книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§2.10. Оболочки и пластины |
171 |
||
дующий вид: |
3 |
|
|
&аа |
^ ^ Са@£(3(3 , |
^а(3 2Су/у£а^, |
(2.10.15) |
|
(3=1 |
|
|
а ф /3] |
се, /3= 1,2,3; |
7 = 9 —а —/3, |
|
где Сар — компоненты матрицы модулей упругости размером 6 x 6 (см. т. 1, (4.6.59)), связанные с компонентами тензора модулей упругости соотношени ями
Са (3 = Саарр, Сарар = С11, 7 = 9 —а —/3; се, /3 = 1,2,3. |
(2.10.16) |
Рассмотрим оболочку постоянной толщины h, в этом случае вектор нормали п срединной поверхности XIQ является нормалью и для боковых поверхностей оболочки X 3 = ± h /2. Граничные условия (2.10. Юг) на этих поверхностях полагаем только силовыми:
|
X 3 = ± h / 2: |
а33 = - р ± , |
сга3 = 0, |
а = 1 ,2 , |
(2.10.17) |
где |
= —jC — заданные давления на боковых поверхностях оболочки. |
||||
|
Пусть имеется некоторый замкнутый контур С на срединной поверхно |
||||
сти HQ, уравнение которого имеет вид хг = |
x^(X 7(s)), 0 ^ |
5 ^ SQ. Тогда |
|||
торцевую поверхность X/ оболочки определим как множество всех точек, |
|||||
координаты Х г которых удовлетворяют условиям |
|
||||
|
- h /2 < X s < h /2, xl = 4 ( Х 7(5)), |
0 ^ 5 ^ s0. |
(2.10.18) |
||
|
В частном случае часть контура С может совпадать с координатными |
||||
линиями срединной поверхности: |
|
|
|
||
|
С: |
Х а = Х$ = |
const, |
се = 1 ,2 . |
(2.10.18а) |
На части торцевой поверхности X/, которой соответствует часть Си кон тура £, согласно граничным условиям (2.10.Юг), могут быть заданы переме щения, а на оставшейся части поверхности X/, которой соответствует часть Са контура £, — компоненты вектора напряжений:
—h /2 |
< X ^ < h /2 : иа L |
= иеа, се = 1,2,3; |
(2.10.19а) |
(паааа + |
п\’ваa/J) . = t'nea, |
(п\а13 + п'2а2г)са = С з- |
(2.10.196) |
Здесь п[, п'2, п'г — компоненты вектора нормали п на боковой поверхности оболочки в базисе га, причем п3 = 0; tfnei — компоненты вектора напряжений t пе на X/.
2.10.3. Основные допущения в теории оболочек Тимошенко
Кроме изложенного выше, в теории оболочек принимают ряд допуще ний, цель которых свести исходную трехмерную задачу теории упругости
172 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
(2.10.11)—(2.10.19) к двумерной задаче, где неизвестные являются функциями только двух координат X 1. Для разных моделей теории оболочек эти допуще ния могут существенно отличаться, соответственно различаются и итоговые двумерные задачи. Рассмотрим допущения классической модели оболочек Тимошенко.
1. Оболочка называется тонкой, если для нее можно принять
Яз = 1, н а = Аа, На3 = дНа/д Х 3 = kaAa, |
а = 1,2; |
(2.10.20) |
Х 3Ц < 1 . |
(2.10.20а) |
Условие (2.10.20а) означает, что h /R a <С 1.
2. Перемещения иа в оболочке можно считать линейными функциями
координаты х 3, а г^з — не зависящим от X 3: |
|
|
иа = и а + х у а, а = |
1, 2; щ = W, |
(2.10.21) |
где введены пять функций, зависящих только от X 1 и X 2: |
|
|
Uu U2, 7ь 72, W |
|| X 1, X 2. |
(2.10.22) |
Величины U\, U2 называют тангенциальнымиперемещениями, они опи сывают перемещения точек срединной поверхности оболочки по касательной к этой поверхности. Величину W называют прогибом оболочки, она описыва ет перемещение срединной поверхности по нормали. Величины ^уа называют углами поворота нормали срединной поверхности оболочки.
3. Нормальным напряжением <733 в оболочке можно пренебречь, полагая его равным нулю:
<733 = 0. |
(2.10.23) |
Это соотношение фактически заменяет соответствующее определяющее соот ношение (2.10.15) при а = 3, которым в данной модели пренебрегают.
