Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
71.66 Mб
Скачать

 

P . - v ft + ( , £ - V- j - ) - £ . + (l - £

+ f ) - £ > -

 

 

= £ ^ + F S i ( - ' ) " ' f - " - £ r T [ ‘ —

 

г - р П . ) ’ - ] ’ < з д 5 4 )

 

 

 

m= 1 л=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' ,-

- ^

+

(

^

-

^

-

т

)

т

р +

( ' +

т

 

- | г

) т

“ -

 

 

= £ЛД- +

^

S

S

<

-

1)"+"+' ^(2mr— 1) (2n — 1) ■+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=l n=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+>SS<m= 1 n = \ -|)"+"f~f5r[1-v|-£:^ ] ’ <ЗД55)

 

~

 

, /

62

 

1

v \ a2

 

Л

~

a2 .

v \ Ь2 о -

 

 

Pi

vp2 + ^

 

r

 

T)

a + (

 

 

 

 

 

 

 

+ - f - 2

( _

1)ft*c * +

 

 

1

Л=1

)

 

‘+,*Y*sh T 1 = 5

Ё

(-

1}* ***■Ok»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=\

 

(3.3,55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. / 1

,

v

 

b2 \ а2

 

/ а 2

 

1

v \

62P

 

 

й — v p , + ( i + T - — ; T » + ( v — - T - T ) — +

 

+ - %

y < -

l)‘4D* +

 

afr

S

< - D‘+‘% * —

- 4

 

S

< -

 

 

ab

i-J

 

 

 

*=i

 

 

 

 

a

 

 

k=i

 

 

 

 

Л=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,3,57)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где /=1, 2, 3....

 

 

 

 

 

 

 

и в этом случае имеет вид (3, 3,

Уравнение Бубнова — Галеркина

28), но интегралы, входящие в него, выражаются формулами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

00

 

 

 

 

 

 

 

 

Imn =

ben,mCn + ae°nnDm+

aЬВтп +

-

^

£

£ (

-

l)"*+»Frs«o (г,т) со (s, k) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r=l s=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nna

(—

 

,

rrrnb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 a2b2

(— l ) m n s h -------

l ) n m s h -------

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

.

 

 

 

 

a

я*

 

m2n2

V

 

 

я

 

a2/i2 -ф- b2m2

4n н—

 

—— ~ —

 

 

 

 

 

 

 

a2tn2

b2ri2

 

0000

^+ -7Г S S <- 1>"+‘+,f'• Т7ГГ + 2о6в- +

c - + - ^ Ё Ё < - 1,,+ “+ ' f •' i f c f + “ * • " +

Г— 1 s=l

 

+ J ^ s h ^ Y n + ( - l ) n^

U

 

+

- f

l ------ 2 - Л р -

“±Ра«1

 

 

 

пп

 

Ь т"

 

v

л2я 2 | / 1

 

V V

 

я2я 2 )

 

12

J

 

 

 

 

 

Sab

Г

(— l)s asp2Q (г)

 

( -

1)- b*PlQ (s) ~]

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= —

 

I — 5 ^ 1 -------+

 

£ = - , ------- J

+

<*F » -

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

У

(—

1)* [6 е 2r_ ] Cftco (s, ft) 4- ае° 2s_ 1

© (г, ft) Dk]

 

 

 

 

 

Я

ЛштА

 

 

К,

——

 

 

 

 

 

А, ——--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(— l)r 62 (2r — 1 ) ch

и

 

0

(s, k)

Y* +

 

 

 

 

-

 

 

< -» * *

(2r — l )2 62 - f

4a2fc2

 

1 — 2 s

 

 

 

 

 

 

k = \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

knb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(— l ) 5 a2 (2 r — 1 ) ch —— со (r , £) 6*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2s — l )2 a2 nj- 4b2k2 (1 — 2r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GO

OO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

 

2

( _

1)т+л

 

(r >m) ш (s>«) -

2a?bZQ(s) а д

( ° +

p)+

 

 

 

 

m=0 л=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(— l)s----------— ---------

f (— l)r------- --—

 

Q(r)

la

+

 

 

 

 

 

 

'

Зя2 (2 s— 1) (2r —

1)

