдвига

в	трещины	усталости отрыва, а трещин отрыва		в	усталост­
ные трещины сдвига. Это обстоятельство			особенно	существен­
но	в связи	с проблемой зарождения	усталостных		трещин,

когда в исходном материале нет начальной технологической повреждаемости. Кроме того, выписанные соотношения позво­ ляют делать прогностические оценки применительно к режи­ мам с постоянно изменяющимся видом напряженного состоя­ ния. Наконец, подчеркнем, что вся система соотношений

обеспечивает	анализ не только рассеянного повреждения, но
и развития	отдельных доминирующих трещин. Их «выявле­

ние» в предмете теории может реализоваться особенно отчет­ ливо в режиме циклического нагружения.

2.9. Постановка задачи об износе при внешнем трении

Проблема износа при трении имеет	исключительно	боль­
шое практическое значение. Несмотря	на длительную	исто­

рию этого вопроса она до сих пор окончательно не решена. Установлено, что разрушению износом предшествуют очень сложные структурные изменения материала. В приповерхно­ стных слоях, подвергнутых трению, наблюдается аморфизация структуры, идут физико-химические обменные реакции с внешней средой, осуществляется избирательный перенос веще­ ства, происходит интенсивное измельчение структуры и т. д. В конце концов возникают микроповреждения, которые затем сопровождаются отслоением материала, т. е. собственно из­ носом.

Постановка задачи об износе в достаточно общей форму­ лировке сегодня вряд ли возможна, поскольку отсутствуют

теоретические		подходы,	адекватные полной физической	моде­
ли	износа, да	и физическая концепция износа создана		еще
не	до конца.	Тем не	менее в рамках излагавшейся	выше

теории есть возможность выписать систему уравнений для

расчета износа при ряде упрощающих предположений		[135].
Пусть отсутствуют (или не влияют на разрушение при
износе)	явления избирательного переноса, химические	реак­
ции и	аморфизация. Предположим, что износ сводится	толь­

ко к разрушению, инициированному интенсивной приповерх­ ностной пластической деформацией. При стационарном режи­ ме структуру материала вблизи изнашиваемой поверхности будем считать одинаковой в направлении нормали к трущей­ ся поверхности. Хотя на самом деле это и не так, данное предположение приемлемо, поскольку для расчетов важна

лишь та структурная обстановка, где собственно				идет	разру­
шение,	т. е. существенны лишь определенные элементы струк­
турной	иерархии. Предположим далее,	что	передача давления
на поверхность проистекает исключительно			через	слой	вязкой
жидкости, наполняющей пространство		между скользящими па­