книги / Методы электрических измерений

Принимая плотность распределения р (|) для флюктуационных помех и плотность распределения h (£) для импульсных помех, можно считать, что результирующая погрешность имеет плотность распределения, как у аддитивной смеси погрешностей от флюктуационных и импульсных помех:

р (Е, |) = (1 - 8) —

ехр ( - - I j - ) + 6h (I, о?). (6.83)

Принятая модель результирующих помех вполне соответствует помехам, действующим при измерении различных сигналов и па­ раметров, когда, как правило (с вероятностью (1 — е), где е « 1)* измеренный сигнал содержит небольшую флюктуационную со­ ставляющую помехи, имеющую нормальное распределение

N (0, о?), но иногда (с вероятностью е) сигнал зашумлен аномаль­ ной импульсной помехой, имеющей гораздо большую, чем of,

дисперсию of и плотность распределения, отличную от нормаль­ ной плотности распределения. В общем случае плотность распре­ деления импульсных помех h (£) может быть несимметричной от­ носительно плотности распределения флюктуационной погреш­ ности, т. е. их математические ожидания могут не совпадать.

Наличие флюктуационных и импульсных помех ставит задачу

повышения	помехоустойчивости измерительных преобразовате­
лей, причем	алгоритм обработки измерений		требуется	искать
в классе нелинейных, поскольку линейные			отфильтровывают
только флюктуационную составляющую		помех.	полезных	сигналов.
6.6.2.	Свойства статистических	оценок

Принципы оптимизации измерений при наличии помех. Принятая модель помех (6.83) позволяет ставить задачу алгоритмического повышения помехоустойчивости аппаратуры. В зависимости от свойства полезных сигналов будем различать два подхода к уве­ личению помехоустойчивости при разработке аппаратуры.

Первая группа задач базируется на том, что полезный сигнал является постоянным (или медленно меняющимся). В этом слу­ чае задача сводится к точечным измерениям. Помехоустойчивость базируется на многократных измерениях, которые отличаются друг от друга только реализациями помех. В зависимости от априорных сведений о помехах здесь могут применяться линейные процедуры усреднения или более сложные нелинейные процедуры фильтрации помех, которые будут рассмотрены в гл. 7.

Вторая группа задач базируется на том, что полезный сигнал изменяется в процессе измерения. В этом случае задача повышения помехоустойчивости сводится к процедурам скользящего усредне­ ния и скользящим нелинейным алгоритмам, которые будут рас­ смотрены в гл. 8.

Таким образом, первая группа задач связана о измерениями детерминированных полезных сигналов на фоне случайных по­ мех, а вторая — о измерениями случайных полезных сигналов

эффективность G (g) алгоритма оценки выражается как отношение дисперсии оптимальной оценки к дисперсии этого алгоритма:

0 ( 0 = - % = - ;	Нт = - % 2 - = 1 .		(6.86)
U&	ft-oo	ий

Мерой удаленности оценки d от истинного значения в стати­ стической теории служит функция потерь П (а, й), которая характеризует погрешность измерения. На рис. 6.12 приведены некоторые виды Н (а, й), которые придают различные веса зна­

чению	погрешности оценки. Например, для П (д, й) = \ а — й \
потери	пропорциональны	значению погрешности	(рис. 6.12,		д),
а функция потерь П (д, й) — (а — й)2 (рис. 6.12,			б)	особое зна­
чение	придает большим	погрешностям, а для	П	(а, й)	на

рис. 6.12, в погрешности, не превышающие некоторых значений е, вообще не учитываются, а все остальные погрешности оценки

берутся		с равным		весом.
Наиболее точной и полной характеристикой измерений {х{}
является априорная				плотность распределения р (х/д). Для каж­
дого	алгоритма g (хи				.... хп) =й		при заранее		выбранной функ­
ции	потерь		II (а, й)		можно определить			условный риск
			г (g,		а) = J П (д,		й) р (х/д) dx.			(6.87)
						х
Условный			риск	г (g,		а )— это	усредненная		функция	потерь,
которая		характеризует				качество	оценки	g(xu	.... хп),	однако
г (g,	а)	является и функцией полезного сигнала. Когда известна
плотность распределения						полезного сигнала р (а), тогда вводится
понятие		среднего риска
	f	(g) =	f /* (gf	а) р (a) da			J П (g,	а) р (х, a) dx da, (6.88)
			А			А Х

которая будет служить критерием качества оценки.

