книги / Методы электрических измерений
..pdfРассматриваются только линейные средства измерений, т. е. такие, для которых применим принцип суперпозиции:
L \kxxx (t) -j- k2 |
2 {t) -f |
-j- knxn(^)] = |
— k%Lxx it) |
Lxz(t) + |
knLxn(/)• |
В таких средствах измерений при изучении частных процес сов можно сделать предположение о наличии всевозможных про цессов в. данном СИ.
Расчет основной статической погрешности. Основная погреш ность СИ появляется вследствие отличия его реальной статической характеристики преобразования от идеальной при нормальных условиях его эксплуатации. Для линейного СИ с аддитивной и мультипликативной составляющими погрешности реальное пре
образование измерительного сигнала можно выразить |
соотноше |
нием |
|
у = kpX + Д, |
(9.1) |
где kp — коэффициент преобразования СИ; Л— аддитивная по грешность.
Выходной сигнал идеального СИ можно записать в виде
Уп =* *■#; |
(9-2) |
тогда погрешность СИ будет |
|
Др ~ (^р — ^я) х -f- Д. |
(9.3) |
Значение систематической составляющейпогрешности |
Д0 и |
дисперсию о2 [А] случайной составляющей А можно в этом случае вычислить из соотношений
Дс = |
М {{kv — &и)х - f Д] = (т [ftp] — К)х-\-т [Д]; |
|||
+ |
D [(Лр - |
ftj х + Д] = |
D [£р]ха + D [Д] + |
(9.4) |
аа [А] = |
2Rx, |
|||
где R — коэффициент |
корреляции |
между величинами L и А. |
||
Для модели погрешности СИ |
типа (Л4/)а [56] |
необходимо |
определить |
максимальное значение погрешности. |
Этоможно |
сделать из |
соотношения |
|
|
шах Ар = max [&р — Ад] max х -f шах Д. |
(9.5) |
Для вычисления погрешности, очевидно, необходимо знание либо статистических характеристик коэффициентов преобразова ния, либо предельных отклонений их от номинальных значений. То и другое можно найти при известной схемотехнике изделия, используя теорию чувствительности [16].
Пример 9.1. Вычислим погрешность нормализующего преобразователя, выполненного на измерительном операционном усилителе типа Ю 53УД-5. Схема преобразователя для расчета погрешности приведена на рнс. 9.1. Для
Рис. 9.1. Нормирующий измерительный преоб разователь
такого преобразователя в соответствии с рабо той [23] значение Ау может быть записано в виде
= |
“Ь (есм "Ь есм г') |
> |
|
где ka — R jR f — коэффициент |
усиления |
иде |
|
ального преобразователя; |
f$ = |
R-JiRi + R2) — |
коэффициент обратной связи (для усилителя типа К153УД-5 rBI 2> Rs)\ еСм + ^см t— аддитивная погрешность, обусловленная смещением нуля и разностью входных токов усилителя. Значение напряжения смещения приведено к выходу усилителя: еСм — ^см. вх&и; еСм г — knR± At.
о
Тогда в соответствии с выражением (8,.4) значения Д0 и а [А] можно найти из соотношений:
Д= = М |^4И( Я ^ г т ) ] * + т 1еш1 + ^вЯ,т [ДО;
[*| = *Уо |
+ D[сСм! + |
Ед‘1- |
Полагая, что в преобразователе применены резисторы со стабильными пара метрами, изменением которых можно пренебречь, и задаваясь видом закона распре деления величин k, есм, Ai, можно найти числовые характеристики основной по грешности, используя правило нахождения числовых характеристик функцио нально преобразованных случайных величин.
Определение дополнительных погрешностей. Исходными све дениями, необходимыми для вычисления дополнительной погреш ности, являются нормируемые метрологические характеристики средства измерений:
номинальная функция влияния на систематическую погреш ность фс.ном (£.,) /-го влияющего фактора;
номинальная функция влияния на среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности /-го влияющего фактора фаиом (gy);
номинальная функция влияния на вариацию показаний СИ
Фн.ном (Ь) /-го влияющего фактора.
