книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1

Если в лоперечном сечении площадью А некоторого тела выделим, элементарную площадку ДА, рис.1.1, я пределах которой выявлена внутренняя енля ДД, тр за среднее напряженке на площадке ДА может быть принято отношение:

АЛ Ргр (1.3)

ДЛ

Истинное напряжение в точке можно определить, уменьшал площадку:

Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке. Размерность напряжения принимается в Па (Паскаль) или МПв (Мегапаскаль). Полное налряжение обычно в расчетах не применяется, в определяется его нормальная к сечению составляющая о - нормальное напряжение, и касательные т, т" - касательные напряжение (рис. 1.2). Полные напряжения, приходящиеся на единицу площади, можно выразить через нормальные и касательные напряжения:

Между действующими напряжениями	внутренними
силовыми факторами существует следующая связь:

А	= \уасЫ]
	Л
I	Мг = ]х<г<М;	(1.6)
	л
ФЛ■ |г\М;	А/г = |(т'-л -т, уУгМ

Л4

Нормальные и касательные напряжения являются функцией внутренних силовых факторов н геометрических характеристик сечения. Эти напряжения, вычисленные по соответстоующны формулам, можно назвать фактическими или рабочими.

Рис. 12

Наибольшее значение фактических напряжении ограничено предельным напряжением, при котором материал разрушается пли появлккгтея недопустимые пластические деформации. Первая из этих границ существует у любого хрупкого материала и называется пределом прочности (о|а т,), вторая имеет место только у пластичных материалов и называется пределом текучести (сг„ тт). При действии инклическн изменяющихся напряжений разрушение происходит при достижении так называемого предела выносливости (о*. тя), значительно меньшего, чем соответствующие пределы прочности.

Рис.1,3

При воздействии внешних сил тело деформируется, изменяя

.свои размеры и форму. С физической точки зрения деформации могут быть упругими, пластическими к вязкими.

Упругими называются деформации, возникающие сразу к полностью после приложения нагрузки и сразу же и полностью исчезающие после ее снятия.

Пластическими (остаточними) называются деформации, не исчезающие ни сразу после снятия нагрузки, ни ло истечении достаточно большого времени.

Вязкими называются деформации, развивающиеся в теле с течением времени без изменения нагрузки.

Вкурсе сопротивления материалов объектом изучение является в основном упругая деформация.

Вгеометрическом смысле любая деформация может бзггь

представлена как совокупность линеПных (с) и угловых (у) деформация (рис. 1.3),

	(1.7)
ГСоо= Нт и С О й -^С 'О 'В ').	(1.8)

ов-*о где е относительная линейная деформация в продольном

направлении; у - угловая деформация (угол сдвига).

1Гакопленке деформаций в связанных друг с другом элементах твердого тела приводит к измепешио их первоначального положения в пространстве. Эгн изменения называются перемещениями. Перемещение может быть линейным и угловым. Линейным перемещением, например, является прогиб сечения балки, угловым перемещением - поворот сечения при изгибе к кручении.

Поскольку перемещения - следствие накопления деформат 1(1 в элементах тела, они должны быть интеграл ьными функциям и внутренних силовые факторов.

Понятия перемещения и деформация ке следует смешивать. Можно привести много примеров, когда деформации есть, а перемещений нет л» наоборот, при отсутствии деформаций имеют место перемещения.

1.6Основные гнпотеш науки о сопротивлении материалов

Осопротивлении материалов принимают некоторые упрощающие гипотезы применительно к структуре и свойствам

материалов, в так же о характере деформаций.

1.Гипотеза о сплошности материала

Принимаете! инженерная модель материала, по которой предполагается, что материал сплошь запад наст фор му тела.

?, ГИнртсзв об 0ДНРРРЛДОС1И И ПУГфОПГОСП!

Материал предполагается однородный и изотропным, т.с. в любом объеме и в любом направлении свойства материала считаются одинаковыми. В некоторых случаях иредположеш1С об изотропности не приемлемо. Например, к пнизотропиым материалам относятся древесина, бетон, некоторые композиционные материалы.

3. Гипотеза о малости деформаций и перемещений Предполагается, что перемещения малы по сравнению с

размерами тела. Это позволяет в большинстве случает пренебречь изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела и составлять уравнения статики для исдеформированного тела. В некоторых случаях этот принцип не применим. