книги / Пространственные задачи теории пластичности

Постоянные р ь А , В, Z) даются формулами

_	тsin 2а + v2 siD 2р + 2v2 sin2 Р (Z) + A In v)	А
P l	2 (v2 sin2 P — sin2 а)	T ’

c “ - 3-4 In I I I + 3B 1пТ5Т575У + 2 1				° * в л -
	m sin a + sin p		a
д __		^ __	m sin a cos P + cos a sin P
~~	cos a — cos p ’	—	cos a— cos P	#
Принимая	в (7.51) и	(7.53)	^ = 0, получаем	форму свобод­

ной поверхности

и уравнение для определения параметра р

8	/ Р			о		\		1 .
J exp I 6 | Т7 т					—	Г ) sin 0 dQ =
								-j sin2p cos p„ (7.59)
a	\ 0 V 1 +		"Г к 1 —			/
Из (7.52)	получаем также
		/	o	f	P		rfG
	v = exp	/			— .	т c?G
		V	—	2		—		*	Г
				l	V l + & +
Удельное давление (7.54) будет равно
P =	т sin 2a + v2 sin 2p -j- 2 [v2 sin2 P (D -f- A In v)]								+ m ctg a.
		2 (v2 sin2 p — sin2 a)

Поверхность г = Д(0) нагружена нормальными распределен­ ными силами с интенсивностью оп(0). Используя формулу (7.50), где о0 определяется согласно (7.57), а R — по (7.58), получаем

sin Q	+ 3В In	tg (9/2)	+
сгп = — P i — ЗЛ In sin a		tg (a/2)
			0
+ j [ V\ + 3x2 +		+ 2 j		0 d 0 -
			a
			________Td0________
			/ Г	+ з ?V +T ~ ? '

Получено численное решение уравнения (7.59), на основании которого построены графики (рис. 7.10 и 7.11) функций р(а) и р (а) для трех значений т. Во всех рассмотренных вариантах

численных расчетов принятое предположение аг + ов < 0					оказа­
лось справедливым.			и тп= 1 приведены эпюры	(рис.	7.12)
Для	случая	а = 30°
<т0(г, а )’,	т (0),	а также	построены след поверхности	г = Д (0) и

Рис. 7.10

Рис. 7.11

эпюра напряжений ап, действующих на этой поверхности. Не­ трудно заметить, что главный вектор этих сил близок к нулю.

Появление на свободной поверхности г = Д (0) небольшой волны, по-видимому, обусловливается принятой жесткопластиче­ ской схемой, согласно которой область 0 > р остается недеформированной.

Масштаб нормальных напряжений о0 и оп в два раза боль­ ше масштаба т, также имеем

о е (г, р) = ое (г, а) + 0,757, р = 5,771, v « 1,023.

Для получения окончательных значений напряжений и удельного давления нужно умножить полученные безразмерные выражения этих величин_на пластиче­

скую постоянную к = а8/1/3.

прочности

Р,Ю*Н

В

лаборатории

Отдела

соединений и теории пластичности Ин­

ститута механики АН Армении науч­

ным

сотрудником

Д. Б. Давидяном

и

//

автором

проведена

экспериментальная

II

проверка

зависимости

внедряющей си­

W

р ---67Л\6Ьг II

лы

от

глубины

внедрения.

Жесткий

1/

шероховатый конус с углом конусно­

ft

сти

2а =

60 °,

изготовленный

из стали,

с постоянной

скоростью V = 0,05 мм/с

If

внедрялся в пластическое тело из свин­

цового

сплава с

пределом

текучести

с, = 11 МПа, имеющее форму цилиндра

высотой

50 мм

и

диаметром

160 мм

и помещенное в стальную цилиндриче­

скую чашку.

построены

теоретиче­

На рис. 7.13

ская (сплошная линия) и эксперимен­

4 0 hfrm

тальная

(штриховая) кривые зависимо­

20

сти силы от глубины внедрения. Для

Рис. 7.13

значений

параметров,

использованных

при построении эпюры

(рис. 7.12), представлен график функции

р * =

AV*2,

V -

np°s

s*n2 а

* ~ V 3 V2, cos2pj’

который соответствует формуле

(7.55).