Критерий качества алгоритма тесно связан с выбором функции потерь. Наибольшее распространение получили следующие кри­

терии:
	1) критерий минимума средней квадратической погрешности,
где	Г1 (а,	й) — (а — d)2,	т. е.
		г (g) = [	[ (а — d f р (х, a) dx da;		(6.89)
		'а х
2) критерий максимума апостериорной плотности распределе­
ния	при	II (а, й) — const — 6 (д — й),		где 6 (а — й) — дельта-
функция, т. е. средний риск
		г (g) —const — J р (х,		a) dx.	(6.90)
			х

ИЗ

При поиске лучшего алгоритма оценки необходимо отыскать min f (g), что в данном случае сводится к поиску

тах J р (л:, a)dx,

х

т. е. к поиску максимума р (а/х). В общем случае для различных функций потерь П (а, й) получаются и различные оптимальные алгоритмы оценки g (хi, хп), однако в работе [11] показано, что если плотности распределения р (х/а) и р (а/х) — симметрич­ ные функции параметра (рис. 6.12, а), то любая симметричная функция потерь П (а, й) приводит к одинаковой оценке g (х).

Алгоритмов g (х1, ..., х„), отвечающих свойствам (6.84)	(6.86),
сколь угодно; например, можно взять простейший gi (xi,	...,, хп)~

— Xi, т. е. в качестве оценки берется просто первое измерение, или можно взять другой алгоритм:

§ 2 C^ii • • • »хп) ~ £ (*i, • • • > Хц). (6.91)

Главное, что отличает эти две оценки, это различная дисперсия погрешности оценки.

Для первой оценки дисперсия погрешности DSt (xi, ..., хп) = D (|) = оа,

т. е. дисперсия помехи, а для второй оценки —

Dgt (xi> • • •	> хп) =	(*i + x 2 + • • • H- xn) ==
	= - ^ D ( | + a)		a*
			T *
Таким образом,	вторая	оценка значительно лучше первой

при росте числа измерений. Эта оценка называется выборочным средним и очень часто используется благодаря своей простоте. Более того, она является наилучшей при гауссовском (нормаль­ ном) распределении помех, но как только в измерениях появляются аномальные выбросы, эта оценка заметно снижает свои характери­ стики. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо ставить задачу отыскания оптимальных или близких к оптимальным ал­ горитмов оценки в зависимости от имеющихся сведений о вероят­ ностных характеристиках помех.

6.6.3. Статистическая оценка при известных вероятностных характеристиках помех. Оптимальные оценки. Во многих практи­ ческих задачах возникает необходимость нахождения оценки й неизвестного параметра а по ряду измерений {хг[:

xi = а +

х^ = а -{- fa

хп = а 4- In*

где	— реализация помехи в	момент измерения.	Информация
о параметре а извлекается из последовательности			с помощью
алгоритма оценки g (х±, ..., хп),		который строится	иа основе ап­

риорных сведений о вероятностных свойствах полезного сигнала и помех. Идеально, если d — а, но на практике всегда существуют погрешности оценки, поэтому желательно использовать оптималь­ ные (для выбранного критерия качества) или близкие к ним оце­ ночные функции g (х), а также уметь находить количественные характеристики точности алгоритмов оценки, т. е. недостаточно знать, что алгоритм обладает минимальной дисперсией, нужно знать значение этой дисперсии.

При решении задачи оценки неизвестного параметра а в классическом варианте считается, что параметры а на интервале наблюдения являются постоянными, но неизвестными; кроме того, считается известным характер взаимодействия сигнала и помех. Исходя из наличия априорной информации различают

несколько методов получения оценочных функций							g [х]	[41].
1.	Если априорная информация о сигнале и помехах известна
полностью, т. е. заданы плотность распределения полезного сиг­
нала fa (х) и плотность распределения помех /? (х), то оптимальная
оценка определяется из		условия	минимума		среднего риска:
	-J-oo
	J П (d, a)f(a\xi,		...»	хп) da =	min,			(6.92)
где f (а |	х-у, ..., хп) — апостериорная			плотность		распределения
параметра а относительно наблюдений xlt ...,						хп;	П (a,	d) —
функция	потерь.
Если в качестве критерия используется минимум средней
квадратической погрешности оценки,				т. е. П (a,		d) = (а— d)3,
то оптимальной оценочной функцией является условное среднее:
		-f-oo
		J afa(a)f»(x — a)da
	8 (*> =	-------------------- •						(6-93)
		J fa (a) fx (х — a) da

pt-OO

Для этих же исходных данных часто определяют оптимальную оценку из условия максимума апостериорной плотности распре­ деления [см. выражение (6.90)]:

f(a \хг, ...	t xn) = max.	(6.94)
Оценки d = g {xlt ...» хп),	удовлетворяющие условиям	(6.92)

и (6.94), яйляются оптимальными и называются байесовскими оценками.

2. Если отсутствуют априорные сведения о распределении по­ лезного сигнала, но имеются сведения о распределении помех, то

оптимальная оценочная функция отыскивается по методу мак­ симального правдоподобия. Для этого строится функция макси­ мального правдоподобия [39]

L (a) — f (хг, .. . , хп\а),

(6.95)

которая совпадает по форме с условной плотностью совместного распределения результатов измерения при фиксированных зна­ чениях полезного сигнала а [39]. В качестве искомой оценки бе­ рется такое значение й, которое максимизирует функцию L (а), т. е. решение уравнения

L (а) = max.

(6.96)

Метод максимального правдоподобия является достаточно универсальным и для многих распределений помех дает конеч­ ные результаты. Например, он приводит к методу наименьших квадратов при нормальном распределении помех, т. е. оптималь­ ной для гауссовского распределения помех является оценка по выборочному среднему (6.91), а для помех, распределенных по закону Лапласа, оптимальной является оценка по методу наи­

меньших	модулей или медиана упорядоченного		ряда	х(1)
^ х<2)	л-^>, которая рассмотрена в § 7.3.	(6.96)	можно	полу­
Оптимальные алгоритмы оценки (6.92)

чить при наличии априорных сведений, причем оптимальными алгоритмы будут лишь в каком-то классе, поэтому недостаточно знать, что алгоритм является наилучшим, необходимо знать количественные характеристики алгоритма, например, дисперсию погрешности оценки:

	-J-O0
D (g )=	(*)<**•	(6.97)
	--ОО

Не всегда удается решить уравнение (6.97), поэтому часто, определив какой-то алгоритм g (хъ ..., хп), можно получить дисперсию погрешности оценки с помощью моделирования на ЭВМ.

6.6.4. Статистическая оценка при частично или полностью неизвестных вероятностных характеристиках помех. Адаптивные и робастные методы оценки. При анализе свойств полезных сигналов и помех в п. 6.6.1 отмечалось, что вероятностные ха­ рактеристики сигналов и помех могут быть частично или полно­ стью заранее неизвестны или эти свойства изменяются. Поэтому целесообразно выдвинуть требование к методам оценки, которое заключается в необходимости устойчивости (робастности) алго­ ритмов к изменению вероятностных характеристик помех. Эго означает, что разработанный для каких-то предположений алго­ ритм будет успешно работать и в изменившейся ситуации. Про­ верим, обладает ли устойчивыми свойствами очень часто приме­ няемый алгоритм выборочного среднего [см. выражение (6.91)].

