книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

Отсюда определим спектр импульсной функции в виде

*

1

∞

∞

jrω t

− jωt

1

∞ ∞

− j(ω−rω

)t

X

( jω)=

∫ x(t) ∑e

и e

dt =

∑∫x(t)e

и

dt. (4.4)

T

0

r=−∞

T r=−∞ 0

Интеграл под знаком суммы в (4.4) есть спектр непрерывного сигнала

∞ x(t)e− j(ω−rωи)t dt = X j		(	ω−rω	.	(4.5)
∫				и )
0

Таким образом, полученное выражение спектра дискретного сигнала состоит из ряда, включающего в себя основную и транспонированные составляющие (с заменой –r на r и изменением порядка суммирования):

	X * ( jω)=	1 ∞		X j(ω+rω ) .		(4.6)
		T r∑=−∞
					и

Если f(0) ≠ 0, то сумма, стоящая в правой части, дополняется слагаемым 0,5f(0), так как согласно (4.1) ряд является четной функцией времени t, единичный импульс делится осью ординат пополам и сигнал отличен от нуля при t ≥ 0.

Полученное выражение (4.6) означает, что частотный спектр на выходе идеального импульсного элемента представляет собой сумму частотных спектров непрерывного сигнала на входе, смещенных по оси частот на величину rωИ и подтверждает рассмотренную в главе 2 периодичность полюсов в дополнительных полосах p-плоскости.

Периодичность X*(jω) показана на рис. 4.1, б в виде частотного спектра на выходе идеального импульсного элемента, состоящего из основного и транспонированных составляющих входного частотного спектра. Действительно, по (4.6) имеем

51

X *( jω) =1/T[X ( jω) + X ( jω+ jωИ ) + X ( jω+ j2ωИ )+
+X ( jω+ j3ωИ ) +…+ X ( jω− jωИ ) + X ( jω− j2ωИ ) +	(4.7)
+X ( jω− j3ωИ ) +…].

Рис. 4.1. Частотные спектры: а– навходеидеального квантователя; б– навыходеидеального квантователя; в– навыходеэкстраполятора нулевого порядка

Таким образом, эффект идеального квантования сводится к копированию исходного спектра на частотах ωИ, –ωИ, 2ωИ, –2ωИ и т.д., т.е. дискретное преобразование Фурье оказывается простым периодическим повторением непрерывного преобразования Фурье.

Частота квантования выбирается из условия, чтобы транспонированные составляющие спектра X*(jω) не перекрывались, как показано на рис. 4.1, б. Это достигается при выполнении условия импульсной теоремы Котельникова–Шеннона:

52

“Для того чтобы передаваемая в виде импульсов информация могла быть воспроизведена без существенных искажений, наивысшая частота гармоник со значимыми амплитудами в спектре входного сигнала не должна превышать 1/2 частоты следования импульсов”.

На рис. 4.2 показано искажение дискретного спектра при квантовании непрерывного сигнала, когда условие импульсной теоремы не выполняется.

Рис. 4.2. Частотный спектр на выходе квантователя при нарушении условий импульсной теоремы

При достаточно большой частоте импульсов, образующих выходной сигнал импульсного элемента, непрерывная часть системы реагирует только на низкочастотную составляющую сигнала, несущую информацию о непрерывном сигнале на входе импульсного элемента. Таким образом, для сведения дискретной системы к непрерывной необходимо выполнение условия ωИ ≥ 2ωС, где ωС – граница частотного спектра входного сигнала (граница существенных частот).

Дискретность работы импульсного элемента обусловливает, лишь в качестве побочного явления, возникновение на выходе системы высокочастотной составляющей в виде помехи. Частотный спектр этой помехи кратен частоте импульсного элемента, в том числе от преобразования дискретного сигнала в непрерывный.

53

4.2. Частотные характеристики формирователя импульсов

Модель формирователя прямоугольных импульсов (экстраполятора нулевого порядка), приведенная на рис. 1.4 для импульсных систем, аналогична и для ЦАП цифровых систем. При коэффициенте заполнения γ = 1 (длительность импульса равна периоду квантования) и высоте импульса k = 1 она описывается передаточной функцией

W (p)=

1−e− pT

.

(4.8)

ф p

Из (4.8) получим комплексную частотную функцию экстраполятора нулевого порядка:

− jωT

jωT

jωT

− jωT jωT

− jωT

1−e

2b 2

b 2

−b 2

W

( jω)

=

e−

e

=

=

2

2

ф

jω

ω

2 j

ωT

sin

jωT

=T

2

e−

.

