книги / Оболочки и пластины

Будем предполагать, что оболочка испытывает как силовое воздей­ ствие, так и тепловое. Тогда соотношения упругости можно представить в виде

Т± = Сп гх + С12е2 -f klx^x + А12х2— 1г,
Т2 = С12вх+ С22е2+ ^12^1 + к22к3— ^2»											(2, 20, 8)
S = Свбсо -f- 2/2бвт,
Мх —			-j- k12e2 -f- Du^i -f- D12K2							till,
M2 = kX2&i -{- k22s2 -f- Dx2y>i “f- D22^2										tn2i	(2,20,9)
	H = /гов(о + 2D66t.
Здесь величины жесткостей вычисляются по формулам
с « =				* « - Y | > « K - 0U .
	s = 1						S = 1
			N
	D‘i =			tas—as-il.				*. / =		1, 2, 6,
			S =	1
а температурные члены —
		W as
	к =	2	J	( W	+	6«a<s>) <<fe,				(0 >),
		s = l	a s_ 1
		ЛГ as
-	S	i		(6^a<s>-(•• ^i2a2') ^г ^г>						(1,2),
где		s = l	a,s - l
							ЛГ
as = z0- H N- Sj HN_ s =
							£	M	$	= G(s)>
							i= s +1
				£js)		ft(s) _		____ 1	-LL
	£(S) : - ______!--------				’
	Л1		l - v ,(s)v<s)			12		l-v< V 2
	( 1,2)									is)
z 0 — расстояние от поверхности					приведения				до внешней		ограничи­
вающей поверхности		оболочки;			hs— толщина					5-го слоя,	N — число
слоев, ajs) — коэффициент				линейного			температурного расширения в
/-м направлении,	lj — температурные						усилия,		т ;- — температурные мо­

менты. Индекс 5 указывает, что данная величина относится к 5-му слою. Поверхность приведения, которая в слоистых оболочках играет ту же роль, что и срединная поверхность в однослойных, определяется

параметром ZQ. В приведенных соотношениях расстояние zo следует оп­ ределять, приравнивая один из коэффициентов kij нулю. Для ортотроп­ ных оболочек соотношения (2,20,8), (2,20,9) будут иметь наиболее про­ стой вид, если /212= 0. В случае изотропных оболочек поверхность приве­ дения можно находить, приравнивая 6ц = /222= 0.

Зная связь между модулем сдвига G и модулем упругости Е

2(1 +v) ’

для слоистых оболочек, составленных из изотропных слоев, выразим жесткости взаимного влияния через основные жесткости

С-t			Рц — £*12
				2
В случае однослойной ортотропной		оболочки все к ц —0, а поверхность
	«	поверхностью z0		h
приведения совпадает со срединной				= — , и соотноше-
ния упругости примут вид
Т \= —---- -------(е1+	v2e2)>	То =	- ------- (es -J- VJEJ),
1— ViV2			1— ViV2
S -	G/uo, H =		r,	(2,20,10)
Eh3		M2=	Eoh3 ,	(XJS+V XXJJ).
12(1— Vjv2) (**l +	V 2X j ) ,		12(1— vjv2)

Если оболочка состоит из нечетного числа N = 2m + 1 ортотропных слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхно­ сти (причем симметрия выполняется и для физико-механических свойств слоев), то принимая за поверхность приведения срединную по­

верхность, т. е. считая z0= — HN, получим

		Ь$ = Ь\?~°+'),	k.. = 0>
	Cij = b\f+ 4m+1 + 2 ^ b \ f h s,
				s = 1
о»-	-f- (V "A1H+S 4;? <A* - A?+,>] ■
д	_	и | hrn+i	A	hm+1
		/= s
Система уравнений		(2,20,3) —(2,20,9)		имеет восьмой порядок и со­

держит двенадцать уравнений с двенадцатью неизвестными функция­ ми. Высокий порядок системы и большое число уравнений и неизвест­ ных создают большие трудности при ее решении. Статико-геометриче­ ская аналогия (2,20,7J позволяет свести данную систему к трем уравне­ ниям с тремя неизвестными.