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я

УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО

В ряду пластически деформируемых сред особый и довольно широкий класс составляют упрочняющиеся тела. Многие метал­ лические материалы за пределом упругости способны повышать сопротивляемость к дальнейшему пластическому деформирова­ нию. Такие деформации упрочняют материал и приводят к увеличению его предела текучести. У некоторых других мате­ риалов такое свойство упрочнения появляется после площадки текучести.

Для указанных видов материалов схема идеально пластиче­ ского тела очевидно неприменима, и здесь исходят из таких моделей, в которых отражаются качественные стороны явления упрочнения. Развитие положений теории пластичности упроч­ няющихся тел представлено в монографиях Ю. Работнова [144],

Л. Седова [154], Д. Ивлева	и Г.	Быковцева	[86], А. Ильюши­
на [92], В. Клюшникова	[103],	Т. Томаса	[167], Р. Хилла

.[171] , в которых содержится обзор литературных источников в дтой области.

В настоящей второй части книги на основе теории упруго­ пластических деформаций исследуются пространственное, а так­ же осесимметричное деформированпе упрочняющихся пластиче­ ских тел. Рассматриваются и некоторые задачи плоской дефор­ мации, характер и метод решения которых близки к общей теме.

ГЛАВА 8

УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ УПРОЧНЯЮЩИХСЯ ТЕЛ

В настоящей главе излагаются основные уравнения и соот­ ношения теории пластичности упрочняющихся тел.

На базе главных закономерностей и специфических особен­ ностей деформирования упрочняющихся пластических тел, сле­ дующих из экспериментальных наблюдений, изложены Основные законы пластичности в сложном напряженном состоянии. Сформулпровапы условия пластичности, соотношения теории течения и теории упругопластических деформаций для упрочняющихся пластических тел. Приведены общие уравнения теории как в

прямоугольных, цилиндрических, сферических, так и в криво­ линейных ортогональных, в том числе и тороидальных, коор­ динатах.

§ 54. Поверхность нагружения

1.Гиперповерхность пластичности. В случае одноосного

растяжения, если напряжение	превосходит предел текучести
о > о „ материал подвергается	упругопластической деформации

(см. рис. 0.4). При дальнейшем нагружении растягиваемого об­

разца (а >	аа) пластическая деформация упрочняет материал
и приводит к непрерывному повышению предела текучести.
Если из	точки N на указанной диаграмме произвести раз­

грузку и повторное нагружение до oN, материал будет вести се­ бя как упругое тело. При дальнейшем увеличении напряжения происходит (после точки N) упругопластическое деформирова­ ние согласно диаграмме. Напряжение oN рассматривается как переменный или текущий предел пластичности. Иначе говоря, упругопластические деформации упрочняющихся тел можно представить переменными по длине отрезками от нуля до а*.

Для идеально	пластических тел имеем	фиксированный отрезок
с конечной точкой о*.		пластическое тело, на­
Рассмотрим	теперь упрочняющееся

ходящееся в сложном напряженном состоянии. При переходе от упругого к упругопластическому деформированному состоянию упрочняющегося тела полагаем, что вы­

полняется условие пластичности
/(o,i) = О,	(8.1)

содержащее параметры, характеризую­ щие свойства упрочнения материала.

Пусть в шестимерном пространстве декартовы координаты являются ком­ понентами симметричного тензора на­ пряжения o,j. Из начала координат откладываем вектор а с компонентами Оц. В этом пространстве условие плас­ тичности (8.1 ) отделяет области упру­ гого и упругопластического деформиро­ вания. Уравнение (8.1) в рассматри­ ваемом пространстве определяет неко­ торую гиперповерхность S, называемую

гиперповерхностью нагружения или гиперповерхностью пластич­ ности (рис. 8.1). В процессе активных деформаций упрочняю­ щихся пластических тел S является переменной, монотонно рас­ ширяющейся поверхностью. В исходном положении эта поверх­ ность S0 характеризует начальное пли предельное упругое со­ стояние элемента.

Поверхность S определяется не только конечными парамет­ рами деформирования, но и предшествующей историей нагру­ жения.

Для идеально пластических материалов гиперповерхность нагружения является фиксированной, совпадающей с условием текучести.

Напряженному состоянию Оц сообщим добавочное малое на­ пряжение don. Если вектор do,j направлен внутрь поверхности нагружения S, происходит упругая разгрузка. Когда этот век­ тор направлен наружу поверхности S, имеем активное пласти­ ческое деформирование. В случае когда datj лежит в касатель­ ной плоскости к поверхности пластичности S, нагружение назы­ вается нейтральным и тело деформируется упруго.