2

ωT

2

Поскольку

ωT

=

ω

2π

=

πω

,

2

2 ωИ

ωИ

комплексная частотная функция будет иметь вид

πω

sin

jπω

( jω)=T

ωИ

e−

W

ωИ .

ф

πω

ωИ

(4.9)

(4.10)

(4.11)

54

Рис. 4.3. Частотные характеристики экстраполятора нулевого порядка

Уравнение (4.11) описывает частотные характеристики, приведенные на рис. 4.3. Вследствие периодичности частотных характеристик экстраполятор нулевого порядка частично пропускает на выход транспонированные составляющие, как показано на рис. 4.1, в.

При квантовании непрерывных сигналов может присутствовать эффект «поглощения» частот. На рис. 4.4 приведен пример, когда периодический сигнал f1(t) поглощается низкочастотным сигналом f2(t), так как оба сигнала в моменты квантования имеют одинаковые значения, т.е. по дискретным значениям нельзя отличить значения рассматриваемых функций.

Рис. 4.4. Эффект «поглощения» частот при квантовании

55

Спектры реальных сигналов не равны нулю в области частот выше половины интервала частоты квантования, поэтому в результате эффекта поглощения частот высокочастотные помехи проявляются на низких частотах. Системы управления обычно проектируют так, чтобы они реагировали только на низкочастотные и среднечастотные возмущения. Однако регулятор из-за поглощения частот будет реагировать и на высокочастотные помехи, что крайне нежелательно. Поэтому на входе цифровой части систем устанавливаются фильтры низкой частоты, которые отфильтровывают высокочастотные помехи перед квантованием.

Период квантования, как правило, следует выбирать достаточно малым, чтобы обеспечить X*(jω)=(1/T)X(jω), тем самым иметь возможность использования методов исследования непрерывных систем. Однако не следует выбирать и слишком малое значение T из-за ограничений на техническую реализацию преобразователей.

При проектировании цифровых систем автоматического управления стремятся выбрать период Т так, чтобы он был намного меньше основной постоянной времени непрерывной частисистемы.

Значение периода квантования Т можно определить с помощью выражения

			T ≤	umax −umin			,	(4.12)
			2		n du
						dt max
где n – число двоичных разрядов преобразователей;
du			– максимальная скорость изменения непрерывного
	dt max

сигнала.

Как уже было показано, для упрощения описания системы выходной непрерывный сигнал системы рассматривается на выходе фиктивного квантователя, синхронизированного со входным. Тогда непрерывная выходная функция представляется импульсной решетчатой y*(t).

56

Учитывая (4.6) и полагая y(0) = 0, получим изображение выходного сигнала в форме D-преобразования Лапласа:

	1	∞	1				∞
Y * (p)=		∑Y (p + jrωИ )=				∑E* (p + jrωИ )WПНЧ (p + jrωИ ). (4.13)
	T r=−∞		T r=−∞
Используя равенство при целых значениях r
		E* (p + jrωИ )= E* (p),							(4.14)
получим
						1		∞
		Y * (p)=E* (p)						∑WПНЧ (p + jrωИ ).	(4.15)
						T r=−∞
Таким образом, получили передаточную функцию приведен-
ной непрерывной части системы:
				1			∞
		WПНЧ (p)=					∑WПНЧ (p + jrωИ ).		(4.16)
				T r=−∞

Уравнение (4.16) является передаточной функцией разомкнутой импульсной системы, которая в форме Z-преобразования будет иметь вид

Y(z) = Wp(z)E(z).

(4.17)

Функция Wр(z), называемая импульсной передаточной функци-

ей линейной системы, определяет непрерывный выходной сигнал только в дискретные моменты времени.

Следует отметить важные свойства импульсных передаточных функций:

1.Импульсная передаточная функция в соответствии c (4.15)

вформе дискретного преобразования Лапласа Wр* ( p) =W (z)|z=e pT

является периодической функцией с периодом ωи.

2.На основании (4.15) значения импульсной передаточной

функции Wр(z) всегда действительны при z=1(ω=0) и z= –1(ω=nωи/2), конечны при z=1, если Wp(p) не имеет полюса в начале координат.

3.Так как z=epT, число полюсов импульсной передаточной функции равно числу полюсов передаточной функции приведенной

57

непрерывной части, степень знаменателя передаточной функции Wp(z) равна степени знаменателя.

