книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости

211

Таким образом, для изотропных сред возможны только две различные ско­ рости движения поверхности слабого разрыва независимо от направления п фронта поверхности.

Уравнение совместности (2.11.24) для изотропных сред имеет вид

((р Ь 2 - Л2)Е - (AI + A2)n (X) п) • h = 0.

(2.11.27)

Введя нормальную проекцию hn — п • h, запишем уравнение (2.11.27) в виде

(,pD2 - A2)h - (Ai + X2 )hnn = 0.

(2.11.28)

Если D = <22, то первое слагаемое в (2.11.28) обращается в нуль, и, сле­ довательно, должно выполняться соотношение hn = h • n = 0, т. е. для волны слабого разрыва, движущейся со скоростью а2, скачок вектора h = [u|oo] ле" жит в касательной плоскости к фронту волны, поэтому такую волну называют

поперечной.

Если же D = а\, то из (2.11.28) и (2.11.26) получаем, что h = hnn, т. е. вектор h коллинеарен вектору нормали, и скачок второй производной вектора перемещений [ii|oo] происходит по нормали к фронту волны. Поэтому слабую волну, движущуюся со скоростью аь называют продольной.

Б. Ортотропные среды

Для ортотропных сред тензор 4С имеет вид (2.6.13) в главном базисе анизотропии сц. Вычисляя тензор п • 4С • п для ортотропной среды, приводим уравнение (2.11.18) к следующему виду:

з

det (pD2Е - ^ ( Х апас2 + Х6+а(п2 с1 + п2рс2) + (А3+а + А6+апзп7Оа) = 0,

а=1

(2.11.29) где п = пгсй па = па = са ■п; индексы а, (3,7 меняются циклическим образом

( « Ф Р Ф 7 Ф « )•

Если направление движения фронта — поверхности S — совпадает с одним из направлений осей анизотропии, т. е. п = са, то па = 1, пд = п7 = 0 и из (2.11.29) получаем

det (pD Е (AQ/CQ/ -\- Аб+дс7 -\- А0 |_7с^))

( рЬ 2 - х п		о	о	\
= det	0	pD2 - А6+/?	о 0
	о	о	рЬ 2 - а6+7/
=	(°рЬ2 - Ха)(°рЬ2 - А6+/?)(рЬ2 -			А6+7) = 0. (2.11.30)
3
Здесь учтено, что Е = ^	с 2а.

а = \

212	Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Из (2.10.30) находим возможные значения D :
D\	\J^AQ//р = CLQ/, Z^2 \J	P —	D3 \ J	I p = QjQ/sy,
	а Ф f3 ф ^ Ф a.			(2.11.31)

Таким образом, для ортотропных сред в направлении каждой главной оси анизотропии, задаваемой вектором са, возможны три различные скорости движения поверхности слабого разрыва.

Уравнение совместности (2.10.24) для ортотропных сред после преобразо­ ваний, аналогичных (2.10.29), (2.10.30), имеет вид

(pD2Е - (Ааса + А6+/Зс7 + А6+7с^)) • h = 0, а ф (3 ф 7 ф а.

(2.11.32)

Введя компоненты hi вектора h в базисе с*: ha = h c a , перепишем это уравнение следующим образом:

рЬ 2h - Xahacа - А6+Дг7с7 - X6+1 h/scp = 0.

(2.11.33)

О

Если D = аа, то, в силу (2.10.31), соотношение (2.10.33) принимает вид

h = haca +	h j с7 + ^+7 h/зср.		(2.11.34)
	Л(Х	Ха
Поскольку разложение вектора по базису		всегда единственно,	то, срав-
з _	находим, что	соотношение (2.10.34) при не
нивая (2.10.34) с h =

а = \

равных единице А6 + j/X a и Х3+/з/Ха справедливо, только если hp = Л,7 = 0, т. е. когда векторы Ь и с а коллинеарны: h = haca.

Таким образом, для слабой волны, движущейся в направлении Оса со

о

скоростью D = аа, скачок второй производной h = [u|0o] осуществляется по нормали п = са к фронту волны, поэтому такая волна называется продольной

в направлении Оса.

о

Если же D = аар, то из (2.10.31) следует, что

h = ф - К с а + Ц с7 + фз-Нрсв,		(2.11.35)
Аб+/з	Аб+/з

и из единственности разложения вектора h по базису са получаем, что (2.11.35) будет выполняться, только если ha = hp = 0, т. е. векторы h и

с7 коллинеарны: h = с7. Эта слабая волна, движущаяся в направлении

о

Оса со скоростью D = аар, имеет скачок второй производной h = [u|0o] в направлении Ос7, т. е. в касательной плоскости к фронту волны. Такая волна называется поперечной в направлении Ос7.