							Таблица 6.3
	Распределение	Плотность распределения / (х)					Эффектнп-
							ность G (g)
	Нормальное	1		[	(х — а)*	1
		ка,ехр1			2»	J	1,0
	Нормальное
	«засоренное»
			для	е = 0,01			0,954
			для	е = 0,05			0,808
	Лапласа	21	ехр [	'	1 ' ]		0,5
	Коши		1 +	1			0
				(X — а)2
	Для этого приведем в табл.		6.3 значения эффективности G (g) =

= Da оаТ!Dx при изменении законов распределения помех. Опти­ мальные оценки для приведенных законов распределения нахо­ дятся в соответствии с выражением (6.93) [52].

Из табл. 6.3 видно, что выборочное среднее х очень чувстви­ тельно к изменению закона распределения помех. Эффективность х резко падает при утяжелении «хвостов» распределения (тяжесть «хвостов» распределения выражается через эксцесс — четвертый нормированный момент). В работе [82] показано, что классические статистические оценки, основанные на априорных сведениях, не обладают устойчивостью к отклонениям реальных характери­ стик от предполагаемых: это приводит в большинстве случаев к значительному снижению эффективности процедур обработки данных. Априорную неопределенность в статистическом описа­ нии измерений \xi\ можно преодолевать двумя различными под­ ходами — адаптивным и робастным.

Адаптивный подход [11]. Априорная неопределенность не позволяет использовать обычный байесовский формализм: найти оптимальную оценку, минимизирующую средний риск по выраже­ нию (6.92). Адаптивный подход основан па том, что на самом деле

для конкретного набора данных {л:*} существует истинное		апо­
стериорное	распределение /пст (а \ xlt ..., хп), только оно	нам
не известно,	и задача сводится к предварительному определению

/пст(я | *1 , •••, xn) с помощью обучающих выборок или каким-то другим способом, а затем, ‘подставляя /ист (а \ xt, ..., хп) в вы­ ражение (6.92), находим оптимальную оценку (6.97).

Робастный подход [82]. В теории математической статностики разработаны непараметрические и свободные от распределений процедуры оценки — это минимаксные оценки и оценки макси­ мального правдоподобия [82], которые дают решение на множестве допустимых распределений, и это решение является наилучшим для наименее предпочтительного распределения из всего мно­ жества допустимых распределений.

Робастный подход занимает промежуточное положение между непараметрическими процедурами и классическими параметри­ ческими (байесовскими) методами. Особенность робастных методов состоит в том, что они предполагают некоторое изменение выб­ ранной модели сигналов и помех. Выбранная нами модель помех (6.83) в робастной трактовке имела бы следующую формулировку: истинная функция распределения F (х) лежит в окрестности основного гауссовского распределения с малыми отклонениями (е — мало). К робастным процедурам предъявляются следующие требования:

для выбранной модели (например, с гауссовским распределе­ нием) процедура должна иметь оптимальную или почти оптималь­ ную эффективность;

малые отклонения от предположений о модели должны ухуд­ шать качество процедуры лишь в малой степени, а значительные отклонения от модели не должны приводить к катастрофическим последствиям.

Качество робастных оценок, так же как и параметрических оценок, можно характеризовать дисперсией погрешности оценки (6.97). Кроме того, поскольку робастные алгоритмы обладают устойчивостью к малым изменениям вероятностных характери­ стик помех, для них были введены специальные количественные показатели устойчивости—это функция влияния и функция чув­ ствительности [82]. Эти функции позволяют характеризировать чувствительность алгоритма оценки к изменению лишь одного наблюдения, и все-таки они дают количественные характеристики, которые позволяют сравнивать алгоритмы оценки. Функция влияния 1C показывает, что произойдет с оценкой, если к боль­ шой выборке наблюдений хх, ..., хп добавить еще одно произ­

вольное наблюдение х. Пусть	F (хг,	хп) — функция распре­
деления случайных величин хь	g (хх, ...,	хп) — алгоритм оценки.