Поскольку в импульсных системах управления квантованию подвергается сигнал ошибки (рассогласования), а обратная связь, как правило, является безынерционной, передаточная функция замкнутой импульсной системы определяется:

	Wз(z) =	Wp (z)		.	(4.18)
		1+kOCWp	(z)

где kОС – коэффициент жесткой отрицательной обратной связи (ОС); Wp(z) – импульсная передаточная функция разомкнутой им-

пульсной системы (импульсная передаточная функция).

4.3. Частотные характеристики дискретных систем

Физический смысл частотных характеристик дискретных и непрерывных систем очень близок. Особенностью этих характеристик для цифровых систем является то, что они устанавливают связь между гармоническими последовательностями (гармоническими решетчатыми функциями) на входе и выходе системы. Пусть на входе системы имеем

x[k] = Asin(kωT + φ), k = 0, 1,…,

(4.19)

где a – амплитуда;

φ – начальная фаза;

T – период следования импульсов.

Реакция линейной дискретной системы на эту последовательность в установившемся режиме будет также в виде гармонической последовательности:

y[k] = Bsin(kωT + φ + θ).

(4.20)

Представим эти последовательности в символической форме: x[k]= Ae j(kωT +φ) = Ae jφe jωkT = Ae jφzk ;

58

x[k]=Be j(kωT +φ+θ) = Be jφe jθe jωkT =Be jφe jθzk .

(4.21)

В соответствии с теоремой свертки выходная последовательность будет иметь вид

∞	∞	∞
y[k]=∑x[i]w[k −i]=∑x[k −i]w[i]= x[k]∑w[i]z−i . (4.22)
i=0	i=0	i=0

В выражении (4.22) с учетом символических записей последовательности сигналов будем иметь

∞

W (z) z=e jωT =W (e jωT )=∑w[i]z−i , (4.23)

i=0

где W (e jωT ) = BA, argW (e jωT )=θ – модуль и фаза комплексной час-

тотной функции дискретной системы, по физическому смыслу аналогичные соответствующим характеристикам непрерывной системы.

Пусть дискретная передаточная функция имеет вид

W (z)=	b zm +b					z(m−1) +...+b	=	B(z)	.
	m		m−1			0
								A(z)
	a	n	zn +a	n−1	z(n−1) +...+a
						0

Тогда комплексная частотная функция

W (e jωT )=W * ( jω)=	b e jmωT +b		e j(m−1)ωT +...+b
	m	m−1	0	.
	a e jnωT +a	e j(n−1)ωT +...+a
	n	n−1	0

(4.24)

(4.25)

Комплексная функция может быть представлена вещественной, мнимой, амплитудной и фазовой частотными функциями как

W * ( jω)=P* (ω)+ jQ* (ω)= A* (ω)e jθ*(ω),

A* (ω)= (P* (ω))2 +(Q* (ω))2 ;

θ* (ω)=arctg Q* ((ω))+kπ, k =0, ±1, ±2, ...;

P* ω

59

P* (ω)= A* (ω)cosθ* (ω); Q* (ω)= A* sinθ* (ω).

(4.26)

Особенности частотных характеристик дискретных систем, вытекающие из свойств импульсной передаточной функции, приведенных в подразд. 4.2:

1. Частотные характеристики дискретных систем являются периодическими функциями относительно частоты ω с периодом повторения ωи=2 π /T. Это означает, что при построении этих характеристик достаточно ограничиться изменением ω в диапазоне от – ωи/2 до ωи/2. С учетом их симметричности, поскольку W*(jω) и W*(–jω) – комплексные сопряженные функции, можно ограничиться построением частотных характеристик в интервале изменения ω от 0 до ωи/2;

2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики цифровой системы заканчиваются на вещественной оси, так как для ω = π/Т комплексный передаточный коэффициент всегда является действительным числом. Действительно, при ω = π/Т в выражении (4.25) комплексные многочлены числителя и знаменателя оказываются действительными.

Построение комплексной частотной характеристики по (4.25) представляет собой громоздкую процедуру, поэтому на практике используются более простые частные способы:

•по частотной характеристике приведенной непрерывной части (ПНЧ);

•разложением передаточной функции на простые дроби, когда известны полюсы;

•по импульсной характеристике приведенной непрерывной

части.

Если приведенная непрерывная часть дискретной системы имеет ограниченную полосу пропускания и выполнены условия импульсной теоремы, то в (4.16) все слагаемые, кроме одного (при r=0), будут равны нулю.

Тогда для импульсной системы в полосе частот ω=0...ωи/2 можно записать

60