книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfПодставляя значения Ьi из (3.56) в (3.55) и производя вычис ление интеграла (3.51), будем иметь
3 (М ^2- M2N}) + |
(2ЛГ, - |
N2) [iV1 («„ + |
2b0) - N2 {2%+ b„)] |
|
||||||||
3 |
l(M x + |
« „ * ,) (а0+ |
2b0) - |
(M2 + |
aQN2) (2% + A,)] |
|
|
|||||
|
|
|
- - |
1_ ln |
/«fe2 + 2p/t+ T + V5fe + P/V« ■ |
(3 57) |
||||||
|
|
|
|
V a |
|
У а А 2 - |
2pA + |
V - 1 /а A + |
Р /У а ’ |
* |
||
(2Д/, - М2) |ДГ, (*„ + 2А„) - |
N2 (2а0 + А„)] |
|
|
|
||||||||
3 [(Л/ 1 + |
в , ^ ) («0+ |
260) - |
(М2 + |
%N2) (2а0 + |
6o)J |
|
|
|||||
|
= У |
[ / а |
/i2 + |
2РЛ + |
v - |
УаЛ* — 20/» + у] - |
|
|||||
|
|
--------Р |
|
^ ' ■ |
‘ + 2 Ц М -~ у -М ^ /. + |
р /У а |
(358 |
|||||
|
|
|
« У « |
|
У а А 2 — 20/1 + 7 — У а Л + р /У а |
|
||||||
(2М2 - |
М ,) [Л/, («„ + 2Ь„) - |
М2 (2а0+ |
Ь„)] |
|
|
|
||||||
3 [(Мх + |
а0ЛГх) (а0+ |
2Ьо) - (Л/, + |
%N,^2aQ+ bo)] |
|
|
|||||||
= |
|
|
|
+ W |
+ V + |
|
V «Л2 ~ 2fWi + Y + |
|||||
|
I |
362 — осу |
ln |
У |
ah2 + |
2flA + |
V + У « A + |
Р/У<х |
(3 59) |
|||
|
|
2а2 1 /а |
|
V |
all* — 2рЛ + |
у — У a h + |
р/У а ’ |
|
||||
Полученная система |
(3.57) — (3.59) |
определяет |
параметры ао, |
|||||||||
Ьо п уравнение |
поверхности |
текучести — соотношение |
между |
внешними силами, приводящее плиту в предельное пластическое
Рис. 3.2
состояние. Левые части уравнений (3.57) — (3.59) представляют соответственно значения /о, h и /г.
Считая значения ао и Ьо найденными, напишем выражения компонент скоростей перемещений (3.47) в следующем виде:
и/А\ = xz + c\yz + аох + d\y,
v/A \= c\X?t + b\yz + ( 2 CQ — d\)x + boy,
—2w/A\ — x2+ b\y2+ (1 + b\)z2+ 2c{x y + 2 (a0+ b0)z ,
6 M- А. Задоян
т. е. скорости перемещений определяются с точностью до про#3- вольных постоянных А\ и d\ = D\JA\.
Рассмотрим частный случай, когда плита подвергается толь#0 изгибу и кручению. Положим, что на торцах плиты приложе#ы соответственно распределенные постоянные нормальные при Х>Р2 и касательные пр 12 силы (рис. 3.2), где x = signz. Тогда, прин11"
мая в (3.48) ао = |
Ьо = |
со = 0, получим |
x (l+ 2 6 i) |
||||
Ох = |
|
* (2 + М |
Ог, |
= |
|||
|
у i + b l + b\+c-{ |
||||||
|
|
|
|||||
|
}Л |
+ |
ьх+ Ь\+ с*’ |
|
|||
1ху |
|
|
КС, |
Ог ~ |
Txz = ^уг = О* |
||
У 1+ ь1 + б2 |
|||||||
|
+ с2’ |
|
|
Определяя неизвестные Ь\ и с\ из краевых условий:
|
|
2рп— р, |
3р.12 |
|
|
= ^ — — С1 = |
2^I - P 2 |
||
|
1 |
2 Р 1 - Р2 |
||
где 2pi — |
Л1 ¥= 0, находим отличные |
от нуля компоненты |
||
напряжений в плите |
|
|
|
|
|
О х = |
П р 1, С у == %/?2, |
Т"х7/ |
%Pl2 |
и уравнение поверхности текучести |
|
|
P i — Р 1Р 2 + Р2 + 3p i 2 = 3.