Эти характеристики могут быть .заданы как характеристики любого СИ данного типа или как индивидуальные характери
стики конкретного СИ — фс (gy); фа (£у); фн (У- |
В общем |
||
Необходимы также сведения о влияющих факторах |
|||
случае необходимо знать значение влияющего фактора |
или |
||
закон его распределения W (£у). В практике |
измерений часто |
||
достаточно знать его математическое ожидание |
М [£;]' |
и среднее |
квадратическое отклонение а 1£у ] или наибольшее | ву и наимень шее | ну значения этого фактора, соответствующее реальным усло виям эксплуатации СИ данного типа.
Метод расчета погрешностей зависит от вида модели погреш ности средства измерений — АН, ЛШ 1см. (10.1) и (10.2)1,
которая, в свою очередь, определяется допускаемой степенью риска при принятии решения по результатам измерения [56].
Расчет статистических моментов погрешности. Для линей
ных функций ВЛИЯНИЯ |
фо. ном ( У = |
*с. ной & |
— SHOP* i) (где |
/гс. пом} — номинальный |
коэффициент |
влияния |
/-го влияющего |
фактора на систематическую погрешность СИ; Енорм./ — нормаль ное значение влияющего фактора) значения математического ожидания и дисперсии дополнительной погрешности могут быть
найдены из |
соотношений |
|
|
|
|
М [фс. НОМ (Ij')] |
“ К |
НОМ |
[Е; Енорм j \ — |
&с. НОМ } [М ( |/) |
Енорм ;]» |
D[ф0. НОМ (s/)l — |
k a. ИОМ/ D[Е/ --- Енорм /] = |
|
№ |
||
k 0, НОМ [Е/]» |
/ = 1 » Л, |
где п — число влияющих факторов.
Если функция влияния нелинейна, то статистические характе ристики дополнительной погрешности могут быть найдены по правилам нахождения статистических характеристик функцио нально преобразованных случайных величин. В этом случае
значения |
М [фс.ном(Е;)1 и а2 [фс.ном (ij*)3 |
могут быть опреде |
лены из |
формул |
|
|
% |
|
|
М [фс.ном (Е./)] =Ч) [ Фс. ном (Еj) ^ |
(Е;') ^Е;» |
|
Ч) |
(9.7) |
D M V OOM ( £ / ) ] = }
%uj
Приближенные значения этих составляющих дополнительной погрешности могут быть в соответствии с РД 50-453—80 опре делены следующим образом:
м |
„„„ о |
- v „„„ [м « л + 0 ,5 ^ . н«»(м «,)] о2 к,]; |
D[4>О.НОМ «/>] = |
м>;. НОМ (Л П Ш 'сЧ М + о д м с НОМ (М [|/ Ш3оЧЕ/]. |
|
|
|
(9.8) |
Если для /-й влияющей величины известны только ее наимень шее £нj и наибольшее Ев; значения и нет оснований выделять области предпочтительных значений влияющей величины в этой области значений, то при любых значениях и Евj допускается для расчетов М [|}\ и о [£Д пользоваться соотношениями
М [ у = 0.5К«, + 6„]; a [ y = (5„j- ? „ ,] — = . |
(9.9) |
Математическое ожидание М [Д? ] и дисперсию D [At ] ста тической составляющей инструментальной погрешности СИ в ре альных условиях эксплуатации можно вычислить из следующих соотношений.
1. Если известны значения влияющих величин, то
М [А|] = М [А0.с] + |
£ Фс.НОМ |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
D [Д |] — [А0. с! 4" |
[А„] + 2 |
Устном (Ej)i |
4" "33 Я ор 4 - |
||
Л |
/= I |
|
J |
|
|
-i2 |
|
Риом |
|
||
4* 2 Фн-ном fedI |
4* |
(9.10) |
|||
12 |
|||||
/=1 |
J |
|
|
|
|
Если для средства измерений нормирован предел допустимых |
|||||
значений систематической |
погрешности |
и не |
указано значение |
М [Д0. с ] и если нет оснований предполагать, что |
распределение |
|||||
указанной |
погрешности |
в пределах |
А0. с. р несимметрично, |
то |
||
полагают М. [Д0. с ] = 0. |
Если, кроме того, .не указано |
значение |
||||
а [Д0. с] и |
нет оснований предполагать, что распределение |
по |
||||
грешности |
Д0. с несимметрично и |
полимодально, |
то |
полагают |
П= ^0. С.р/т^з.