Для дальнейших преобразований необходимо иметь выражения деформаций й моментов через кривизны и усилия, которые получаются путем решения систем (2,20,8), (2,20,9)

£1 =	a i l T 1 а 1 2 ^ 2 +	^11^1 4 " ^12^2 4~ e Tt,
е2 =	а12^1 4“ а 2 2^ 2 +	^21Х14~^22Х2+ еГ2,	(2,20,11)

© =

а вв$ — 26eet,

M i =

f цУ*1 + /i2^2

^1тТ 1

^2 1 ^2

Мтх,

М 2 = / 21^1 Ч" / 22^2

ЬыГ1

^22? 2 — Мт2,

(2,20, 12)

где

^

^ 2 /06т + ^'ee'S»

_

Cl2

П

— С22

,

а

,

fl22 —

а 12 -

д

Абв =

,

А ~

С11С22 ■ ■С?2,

Сев

6ц =

k 12 ^ 2

ЛцАц>

^12 == ^22fll2*

^мАц»

^ 2 1 == ^1 1 ^ 1 2

^ 12^229

Ь 22 ^

^ 12^12

& 22& 22у

/ll =

^11

Ч~ ^11^11 4“

^12^21»

/l2 = ^12

Ч~ кцЬ12 Ч~ k12b22 = / 21,

/ 2 1 =

^ 1 2

Ч~ ^12^11 4 “

^22^21»

/ 2 2 == ^ 2 2

4 “ ^12^12 Ч " ^22^22»

/вв ^

^66

^Об^вв;

^вв ~г ^вв^вв»

е7’1 = А ц / l — Al2^2> 8Г , = Al2^1 4 “ А22^2»

М г, =

Шх Ч" ^ ll/l Ч~ ^21/ 2»

=

^ 2 Ч" ^12^1 4 “ Ь2212.

Подставляя (2,20,11),

(2,20,12)

в уравнения

(2,20,3),

(2,20,4),

получим

^ 1 (7 \ >

^2»

5 )

4 “

~

Г “ л----- ( ^ 1 Х 1 Ч~ / l2 X 2

^1 1 ^1

^21^2

^ л )

Al

[_

--------7""^" ( / 2ХХ 1 4 “ f 22Х 2

Ь \2^ 1

Ь22Г 2

Л 4 г 2)

+

dai

т)+4“(^f+1 £s)] --ЛЛ?- Ф

+2>«(^Г+^

(и2>n v

— т) — — Г • ^ - Л2 (— а12Т ! +

а22Г2 Ч- ^2ixi Ч~ ^22^2 Ч- ^г*).—

L оаг

------- ( а 1 1^ 1 ------------а 1 2 ^ 2

Ч- ^ 11х1Ч- 612Х2 -1- E rt)

4“

+

b

(

J

^

+ J ^

x

) - ^

(

- ^

+

^ s )

= 0.

(U2)

\

да2_______да2

)

2

\

да2______да2

)

—>

В этих уравнениях подчеркнутые члены заменим следующими:

dAiS		0,Ai	^	__	dA^Ti	дА2
да2		да2			ddi	Т 2,
						даг
dAiX	+	- ^	- t	=	дА2Х2	дА2 >с2.
да2	’	да2			даг	дах

Такая замена внесет в уравнения погрешность порядка не более (h / R ) 2

(для грузового члена h/R)	по сравнению с единицей. 'Итак, будем иметь:
L i( T v T a, S ) + tn_	• A 2 (X , -f- х2б, б12Т2 6ur1) ■

Ri L dQi

дА—

+

б2% 2 — 6 21^1----^22^2) 1 —

^ 1^ 2 ?1

» (2,20, 13)

да:1

J

#1

Cl (и 2. «1, — т ) —

Г

А(Тг + KTi +

^12«1 +

^ и и г) —

-------J- -

+

^2Т! +

^21^2 +

^22Xl)

1 =

~ Г~ >

ddi

J

Rl

4 (Т2, Tv S) +

А

Г - ± - Al (6lKl +

62x26217\ -

б22Г2) —

R 2

l_

da2

\

-

(* i +

V

2

-

buTi -

612r 2) 1 =

-

AxA2q2 -

, (2,20, 14)

da2

J

R2

L2(хх, X2,

T)

Г— л4х (A,]T2 -f- A,2T! +

A,21X2 -f~ ^22^1)

R2 L

°a2

dAl

(T2+ XjT, + Xux2+ Xux j]

=

fo

где

da2

^2

6 i=

/и + 2/«»„. 1 62= ^

i ,

612 =

- ^ - ,

/11

/11

/11

бц + ^вв

д

б22 +

бвв

ft

_

б12

Jn1 —

г

» °2 2

/и

, и21 -

/и

’

/1 1

^

0 ,5-абв — cti2

1

—

ач

Я.