Очевидно, что z = О — плоскость разрыва напряжений. Соответ ствующие этому напряженному состоянию поля скоростей перс мещений будут
3р12
-д - = |
X Z + |
|
|
|
__ _ |
Зр12 |
+ |
yz — dx:r, |
|
41 |
2^1 - ^ 2 |
|
||
2pl - h |
|
|||
-2w = |
x2 + |
£L y2 + |
8g L + Pj . 22 |
3^.2 xy. |
|
2*i “ |
Л |
2pi P2 |
2pi ~ p2 |
На рис. 3.2 показан случай, когда р\ и р2 имеют одинаковые знаки, однако полученные формулы верны и для случая р\р2 < 0.
§ 17. Задача Хилла
Под этой задачей будем понимать исследование предельного состояния призматического стержня из идеально жесткопласти ческого несжимаемого материала, находящегося под совместным воздействием растягивающих сил, изгибающих и крутящих мо ментов, приложенных на торцевых сечениях (рис. 3.3).
Зададим прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось z была направлена по оси стержня, а осп х н у лежа ли в плоскости поперечного сечения. Боковая поверхность стерж ня свободна от внешних сил, и естественно полагать, что папря- женно-деформированное состояппе не меняется по продоль
ному направлению. |
представ |
|||||
Будем |
искать |
из |
||||
ления компонент |
напряжений |
|||||
(3.37), |
скоростей |
перемеще |
||||
ний |
(3.35) и системы |
диффе |
||||
ренциальных уравнений |
(3.38). |
|||||
Полагая |
|
|
|
|
||
Лр__Лр_ = о |
2 |
д2ф |
|
|||
дх2 |
ду2 |
' |
|
дх дУ |
|
|
|
—- Ах + |
By = |
0, |
(3.60) |
первому из дифференциальных уравнений (3.38) удовлетворяем тождественно. Интегрированием из (3.60) находим
9 = |
- & У (3*2 + |
У') — % ; х {х ~ + ЗУ2) — - j ( x 2 + У2)’ |
||||
h = |
const. |
|
|
|
|
(3.61) |
Далее, подставляя |
(3.61) |
в (3.37) и принимая Н = |
Е = 0, для |
|||
компонент напряжений получаем |
|
|
|
|||
= |
— ( £ ) ’ - ( £ |
) ’ , |
x = sign (Ax + |
By + |
C), |
|
|
__ df |
_ _ _ д / |
|
|
(3.62) |
|
|
|
|
|
|||
|
Xxz~ d y ’ |
Tyz~~ |
дх’ |
О’д; =O y = T x y |
— 0. |
|
Второе уравнение (3.38) при учете (3.61) перепишется в виде
(Ах + В у+ С) |
df 1 |
_д_ Г(Ах + By + С) df | |
2кП = |
V 1- & - f l |
дх\ |
ду [ |
1/5 |
дх |
|
|
|
где fx и /у означают частные производные /.