L

 

 

я (2r — 1)

W

J

 

 

 

 

 

+ (— 1У---------—

----------

Г (_

1)*------ 48Q (s)

1 p,

(3,3,61)

 

 

 

 

7

Зя2 (2r — 1) (2s — 1)

 

L

 

 

я (2 s — 1)

J r

 

V

 

OO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-f Y

(— 1)* Г — —

CAa> (n, ft)

 

(a) +

DAe°

2n_, — —

 

(— 1)"' Bmk<s>(Я, ft) —

 

*

 

L

Я

 

 

 

 

 

 

 

~ о—

Я

 

 

 

 

 

 

 

A=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

__

4b

2/гсо (n , k)

^ kna

 

4a2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H--- (я)(а +Р) +

 

 

я

2n 1

 

b

 

я

 

4k2b2 -ф- (2n — l )2 a2

 

k

 

 

+

( -

l)n+I

 

a*ba

 

s h

f

[< - ■ > ■ -- ^

i r °

w

j p

-

< з.Э Д

6я(2л—1)

 

 

 

6я(2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1° Прямоугольная панель при а=2Ь. В выражениях w и Ф ограничиваемся лишь одним членом (& =1 ). При этом уравнение Бубнова— Галеркина приводится к виду

<7* = - ^ [ 6 ,9 6 9 $ 4

0,151 $ *f-4,751A ,$ 2 ,H l,4 2 6 $ 3].

О

 

_________________

Отсюда

 

$ = 0,139/!, Т

1/0,0148*5 — 0,2039.

Параметр кривизны удовлетворяет условию & * ^ 4

. Если h = 0 ,1 см, R = 6 5 см, а = 2 0 см,

£* = 6 1 , 5 , то £i = l, g2= 1 6 , <7^ = 3 6 7 ,

g ' =

0 , 4 6атж,

— отрицательное.

Теперь предположим, что цилиндрическая панель жестко заделана по прямоуголь­ ному контуру:

 

 

 

 

dw

 

при

х =

+ а,

 

 

 

 

 

 

 

(3,3,64)

 

 

 

 

w==—r — = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dw

 

0

при

 

 

.

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------=

У = ± Ь -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этим условиям удовлетворяет функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОО

00

 

 

2m—1 лх

)

1 ^

cos

 

 

п у ^

. (3,3, 65)

 

 

 

~ УI >И<пп(1 Ф

 

 

 

W

 

 

 

0(

 

 

2п — 1

 

 

 

 

m=l л=1

4 - cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцию напряжений возьмем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

ОО

 

/ v

клу

 

 

п

 

 

клх

 

 

.

клх

Ы у

 

 

 

 

 

Г_ _

 

 

 

 

 

 

- f

 

 

Ф =

2 J

 

(*) cos ~ f ~

+ D kE l (y) cos ——

 

Yk ch ——

 

cos

 

 

 

 

A=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф Ok c h -------cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тлх

 

плу

 

(3,3,66)

 

 

 

 

 

 

m = 0 n= 0

 

Icos •

 

■cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. e. она совпадает с (3, 3 , 46), если отбросить члены с Fmn, а, Р-

7 1), (3, 3,

 

Q

Q

Граничные условия (3, 3, 63) эквивалентны

условиям (3,

3,

 

(~!

^

44), (3,

3, 45), ^в

которых вместо

Ф нужно

подставить функцию

(3, 3, 66),

а коэффи­

циенты

A Q I, A j0 ,

Лсд»А 00 должны

быть

вычислены

при

помощи

функции

(3,

3, 65)

согласно

формул

(3, 3, 47), и кроме того, в соотношениях

(3, 3, 53)

и (3, 3, 55)

преды­

дущего параграфа члены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 abEh

y i

y i

(— Пm + n + 1+1 (2m — i) Amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л*R

2 j

2 J

 

(2n— 1) f(2/n— 1)* — 4i*]

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

m=1n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Eh

y i

у

 

(— 1 ) m + n +1A m n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2R

2 j

2mJ

(2m—l)(2n—0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=1n — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

необходимо заменить соответственно

выражениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

abEh

 

 

 

 

 

и

““ " f S S

 

 

 

 

 

 

 

 

4R ■$] Л/«[1- ( - ! ) ']

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = \

 

 

 

 

 

 

 

 

m=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этих изменениях уравнения

(3, 3, 50),

(3, 3, 51), (3, 3, 52) и■(3, 3, 54) предыдущего

пункта

 

 

 

г

п

.