Совершенно аналогично получаем, что для слабой волны, движущейся в

о

направлении Оса со скоростью D = аа7, скачок второй производной h = [u|0o]

§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости	213
коллинеарен вектору сд, т. е. также расположен в касательной	плоскости

к фронту волны. Такая волна называется поперечной в направлении Оср.

Пример 2.11.1. В	частности, если а = 2, то /3 = 3, 7 =	1	и поперечная
в направлении Ос\	волна движется со скоростью аар =	=	л/Ае+з/ р =

= \ / Ag/ р = \/G \2 / p , а поперечная в направлении Осз — со скоростью аа 1 —

— а2 \ — \А б+1/ Р —	1 Р — л /^ 2з/Р (здесь использован результат упр. 1
к § 2.6). □

Отметим, что всего независимых значений аа, аар и аа 1 только шесть, соответствующих трем продольным и трем поперечным волнам, так как аар =

= &[3а И	= ^7ск-	о
В отличие от изотропных сред, скорость движения D для ортотропных
сред зависит от направления движения фронта,		задаваемого вектором п.
	о
Однако при произвольном п скорость D{п) всегда можно выразить через де-
	о
вять скоростей D , соответствующих некоторым девяти значениям вектора п;

причем шесть из них можно выбрать в виде (2.11.31), т. е. соответствующими

скоростям аа, аар, аа 1 движения фронта вдоль главных осей анизотропии

о

Оса, остальные три значения D должны соответствовать значениям п, не сов-

о

падающим с са. Действительно, поскольку общее уравнение для D (2.11.29) при произвольном п содержит девять констант упругости Аа (а = 1, ..., 9), то шесть из них можно выразить из формул (2.11.31) через аа, аар, аа1, а еще три константы Аа найти, записав (2.11.29) для некоторых трех значений п, не совпадающих с са.

В. Трансверсально-изотропные среды (группа Тз)
Тензор 4С имеет вид (2.6.20) в базисе сщ Подставляя это	выражение
в (2.11.18), получаем
det (pD2Е —(Ai + A5)n ® n - А5Е —(А2П3 + А4(п2 + nl))c2 —
—А3пз(п (8)Сз + С3 ® п) —А4(п2ПзО! + П 1П3О2)) = 0.	(2.11.36)

Если направление движения фронта поверхности совпадает с направлени­

ем оси трансверсальной изотропии, т. е. п = сз, то щ =				1, щ = щ = 0 и из
(2.11.36) имеем
det ((pD2 —А б)Е —(Ai + А2 +		2А3 + А з)сз) =
( рЬ 2 -		о	О
det	0	рЬ 2 - Л5	0
V	о	0	рЬ 2 - Аь)
		= (рЬ 2 -	Ат)СрЬ2 -	А5)2 = 0, (2.11.37)
	/\!п — \\ + А2 + 2A3 + 2А5.

214	Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями
Отсюда находим две различные скорости D :
	Dx = \]\'"/р = а 3, D 2 = у \ 5/р = а31 = а32.	(2.11.38)

Уравнение совместности (2.11.24) для трансверсально-изотропных сред

при п = сз имеет вид
(■(pD2 - А5)Е -	(Aw -	А5)сз) • h	= О,	(2.11.39)
или
(,°рЬ2 - A5)h -	(Aw -	А5)с3Л3 = 0.		(2.11.39а)
Если D = аз, то из (2.11.39а)	получаем, что		h = Д3С3,	т. е. векторы

h и С3 = п коллинеарны, поэтому слабая волна, распространяющаяся со скоростью аз в направлении оси Осз, называется продольной в направлении оси трансверсальной изотропии.

О	^
Если же D = азь	то из (2.11.39а) получаем, что h% = 0, т. е. вектор h

лежит в касательной плоскости к фронту движения волны, поэтому слабая волна, распространяющаяся со скоростью аз1 в направлении оси Осз, назы­ вается поперечной в направлении оси трансверсальной изотропии (волной продольного сдвига).

