книги / Структурно-аналитическая теория прочности

и упругой податливости в базисе /, т, п будут иметь ковариантные компоненты Yik и Cikpq, соответственно равные

или для. ортогональных базисов

УЦс 7ip7kqYpq '

( 1.6)

^ ikpq ~ Уir*1km ^pt 7qs ^ rmts '

Если ориентация лабораторной системы отсчета х, у, z по

отношению к I, т, п определена смешанными матрицами 0 f или направляющими косинусами од, коэффициенты теплового расширения у ik и упругой податливости С*lkpq в лабораторном

базисе		найдутся по	формулам
		г'1к = &Р1&1гм = У Ф еГ ф			ап '
	с '	= ®î ©i" ©р ©^ c rMS = е 'е " ‘е ' 0 ;			^ £& *
При	выборе ортогональных систем отсчета				имеем
		^ /Ч	aip akq Ypq	aip akq ^pr ^qs Yrs ’
C	ikpq = air akm apt aqs Cm ts =			air akm apt aqs *ra *1mb 1te *1sd Cabcd ‘

Ниже для определенности будут всегда использованы только ортогональные координаты. Перевод соответствующих

формул			для	их записи в косоугольных базисах может быть
легко		осуществлен с помощью вышеизложенной методики.
	Отметим,			что взаимную ориентацию «новых» и «старых»
осей		координат обычно определяют с помощью углов Эйлера
<р,	в , гр,		задаваемых следующим образом: сначала поворотом
йа	угол		tp	(изменяется в пределах 0 <<р< 2тг) вокруг оси z

исходного базиса; затем поворотом на угол в (изменяется в

.пределах	0 < 0 < ж или при наличии			соответствующей	сим­
метрии	в пределах	0 < 0 < тг/2)	вокруг	получившейся в	ре­
зультате	первой процедуры оси дс'; наконец, поворотом на
угол ip	(изменяется	в пределах	0 <хр < 2п) вокруг новой		оси

z” , получившейся	в результате		второй	процедуры.	перево­
В таких обозначениях		направляющие		косинусы од,
дящие систему координат		в новую, можно представить в виде
произведения трех	матриц a 'ik,		a"ik, a"'ik-
	aik = a'iPa"pqa'"qk,				(1.7)

	'cos^> -sin tp				0^
a'ik =	sin <р		cos ip		0 »
		0		0	ij
	I		0	0	'l
a" ik =	0	cos 0		-sin 0
	0	sin 0		cos 0
я '"ik =	/cos ip		-sin ip		о\
	sin ip			cos ip	о .
	\	0		0

Общее произведение сцк выражается в виде следующей матрицы:

	^ cos ip cos ip -	-cos sin -	sin tp sin 0 ^
	—sin <pcos 0 sin ip —sin <pcos 0 cos ip
aufc	simp cosip +	-siny)sinV'+	- c o s <psin 0 .
	+ cos <pcos 0 sin ip	+ cos <pcos 0 cos ip
	^sin 0 sin ip	sin 0 cos ip	cos 0

Совокупность углов <p, 0, ip, которую обозначим через Q , по­ зволяет выделить в ориентационном пространстве Q малый те­ лесный угол с/3Q :

c/3Q = sin 0 d0 d<p dip .

Иногда технически удобно использовать геодезическую си­ стему отсчета, получаемую следующей последовательностью по­

воротов:

вначале

поворотом вокруг исходной оси z на угол

а

(изменяется в

пределах

0 < а < 2л) ;

затем поворотом на угол

л /2 — р

вокруг

новой

оси

у '

(изм еняется

в

пределах

—л /2

< (3 < л /2

или в случае соответствующей симметрии за­

дачи

0 < $ < л / 2 ) ;

далее

на угол со вокруг полученной в

результате

второй

процедуры

оси z"

(изменяется

в

пределах

О < со < 2л). При

решении задач в теории скольжения нормаль

л

обычно

ориентируют

вдоль

z",

а

направление

/ — вдоль

х " . Переход от

данного

преобразования к

эйлерову

обеспечи-

вается

заменой

7Ï

71

(}

и

ip = со.