но

несколько

изменяются ^

 

 

____ (

 

^

полностью сохраняются,

 

 

 

Ук, ^а, р\,

___

 

систему

и (3, 3, 55). Тогда для определения постоянных С*,л, Dhk,,

р2 получаем

 

 

 

#

#

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

kllCL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1лЬ

 

 

 

 

1

 

 

« —1

 

 

 

\k k3sh ——

 

 

 

I

 

1

v

■~Т4

£° W sh~а

- S '

(_ 1)»+*

 

{а2&4-Ь2р)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л»

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1 + v) Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

(а) sh

1ла

V/

а ^ ( - 1),+*

ъ L 1 v

4

 

£=1

sh

а

(62£ 2 -f а2/2)2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

b2 j ) Bni»

 

 

 

 

 

2 (1

ф

v) Р

Z j

 

\

d2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

kna

Ук,

 

 

 

(1

v) sh •

a

б/f,

2C/j — (1 -ф- v) sh

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi v p a

fc2

^

(— I ) * k2B0k,

рг v p x =

^

(— 1)A k2Bko.

 

 

 

 

 

k = \

 

 

 

 

 

 

 

 

k= \

 

 

Коэффициенты B mn вычисляются по формулам

 

 

 

 

 

 

 

1 6 я 4 В 2 ш , 2 я

 

 

 

 

 

 

 

^

— . Е А ^ nа /=п .0а л, »l . . .ш ,

( 3 , 3 , 6 7 )

 

 

[ ( 2m 1 \ 2

/ 2n — l \ 2 \ - 2

 

 

 

 

Ji*B2m-i,2n-i I

I

 

a

J

^

f

~

)

I

E hD 2m -i,2n-i-&

 

 

 

4 -' V-I,2n-1_ / _g^ZlL „V £A

 

m, n = 1,2...

 

 

 

 

 

R

 

\

 

а

У

 

 

 

 

 

 

 

Bo

2m — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

2 n — l

 

у

 

 

 

m , n . =

l , 2 , 3 . . .

 

 

Д1,2/z-i (

 

^

 

E!IDQ^2п—1»

 

В данном

случае в уравнении Бубнова — Галеркина

(3, 3, 29) контурный интеграл

обращается в нуль. Поэтому уравнение

Бубнова — Галеркина

(3, 3, 30) примет

вид

 

 

Г /

2г - 1

У

 

 

2г — 1 V /

2 s - V \2 t

 

 

 

 

 

— ) + \ — — ) ( — — ) +

 

/ 2 s — 1 V 1

 

 

 

 

 

/ 2 л — 1

\ 2

1 „ „

 

 

+ 3 V

а

/

J ^ 2r-l,2S-x — iabp 4- ^

а

 

n j

^

J2 r -l,2 s-l -ф-

 

 

ОО

00

 

+ 2

2 * тп

где

т = 0

л = 0

 

 

 

*

 

у 2л—1,2s-

ЙФ соз(2 г -

dDmn

п

^ „

и,

<м2г—1,2S—1

 

яд:

Ш/

1 ) — cos (2 s — 1 ) ----- dx cf#, b

(3.3.68)

(3.3.69)

а интегралы 7mn, /m, /то выражаются формулами (3, 3, 32), (3, 3, 33) и (3, 3, 34), в которых нужно положить Fmn—0.

После некоторых упрощений с помощью соотношений (3, 3, 67) они примут вид

г4а2Ь2 [(— \ )т п (Ь2т2va2n2) Сп — (— 1 )п т (а2п2vb2m2) Dm]

/тп=

я(1 + v ) ( S + iW F

 

 

 

+ ^ ,( 3 ,3 ,7 0 )

I то — '

4a2vD„t

+ ( -

4a3b

P«,

 

2abBm

l)m

(3,3,71)

mn (1 -ф- v)

 

m2л 2

 

 

4b2vCn

 

4ab3

р1.