Если п = С], то щ = 1, щ = щ = 0, и из (2.11.36) имеем
det ((рЬ2 - А5)Е -	(Aj + А5)с? - А4с3) =				\
fpD 2 -	(\х + 2А5)	^ 0		0
= det	0	рЬ 2 - А5		0	= 0.	(2.11.40)
	0	0	pD	-(А 4 + А5) /
			О
Отсюда находим три различные скорости D:
D 1 = у (Ai + 2А5)//?	= а\, D2	= у А5/р	= ai3,	L>3 =	у (А4 + \ ) / Р = «12-
Уравнение совместности (2.11.24) в этом случае принимает вид						(2.11.41)
(pD2 - A5)h -		(Aj + A5)/MCI -		А4/г3с3 =	0.	(2.11.42)

Из этого уравнения следует, что волна, распространяющаяся со скоростью

о

D = а\ в направлении оси Ось имеет разрыв второй производной вектора перемещений [ii|oo] в том же направлении Ось Такая волна называется

продольной в плоскости трансверсальной изотропии.

о

Для волны, распространяющейся со скоростью D = а\2 в направлении оси Ось вектор h = [u|0o] коллинеарен вектору сз, поэтому такая волна называется поперечной в плоскости трансверсальной изотропии.

§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости

215

Если n = С2 , то аналогичным образом получим те же самые три скорости
о	о
D (2.11.41).	Среди величин из (2.11.38) и (2.11.41) различных скоростей D

только четыре: а\, аз, а\2 и ащ.

Как и для ортотропных сред, скорость D{п) зависит от направления движения фронта волны, задаваемого вектором п. Однако, поскольку для

трансверсально-изотропных сред имеется пять независимых констант Аа , то

о

при произвольном п скорость D{п), согласно уравнению (2.11.36), будет

о

зависеть только от значений D , соответствующих пяти различным значениям вектора п, причем четыре из них можно выбрать равными а\, аз, ai3 и а\2 -

Примеры волн слабого разрыва приведены в п. 2.11.5.

2.11.3. Ударные волны

Если в безграничном пространстве имеется поверхность S(t) сильного разрыва, то для нее также справедливы соотношения (2.11.4)—(2.11.8), т. е. можно всегда ввести преобразование координат (2.11.7). Однако, поскольку в данном случае тензоры сг, е и v терпят разрыв, необходимо привлечь для исследования не уравнение движения (2.11.9), а соотношения (2.1.72) на поверхности сильного разрыва при малых деформациях. При отсутствии по­ верхностных эффектов и фазовых превращений с учетом уравнения (2.1.72в) эти соотношения имеют вид

п • [сг] = pD2[V (8) u T] • n,	(2.11.43а)
[u] = 0,	(2.11.436)
D[V ® u] + n ® [v] = 0.	(2.1 1.43B)

Соотношение для скачка энергии (2.1.72) применяют только при анализе тепловых эффектов в динамических процессах.

Уравнение (2.11.43а) называют динамическим уравнением совместности на ударной волне, а (2.11.43в) — кинематическим уравнением совместно­ сти.

Подставляя в (2.11.43а) соотношение упругости (2.6.81) (при 4Са —►4С), переписываем его следующим образом:

п • 4С • • [V <8) и] - °рЬ2п • [V (X) и] = 0,	(2.11.44)
ИЛИ
pD2nj [uij} - ЩСрк1 [йк,1\ = 0.	(2.11.44а)

Перейдем к координатам Х°, Х г и вычислим скачки производных:

[Щл] = Ы ]Р°1 +[щ\т\Р7 ■

(2.11.45)

216	Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

В силу (2.11.436), имеет место соотношение [йр(Х°\0, Х г)] = 0 , диффе­ ренцируя которое по Х \ получаем [йщт(Х°\0, Х г)] = 0. Отметим, что в от­ личие от слабого разрыва (см. (2.11.22)) в данном случае [г^|0] ф 0. Следова­ тельно,

[йкА = [йк\о]Р°1 >	[йк] = \ик\о\Р% ■	(2.11.46)
Подставляя это соотношение в (2.11.44а), получаем
- ЩСРШР \ )К|о] = о.		(2.11.47)
Домножив уравнение (2.11.47) на ё \	перепишем его в тензорном виде:
(pD2 Е —п • 4С • п) • [U|Q] = 0.		(2.11.48)

Здесь учтено, что, согласно (2.11.16) (эти геометрические соотношения оди­

наковы для	сильных	и	слабых поверхностей разрыва), вектор р = P°t ё1
коллинеарен	г \	_	. О .
	n: Р ^ =	пе|р|.