2. Если известны М 1^1, а [^1, |
£в/, |
то характеристики |
||||
погрешности |
находят из |
соотношений |
|
|
|
|
|
М[Д|1 — N1[А0.с! 4" £ |
М. [ф0• НОМт |
(9.11) |
|||
|
|
1=1 |
|
|
|
|
D [А|] = аа[А0. с] + S D [фс.н<ш (5/)1 + |
[ ар1^о1 + |
1НОМШ( У I24- |
||||
|
[ |
|
L |
|
/=1 |
|
|
п |
, 2 |
|
М’НОМ |
|
|
|
|
|
|
(9.12) |
||
|
Я° Р + 2 ^ Н' НОМ7П^ ] |
|
12 |
|
||
где 4н.номтп (У, ^аномт (Ь) — наибольшие |
на |
интервале |
£Hi < |
|||
K b K l b j |
номинальные |
функции |
влияния; |
<тр [Д „]— предел |
допускаемого значения среднего квадратического отклонения случайной погрешности конкретного СИ; Я0р — предел допускае мого значения вариации показаний при нормальных условиях эксплуатации; рном — номинальная цена единицы наименьшего разряда кода цифрового СИ (для аналогового СИ р>ном = 0).
Расчет наибольших значений дополнительной погрешности.
Наибольшую по абсолютному значению дополнительную погреш ность при изменении /-го влияющего фактора можно вычислить из соотношения
ДдМ = ер (У М У > |
(9.13) |
где
f 0» вСЛИ Ъ,] — Енорм ]>
в ( I /) = | 11 е с л и ^ ф £ норм j;
ер (§/) — наибольшее допускаемое изменение погрешности, вы званное отклонением /-го влияющего фактора от нормального
значения |
| HOpMi- |
влияющего фактора £ для |
Если |
диапазон изменения |
которого нормирована метрологическая характеристика 8р (£;), равен лишь части диапазона рабочих условий применения СИ, причем для любой части рабочих условий нормируется одно и
то же значение ер (£;), то |
SnopM } |
|
^8(^j) = I |
(9.14) |
Заметим, что выражение (9.13) предполагает наихудший из всех возможных характер зависимости (скачок) дополнительной погрешности Ад; от влияющего фактора §j. Если в результате исследования известна конкретная функция влияния СИ, то расчет может производиться с использованием этой функции. В этом случае необходимо найти максимальное значение этой функции [701.
Если в нормативно-технической документации на СИ заданы
наибольшее и наименьшее значения влияющего фактора |
£в;, £н/-, |
|
то определение &е (£_?) в соответствии о |
выражениями |
(9.12) и |
(9.14) следует производить для того значения §/, при |
котором |
|
/tift (£;) будет иметь наибольшее значение. |
интервала, в |
котором |
Нижняя Ад. и и верхняя Ад. в границы |
о вероятностью единица находится погрешность СИ, могут быть
определены из формул |
|
|
Ад. в — До. р + |
АдМ> |
(9.15) |
Дд.н |
Ад. В* |
|
Пример 9.2. Рассчитаем дополнительную погрешность аналогового средства измерений. Исходные данные о значениях нормируемых характеристик СИ еле-
о
дующие: Д0. 0. р = Ю мВ; ор 1Д01 = 5 мВ; Н0р = 6 мВ.