2.10.4. Кинематические соотношения
Принимая допущение 1 в соотношениях (2.10.13), имеем
ГГУГУ-- |
Аа |
+ |
AtA2 |
^/3 3” |
2еаз "Ма.з 3” . ,а |
к а и а , <х 1,2, |
|
|
|
р |
u ° |
А а |
|
||
|
|
|
|
|
2^ = Ш ) х Ш ) у |
{ 2 Ж П ) |
Подставляя выражение (2.10.21) для перемещений в (2.10.24), преобразу ем эти соотношения к следующему виду:
£а(3 = е а(3 + |
а = 1,2, |
(2.10.25а) |
£зз = 0, |
(2.10.256) |
|
^аЗ |
^аЗ, |
(2.10.25в) |
|
§2.10. Оболочки и пластины |
173 |
|
где |
Аа,/3 ив + kaw, |
|
КЧ |
&тт — Ua,a |
2еа3 = ^ + 7а - |
||
Аа |
А 1А2 |
|
|
2612 ~ ЧМ |
+ЧМ ~ |
+ A2'xU<l); |
(2.10.26) |
|
|||
X rvrv — |
|
|
|
|
2 щ 2 - т Л т Х |
2 + т Л а ~Лл - |
(2.10.27) |
|
|
Величины ец ,е22,е 12 называют тангенциальными деформациями, они описывают деформации растяжения-сжатия и сдвига срединной поверхности оболочки. Величины хц, Х22, х ^ называют искривлениями, они описывают изменение кривизны срединной поверхности оболочки: хц и Х22 описывают
деформацию изгиба, а х ^ — деформацию кручения.
Соотношения (2.10.26) называют кинематическими соотношениями в модели оболочек Тимошенко.
2.10.5. Усилия, моменты и перерезывающие силы в оболочках
В теории оболочек применяют следующие интегральные по толщине ха рактеристики напряженного состояния: усилия Тар, моменты Мар и перере зывающие силы Qa , которые определяют по формулам
h/2 |
|
h/2 |
h/2 |
Тар = |
aa(3 d X 3, М а(3 = |
<jaf3X 3 d X 3, Qa = |
аа3 d X 3, ce = 1, 2. |
—h/2 |
|
-h/2 |
-h/2 |
(2.10.28) Введем также обозначения для массовых усилий Fea и массовых момен
тов Меа:
h/2 |
h/2 |
|
|
P.fa dX , |
Меа |
°pfaX 3 d X 3, « = 1 ,2 ,3 . |
(2.10.29) |
—h/2 |
■h/2 |
|
|
2.10.6. |
Уравнения равновесия оболочки |
|
|
Рассмотрим уравнения |
равновесия |
(2.10.11), проинтегрируем |
их по X 3, |
а затем применим допущение 1 (заметим, что если поступить в обратном порядке, то результат будет иным).
Проинтегрируем уравнения (2.10.11), полагая а = 3, /3= 1, 7 = 2:
174 |
Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями |
|
|
|
||||||
|
h/2 |
h/2 |
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
(H2 H {a33)<3d X 3 + |
( |
H2 H3a x3d X 3) , + |
H3H\a23d X 3) 2~ |
|
|||||
-h/2 |
-h/2 |
|
|
|
-h/2 |
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
h/2 |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
a n H2 H l3d X 3 |
|
&22H\H23dX |
+ |
a l3H2 H3 ld X 3+ |
|
||||
|
-h/2 |
|
-h/2 |
|
|
-h/2 |
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
a23H\H 32d X 3 + |
H xH2 H3pf3 d X 3 = 0. |
(2.10.30) |
||||||
|
—h/2 |
|
|
-h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя первое слагаемое |
в (2.10.30), с учетом соотношений |
= |
|||||||
= Н%2 = 0, (2.10.28), допущения 1 |
и граничного условия (2.10.17) получаем |
|||||||||
А \А 2(Ре — Ре) + (A2Ql),l + |
( H I Q 2),2 — А\А2(к\Т\\ + |
&2^22) + |
^ 1 ^ 2 ^ е З = |
0 |
||||||
— одно из искомых уравнений равновесия оболочки. |
|
|
(2.10.31) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
Запишем уравнение |
равновесия (2.10.11), |
полагая |
се = 1, /3 = |
2, 7 = |
3 и |
||||
интегрируя его по X 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
h/2 |
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
( |
H2 H3a n d X 3) л + |
( |
H\H3a\2d X 3) 2 + |
{H\H2a\3) 3d X 3— |
|
|||||
-h/2 |