В

результате

<р = -^ + а,

0 = - j -

получаются

следующие

выражения

для

а'# ,

а " & и а ' " # :

- s m а

-cos a

0N

a

ik =

cos а

-sin а

О

О

				1	0	0	^
	a ”ik			0	sin/J	-cos fi
				0	cos fi	sin fi
	л // !	.	_	COSÛ» -sin ci»			0\
				sin со cos (o			0
	a	ik —
					0	0	1

Произведение этих матриц равно

	-	sin a cos (o -
	-	cos a sin a» sii$
aik =	cos a cos ft» -
	- since sin fi sinû»
	cos fi sina»

sin a sin a» -

-cos a sin fi cos w

-cos a sin Û» -

-sin a sin fi cos ft» COS fi COS 0»

cos a cos fi '

sin a cos fi

sin fi

2

Малый телесный угол d Q для рассматриваемого углового пространства a, fi, ш оказывается равным

d3Q = соsfi dfi da da).

1.4. Пространство конфигурационных переменных

Тензоры типа fim и тцс не являются деформациями и на­

пряжениями, пригодными для инженерных	расчетов.	Объемы
Vo, по которым они усреднены, малы по	сравнению	с объ­

емом характерных неоднородностей в реальных кристаллах, например зерен. Поэтому для перехода на практический уро­

вень задачи	требуется произвести	статистическое усреднение
по большим	объемам VX> V о. Как	уже было подчеркнуто вы­

ше, такую процедуру целесообразно осуществлять в простран­ стве угловых переменных Й и в пространстве других стати­ стических переменных, которые обозначим через s. Если для определенности считать, что справедлива схема, аналогичная

модели	Райсса,	то следует допустить равенство напряжений
Oik для	всех	микрообластей Ко в объеме V, имеющих раз­
личные	угловые	ориентации й и	свойства s.	Тогда средние
деформации в		объеме V должны	находиться	суммированием

по всему множеству V о, содержащемуся в V.

Как было сказано выше, средние деформации и напряжения в V мы договорились обозначать соответственно через Eik и сг/*, усло­ вившись относить их в таком обозначении всегда только к лабора­ торной системе координат. Сохраним, кроме того, смысл всех ин­ дексов, оговоренных ранее по отношению к fiik (например, верхние индексы «у», «т», «a», «t», «д», «/», «ф» и т. д.). Тогда, принимая, например, что все переменные в Vo определены в системе координат I, т, п, сразу найдем [409]

’e*ik = f f f W ^ Q	) a ip a kqP*pq w d s ’	( 1. 8)
MP)
àik = aipCCkq ïpq,	*iк ~ dpi dqk °pq,	( l .9)

где точка (здесь и всюду ниже) означает производную по вре­ мени; щк — направляющие косинусы, переводящие систему ко­ ординат /, /п, п в лабораторный базис х, у, z; гр(s) — функция плотности распределения статистических переменных 5; / ( Я ) — функция плотности распределения по ориентациям Q предста­ вительных объемов V о . Обе эти функции должны удовлетворять естественным условиям нормировки

	î y ( s ) d s = l ,		/		/( Q )<f3 Q =		1.	(1.10)
	W	"	Iй }		'
В случае	равномерных распределений					^(5) = 1/А 5, где		Д s —
область изменения		параметра	s, f			9	если углы	0 или
				(Я) = 1/4 л ,
Р изменяются	в пределах до я / 2,			и / ( Я) =		1/8 я 2, когда диапазон
углов в и р	составляет я.

Подчеркнем, что случай /(Q)=const означает отсутствие ис­ ходной анизотропии макроскопических свойств. Если же /(Q)?* const, уравнение (1.8) описывает деформацию тела с произвольным характером анизотропии. Видно, что физические свойства таких

сред (т. е. Р*к) и ориентационно-структурные характеристики (/(Q )) здесь полностью разнесены по масштабным уровням: если первое сказывается только на микрохарактеристиках материала, то второе отражается на свойствах тела в целом.