Номинальные функции влияния на систематическую и случайную состав
ляющие погрешности СИ имеют вид: |
|
Фо. НОМ1 (Si) = |
^0. НОМ1 (Si— £норм l)> |
Фс. НОМ2 (£2) = ко. ном 2 (£з — 5норМ а)» |
|
Фст ном 1 (Si) = |
ко НОМ 1 (Si — SnopM l)> |
Фо НОМ2 (S2) = |
ко дом 2 (S2 --SHOPM 2)t |
где ko. иом1 — 0,5 мВ/°С; ko. ком 2 — 0,4 мВ/В; ко пом 1 = О,I мВ/°С; ko ном i ~
— 0,1 мВ/В — значения номинальных коэффициентов влияния температуры ок ружающей среды и напряжения источников питания на систематическую и слу
чайную |
составляющие инструментальной погрешности |
СИ; £Норм i — 20 °С; |
Енорма = |
220 В — номинальные значения влияющих величин. |
|
Характеристики влияющих величин следующие: |
= 5 °С; £в* = 40 °С; |
Sfia “ Ю8 В; £Вз — 242 В.
Полагая, что систематическая погрешность и влияющие факторы распределе ны симметрично в интервалах своих значений, получим:
М [Д0. о] = 0; |
М [gj = 0,5 [gH1 + gD1] = 22,5° С; |
Л*1£2] = |
0,5[£нг + Ы = 220 В. |
Тогда на основании выражений (9.6) и (9.12) имеем:
М [Д5] = М [До. „1 + *0. ном 1 [М (Ы - &НОРМ х1 + &с. ном a W (£2) -
|
|
— |
Ёнорм аЗ = 1*25 мВ; |
|
|
D [Д$] = |
а* [Д0. cl + |
fap [£>1 + |
ном г (Бвх — Бнорм х) + |
+ |
ном 2 (§н2 |
— £норы 2) }2 + ^с. ном 1ст2 |
^О. И0М2 [1г] + % / 12 . |
Полагая, что нет оснований выделять области предпочтительных значений систематической погрешности и влияющих факторов в интервалах их значений,
получим: |
|
|
|
|
|
|
с != |
з |
' - |
= 33,3 мВа; |
|
|
з |
|
|||
"1Ы |
£в1 |
5н1 |
40 — 5 _ |
|
|
3 |
/Т2 |
|
2 1 / Г |
|
|
|
|
|
|||
<г[Ы =_ SBS-- 5н2 |
_ |
242 — 198 |
|
||
23/3 |
|
||||
|
Vl2 |
|
|
||
D [Д|] = 33,3 {5 + 0*1 (20+ 0,1.22)}*+ 0,01 (10,1)*+ 0,01 (12,7)* + |
6* |
||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
= |
121,6 мВ*. |
|
Определение динамических погрешностей. Исходными сведе ниями, необходимыми для расчета динамической погрешности, являются нормируемые динамические характеристики средства измерений. Поскольку в практике измерений для конкретных СИ нормируются те динамические характеристики, которые просто определяются экспериментальным путем, а для расчета погреш ностей пользуются передаточной функцией СИ, то необходимо вначале рассчитать по нормируемой характеристике передаточную функцию. Расчет динамической погрешности по передаточной функции позволяет использовать для упрощения решения задачи обширные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа [26].
Если в качестве динамической характеристики нормирована импульсная переходная характеристика £ном (t), то передаточную функцию определяют из соотношения
OQ |
|
|
|
^НОМ(s)= | |
gnou(t)e~atdi, |
(9.16) |
|
о |
|
|
|
если нормируется переходная |
характеристика |
ftH0M(£), — то из |
|
соотношения |
|
|
|
Фаом(s) — S J |
Лном (0 |
dt• |
(9.17) |
О
Для линейных средств измерений передаточная функция обычно имеет вид дробно-рациональной функции
П |
|
|
Яоном“Ь S |
ai H O M S |
|
G.« (») ------ 5й |
--------- . |
(9.18) |
1 + S |
^ UOMsl |
|
1=1 |
|
|
где atH0:,j и 6г H0M, i = 0, п — номинальные значения |
коэффициен |
тов передаточной функции. В соответствии с нормативно-техниче скими документами нормируются также наибольшие допускаемые отклонения коэффициентов от их номинального значения — Дд.р
и Д;,.р. Для расчета погрешности используется номинальное зна
чение функции.
Номинальная статическая функция преобразования СИ при нимается GH0M(s = 0) = аоном.