-h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a22H3H2 \dX 3 - |
|
a33H2H3xd X 3 + |
a l2H3H x2d X 3+ |
|
|||||
|
-h/2 |
|
■h/2 |
|
|
■h/2 |
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
a l3H2H l3d X 3 + |
H xH2 H3 °pf\ d X 3 |
0. |
(2.10.32) |
|||||
|
-h/2 |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
Интегрируя третье слагаемое, затем применяя к нему граничное условие (2.10.17) при а = 1, а ко всему уравнению (2.10.27) применяя допущение 1, с учетом обозначений (2.10.28) и (2.10.29), получаем (здесь также учтено, что
#31 = °):
(^ 2^11),1+ ( ^ 1^ 12),2—^22^ 2,1 + А\^Т\2 + A \A 2 k\Q\ + A \A 2Fe\ = 0. (2.10.33)
Уравнение равновесия (2.10.11) при ск=1,/3 = 3 и 7 = 1 дает аналогичное по структуре уравнение равновесия, отличающееся заменой индексов 1 ^ 2:
(^4.1^22),2+ (^.2^ 12),1—^11^4-1,2+ 71-2,1 ^ 12+ ^4.1 ^4-2^2^ 2+ A \A 2Fe2 — 0. (2.10.34)
Трех уравнений (2.10.31), (2.10.33), (2.10.34) оказывается недостаточно для определения всех пяти введенных неизвестных функций (2.10.22), поэтому
|
§2.10. Оболочки и пластины |
|
|
175 |
||
из (2.10.11) получают дополнительно два уравнения. |
|
|
||||
Для этой цели рассмотрим вновь уравнение (2.10.11) при а = |
1, /3 = 2 и |
|||||
7 = 3, домножим его на X 3, а затем проинтегрируем по X 3, тогда получим |
||||||
h/2 |
|
h/2 |
г |
h/2 |
|
|
п |
|
г |
{HxH2 ax3)^3X 3d X 3- |
|||
H2 H3a xxX 3dX 3) + |
( H xH3a x2X 3d X 3) 2 + |
|||||
-h/2 |
|
-h/2 |
|
-h/2 |
|
|
h/2 |
3J V 3 |
h/2 |
|
h/2 |
|
|
|
a23H2 H3 XX 3dX 3 + |
a X2 H3H X2 X 3d X 3+ |
||||
a22H3H2 XX 6dX |
||||||
-h/2 |
h/2 |
-h/2 |
h/2 |
-h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
ax3H2 H x3X 3d X 3 + |
H xH2H3p fxX 3 d X 3 = 0. |
(2.10.35) |
|||
|
-h/2 |
|
-h/2 |
|
|
|
Седьмое слагаемое в (2.10.35) запишем в следующем виде:
h/2 |
h/2 |
h/2 |
|
h = |
a x3H2 H x3X 3 d X 3 = |
(HxH2a x3X 3) 3 dX 3— (ax3H2 X 3),3H x d X 3, |
|
-h/2 |
-h/2 |
-h/2 |
(2.10.36) |
а третье слагаемое: |
|
||
|
|
||
h/2 |
h/2 |
h/2 |
|
h = |
(■HxH2a X3 )t3X 3 d X 3 = |
(HxH2 a X3X 3),3 d X 3 - |
H xH2 a X3 d X 3. |
-h/2 |
-h/2 |
-h/2 |
(2.10.37) После подстановки в (2.10.35) и (2.10.37) допущения 1 и граничных
условий (2.10.17) имеем
h/2
1 7 = - А хА 2 |
{aX3X 3)'3d X 3 = 0, I3 = —A XA 2 Qx. |
(2.10.38) |
—h/2
Тогда уравнение (2.10.35) после принятия для него допущения 1 и учета результатов (2.10.38) имеет вид
(Д.2^ п )д + (Д-1 ЛД2Х2 ^ 22^ 2,1 + -^ 12^ 1,2 —^1 ^ 2^1 +^1 ^ 2 ^ е \ ~ |
0. |
(2.10.39) |
Аналогичным образом из (2.10.11), полагая ск = 2, /3 = 3 и у = |
1, получаем |
|
еще одно уравнение для моментов: |
|
|
( А \ М 2 2 ) ,2 + {A2 M \2 ),\—M \\A i2 +M i2 A 2,\—A \A 2 Q2 + A \A 2 Me2 = 0. |
(2.10.40) |
Таким образом, имеем пять уравнений (2.10.31), (2.10.33), (2.10.34), (2.10.39) и (2.10.40), которые называют уравнениями равновесия оболочки.
176 Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
В единой форме систему этих уравнений можно записать следующим образом:
La(T) + A \A 2 (kaQa + Fea) = О, |
|
La{ M ) - A lA 2 {Qa - M ea) = О, се = 1,2; |
(2.10.41) |
(A2(3I ),I + (A\Q2),2 ~ М М (к \Т \\ + ^2^22 + А р - F e3) = |
0, |
где Ар = р+ — р~ — перепад давления; La(T) — дифференциальные операто ры,
La{T) = (АрТаа),а + (АаТар)'Р - Ар^Трр + A ajpTap. |
(2.10.41а) |
Оператор La(M) имеет аналогичный вид, если выполнить замену Т —►М.