Что касается тензора р]к, то ему можно придать, в зави­ симости от смысла индекса *, любое из использованных выше значений — упругой или тепловой деформации, активной или фазовой пластичности и т. д., а также произвольных их ком­ бинаций. В качестве микронапряжения в (1.9) имеется в виду

либо непосредственно т/*, либо х*к в (1.1). Переменные £/* и oik принято называть конфигурационными тензорами, они яв­

ляются деформацией и напряжением в инженерной	постановке,
т. е. в терминах классической механики сплошной	среды.

Иногда целесообразно обращаться к гипотезе равных дефор­ маций (схема Фойгта). Тогда вместо (1.8), (1.9) необходимо

использовать соотношения
«г	( 1. 11)
£ ik —dip Ctkq Ppq,

O ik — S J lf.i(s)f(Q) dipdkqTpqd Я ds,

W P!

где Ppq — сумма			всех микродеформаций. Однако в практическом
смысле		(1 .1 1)	и (1 .1 2) значительно менее пригодны для	вы­
числений и потому везде ниже будут использованы только				(1 .8 )
и (1.	9).	В большом числе случаев будем считать,		что
/(£2) =	1/4 л 2, a ip(s) = <5(s), где Ô— дельта-функция Дирака.			По-

следнее предполагает отсутствие статистических свойств по пе­ ременным s.

Вполне понятно, что переход к пространству конфигура­ ционных переменных е/*, сгд означает необходимость усред­ нения различных физических свойств кристалла, например коэффициентов теплового расширения и упругих податли­ востей. В модели (1.8), (1.9), как легко показать, для сред­ них модулей упругой податливости <Cikpq> и средних коэф­ фициентов теплового расширения <у/*>, отнесенных в объе­ ме V к лабораторному базису, имеем (при \p{s) = 6 (5)):

/(£2) CiipClfcqYpq (1 £2, fQl

Существенный момент в обсуждаемой проблеме заключается в выборе функции /(£2). В общем случае для нее должно быть записано эволюционное уравнение, связывающее /(£ 2) с имею­ щейся кристаллографической текстурой и неупругими деформа­ циями. Эта весьма сложная задача в деталях здесь не рассмат­ ривается. Приведем лишь один качественный пример. Пусть име­ ет место одноосное растяжение вдоль оси z. Такое растяжение

вызовет сдвиг 31 в плоскости скольжения вдоль направления /, лежащего под углом а р по отношению к направлению z.

Из-за стесненности деформации компонента сдвига /? 31 должна инициировать поворот орта I в сторону оси z, что приведет к

изменению	функции	/(£ 2).	будет
Можно	показать,	что эволюционное уравнение /(£ 2)
выглядеть	таким образом:
		d 2f ( a ) = i/( Q ) / ( 0 ) .	(1.13)
		S o 2

Здесь использовано следующее обозначение в эйлеровой истеме координат:

( 1 - sin 2в sin 2 ip) 3/2 ( 1 + sin 0) cos 1и sin 2ip si*1 0

Решая (1.13) совместно с выражением для неупругих сдвигов /?§) и (или) /?зj и зная исходное значение /(£2), можно рас­ считать функцию ориентировок для всех этапов неупругого де­ формирования. Естественно, что при этом необходимо все время

удовлетворять	не	только	(1.13), но	и условиям нормировки (1.10)
и требованиям	/	(£2) > 0	для всей	совокупности углов {£2}.

Подчеркнем, что (1.13) следует воспринимать как не более чем качественную иллюстрацию рассматриваемого вопроса. Де­ тальный расчет эволюции функции /(£2) является довольно сложной задачей.