Условие разрешимости системы линейных алгебраических уравнений (2.11.48) относительно вектора [ii|o] (ищем поверхности S(t) с ненулевыми

скачками [U|Q]) имеет вид
	det	(рЬ2Е -	п • 4С • п) = 0.	(2.11.49)
			О
Это уравнение позволяет найти скорость D ударной волны в зависимости от
4С и п.
Сравнивая (2.11.49)	и	(2.11.18),	убеждаемся, что они	полностью сов-
падают, следовательно,		о
	скорость D движения фронтов слабых и сильных

волн одинакова. Более того, формально совпадают и уравнения совместности (2.11.48) и (2.11.24) для скачков [u|0] и [u|0o], следовательно, все выводы, полученные в п. 2.11.2, А — В для изотропных и анизотропных сред, справед­ ливы и для ударных волн, в том числе относительно числа различных волн и их названий.

Однако соотношения для скачков функций на слабых и ударных волнах

о

различаются: после вычисления скоростей волн D из (2.11.24) вначале нахо­ дим значение вектора h = [u|0o] Д л я слабых волн (с точностью до константы), а затем определяем разрыв вторых производных от компонент вектора пере­ мещений [ukjj] по (2.11.23). Для ударных волн после вычисления вектора [u|o] из (2.11.48) вначале находим разрыв первых производных от компонент вектора перемещений [й/щ] по (2.11.46), а затем по формулам (2.11.43а) и (2.11.43в) вычисляем скачки вектора напряжений и вектора скорости на ударной волне. Для слабых волн соотношения (2.11.43) тождественно выпол­ няются, так как [а] = 0, [v] = 0 , [V (8) и] = 0.

§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости

217

2.11.4. Пространственные волны в изотропных линейно-упругих средах

Для изотропных сред решение волновых задач (2.11.1) и (2.11.2) упроща­ ется. Рассмотрим задачу (2.11.2) для безграничного пространства £%. Учиты­ вая уравнения Ламе (2.6.70), запишем эту задачу в следующем виде:

Грй = (Ai + A2)V (V • и) + А2Аи + °р{ в	х (0,imax);
| u loo = 0, ^ x u | oo = 0 Vi <Е(0, tmax);	(2.11.50)
(д = 0: и = UQ, й = VQ в £3 .

Будем также полагать, что выполнены условия согласования начальных и граничных условий (2.11.3).

Применяя к системе (2.11.50) сначала оператор дивергенции, а затем

оператор ротора, в силу
V х V (V • и) = 0,		V • V (V • и) = A(V - и),				V • Ди = A(V • и),
получаем							(2.11.51a)
ё = а\5е + V • f ,
£ loo =	t = 0: £ = V • UQ,				£ = V • VQ;		(2.11.516)
со = a2Sco + V		x f ,					(2.11.52a)
^loo = ®’	t = 0:		u? = V	x U Q , CO = V		x V Q ,	(2.11.526)
где		e = V • u,		CJ = V X U ,			(2.11.53)
	a\ — у ( A i		+ 2A 2) / p ,		a2 = У Х2/ P•		(2.11.54)

Таким образом, исходная задача (2.11.50) для вектора перемещений в изо­ тропном безграничном пространстве £3 распадается на две самостоятельные задачи (2.11.51) и (2.11.52) — для объемной деформации г (дилатации) и для ротора перемещений со.

Уравнение (2.11.51а) представляет собой скалярное волновое уравнение (гиперболического типа), оно описывает распространение волны расширениясжатия в пространстве со скоростью а\, а уравнение (2.11.52а) — вектор­ ное волновое уравнение, описывающее распространение сдвиговых волн в пространстве (волн завихренности), движущихся со скоростью а2, причем а2 > а\. Из уравнения (2.1.27а) известно, что е = In (р/р) 1 - Ш . т.е. волна расширения-сжатия вызывает малые изменения плотности и объема среды, а волна завихренности не влияет на изменение плотности, поэтому она сопровождается только изменением формы (элементарного объема dV) без изменения плотности и объема.

Рассмотрим еще одно представление решения задачи (2.11.50).
Будем	считать,	что массовые силы удовлетворяют условию на	беско­
нечности:	= 0,	тогда векторное поле f(x) так же, как и поле	вектора

218	Глава 2. Упругие среды с малыми деформациями

перемещений и(х), удовлетворяющее (2.11.50), и поля U Q (X ), V Q (X ), согласно теореме Гельмгольца (т. 3, (1.6.46)), можно представить в виде

f = V x + V		x	s,	(2.11.55)
u = 'Vp + V		x	b,	(2.11.56)
u0 = Vp$ + V х b0,	v0 = V p 1+ V х bi,			(2.11.57)

где х и Г ~ скалярные потенциалы; s и b — векторные потенциалы, удовле­ творяющие следующим условиям:

Кроме того, примем для р и b дополнительные условия: Ар\ = V • и = 0,

Ab|loo = V х и|loo = 0 .