2.10.7. Определяющие соотношения для оболочек
Подставим выражения (2.10.25) для деформаций в определяющие соотно шения (2.10.15), тогда получим
& а а = С а а е а а + С а р е р р + |
А 3( С а а е а а + |
С а р К р р ) , а — |
1,2; |
сг12 = 2Сббв12 + 2Х3Сбб^12> |
°23 = 2С44е2з, |
сг13 = 2С55е13. |
(2.10.42) |
Подставляя выражения (2.10.42) в (2.10.28), находим соотношения между усилиями, моментами, перерезывающими силами и еар, х ащ.
Таа —Сааеаа + Capepp, Т\2 = 2C*66ei2, Qi = 2655613, |
Q2 = 26*44623, |
Масс = Daa^aa + Dap>tpp, М12 = 2L>66>ir12, |
(2.10.43) |
где Са[з — мембранные жесткости; Dap — изгибные жесткости:
Cap = hCap, Dap = (h3 /l2)C ap. |
(2.10.44) |
Отметим, что интегралы от линейных по X 3 функций при интегрировании от —h j2 до /&/2 пропадают.
Формулы (2.10.43) называют определяющими соотношениями для моде ли оболочек Тимошенко.
2.10.8. Замкнутая система уравнений для теории оболочек Тимошенко и граничные условия
Объединяя систему пяти уравнений равновесия (2.10.41), восьми опре деляющих соотношений (2.10.43) и кинематические соотношения (2.10.26), (2.10.27), после подстановки (2.10.26) и (2.10.27) —►(2.10.43) —►(2.10.41) получаем замкнутую систему пяти уравнений относительно пяти неизвестных функций: U\, U2 , 71, 72 и W, зависящих от X 1 и X 2. Эта система имеет второй наивысший порядок производных по координатам и называется за мкнутой системой уравнений теории оболочек Тимошенко.
§2.10. Оболочки и пластины |
177 |
Граничные условия к этой системе формулируются на контуре С, огра ничивающем срединную поверхность оболочки (см. (2.10.18)), и следуют из условий (2.10.19) на торцевой поверхности оболочки.
Если на части торцевой поверхности X/, соответствующей части Си кон тура С, заданы перемещения иеа(Х Т , Х 3), а = 1,2,3, то, подставляя (2.10.21) в граничное условие (2.10.19а), записанное для точек срединной поверхности (X3 = 0), для внешней поверхности (X3 = h /2 ) получаем
Си. Ua = Uea, W = We, 7а = 7 е а , а =1,2, |
(2.10.45) |
— искомые граничные условия для оболочки, где |
|
и еа= и еа(Х 1 \Ск,0), We=Ue3 (X I \Cu,0), 7еа= |
\ ) ~ U ea). |
|
(2.10.46) |
Если на части торцевой поверхности X/, соответствующей части С,а кон тура С, заданы условия (2.10.196), то, интегрируя эти условия по X 3 от —h/2 до h /2 , с учетом определения (2.10.28) получаем
Са'- паТаа + ПрТар = Т/1а, а = 1, 2; n\Q\ + п^ 2 = Qn' |
(2.10.47) |
Если же первое уравнение в (2.10.196) сначала умножить |
на X 3, а |
затем проинтегрировать по X 3, то с учетом определения моментов (2.10.28) |
|
получаем еще два граничных условия на Са\ |
|
п’аМаа + ripMap = М*а, а = 1 ,2 . |
(2.10.48) |
Здесь обозначены заданные значения усилий, моментов и перерезывающих сил на Са:
rne _ |
h/2 |
|
h/2 |
h/2 |
|
Л л |
M e = |
+! Y^rlY 3 |
Qn = |
a = 1, 2. |
|
-Lna |
LneoLLiyv |
гш |
Ln e a yv |
|
|
|
—h/2 |
|
-h/2 |
-h/2 |
|
(2.10.49) Таким образом, на каждой части Си и Са контура С, ограничивающего оболочку, в модели Тимошенко задается по пять граничных условий (2.10.45)
или (2.10.47), (2.10.48).
Возможны однако и смешанные граничные условия, в которых задается
одна из каждой пяти пар величин: |
|
(Uea,Tna), (We,Qen), (7ea,M ‘a), С = 1, 2. |
(2.10.50) |
Наиболее часто используют следующие условия:
•свободный край оболочки (вектор напряжений нулевой на всем торце: t'nei = °) (Рис- 2.10.3, а):
Т епа = 0, М епа = 0, Qen = 0, се = 1 ,2; |
(2.10.51) |