 

h n —

± 2аЬ В йп + ( - \ ) п — ^ г

 

 

пк (1 -f v)

'

ri*n*

 

 

12r—l,2s_l получаем из (3, 3, 70), полагая в ней

т = 2г— 1, n = 2s— 1.

 

Пример 1 . Квадратная панель (а~Ъ). Решением задачи будет

0.25<7„ = 71 X + 0,0256*^ — 18,103ft*£* -ф- 617,9£3.

Отсюда ft*^22. Прогиб в момент хлопка и давление прн ft* = 100 равны

Si = 0 . 1 , ?« = 62.

Пример 2 . Удлиненная панель (а=26.)

<7* = 527,5£ + 0,00705/^ — 15,405Л*£а + 277,5£3,

К . > 4 3 ,

£ = 0,2; ^ = 256 (Л* = 100).

Как следует из вышеизложенного, учет бигармонических членов в выражении функции напряжений значительно усложняет последующие вычисления. Однако это совершенно необходимо для более точного удовлетворения статическим и геометриче­ ским краевым условиям задачи. Вычисленные в первом приближении величины кри­ тических нагрузок приведены лишь для иллюстрации метода и могут быть уточнены в последующих приближениях.

§4. МЕТОД X. М. МУШТАРИ. СРЕДНИЙ ИЗГИБ ОБОЛОЧКИ

В50-х годах в литературе появилось много работ, в которых реше­ ние задач изгиба гибких пластин и оболочек получено в первом прибли­ жении, путем аппроксимации функции прогиба и функции напряжений

спомощью одного, главного члена ряда. При этом устанавливали куби­ ческую зависимость нагрузки от прогиба и делали попытки определе­ ния напряженного состояния в оболочке. Однако вскоре было замечено, что такие решения в первом приближении могут дать удовлетворитель­ ные зависимости прогиба от нагрузки только для плоской пластины и весьма пологой оболочки, которую можно рассматривать как слегка искривленную пластину. А для определения напряжений такие решения вообще непригодны, так как величины компонентов изгибного и мем­ бранного напряжений получаются в результате двукратного дифферен­ цирования рядов, аппроксимирующих функции прогиба и напряжения, а при этом резко возрастает роль высших гармоник тригонометрического

ряда.

Вто же время решение нелинейных задач в высших приближениях при аппроксимации функции прогиба и функции напряжения тригоно­ метрическими рядами с сохранением большого числа членов сопряже­ но с трудностями, которые нелегко преодолеть даже с помощью быстро­ действующих вычислительных машин.

В1958 г. X. М. Муштари предложил метод решения задач среднего

изгиба пологой оболочки, известный под названием полулинейной тео­ рии [83]. Средний изгиб оболочки характеризуется прогибами, не пре­ вышающими 1,5—2 толщины, и занимает промежуточное положение между малыми прогибами, для которых справедлива классическая ли­ нейная теория, и «большими прогибами», рассматриваемыми современ­ ной нелинейной теорией. Развитый X. М. Муштари эффективный метод решения задач среднего изгиба применим не только для определения прогиба пластины и оболочки, но и для определения напряжений в них, когда прогибы не превышают 1,5-«—2 толщины.

Пусть требуется решить задачу о среднем изгибе прямоугольной в плане пологой панели под действием равномерно распределенной на-

грузки. В качестве исходных уравнений берем известные нелинейные уравнения теории пологих оболочек:

 

 

 

 

\2

д2W

d*w

К

d*w

— к

d*w

] ,

(3,4,1)

 

 

 

(

)

дх2

ду*

 

ду*

у

дх*

 

 

D

а ,

д*Ф

d2w

 

 

d2w

 

д*Ф

d?w

+ J -

— VaV ш = — т-

К +

дх2

 

( k y +

ду*

 

дх ду

dx dy

+ h '

Л

V V

ду*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,4,2)

где у 2у2— двойной лапласиан,

Ф — функция

напряжений,

w — функ­

ция прогиба, q — нагрузка, kx, ky — главные

кривизны, D — жесткость

на изгиб, h — толщина оболочки, Е — модуль упругости.