Введение в предмет анализа функции распределения ориен­ тировок /(£2) представляется чрезвычайно важным. Наличие ее в (1.8) избавляет от необходимости искать сложные определя­ ющие уравнения для тел с макроскопической анизотропией. «Стартовые» деформационные структуры для /(£2) можно получить на основе многочисленных экспериментальных данных о текстурах материалов в [108]. Функции распределения кри­ сталлов по ориентациям в принципе рассчитываются и теоре­ тически [472, 475]. Когда такие функции известны, уравнение

(1.8)	позволяет	точно учитывать влияние текстуры на свой­
ства	реальных	объектов.

Все же подчеркнем, что физический смысл функции / (£2) может оказаться глубже, чем в теории текстур. Действительная анизотро­ пия механических свойств иногда возникает не только вследствие кристаллографической текстуры, но и по другим причинам, напри­ мер из-за полярности свойств пластического течения на микроуров­ не. Появление подобной полярности не обязательно связано с ори­ ентационной текстурой, а определяется глубинными свойствами дислокаций, двойников и других объектов реального кристалла. Техника введения в предмет анализа функции /(£2) позволяет ре­ шать подобные проблемы.

1.5. Метод эффективного поля. Расчет микронапряжений

Одной из самых сложных проблем в физике пластичности явля­ ется расчет механических полей, характеризующих взаимодей­ ствия между структурными уровнями Fo и между нижним и вер­ хним иерархическими этажами V. Здесь вряд ли можно рассчиты­ вать на успех, если использовать метод прямого перебора всех взаимодействий. Последние определяются и ориентационным раз­ личием V o , и дисперсией упругих постоянных или кристаллогра­ фических пределов текучести, и локализацией систем скольжения в отдельных полосах, и различной сжимаемостью фаз, и анизотро­ пией коэффициентов теплового расширения, и многими другими фи­

зическими факторами. Межфрагментные взаимодействия могут быть очень сильными. Например, тепловые микронапряжения вто­ рого рода, возникающие из-за анизотропии коэффициентов тепло­ вого расширения в кристаллах с некубической решеткой, у а-урана достигают 2.5 МПа'К'1 или даже превышают этот предел. У других материалов они несколько меньше, но все же изменения темпера­ туры лишь на несколько градусов бывает достаточно, чтобы микро­ напряжения достигли уровня кристаллографического предела теку­ чести. Близкий порядок микронапряжений, связанных с взаимо­ действием различных участков кристалла, возникает при мехацическом нагружении или при нагружении гидростатическим давле­ нием из-за анизотропии упругой податливости кристаллов. Такого рода микронапряжения, как уже обсуждалось выше, принято назы­ вать неориентированными. Их поля взаимоуравновешены, а длина волны флуктуирующего поля напряжений соизмерима с характерным размером представительного объема. По этой причине каким бы ни было напряженное состояние, при приложении внешних нагрузок всег­ да найдутся области, где микронапряжения добавляются к внеш­ нему напряжению с одинаковым знаком. Следовательно, в подобных местах деформация всеща начинается раньше и наблюдатель будет полагать, что материал в целом обладает меньшей несущей способно­ стью (меньшим пределом текучести и т. д.), чем материал без неори­ ентированных микронапряжений. Следовательно, любые законы ме­ ханического поведения тела, построенные без учета действия не­ ориентированных полей микронапряжений, будут формальными, не являющимися фундаментальными по отношению к веществу.

Учитывая, что пластическая деформация кристаллов происходит всегда резко гетерогенно в тех местах, где осуществляется дефор­ мация, местные напряжения резко уменьшаются; в других же ме­ стах, где пластическая деформация меньше или вовсе отсутствует, напряжения, наоборот, резко возрастают. Отсюда ясно, что дефор­ мирующиеся участки кристалла, которые и определяют законы пла­ стичности тела, будут всегда как бы разгруженными по отношению к приложенным напряжениям оцс. Внешнему наблюдателю покажет­ ся, что, помимо механического поля а/*, существует встречное поле напряжений pik и что любой закон, связывающий неупругие дефор­

мации е & с напряжениями оцс, не будет фундаментальным физиче­ ским законом поведения кристалла. Действительная устойчивая фи­

зическая связь должна существовать не между и a/jt, а между

и a'ik —(Jif: - рft, где o'ik — эффективное приложенное напряже­ ние, pik — так называемое ориентированное микронапряжение. Данное утверждение и в физике твердого тела, и в механике де­ формируемого твердого тела принято уже очень давно [178, 181, 182, 243, 391].

Таким образом, движущей механической силой в средах с вза­ имодействующими структурными элементами является эффективное по­

ле напряжений о*к:

°ik ш °7к Pik "**^ik*

где Xik — неориентированное микронапряжение. Это уравнение, записанное на макроуровне, является полным аналогом урав­ нения (1.1) на микроуровне.

1.5.1. Ориентированные микронапряжения

Выше уже было сказано, что расчет полей микронапряжений в строгой постановке пока неосуществим. Однако экспериментальные исследования последних лет [391, 474] позволили установить ряд принципиальных моментов в формировании встречного поля /?/*. Ис­ следованиями Т. Бречко [474] показано следующее: 1) в поликристаллических телах, таких как алюминиевые сплавы, ориентиро­ ванные микронапряжения действительно существуют; 2) поля ори­ ентированных микронапряжений pik являются тензорными; 3) микро­ напряжения рис, генерируются исключительно неупругими макроско­

пическими деформациями £&; 4) приращение девиатора pik пропор­

ционально приращению девиатора £&; 5) при релаксации pik главные оси тензора pik не поворачиваются; 6) поле ориентированных мик­ ронапряжений pik не исчезает при удалении внешней нагрузки (и в этом смысле оно не удовлетворяет уравнениям равновесия).

Перечисленные соображения дают возможность указать на общую структуру эволюционного уравнения для /э,-*, т. е. указать законы формирования механического поля pib Легко видеть, что определяющие уравнения для pik должны иметь приблизи­ тельно следующую структуру:

DevPik = h0 Devè"k -
- {r0 е~ W0/kTf 0 |72 (DevpfA) ] -		е ~ w' /kTf x | / 2 (Dev£•*)]} х
X Я {r0 е - w0/kTf0 tf2 (Devpa ) J -		I-J е ~ w\/№ f,	[/2 (Dev <ф ]} X
х	Devpik.		(1.14)
Здесь fiQ — константа,	характеризующая темп		генерации p ik за

счет неупругой деформации е"л. Второе слагаемое в (1.14) опи­ сывает законы релаксации микронапряжений pik. В этом слагае­ мом Wo, W\— энергии активации процесса возврата поля ориен­ тированных микронапряжений; г0 , гх — постоянные, характеризую­

щие возврат; / 2 ( а,* )	— второй инвариант			тензора а^, т. е.
h ( aik) = aik aki î f o l h i	DevPik )	1 ~	параметр, определяю щ ий
темп возврата микронапряжений;		Д	[ I2 ( Dev	) ] — параметр, оп­

ределяющий уровень ориентированных микронапряжений, стабиль­ но существующих во времени, и зависящий от предшествующей де-

формации; Н(х) — функция Хевисайда ( Я ( х ) = 1						при х > О,
H(jc) = О при х < 0),		разрешающая возврат			поля p ik до уров­
ня,	определяемого	условием		г0 е ~w0/ k T [ / 2( Devpik) ] =
= rj е ~w\/kJ /j [ i 2( Deve^) ],			и	запрещающая самопроиз­
вольный рост во времени р			когда интенсивность поля pik ниже
стабильного во времени уровня.				случаях	зависит	от длины
	Заметим, что Ло в некоторых
пути нагружения L,		определяемого параметром				Одквиста:
L -	f d X , где d \ =

Поскольку <1.14) представляет систему пяти дифферен­ циальных уравнений, а тензор pik имеет шесть независимых компонент, необходимо еще одно соотношение для полного оп­ ределения p ik. В тех случаях, когда процесс сводится к чистому сдвигу и когда, следовательно, шаровая компонента напряжений не влияет на него, в качестве шестого уравнения для pik можно взять любой произвольный закон для следа этого тензора Рц. В простейшем случае, опять-таки не нарушая общности задачи, допустимо соотношение

ри = 0 .

