книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1
.pdfРис. 5
Задача 4. Построить кривую x6 = 4(x4 − y4 ).
Решение.
Поскольку x и y входят в четных степенях, замена x на – x и y на – y не изменяет уравнение кривой. Это говорит о том, что кривая расположена симметрично относительно координатных осей.
Поэтому достаточно построить кривую только в первой четверти, а потом, учитывая ее симметрию относительно координатных осей, построить ее в трех остальных четвертях.
Перейдем к полярной системе координат. Поместим полюс в начало прямоугольной системы координат, а полярную ось совместим с положительной частью оси абсцисс.
Воспользуемся формулами (2):
x = ρ cosϕ y = ρsin ϕ .
Получим
ρ6 cos6 ϕ = 4(ρ4 cos4 ϕ − ρ4 sin4 ϕ),
или
ρ6 cos6 ϕ = 4ρ4 cos 2ϕ ,
161
откуда |
ρ2 = |
4cos 2ϕ |
. |
|
|||
|
|
cos6 ϕ |
|
Найдем ρ = 2 |
cos2ϕ . |
||
|
cos3 ϕ |
Поскольку полярный радиус ρ может принимать только действительные значения, cos 2ϕ, стоящий под знаком корня
в полученном уравнении, не может быть отрицательным, то есть должно быть cos 2ϕ ≥ 0. Это значит, что угол 2ϕ должен нахо-
диться или в первой, или в четвертой четверти. Но мы уже выяснили, что достаточно построить кривую только в первой четверти, а поэтому будем рассматривать значения 2ϕ, удовлетво-
ряющие условию 0 ≤ 2ϕ ≤ π . Отсюда следует, что для
2
построения кривой в первой четверти углу ϕ следует придавать
значения от ϕ = 0 доϕ = π . 4
ϕ |
0 |
|
π |
|
π |
|
3π |
|
π |
16 |
|
8 |
16 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
ρ |
2 |
2,02 |
2,13 |
2,08 |
0 |
Эскиз кривой показан на рис. 6.
Рис. 6
162
Учебное издание
СМЫШЛЯЕВА Татьяна Владимировна
МАТЕМАТИКА
Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия
Издание второе, стереотипное
Учебное пособие
Редактор и корректор Е.В. Копытова
Подписано в печать 28.02.2012. Формат 60×90/16.
Усл. печ. л. 10,25.
Тираж 100 экз. Заказ № 38/2012.
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.
163