 

 

 

 

Для определенности предположим, что панель шарнирно оперта на

гибкие в своей плоскости нерастяжимые ребра, т. е. граничные условия для функций Ф и w имеют вид

=

ФУУ= 0

при

* = ± - | - ’ у

= ± Т

:

(3.4,3)

= Wxx = О при

 

 

w = wyy = 0

при

у — + — .

Граничные условия

(3, 4, 3)

удовлетворяются, если Ф и ш

взять в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

ф =

V

фтп COS т

cos п

,

 

 

(3,4,4)

 

т,п

 

 

а

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w =

^

wmn cos т

cos п -у -

 

 

(3,4,5)

 

т,п

 

 

 

 

 

 

 

Согласно обычной процедуре метода Бубнова — Галеркина

выражения

Ф и w мы должны подставить в исходные уравнения

(3, 4, 1),

(3, 4, 2),

последовательно умножить их на соответствующие координатные функ­ ции и каждое из таких произведений проинтегрировать по площади па­ нели. Таким путем мы придем к весьма громоздкой системе нелиней­

ных относительно wmn уравнений вида

 

 

 

f f [у2Ф — (^) ] cos т

cos п

dx dy = 0,

(3,4,6)

j J [у2w — L2 (W, Ф, p)] cos m —— cos n ~~~ dxdy = 0, (3,4,7)

G

m , n = l , 2, 3,

где через Lx(w), L2{w, Ф, p) обозначим правые части уравнений после подстановки в них выражений для Ф и w.

Чтобы упростить вычисления, X. М. Муштари предложил в уравне­ ниях (3, 4, 6), (3, 4, 7) пренебречь всеми слагаемыми, содержащими амплитуды wmn высших гармоник в степени, выше первой. При таком пренебрежении система уравнений становится линейной, если задаваться не нагрузкой, а амплитудой главной гармоники Шц.

Путем детального анализа, подтвержденного затем многими приме­ рами, X. М. Муштари показал, что при прогибах, меньших 1,5—2 тол­ щин оболочки, погрешность в прогибах и напряжениях от такого пре­ небрежения мала, а вносимые в вычисления упрощения весьма значи­ тельны.

Б.ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

§5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

1.Вариационное уравнение Лагранжа

Рассмотрим 1_тело, в котором под действием объемных F(x, у, 2, t)

 

и поверхностных Р(х, у, г, t)

сил в какой-то момент

времени t

возни­

 

кает перемещение

85

(я, г/, г, t).

Будем называть кинематически воз­

 

можной любую систему перемещений, которая совместима со связями

 

на границе тела, где заданы перемещения, и не нарушает сплошности

 

материала. Очевидно, что таких перемещений в теле бесчисленное мно­

 

жество. Добавим

тепер_ь к перемещению 85

перемещение

685

так,

 

чтобы перемещение

85 + 685

 

было кинематически

возможным.

На

 

дополнительном перемещении

685

 

внешние

силы,

включая

и силы

 

инерции, совершат дополнительную работу 8'Л, причем согласно вариа­

 

ционному принципу Лагранжа она равна работе внутренних сил на до­

 

полнительных перемещениях2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

6'Л =6Г*

 

 

 

 

(3,5,1)

 

 

 

гг

5293

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 7

1 =

 

W

d т +

 

ds,

 

( 3

, 5 , 2 )

 

Р F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дР J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

др

&euu +

 

dW bexy\ix,

( 3 , 5 , 3

)

 

 

 

 

1

 

oexy

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oeyy

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6V =

(oxxbexx +

Oyy6eyy +

<УХу6еху)+

dx,

 

 

( 3

, 5 , 4 )

где

 

dW

 

 

 

dW

 

 

d\V

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

( 3 , 5 , 5 )

° x x ~

dexx

УУ

 

dP

°xy~

dexy

 

 

 

 

oeyy

 

 

 

 

 

W — упругий потенциал. Так как

ди дЬи

дх дх

I

6 £,... =

dbv

 

 

6еги =

дби

dbv

;

. . . ;

1

+

дх

>

уу

ду '

 

ху

ду

 

то

 

- Ш

' -

дЬи

° уу

dbv

1 ~ (

dbv

дди

м

 

дх

ду

*

ду

)J

6V

^ ®XX

 

 

+

 

+ -

 

 

1

См. В. С. Л е н с к и й .