Подставляя выражения <р из (3.61) в (3.35). находим поле
скоростей перемещений |
|
|
||
и = |
— -£-(я2 — У2 + 2z2) — ~Y |
ху + Dyz — -j- х — hy, |
||
v = |
---- Y xy + |
(x2 |
— y2— 2z2) — D xz-----у + hx, (^*G/j) |
|
w = |
w 0(X , y) + |
Axz + |
Byz + |
Cz. |
В торцевых сечениях стержня имеем условия статической эк вивалентности:
б*
для продольной силы
N == к У з J j j A l — fx — fydxdy,
для крутящего момента
М ха = J j {xiVz — утхг) dx dy = 2 j j*/ dx dy,
для нзгпоающего момента с компонентами
M i = к У з j j У 1 — il — flydxdy,
М 2 = — к У3 f J }/" 1 — /* — ]\xdxdy.
Очевидно, Ля + By + С = |
0 является уравнением нейтральной |
|||||||
плоскости, где как а2, так и е2 равны нулю. |
|
|
|
|
||||
Дифференциальное уравнение (3.63), формулы напряжения |
||||||||
(3.62) |
и скоростей |
перемещений |
(3.64) |
получены |
Р. Хиллом |
|||
[171] |
в 1948 г. |
|
|
|
|
|
|
|
Для многосвязных областей поперечного сечения необходимо |
||||||||
обобщить теорему о |
циркуляции |
сдвигов |
[13]. Интегрируя |
обе |
||||
|
|
части уравнения (3.63) по произволь |
||||||
|
|
ной области с замкнутым |
контуром Г |
|||||
|
|
в поперечном сечении и переходя от |
||||||
|
|
двойного |
интеграла к криволинейному |
|||||
|
|
по формуле Грина, после некоторого |
||||||
|
|
преобразования получим (рис. 3.4) |
|
|||||
|
|
& |
+ |
^_ds _ 2хД Q |
0.85) |
|||
|
|
|
|
|
v s |
* |
1 |
' |
Здесь Q* — площадь области с контуРис. 3.4 ром Г*, v — внешняя нормаль к Г* Полученная формула (3.65) выражает теорему Бредта о циркуляции сдвига для рассматриваемой задачи.
Крутящий момент в этом случае запишется в виде
М 12 = 2 S f A |
+ 2 j j / dx dy. |
k=i |
J J |
Здесь fk — значения / на внутренних контурах, причем на внеш нем контуре принято /о = 0, а — соответствующие площади, ограниченные этими контурами.
ГЛАВА 4
По теории течения в цилиндрических координатах исследуют ся предельные состояния идеально жесткопластпческих тел с условием текучести Губера — Мизеса. Изучены некоторые классы решений общих уравнении теории пластического течения, на ос новании которых рассмотрены задачи предельного состояния тел
вформе круглых плит, клина, цилиндрических труб, слоев и стержней при воздействии различных внешних сил.
Исследуются пространственные задачи пластического течения при двумерных тензорах скоростей деформации и формулируются
вцилиндрических координатах соответствующие системы разре шающих дифференциальных уравнений. Рассматриваются осе симметричные, в том числе и автомодельные, задачи теории пла стического течения при одномерном тензоре скоростей деформа ции и условии текучести Губера — Мизеса.
Исследованию предельного состояния идеально жесткопластп ческих тел при осесимметричных деформациях в цилиндрических координатах посвящены работы А. Ишлинского [94], В. Соколов ского [166], Р. Хилла [171], М. Жичковского [208], Р. Шплда [182], Г. Быковцева, Д. Ивлева, Т. Мартыновой [20], Ж. Панарелли, П. Ходжа [133], Д. Ивлева [84], Б. Аннина [6], Д. Ивле ва, Р. Непершина [90], автора [53].
§18. Решение уравнений идеально пластического течения в цилиндрических координатах
Приведем предварительно решение уравнения теории течения для идеально жесткопластического несжимаемого тела с усло вием текучести Губера — Мизеса в цилиндрических координа тах, когда тензор скоростей деформаций является функцией только от радиальной координаты [53].