(1.15)

Поскольку такие сдвиги, как механическое скольжение и механическое двойникование, не сопровождаются дилатацией, то

и для £ справедливо условие

£ ^ = 0 .

<1.16)

Следовательно, при рассмотрении процессов деформации, связанных только с изменением формы, вместо <1.14)—<1.16) следует брать уравнение вида

= V Л " {'ое'в'о/ *77о Щ(р,к) ] - Г, е -"V * 7/, Ц2(еи ) ]| х

X Н |г0 в’ » * •/,		[/2 (pik)] -	г, е" W'/kTf l U2(4 )l} p tt • (1.17)
К	сожалению, в	<1.14) и	<1.17) общий характер функций
/о и f i	остается неизвестным.		Но практика расчетов показывает,

что удовлетворительное согласие с экспериментами часто до­

стигается	при	/ i ( * )	= 0	и	/ о ( * ) = 1 -	Несколько лучший ре­
зультат будет		тогда,	когда		/ о(х) = х п,	где	п — постоянная, а
х — аргумент		функции /о.
Таким образом, в простейшей ситуации целесообразно об­
ращаться	к соотношениям
		Pik ~ *0 è		”	r0 е W°/kTPik *		<1.18)
					29

Вторым слагаемым в (1.18) нередко удается пренебречь. Процесс деформирования на микроуровне, т. е. создание де­

формаций /?"*, зависит, согласно (1.1), от ориентированного мик­ ронапряжения ipib поэтому необходимо установить связь между rpik и рис. По аналогии с (1.9) сразу имеем

Ьк =apiaqkPpq-

Таким образом, выходит, что, в соответствии с (1.8), ито­

говая деформация е & получается в виде суммы микродеформа­

ций	а ориентированные микронапряжения ipilc, определяю­
щие	уровень микродеформаций (S &, порождаются только мак-

родеформацией ед.

Отметим одно важное обстоятельство. Ориентированные мик­ ронапряжения рас, а следовательно, и VW» как уже говорилось, не удовлетворяют и не могут удовлетворять уравнениям рав­ новесия. Как эффективные поля они относятся как бы ко всему объему усреднения К, хотя на самом деле действуют только в относительно сильно деформированных объемах К о . В то же время они в объеме К уравновешены напряжениями противо­ положного знака в слабодеформирующихся объемах К о . Если мысленно объем К удалить из тела, напряжения /эд не должны в нем исчезнуть, поскольку взаимодействующие объемы К о , содержащиеся в К, сохранят свое взаимодействие. Это опреде­ ляет коренное отличие напряжений /эд от напряжений о

Из сказанного как будто вытекает противоречие с тем, что ipilc в (1.1) отнесено ко всем объемам Ко в К, а не только к деформирующимся. Однако в действительности такого противо­ речия нет, поскольку при расчете упругих деформаций в Ко

следует брать, конечно, не т&,		а лишь	г,*. Это обусловлено
тем,	что дополнительные упругие деформации, порождаемые
ipilc в	неупругодеформирующихся	объемах	К о » полностью ком­

пенсируются дополнительными упругими деформациями других объемов К о , в которых действует микронапряжение противопо­ ложного знака по отношению к rpik. В силу линейности закона

Гука суммарная макроскопическая деформация	не зависит
от рис-

1.5.2. Неориентированные микронапряжения

Неориентированные микронапряжения, как уже было отмечено выше, порождаются самыми разнообразными причинами: вследствие анизотропии коэффициентов теплового расширения или анизотропии упругих модулей кристаллитов, из-за разницы коэффициентов тепло-