2. Условие упрочнения. Экспериментальные исследования подтверждают сходство и близость кривых напряжения — де­ формации при одномерном и при сложном напряженных состоя­ ниях. Это обстоятельство приводит к гипотезе «единой кривой», согласно которой отождествляются кривые зависимости между напряжением о и деформацией е при одномерном деформирова­ нии с зависимостями между интенсивностями напряжения ао и деформации ео. Это означает, что для сложного напряженного состояния можем принять соотношение

Оо — /( в о ) ,

(8 .2 )

где /(ео) — положительная функция, характеризующая закон упрочнения материала и не зависящая от вида напряженного состояния. График этой функции определяется из кривых одно­ мерного деформирования. Согласно этим диаграммам /(ео) при

нагружении является монотонно возрастающей кусочно-гладкой функцией. На рис. 8.2 показаны графические зависимости (8.2) для характерных классов упрочняющихся пластических мате­ риалов.

Условие упрочнения вида (8.2 ) достаточно правильно отра­ жает процесс деформирования в случае простого нагружения или близкого к этому пути нагружения.

Более строгим и обоснованным условием упрочнения, учиты­ вающим особенности сложного нагружения, является энергети­ ческое условие упрочнения, основанное на учете работы пласти­ ческой деформации.

Пренебрегая влиянием первого и третьего инвариантов на­ пряжения на упрочнение, условие упрочнения представим в виде

со = /(g ),

(8.3)

где д > 0 — параметр, характеризующий предыдущую пластиче­ скую деформацию, а / — характерная для данного материала функция, не зависящая от вида напряженного состояния. Она может быть определена из экспериментов по одномерному де­ формированию.

В качестве параметра или меры упрочнения g иногда при­ нимается параметр Одквиста

q = j dej.

(8.4)

Здесь defi — интенсивность приращения пластической деформа­ ции, а интеграл берется по пути деформирования. Согласно это­ му условию мера упрочнения зависит от накопленной пласти­ ческой деформации.

За параметр упрочнения принимают также работу пласти­ ческой деформации

	g = Ар = j* Oijd&ij,	(8*5)
В стадии нагружения	работа пластической деформации положи­
тельна, следовательно,	do0> 0.	по ли­
При разгрузке doo < 0 происходит деформирование

нейно-упругому закону. Когда doo = 0, приращение работы плас­ тической деформации равно нулю, и будем иметь нейтральное изменение, приводящее к упругой деформации.

Условие пластичности (8.3) — (8.4) по аналогии с (1.13) на­ зывают условием пластичности Губера — Мизеса. В трехмерном пространстве главных напряжений поверхностью нагружения элемента упрочняющегося пластического тела является круговая

цилиндрическая поверхность с осью 0 1= 0 2 = 03.	В процессе
пластических деформации радиус цилиндрической	поверхности

непрерывно увеличивается и зависит от истории деформирова­ ния. На рис. 8.3 показаны следы этих поверхностей на девиатор-

ной плоскости Oi + 02 + 03 = 0.			Это — окружности	с радиусом
Т2оо. В	отсутствие	упрочнения	следом поверхности	нагружения
на этой плоскости будет окружность с радиусом V2as.					напря­
3.	Постулат	Друкера. В	шестнмерном пространстве
жений	(рис. 8.4)	рассмотрим	путь нагружения из	точки	М с

напряженным состоянием до точки N с соответствующим тензором Oij, находящейся на поверхности нагружения S. Зада­ вая в точке N бесконечно малое догружение da,j, вызывающее

соответствующие приращения		деформаций	deij = defj + de2^-,
переходим	к точке N# на другой	поверхности	нагружения S%.
Далее из	этой точки вернемся к исходной точке М по другому

пути. Постулат Друкера утверждает, что работа добавочных напряжений за весь цикл нагружения и разгрузки положитель­ ная, т. е. имеет место неравенство

$ ( O ij — O i j ) d e i j > 0.

(8.6)

На замкнутом пути нагружения и разгрузки MNN^M работа добавочных напряжений на упругих деформациях detJ равна ну­ лю. Тогда в неравенстве (8.6) следует de^ заменить на defj. Поскольку пластическая деформация происходит только на бес­ конечно малом участке пути нагружения iVTV*, то из (8.6) бу­ дем иметь

(о^ — Oij) defj > 0.