Общие уравнения этой теории состоят из дифференциальных уравнений равновесия
|
1 |
дхгв , |
dxrZ °г — ае |
_ |
п |
|
|||||
|
Г |
дв |
^ |
dz |
|
|
г |
~ "и |
|
||
dXrQ |
, |
1 |
даъ |
, |
dXQz |
, |
2тге |
_ |
П |
(4.1) |
|
дг |
+ |
г |
00 |
+ |
dz |
+ |
г |
- |
U |
||
|
|||||||||||
dXrz |
, 1 |
dxQz , |
d°z |
|
, *rz |
|
n |
|
~ЗГ + Т “аГ + "1Г + — = u
соотношений между компонентами скоростей деформаций и ско ростей перемещений
вг = |
ди |
су |
__ |
до |
1 дю |
|
|
д7’ |
|
|
17 + |
50 |
|
|
|
|
1 ди |
о |
__ |
ди |
dw |
|
(4.2) |
Се==Т + T W |
ZVr2"~17 г 1 7 ’ |
|
|||||
|
|
||||||
£г = |
дю |
су |
__ |
до |
и |
1 |
да |
77’ |
|
|
|
|
г |
50 |
условия пластичности Губера — Мизеса в безразмерных напря жениях
(сгг — Ое)2 + (OQ — oz)2 + (о2 — 0r)2 + 6 (тго + T§z + т?2) = 6, (4.3)
зависимости между компонентами скоростей деформаций и на пряжений
ег = Х(ог —о), |
'Yro = ^тг0, |
(4.4) |
Рассматриваемый материал несжимаемый, т. е. нормальные скорости деформации удовлетворяют условию
ег + е0+ е2 = 0. |
(4.5) |
Из зависимостей (4.2) скорости перемещений можно пред ставить следующим образом:
и = м0(0, z) — | (ее + е2) dr,
|
v = |
rv0(0, |
z) — г j ^ -J- + 2г J Yro Цг, |
(4.0) |
|
w = |
н’0(O’ |
2) — 117 dr + 2 j* 1’гА , |
|
где но, Уо, |
— произвольные функции 0 и z. |
|
Полагая тензор скоростей деформаций не зависящим от коор
динат 0 и 2, из (4.6) будем иметь |
|
|
||
и = |
и0— j (е0 + |
е2) dr, |
|
|
|
|
дип |
С |
|
v = |
rv° + |
W + |
2r I ? redr' |
(4- 0 |
- w 0— |
9un |
f |
|
|
5F0r + 2 j Yrzd'-. |
|
Определяя выражения e0, e2 и увг согласно (4.7) и ис пользуя независимость тензора скоростей деформаций от 0 и приходим к простейшим системам дифференциальных уравпеннп
относительно по, Vo, wo, после решения которых получаем
uo = (G[ cos 0 + sin0)z + М\ cos 0 + Mi sin0 + M0,
vo = 2Dz + (2A +B)Q + N, |
(4.8); |
Wo — 2EQ + Bz + L.
Здесь A, B, D, E, G„ N, L — произвольные постоянные. Ком понентами скоростей деформаций будут:
EQ = А ------ez = В, 702 = Dr + — , |
(4.9) |
г |
г |
где С — произвольная постоянная.