—

621

Ai —

а22

»

д 2 —

а22 » Л 12

—

а22

\

б22 +

б66

^

_

бп 4* бее

X

—

ь12

Д 1 1 —

а22

, д 22

а22

Л 21

—

а22

ф

_

дЛ2

w

dA2MTt

( U

) ,

1

да,

*

да.

<:--

dAo&’p

Ет,- ( 1 ,2 )

да1

даг

Допустим, что имеют место равенства 1

	С22	k22	D22	(2,20,15)
	--и	«п	Dи
Для	однослойных оболочек	равенства	(2,20,15) всегда выполняются.
Для	слоистых оболочек (2,20,15) возможно, если для каждого слоя

£<s> £‘*>

, s, k = 1, 2, .. .,N .

£<s> E\k)

В силу (2,20,15) некоторые коэффициенты уравнений (2,20,13), (2,20.14) оказываются равными между собой:

frfi22 — ^22^22, /п^п — Й22^Ц, б2 — К2

(2,20,16)

1 Условия (2 , 20, 15) были введены С. А. Амбарцумяном.

Если теперь ввести комплексные усилия

Т1~ Т1	Щк2»	7*2 == 7*2 — Ф^1»
S = S +	t|xt,	р ,= 1/
		К	а 22

и принять во в-нимание равенства (2,20,16), то уравнения (2,20,14) можно записать в комплексной форме:

L, (Т1г %,	+	а д	+ а д	+ ecf,) -
ал2		+ ecf-2)l = - Л		И	^ - 4 1- .
— ( а д + а д
дс^		J			#1
*1
(It)
где
^11 —	/11^11 +	^12 —	/ 11^12 +		С>
62i =	fцбгг “1"	622 ==	/ц 622“Ь

^ = 0,5^1 + 60,	e = 0 ,5 ( ^ ~ вх)
ф , = ® i + t>X i-	*>я22 = С,
( 1. 2)

(2,20,17}

(2,20,13),

(2,20,18)

Tj — комплексно-сопряженное усилие.

Хотя уравнения (2,20,18) 'выведены при условии (2,20,15), они бу­ дут справедливы для более широкого класса слоистых оболочек. Если

считать, что отношения Е ^ /Е	^	— величины одного порядка, а их раз­
ности «а порядок меньше, то	можно приближенно		считать	равными
коэффициенты (2,20,16). А так		как это допущение	делается	в членах

порядка h/R, то, очевидно, мы не выйдем из исходной допускаемой по­ грешности.

Преобразуем оставшиеся два уравнения (2,20,5), (2,20,6) с учетом (2,20,3), (2,20,4) к виду

1 ( д i4ji42 l ao.

1 I a ЛИ. l. 0at

эжая второе

1	{(	- f*~
V
A\A2	i	ft*!
!i42	l	dai

R, *т		г,, .				д	J?*.[C2]j +
						да*
I	7*1	|	Т2 _		п
+	x	+	^	г “	,,,•
					да2	- J - i 2(«l, «8. —T)}-f
	+ ^ _		+	Ri	= 0
		R,
-T- lLi		S) +		A^ i ]		+ - £	- - ^	1^ 2]}
At						oa2	A2	—> J

Для нахождения третьего уравнения в комплексной форме1 доста­ точно заменить L,- (Th 73_;-, S) их выражениями из уравнений (2,20,18):

— +	^ ---------—		j — ------- -- Г		А2(бцТ1! + 612Г2 +			ecf,) —
^	Я2	АгА2	I да*	|_	дог
-	$xi?i +		+ есТ.) 1 +		- *	-I" 112} } = % +		$,	(2,20,19)
ddi				J	да2	/I2	J
где
		$ = _ L - r _ A _ . A + _ l _ . А ]
			i4ii4a L		-^1	да2	А2 J