Тогда значение динамической погрешности СИ, приведенное к выходу, в операторной форме можно найти из соотношения
Ддин (s) — [Сном(s) |
Сном (0)] х (s), |
(9.19) |
где х (s) — изображение входного |
сигнала СИ. |
|
Используя обратное преобразование Лапласа Ь~г, получим |
||
Аден (*) - L~x[GH0M(s) х (s)] - Ооном * it). |
(9.20) |
Если средство измерений предназначено для записи сигнала, то составляющую динамической погрешности, появляющуюся из-за чистого запаздывания сигнала, можно не учитывать. Тогда значение динамической погрешности необходимо определять из соотношений
Адин if) — У-p(t -Ь tB) — По номх (t); |
(9.21) |
Адин (t) = L-» [е'<*GH0„ (s) * (s)] - aQномх (it). |
(9.22) |
Если на входе такого СИ действует сигнал с финитным спек тром ДО частоты ОЭгаах, то для СИ, имеющих плоскую частотную характеристику А (со) = const и линейную фазо-частотную харак теристику (р (со) = —со?3, динамическая погрешность будет от сутствовать.
В практике измерений о свойствах входного сигнала известно немного. В пределах корреляционной теории случайных сигналов обычно известна спектральная плотность входного сигнала Sx (со). Обычно предполагается, что сигнал на входе стационарен и имеет нулевое математическое ожидание. Тогда в результате действия такого сигнала на стационарное СИ процесс установившейся ди намической погрешности тоже будет стационарным случайным процессом о нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью, которую можно определить из соотношения
<5д дан (со) — S# (со) | Оном (/со) ^ном(0)1», |
(9.23) |
а значейие дисперсии динамической погрешности — из формулы
+ 0 0 |
|
D [Ддин] = 2я" J *-*и (®) I @иок (/®) ^ном (0) |аd(&. |
(9.24) |
При регистрации процесса значение динамической погрешности определяют по формуле
+ 0 0
D lA a c J - j J - J 5» (“ ) | Оцаа(/“ ) — в~*“,"Овон (0) |2 da. (9.25)
—00
Значение дисперсии динамической погрешности может быть определено и непосредственно из формулы (9.20), если на входе
СИ действует |
стационарный эргодический процесс [77]. Пусть |
Сном (0) = 1, |
тогда |
|
г |
D [Дда] = 4 - j b h ( ‘ + |
Q - О.о« (0)а: (<)Г л = Л, (0) + «„ (0)- |
||
|
Q |
- 2 R vAh)> |
|
|
|
(9.26) |
|
где |
(£в) — функция |
взаимной корреляции |
процессов на вы |
ходе и входе СИ. Следовательно, существует некоторое значение времени задержки tg между входным и выходным сигналами, при котором
D [Адпн] = D [Ади^иЩ.
Оценку сверху относительного значения динамической по грешности СИ с линейной фазо-частотной характеристикой можно найти из соотношения
6дин т — |
^ном Ю I |
’ |
(9.27) |
|
а4еОМ(®го) I |
|
где >4ном (©о) —номинальная амплитудно-частотная характери
стика |
при нормальном значении |
частоты; Аном (wm) — значение |
|||
этой |
характеристики, наиболее |
отклоняющееся от |
значения |
||
Лном (©о) в рабочем диапазоне частот |
low |
©га1а]. |
погреш |
||
Динамическая погрешность АЦП. |
Под динамической |
ностью АЦП при изменяющихся во времени параметрах измеряе мой величины или АЦП понимают разность Адин (£и) между зафиксированным значением измеряемой величины Un (ta) ~ N и ее истинным значением U„ {ta) в рассматриваемый момент вре мени ta без учета статических погрешностей и погрешности ди скретности, т. е.
Адин (*и) = Uи(Q - UK(*и). |
(9.28) |
Аналого-цифровое преобразование является нелинейной опе рацией, и поэтому для анализа динамических погрешностей АЦП нельзя использовать аппарат линейных функций. Для анализа
работы АЦП в динамическом режиме необходимо выделить харак теристики, которые определяют процесс аналого-цифрового пре образования и его динамические погрешности.