Лекции по теории

упругости и пластичности. Ротапринт,

МГУ,

1964.

в выражении

(3,5,2)

означает, что

работа

внешних

сил

на дополнитель­

2

Штрих

ном перемещении не является полным дифференциалом.

12 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

 

=

[ ( a . J + ° x y tn

+ <*««)

 

+ ( o x y l

+ <jyytn

+ 0 y2n ) b v +

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1,0J

+ o„m+o,fl )M

* - Щ

[ ( ^ f

+ ^

+ ^

t )'«“ +

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

f (

^

+ ^

+ J ^ ' \ b

v

+ (

^

 

+ ! ^

dz

J

=

(3,5,7)

\

dx

dy

dz

J

 

V

dx

dy

J

 

 

 

Tv658 ds

 

 

 

 

+

dTy_ + ^ Л б S3 dr.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

dz J

 

 

Подставляя (3, 5, 2) и

(3,

5, 7)

в

(3, 5,

1), получим

вариационное

уравнение Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

^ ++р (г--£-)]я*-ЯS

**-°-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3,5,8)

Прямая

задача

теории упругости и пластичности в перемещениях

формулируется так:

найти

функцию

33 (х, у, г, /),

такую, чтобы

для

произвольной вариации бЭЗ, совместной со связями, удовлетворялось вариационное уравнение (3, 5, 8). Ввиду произвольности дополнитель­

ных перемещений 633 из уравнения (3, 5, 8) можно получить уравнение равновесия и статические граничные условия. Поэтому при разыскании

функции 33 (х, у, г, /) из уравнения Лагранжа (3, 5, 8) об удовлетво­ рении уравнений равновесия и статических условий на той части гранич­ ной поверхности, где заданы внешние усилия, заботиться не нужно —

они удовлетворяются автоматически;

важно

лишь, чтобы 33 + 633 было

кинематически возможным — на той

части

граничной

поверхности, где

заданы перемещения, 33 должно быть

равно этим

перемещениям, а

633 обращаться в нуль. Введем

 

 

 

 

d т

 

 

5

(3,5,9>

 

 

 

где V = f f f W d x , а 5 — полная энергия

деформации. Тогда вариацион-

X

 

 

 

 

ное уравнение Лагранжа можно записать в виде

 

65 =

0.

 

 

(3,5,10)

Следовательно, от всех кинематически возможных перемещений истинная система перемещений, удовлетворяющая уравнениям равнове­ сия и статическим граничным условиям, отличается тем, что для нее полная энергия деформации экстремальна.

Теорема о минимуме полной энергии гласит: из всех кинематически возможных деформированных состояний истинное деформированное со­ стояние соответствует минимуму полной энергии, т. е. для истинного деформированного состояния

625> 0 .

2. Вариационное уравнение Кастильяно

Выше рассматривалось поле кинематически возможных перемеще­ ний и было получено уравнение Лагранжа. В данном пункте рассмот­ рим поле статически возможных напряженных состояний, каждое из которых удовлетворяет уравнениям равновесия и статическим граничным условиям.

Пусть истинное напряженное состояние определяется компонентами

Gyyi •••» ®хуч а компонентами ОххН" бсГхх» сгУу + ScrWy, оХу~\~8оХу — ка­ кое-нибудь статически возможное напряженное состояние. Так как оба эти состояния удовлетворяют одному и тому же уравнению равновесия типа

д 7 \

+ - ^ L +

- f £- + p/? = 0

дх

ду

dz

при одних и тех же значениях массовых сил F и одному и тому же ста­

тическому граничному условию, то вариации 6Тх, бТу, бТг удовлетво­ ряют однородному уравнению равновесия

дх

+ I k .

+ Й л . = о

(3,5,11)

ду

дг

V

'

и однородному граничному условию

 

 

 

бf v =

б?Х1+ ЬТуШ+ ЬТ2п = 0

(3,5,12)

на части граничной поверхности Si, где заданы внешние поверхностные силы. На части граничной поверхности S2, где заданы перемещения, по­ верхностные силы для статически возможных состояний будут отличать­ ся от их значений в истинном напряженном состоянии на величину

бpv = бTv = бТу + ЬТуШ+ бТгп.