Соответствующие уравнения теории слоистых ортотропных оболо­ чек в вещественной форме [33] не идентичны вещественным уравнениям,

полученным из	(2,20,18), (2,20,19). Отличие состоит в ряде		малых чле­
нов, отброшенных в процессе преобразования.		уравнений теории
Таким образом, комплексное преобразование
слоистых ортотропных оболочек позволяет понизить		число	уравнений
и неизвестных	вдвое, устранить ряд малых членов и тем самым упро­

стить исходные дифференциальные соотношения.

t

Полученные уравнения (2,20,18), (2,20,19) имеют структуру, подобную структуре соответствующих уравнений для однослойных оболочек. Переход к однослойным орто-

тропным оболочкам в этих

уравнениях осуществляется по формулам

6ц = 622 = A,6i2, 621 = Q612,i c612, =

_

дЛ2/П1

.

дА2

—»

[х^=

h*

®1 = — —

----/

—— т 2,

(1,2)

/12(1 -1*4)

да^

иctj

<—

*■ -

~

h r

[ ■i

k

-

i

t

<9'* -

■

•

(2,20,20)

где

£2

0 =

Ei

с = V

1 2 0 ( 1 —

ViVa)

G (1 — у2у2)

е =

-

G(1 — ViV2)

— v2.

4G +

Ei

4G

В случае изотропных оболочек

*, =

6 = 1 ,

е =

0.

Для многослойных изотропных оболочек справедливы следующие формулы пере-

хода:

Оц =

~

= 62I —(&12

.

»

М- =

1

/~ ^11

9

>

612

ф-)fl22

I/

—&12

У

а22

6 =

0 ,

022 — Я ц »

— ^2 —

/ 1

М 1 — W-2 —

^ ,

(2 ,20,21)

а

о *

(k12-f- ф ) (ап — а12) I — m .

Фх — А2 аах

ф* =

( 1.2)

Уравнения (2,20,18), (2,20,19), (2,20,23) получены в работе [39].

Если оболочка пологая, то в уравнениях (2,20,18) могут быть опущены члены, выражающие перерезывающие усилия. Упрощенным таким образом уравнениям удов­ летворим с помощью комплексной функции усилий, определяемой выражениями

1

д

( 1

0F

\

1

дА2

6F

/1

о\

Тг =

2

да2 U*

да2 )

А\А2

да1

л

^

а

дс^

«—

1

а 2

д

(

1

дР

>,

Аг

д

/

1

дР \1

(2 ,20,22)

2

и ■ da, V А2 '

'

А2

да2 V

А\

'

даt ) \ '

Я2

да2 >

причем F = F—i\iw,

где

F — обычная

вещественная

функция

усилии,

w — прогиб.

Уравнение (2,20,19) при обозначениях (2,20,22) примет

следующий

вид:

—

I—

д

Ai

д

r 2F-

А\Аъ

( dcti

да2

А 2

да2

§ 21. УТОЧНЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК

Здесь излагается вариант линейной теории упругих оболочек, не базирующейся на гипотезах Кирхгофа—Лява.

Основы теории, следуя Э. Рейснеру [14], рассматриваются на примере оболочки вращения, нагруженной осесимметрично распределенными краевыми моментами и уси­

лиями.

Введем на срединной поверхности координатную сеть а, Р, считая линиями а

образующие, а линиями	р — направляющие поверхности. Коэффициенты Ламе средин­
ной поверхности примем	равными А = 1, В = г, где г — расстояние от точки поверхности

до оси вращения.

Расстояние от точкц оболочки до срединной поверхности обозначим через £. Тем самым введена пространственная система криволинейных ортогональных координат, в которой мы будем решать трехмерную задачу теории упругости.