Различают два вида динамических погрешностей АЦП: динамическую погрешность первого рода А1даш, обусловлен
ную инерционностью отдельных узлов АЦП и определяемую ве личиной и длительностью переходных процессов, происходящих в этих узлах;
динамическую погрешность второго рода АИдин, обусловлен ную изменением входного сигнала за время преобразования и определяемую скоростью изменения или частотным спектром кодируемого сигнала.
Очевидно, что значение погрешности первого рода можно
определить из соотношения |
[601 |
|
|
IJAI дни | = |
I |
— U о (п) I, |
(9.29) |
где U0 (м) — значение компенсационного напряжения |
в конце |
||
цикла преобразования. |
|
погрешности [60] |
|
Максимальное значение этой |
|
||
|
|
|
(9.30) |
где £/уст (*, tT) — значение переходного процесса на некотором такте преобразования.
Значение погрешности второго рода можно определить из соотношения
(9.31)
где U’ — скорость изменения входного сигнала; Тпр — время преобразования.
В каждом конкретном случае значения этих погрешностей зависят от используемого метода преобразования, от выбора мо мента отсчета результата и от значения самой измеряемой ве личины. Анализ этих погрешностей весьма сложен [60 ] и требует знания вида переходного процесса в АЦП, а для определения среднего квадратического значения погрешности — еще и знания вида закона распределения входной величины.
Учитывая важность знания инструментальной динамической погрешности, желательно иметь такие зависимости, которые поз воляли бы оперативно решать задачу оценки этой погрешности. Для этой цели были использованы результаты работы системы автоматического проектирования АЦП «Оптан» [50], с помощью которой были рассчитаны зависимости среднего квадратического значения инструментальной динамической погрешности о^д, отне сенные к рабочему диапазону преобразователя хт, при различных значениях параметров у — т/Ат, где т — постоянная времени переходного процесса в такте, Ат — длительность такта.
Эти зависимости для АЦП параллельно-последовательного тип.» показаны на рис. 9.2, а для АЦП поразрядного типа — на рис. 9.3.
Рис. 9.2. График зависимости средней ква дратической инструментальной погреш ности АЦП последовательно-параллель ного типа от его параметров при М = 1;
12
Рис. 9.3. График зависимости сред ней квадратической инструменталь ной погрешности АЦП поразрядно го типа от его параметров
1 |
—* М =» |
4, V ==» |
1,0; |
2 |
—• Л1 = |
3, v |
е=а |
||
« |
1,0; 3 |
— М = |
4, V =л 0,6; 4 — М « |
2; |
|||||
V в 0,1; |
5 — Л1 |
в |
3, v ==» 0,5; б — М |
= |
|||||
с=э 2, v = |
|
0,5; 7 —*Л1 |
= |
4, v = |
0,1; |
3— |
|||
ЛХ =» 3, V |
« 0,1; |
-9 |
|
АХ <==» 2, |
v =* 0,1 |
На рисунках обозначены: N — число разрядов выходного |
кода, |
||||
М — разрядность такта, |
R — число тактов. В соответствии |
с ре |
|||
зультатами |
расчета для |
поразрядных АЦП |
величина |
стдпп/хт |
|
практически |
не зависит |
от числа разрядов |
выходного |
кода N |
и определяется только параметром v; для параллельно-последова тельных преобразователей величина отп1хт возрастает с увели чением разрядности такта М и параметра v.
Расчет динамической погрешности импульсных СИ. Любое импульсное СИ можно представить в виде соединения простей шего идеального импульсного элемента ИЗ, формирующего эле мента ФЭ и непрерывной части НЧ [861 (рис. 9.4). Формирующий элемент характеризуется тем, что реакция его на мгновенный импульс (6-импульс), т. е. импульс простейшего импульсного элемента, тождественна форме импульсов Ут (2), действующих в реальном СИ. Соединение формирующего элемента ФЭ и непре рывной части НЧ называют приведенной непрерывной частью ПНЧ. В измерительных средствах, как правило, частота следования импульсных сигналов а>0 значительно больше максимальной ча стоты в спектре измеряемого сигнала. В этом случае свойства импульсной системы приближаются к свойствам ее приведенной
Рис. 9.4. Структурная схема им пульсного средства измерений
L |
j |