Рассмотрим выражение

6 V ' =

bW'dx s J J (ехх6аххj

+ еууЬауу +

+ exybaxy)dx,

ТТ

которое* при упругих деформациях совпадает с вариацией работы внут­ ренних сил 61/, т. е. вариацией потенциальной энергии деформации. При упруго-пластических деформациях, используя зависимости между де-

виаторами типа

Sm„ = ~ ^ ^ Э тп

и зависимость o=3Fe=FQ, а также

 

Овц

 

 

 

определение а2

S2

преобразуем выражение для бW ':

bW, = 9xJbSxx + 9yy6Syy +

+ 23xybSxy f

Зеба =

= ^3в,.- {S xxb S xx +

S yyb S yy +

+ 2SxybSxy) + ^ :

*«в<у« + 0вог- (3,5,13)

z o u

 

 

 

 

Так как elL— функция ou, a 0 — функция a, TO дифференциал, так что

__

<!EL

yy

dW'

x y

doy 9

6xx "

dax

 

 

 

 

d\V'

 

dW'

(3, 5, 13) есть полный

dW' ,

deXy (3,5,14)

дои da

Формулы (3, 5, 14) являются обобщенными формулами Кастильяно. Величина

 

а

 

W' =

eudoa +

 

 

о

 

имеет следующую механическую интерпретацию.

о^2 до пря­

В плоскости (<ju, eu) первый член является дополнением

моугольника площади <^1 под кривой <ти = Ф(еи), которая

изображает

работу внутренних сил (напряжений), затраченную на изменение формы

 

 

 

 

единицы объема. Второй член изобража­

 

 

 

 

ет в плоскости

(а,

е) дополнение Q2 до

 

 

 

 

прямоугольника площади Qi,

изобража­

 

 

 

 

ющей работу внутренних сил, затрачен­

 

 

 

 

ную на изменение

единичного

объема,

 

 

 

 

причем QI = Q2

(рис. 3.16).

 

Исходя из

 

 

 

 

этого величину

W'

называют

удельной

 

 

 

 

дополнительной работой внутренних сил,

 

 

 

 

а величину V' — дополнительной работой

При упругих

 

 

внутренних сил во всем теле.

 

и потому

деформациях

ou=3Geu, так что ё^2 =

 

 

 

W = W — упругому потенциалу ,а

V = V — потенциальной

 

энергии де­

формации,' и формулы

(3, 5, 14) переходят в формулы Кастильяно.

_

=

ди

 

до

 

ди .

до

 

 

 

,

Так как

---- ,

е.„, = ---- ,

.. . ,ехо==—— |— —, то, применяя фор-

 

 

дх

у

ду

у

ду

 

дх

 

 

 

 

мулу Остроградского — Грина для 6V" имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дЬ Ту

d&Tj_

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дг

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sх

Всилу (3, 5, 11) объемный интеграл равен нулю, интеграл по поверх­ ности Si в силу (3, 5, 12) также равен нулю. На поверхности S2 имеем

6Гу = 6PV, откуда

Выражение (3, 5, 15) есть обобщение вариационной формулы Кастилья­

но, полученной для упругих деформаций. Для случая, когда

часть S2

граничной поверхности жестко закреплена, т. е.

$82 = 0 на S2,

(3, 5, 15)

примет вид

 

 

 

6К' = 0.

 

 

(3,5,16

Физический смысл (3, 5, 16) заключается в том, что в истинном на

пряженном состоянии дополнительная работа внутренних

сил прини­

мает экстремальное значение. Так как ои — однозначная

монотонная

функция еи и о=/(0, то работа внутренних сил

достигает

экстремума

одновременно с дополнительной работой. Поэтому условие

 

(3, 5, 16)

приводит к обобщенному вариационному уравнению Кастильяно, полу ценному для упругих деформаций:

6К = 0. (3,5,17

Это уравнение означает, что при указанных выше граничных условия: (на части Si граничной поверхности заданы усилия, а часть S2 жестк