Подставляя (2.11.55)—(2.11.57) в уравнение Ламе (2.11.50), получаем, что это уравнение распадается на два независимых уравнения для р и Ь:

V p = 0,	p = p — of Sp —x,	(2.11.59a)
V x b = 0,	b = b —aj дЪ —s.	(2.11.596)
Уравнение (2.11.59а) легко интегрируется: <J5(x, £) = h(t),		где h(t) — функ­

ция интегрирования, фактически это аналог интеграла Коши — Лагранжа, соответствующий интегралу (т. 3, (1.7.3)) для жидкостей. В этом случае потенциал р вводился для скорости v, поэтому в формулу (т. 3, (1.7.3)) входит первая производная по времени.

Учитывая условия (2.11.58) для р и х на бесконечности, находим, что

h(t) = 0 и р = 0, в результате получаем задачу для р\
ф = a2{Aip +	Иоо = 0: f = 0: V = LP0’ Ф = Ч>\-	(2.11.60)

Поскольку вектор b удовлетворяет уравнениям (2.11.596) и (2.11.58), то для него имеем одновременно: V х b = 0, V • b = 0, = 0, но такой вектор, в силу замечания к теореме 1.6.7 из т. 3, п. 1.6.5, тождественно равен нулю b = 0, следовательно, получаем задачу для Ь:

b = flnAb T		s,	b|	= 0 ,	V x b|	= 0;	(2.11.61)
z	1	’	loo	’	loo	’
t = 0:	b =	bo,	b =	b j.

Таким образом, исходная задача (2.11.50) для и распадается на две задачи для р и Ь, каждая из которых представляет собой задачу для волнового урав­ нения в 8 $. Очевидно однозначное соответствие между задачами (2.11.51) и (2.11.60), а также (2.11.52) и (2.11.61), поскольку функции г и р, а также CJ и b связаны соотношениями

e = Aip, u>= —Ab,

(2.11.62)

§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости

219

полученными из (2.11.56) и (2.11.53).

2.11.5. Плоские волны в изотропной среде

Рассмотрим плоскую волну в безграничной упругой среде, которая пред­ ставляет собой решение задачи (2.11.50), зависящее только от одной про­ странственной координаты, например, ж1 = ж и t, т. е.

и = и(ж, t) = щ{ж, £)е\

(2.11.63)

Тогда задача (2.11.50) приводит к следующим задачам для декартовых ком­ понент вектора перемещений щ\

иа = о?аиаД1 , —оо <		ж < +оо, t >	0,	се =1 , 2 , 3 ;	(2.11.64а)
< йа ^	= 0, й а ^ = 0, t > 0;				(2.11.646)
Kt = 0:	йа = йао(х),	йа = vao{x ),	— 0 0	< ж < + о о .	(2.11.64в)

Причем поскольку аз = а2, уравнения для декартовых компонент вектора перемещений й2 и Щ совпадают, следовательно, при г^о = Щзо, ^20 = ^зо получаем щ = аз и можно рассматривать только две задачи (2.11.64) при

а= 1,2.

Взадаче (2.11.64) массовые силы отсутствуют: f = 0, а возмущение среды задается начальными условиями — функциями иао (ж) и vao(x). Здесь, как

всегда, иад = диа/д ж. Отметим, что в случае плоской волны: г = щ г\, са = = йлё\ LU\ = 0, й2 = %1, ^3 = -^2,Ь

Общее решение трех задач (2.11.64а)-(2.11.64в) аналогично решению задачи для потенциала идеальной безвихревой жидкости (см. т. 3, п. 1.8.1),

которое является автомодельным:
иа(х, t) = ра (£?) + qa (& )’ €1 = x - a at,			+	а =1,2, (2.11.65)
где	и	~ произвольные дважды непрерывно-дифференцируемые
функции.
	Подставляя (2.11.65) в начальные условия (2.11.64в), получаем систему
двух уравнений для нахождения ра и qa:
		Ра (ж) +qa{x) = иа0(х),		( 2. 11.66)
		-р'а(х) + q'a(ж) = va0 (х)/аа,
решая которую, находим				X
		X
где XQ — постоянная интегрирования.				(2.11.67)