Влияние нового наблюдения х на оценку g (х) можно характеризо­

вать нормированным	пределом
1C(х, F,	g) = lim . gtU -eJF -ji efisl-gCF) ^		(6.98)
	е—0	8

где 6Х обозначает единичную массу в точке х. Величина (6.98) называется кривой или функцией влияния [82]. Таким образом,

функция влияния 1C показывает относительное изменение оценки, полученной по тому или иному алгоритму, вызванное дополни­ тельным наблюдением в точке х. Максимум абсолютного значения этой функции, т. е. величина

у* = Sup | IC (х, F, g) |,

(6.99)

называется функцией чувствительности к большим выбросам. Функция влияния имеет несколько аналогов для конечной вы­ борки, что удобно для получения сравнительных характеристик с помощью вычислительной техники. Кривая чувствительности

получается заменой F на		и е на 1/я:
S C ^ (х) =	{ [ ~ ~	] Рп-г+ бл <«>} -	е(Fn-1
		1In
--- п [gn (Л'х,	, Хп_ъ	Хп) - gn-X(хг,	(6.100)

Другим аналогом функции чувствительности служит t-e псев­ дозначение, которое определяется разностью:

gni ftgn	(/!• 1) 1 (^l г	Xi—I, Xf-j-li	i Xn)*	(6.101)
Например,	если g n — выборочное среднее, то gn{ =			xv Ана­

лиз аналогов функции влияния показывает, что воздействие до­ полнительного наблюдения в них учитывается при добавлении к исходной выборке произвольных значений х из диапазона на­ блюдений или при поочередном пропуске значений из этой вы­ борки. Таким образом, аналоги функции влияния можно изобра­ зить графически, методом машинного моделирования в том случае, когда аналитическое выражение для 1C получить затруднительно. Рассмотрим на примерах использование кривой чувствительности.

Пример 6.1. Для алгоритма выборочного среднего кривая чувствительности имеет следующий вид:

SCn (Xj, . .. » xni х) = (я -J-1) [^л+1 (xi, >Хд, х) —

/	1	п
— gn (Хи • • • . *п)1 = (« + 1)	л (л -И )	Xi
= < » + » Ы	п - + 0 ( - г ) ] -	I6-'»2)

Пример 6.2. Для алгоритма медианы при нечетной выборке п = 2i + 1 (заметим, чго добавление наблюдения х делает выборку четной) кривая влияния имеет вид

	-у-	—*(т+1)). если X< ДГ(т);
SCn (■*•!	vn< х) =	[х — дЛ^Н-1)], если	х ^	< х < * (т +2);	(6.103)
	_i_	2) _ jet*"*"*-1 *],	если	х ^ *(т+2),
где	— порядковая статистика с номером т.

Из приведенных примеров видно, что кривая чувствительности для выборочного среднего растет с ростом х, т. е. один большой выброс может привести к большим погрешностям, в то же время алгоритм медианы чувствителен только к сбоям в диапазоне [xim), х(т+2)], а все большие выбросы отбраковываются. В гл. 7 и 8 будет использована кривая влияния для выявления робастных свойств различных алгоритмов фильтрации.

Глава седьмая

ПОВЫШЕНИЕ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ СРЕДСТВ СТАТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

7.1. ИЗМЕРЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОЛЕЗНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

В § 6.6 отмечалось, что придание измерительной аппаратуре помехоустойчивых свойств основано на различных свойствах полезного сигнала и помехи. Важно, чтобы различие в свойствах полезных сигналов и помех использовать наиболее полно. В дан­ ной главе рассматриваются помехоустойчивые алгоритмы для тех случаев, когда полезный сигнал является постоянным или квазипостоянным во времени. Алгоритмические методы увеличе­ ния помехоустойчивости, которые будут здесь рассмотрены, не­ обходимо применять наряду с другими известными и широко при­ меняемыми методами [11, 62, 82]. Для сигналов известной формы, например, широко используются узкополосные фильтры, в радио­

технике для обнаружения та­ ких сигналов применяется со­ гласованный прием [11].

Во многих практических задачах измеряемый полез­ ный сигнал является неизвест­ ным, но постоянным или же изменяется настолько медлен­ но, что можно делать предпо­ ложение о его постоянстве на время измерения. Кроме то­ го, часто полезный сигнал яв­ ляется периодическим, напри­ мер при измерениях в геоэлектроразведке.

Рис. 7.1. Многократные измерения для периодического полезного сиг­ нала