Используя условие текучести (4.3) и условие несжимаемости
(4.5), из соотношении (4.4) |
можем написать |
|
|
|
1 |
е2), сг2 |
1 |
2ег), |
|
Не = ar + -Q- (2б0 + |
= огг + -Q- (е© + |
|
||
т0г — “о” Y0z» ^ — |
Гьг |
(4.10) |
||
|
|
|
Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения рав новесия (4.1) и учитывая, что тге и тгг не зависят от 0 и z, по лучим
|
|
даг , ог |
= 0, |
|
|||
|
|
дг |
+ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
дхгв , 1 |
дав |
, 2тг6 |
п |
(4.11) |
|||
¥ |
+ Т |
¥ |
+ Т |
= 0 |
|||
|
|||||||
|
дх |
|
да |
х |
|
|
|
|
дг |
+ 1Г + — = 0. |
|
||||
|
|
dz |
г |
|
|
||
Из первого уравнения будем иметь |
|
|
|||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
ar = |
F(Q,z) + |
|
|
(4.12 ) |
где F — произвольная функция 0 п z, а а — параметр. Подставляя выражение аг во второе и третье дифференциальные уравнения (4.11), приходим к следующим дифференциальным уравнениям:
dXrQ , 9 |
ТГ0 |
а. |
дх„ |
тгг |
= 2Ь1, |
|
= 2 -!-, |
- ^ |
+ — |
|
|||
дг |
г |
г |
дг |
г |
1 |
(4.13) |
|
|
|
5?+2*1-0, |
|||
Щ + |
2а, = 0, |
|
Из |
(4.13) |
следует |
|
|
|
|
|
Тге = |
«! + |
-§-, |
rrz = Ъуг + -71, |
F = — 2ах0 — 2Ъхъ — 2сх. |
(4.14) |
||
Здесь аа, Ьо и с\ — также произвольные постоянные. |
|
|
|||||
Подставляя значение F в (4.12), находим |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
<тг = |
- 2a1Q — 2 blZ - |
2сх + |
J 28(3 * ^ |
. |
(4.15) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
Подставляя в |
(4.7) значения |
(4.8) |
и учитывая |
соотношения |
угв= £2тге и 4rZ= Ятгг, для компонент скоростей перемещений окончательно получим
и = |
— (Л + 5) г — ~ + |
cos 0 + &2Z s*n Oi |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
v = |
2r J £kr0Ц- + 2Drz + |
(2A + |
B) r0 + |
|
|
|
a |
+ |
G0r — Gxz sin 0 + |
G2Z COS 0, |
(4.10) |
|
r |
||||
|
|
|
|
|
|
w= 2 j Q T rzd r + 2EQ + Bz — GjT cos 0 — G2r sin 0 + L. |
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
Выражения компонент напряжений (4.10), |
(4.14), |
(4.15) |
и скоростей перемещений (4.16) являются решепнем .уравнений теории пластического течения (4.1) — (4.4), тензор скоростей де формаций которого меняется только по радиальной координате. Это решение содержит ряд произвольных постоянных, опреде ляемых из копкретных граничных условий. Принимая в полу ченном решении а, = G, = D = Е = 2А + В = 0, находим решение
Д.Ивлева [80, 84].
Приведенное решение может описать пространственное пла
стическое предельное состояние цилиндрических слоев и труб при различных комбинациях внешних сил.
§ 19. Случай, когда тензор скоростей деформаций меняется только по кольцевому направлению
Такая картина пластического течения может наблюдаться, например, при вдавливании пространственного клиновидного те ла между жесткими наклонными плитами.
Рассмотрим течение идеально жесткопластической среды с ус ловием текучести Губера — Мизеса, когда тензор скоростей де формаций не меняется по направлению полярного угла [54]. Это значит, что будем искать решения системы уравнений теории
идеально пластического течения |
(4.1) — (4.4) в |
предположении, |
что тензор скоростей деформаций |
не меняется |
по радиальному |
и продольному направлениям. |
|
|
Скорости перемещений (4.2) можно представить в следующей |
||
форме: |
е |
|
е |
|
и = и0(г, z) — Ur 0 |
— v\ d-0 + 2r J YrOd0, |
|
||
|
0 ' |
' |
0 |
|
|
e |
e |
|
|
v = |
v0(r, z) — [ и dQ + r [ eed0, |
(4.17) |
||
|
b |
6 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
w = |
W0(r, z) — r J ^ |
dQ + |
2r j" Y6zdO, |
|
|
0 |
|
0 |
|
где Uo, Vo, г^о — произвольные функции коордипат r n z . |
Полагая |
тензор скоростей деформаций не зависящим от г и z, согласно
представлению |
(4.17) |
будем иметь |
|
|
|
|
||
|
дип |
|
о |
|
® |
|
|
|
|
|
d~vn |
|
С |
|
|
|
|
Е’- = ^ - - г ^дг 0 + 2 . ) ^ 0’ |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
„ |
|
|
|
|
|
|
|
(V » |
|
|
|
(4.18) |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
д% |
dwn \ |
|
d~vn |
(' |
|
|
Угг — |
dz + " а г ) — rQ~d7W + j |
|
|
|||||
Из первого и третьего соотношений |
(4.17) |
находим |
|
|
||||
|
_3 |
|
|
|
|
|
|
|
d~v |
д vn |
|
|
|
cos0 —^-^sinO. |
|||
dr dz' |
+ I |
dz1 |
|
|||||
dzi |
дгдг~ |
dzi |
|
|
||||
Подставляя это выражение в ег из |
(4.18), будем иметь |
|||||||
d w n |
— r-Q |
|
d'u |
|
£Л_ — r ■0 |
L0 rsinO. |
||
+ -d^ r |
dr dz |
---- £ Г COS 0 — |
||||||
dz1 |
|
dz1 |
|
dz1 |
d r |
d z 1 |
ИспользуД независимость компонент скоростей деформаций от г и z, приходим к простым дифференциальным уравнениям отно сительно «о, у<ь юо, после решения которых получим
UQ = Аог+ G\z + Go,
Vo = {А + D )r — Ar In r + E\z + E0l
Wo = (2C — G\)r + Bz + Do.
Соотношения (4.18) перепишутся в виде |
|
е |
е |
ег = А0 + AQ + 2 J Yre^O. ez — В, угг = |
С + J 70zd0. (4.19) |
о |
о |
Определяя из второго уравнения (4.17) выражение rdv/dr—v, подставляя его в первое, а затем исключая интеграл из выраже ния ег по (4.19), приходим к уравнению относительно а ^ г г т. После решения этого уравнения получим
и = ггт+ (Go + £MZ) COS 0 + (EQ+ JE'IJZ) sin 0. |
(4.20) |
|||||||
Подставляя (4.20) |
во |
второе |
уравнение |
(4.17), находим |
||||
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
v = — Ar In г + BrQ + (А + D)r — 2г J erd0 + |
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
+ (Exz + Е0) cos 0 — (G0 + |
Gxz) sin 0. (4.21) |
||||||
Для w из (4.17) |
окончательно получим |
|
|
|
||||
iv = Do + Bz + 2г*]™— E\r sin 0 — G\r cos 0. |
(4.22) |
|||||||
Компоненты напряжении из |
(4.4) |
и |
(4.5) |
можно |
записать |
|||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar = |
OQ + (2ег + в2) Jre |
|
|
|
|||
|
|
|
Т г 0 |
Т |
--- |
у |
|
(4.23) |
|
|
|
|
|
||||
oz — |
+ (бг + 2ez) W |
Irz — |
\rz ГГ0« |
|
||||
Подставляя (4.23) в уравнения равновесия (4.1) и |
замечая, |
|||||||
что Тго и т02 не будут зависеть от г и 2, получим |
|
|
||||||
|
доЙ |
, |
|
|
|
|
|
|
г+ ТГ0 + СГг -— СГе = 0,
|
00~ + 2тГ0 = |
о, |
5(Jp |
/ |
Тгг = |
0. |
|
Г— + |
T0Z + |
||||
Отсюда и из соотношении |
(4.23) приходим к формуле |
|||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
а0 = N + |
М In г — 2 J тГ0Й0 |
(4.24) |
|||
и к дифференциальным соотношениям |
|
|
|
|||
, |
2ег + В |
|
|
' |
Yrr |
|
Тг0 Н----- ------- |
Тг0 + М = 0, т 02 + — Т02 = 0, |
(4.25 |
■г0 |
Г02 |
|