(8.7)

В частном случае, если за исходную точку взять точку N на по­ верхности S, то по постулату Друкера для пути нагружения NN * имеем неравенство

don den > 0.

Прп замкнутом цикле нагрузки и разгрузки NN%N, поскольку работа на упругих деформациях равна нулю, получаем

Неравенство (8.8) трактуется как критерий устойчивости де­

формирования				упрочняющегося			пластического	материала.
Неравенство (8.7) свидетельствует о положительности ска­
лярного		произведения векторов					o\j — o°j
и defj.	Это значит, что указанные векторы
составляют			острый		угол	а (рис. 8.5),
и тем самым доказывается выпуклость по­
верхности нагружения.
Из	(8.7)		имеем
			Oij doij		o\j dsjj.
Это — математическая						формулировка
принципа максимума. При любых задан­
ных	компонентах				приращения		пласти­
ческой деформации defj приращение плас­
тической		работы			Oijdefj имеет		макси­	состоянии
мальное		значение при действительном напряженном

по сравнению со всеми возможными напряженными состояния­ ми, удовлетворяющими условию /(сг1;)< 0 .

§ 55. Теория пластического течения

Для исследования упрочняющегося пластического тела, на­ ходящегося в сложном напряженном состоянии, необходимо иметь физические уравнения зависимости между компонента­ ми напряжений и деформаций при учете свойства упрочнения материала. Здесь вкратце напоминаются общие положения и со­ отношения теории течения упрочняющихся пластических тел. В основе этой теории лежат следующие допущения: 1) тело

изотропно, 2) относительное изменение		объема является упру­
гой	деформацией, пропорциональной	среднему давлению,
3)	компоненты полной деформации состоят из суммы компонент
упругих и пластических деформаций, 4)		приращения компонент

пластической деформации пропорциональны соответствующим компонентам девиатора напряжения, 5) выполняется условие упрочнения.

Эти допущения приводят к соотношениям теории течения Прандтля — Рейса для упрочняющегося пластического тела:

	deij =	A - dsi} + dXsv, de = Kda,		a0 = / (q).	(8.9)
Здесь	dk — некоторый бесконечно малый скалярный множитель,
sx == Ох — о, ...,		ех = Ех — е,	. . . — компоненты	девиаторов	напря­
жений	и деформаций, К =		(1 — 2\i)/E — коэффициент объемного

4 м. А. Задоян

сжатия, |х — коэффициент Пуассона, q — параметр упрочнения, определяемый интегралами (8.4) или (8.5).

Используя четвертое допущение о пропорциональности при­ ращений компонент пластической деформации компонентам девиатора напряжении и учитывая выражения интенсивности ка­ сательных напряжений и интенсивности компонент приращений деформаций, получаем

			^	1	^еп			(8.10)
				= 4	^ - .
Деля обе части	уравнения			(8.9)	на	dt и	учитывая	(8.10), бу­
дем иметь
•	1	.	г ?		е =	Ко,	ст0 = f(q),	(8.11)
еа =	2Q SH +		-2— Sij,

где точка означает дифференцирование по времени или по мо­

нотонно возрастающему по времени параметру, е0Р— интенсив­ ность скоростей пластической деформации. Условие упрочнения вместо (8.3) задается также в форме

3 = Ф(со),

(8.12)

где Ф — функция, определяемая из экспериментов по одномер­ ному деформированию.

Используя соотношение defj == dX, тождество sx + sy+ sz= 0 и формулы (8.5), (8.12), находим

dq =	Ф' (a0) do0 = OijSjj dX = 2OQdX.
Вводя обозначения
	* > o ) = 1 5 - ф '(а 0),
будем иметь	zao
	dX — F (oo)dao.
Соотношения Прандтля — Рейса (8.9)		перепишутся	в сле­
дующем виде:
йец =	2Q dSij + sijF (а0) da0,	de = К da.	(8.13)

Очевидно, эти соотношения верны при doo > 0. Когда do0< 0, происходит разгрузка по линейно-упругому закону. Если doo =

=0, имеем нейтральное изменение напряженного состояния. Соотношения (8.9), (8.11) и (8.13) определяют однозначную

зависимость приращения компонент деформаций от напряжений и их приращений.

Если приращения пластических деформаций значительно превосходят приращения упругих деформаций и последними