Перемещения в направлениях а и £ обозначим через и и w. Тогда для компо­

нент деформации оболочки получим выражения
	ди	w	дг	и	w
	~ d a + ~R~		да	г	+ R2
PC	II
8
	+
	dw	ди	dw/ds — u/Ri
	е£ = _а Г ’	Уа1 = д£ '	1 +		U R i

7 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

г д е е а ( а ,		р , 5 ) , е р ( а , Р , £ ) . е * ( а , р , £ ) —				у д л и н е н и я в н а п р а в л е нуи^я ах , а ,Р )р ,— $ ,
с д в и г	в	п л о с к о с т и ,	п р о х о д я щ е й	ч е р е з	о с ь		в р а щ е н и я .
С	о о т в е т с т в у ю щ и		е к о м п о н е н т ы	н а п р я ж		е н и й о б о з н а ч иома , оч е р есх^,з о а ^ = т .
О н и д о л ж н ы у д о в л е т в о р я т ь д в у м				у р а в н е н и я м			р а в н о в е с и я :
							+
			- K ‘ + i )		i	= 0 ’

(2 ,21, 2)

У р а в н е н и я

( 2 , 2 1 , 1 )

и

( 2 , 2 1 , 2 ) —

с о о т н о ш е н и я

о б щ е й

т е о р и и

у п р у г о с т и

[ 5 ]

в п р и ­

н я т о й с и с т е м е к о о р д и н а т .

Д о б а в л я я

к д в у м

у р а в н е н и я м

р а в н о в е с и я

с и с т е м у

и з

ч е т ы р е х

с о о т н о ш е н и й

м е ж д у

н а п р я ж е н и я м и

и

д е ф о р м а ц и я м и ,

п о л у ч а е м

с и с т е м у

ш е с т и

у р а в н е н и й

о т н о с и т е л ь н о '

ш е с т и

н е и з в е с т н ы х

о а ,

а ^ ,

а и^ , и т w, .

В

с л у ч а е

у п р у г о г о

и з о т р о п н о г о т е л а

э т и

с о о т н о ш е н и я

б у д у т

Еъа =

° а — v

(?р -*•

= ар — v (ста +

сг£) ,

£ е Е =

а Е —

V ( a a +

° P ) ’

=

т -

( 2 , 2 1 , 3 )

Р е ш е н и е

у р а в н е н и й

( 2 , 2 1 , 2 )

и

( 2 , 2 1 , 3 )

н у ж ­

н о

н а й т и

в н у т р и

о б л а с т и

h

h

, a „ < a < a 1,

— — < ? <

п р и ч е м э т о р е ш е н и е д о л ж н о у д о в л е т в о р я т ь г р а н и ч ­

н ы м

у с л о в и я м .

Р а с с м о т р и м

о б о л о ч к у ,

н а г р у ж е н н у ю

т о л ь к о

к р а е в ы м и у с и л и я м и и м о м е н т а м и . Т о г д а н а п о в е р х ­

н о

с т я х

t)= ± h / 2

б у д е м

и м

е т ь

т

=

0 ,

( j £ =

0 .

Н а п о в е р х н о с т я х

а 0 и a i з а д а ю т с я у д е л ь н ы е

о с е в ы е

у с и л и яVo

и

Vi,

у д е л ь н ы е

р а д

и а л ь н ы

е

у с и ­

л и я Но и Н\ и у д е л ь н ы е

и з г и б а ю щ и е м о м Miе н т ы

и М 2 ( р и с . 2 . 1 9 ) . П о д

в ы р а ж е н и е м

« у д е л ь н о е

у с и ­

л и е »

с л е д у е т

п о н и м а т ь

у с и л и е ,

п р и х о д я щ е е с я

н а

е д и н и ц у

д л и н ы

п о п е р е ч н о г о

с е ч е н и я

с р е д и н н о й

п о в е р х н о с т и . У с и л Ни я и

м

о м е н т ыМ з а д а ю

т с я

п р о и з в о л ь н о ,

у с иVл идяо л ж н ы

у д о в л е т -

в с л я т ь

у с л о в и

ю

р а в н о в е с и я

о б о л о ч к и

в rQVoц е л—о riViм : .

Н а

п о в е р х н о с таи = а п ( п = ^ ) и м е е м

у с л о в и я

hit

j

■a<1( 1■ + "|^ )ds =

'//iCOsq)n -fW n sin(p„,

—Л/,

h/2

1

т

#г) d^= Нпcos фл —Vnsinфл’

( 2 , 2 1 , 4 )

—h/2

h/ш

1

Форма зависимости оа и т от координаты £ в уравнениях (2,21,2) и (2,21,3) не постулируется.

Далее, введем безразмерные координаты с помощью формул

	x - w		-	’ - i	t	-	<2'2- >
где h — толщина оболочки,	R — характерный			размер		срединной поверхности	оболочки»
^ = } /~ 2R
Положим
Т — Я? ^	^ ^ ,	#1 — RPX ^ ^ ^				)	(2 »6)
и будем считать, что рь р*, Рр и их производные					по	aIR являются величинами поряд­
ка единицы.		и сг^	в форме
Представим напряжения оа
	__М_			ар -	М		(2,21,7)
	°а~	h2 S*>			h2	Sf).

где М — масштабный множитель порядка краевого момента; S x, Sp — безразмерные

функции координат л и г , в безразмерных уравнениях они будут играть роль напряже­ ний. Будем считать порядок этих функций и их производных по х равным единице.

Перемещения и и до представим в виде

1 - f v 2 М nri

1 — v2 М ппп

“ —

а напряжения т и	в виде
	М	9	1		М	X2	0
	f — U2		р,	“5 .а "		2	*^z»
	Л2			ь	h2	р2
где X = h /2 R .
Подставляя	введенные безразмерные			величины		в	(2,21,1), получим
		(1— у2) М			f Ш ^		W ^
			ЕН2		V д*		Рх

“( - 7 7 )

		(1 — V2)		М	I ,	и	.	W
	еР “	/	JU \					рр
		( - 7	7 )	“ '
			1 — V2		м		а г	*
		е£	£/i2		X	'	дг
1 — V2	М_	л	az		^ Р*	'	11	. ж .\	1
Y = ‘	h2	X						djc /

?х

(2, 21, 8)

(2,21,9)

(2 ,21, 10)

.1

-*

Подставляя эти же величины, а также соотношения (2,21,10) в (2,21,2) и (2,21,3), будем иметь уравнения трехмерной осесимметричной упругой задачи в безразмерном,

виде

яп7	X2
~ = kiX(5х -Ф*Sp) ф ^2	$г,

dU .	;	U! Рх
dz	1 -ф- Хг/рдс
С	W/px +	dU/dx
г>х —	1 -ф- Хг/рр
с	W7pp -ф dU/dx
s p “	1 +	\z j рр

	%		dW/dx	II
	fi*	1	-ф Xz/p*
	W l9x + d U /d x			■+*«
		1 4“ ^Zl Pp
	wjpx		dU/dx	,
	+ v	1 + J U / P *		•Ф £4

-7 \

c

\°2 »

X2

(i2„ •^2» (2,21,П)

+ И'

^ 1

+ ^

^ ( s *

—

*Sp) =

о ,

д

dz [ ( 1 + x i : ) ( 1'f , i ^

) Sz] + ( 1 + ^

)

' S

' + tl' 7 ( 1+>kt

)

T _

— у Г Г 1 4 - ^ — ) — + ( l + Х —

) — 1 = ° .

^

L \

Рр /

Рх

\

Рх

J

Pp

J

где

V

,

k2=

1

— ,

k3 = 2 (1 ф v ),

ki =

v Ч \у 2.

&1 = —

—

1 — V2

1 — V2

Граничные условия

в

безразмерных

координатах

примут

вид: на поверхностях

z = ± 1

Г =

0,

S 2 =

0,

(2,21,12)

на поверхности х = 0

1

7

N

V0 COS ф о +

H0 sin фо

* ) ( I +

X -—

) dz

I S—1s - ' ° '

Pp J

hM

( 1

- f x — ■)dz =

H0 cos ф о — V0 sin фо

hM

—1

V

pp

[ s *(0 ,

z) |

+

x ■

z

(2,21,13)

T

]

Pp

1

На

поверхности х = Х\ — оо

будем считать

все

напряжения равными

нулю.

Примем теперь, что

м

0=

1

—

я 0 =м

{

м

/ хv aя

1

—

m

(/2 , 2x 1 , 1v 4 )

—, л

= ,

Это допущение законно, так как величину М мы вводили произвольным образом, огра­

ничив лишь ее порядок.

величину

Подставив теперь в систему (2,21,11)

ц = / Х

(2,21,15)

и в граничные условия (2,21,13) значения Мо, Но и Vo из (2,21,Г4), получим систему уравнений: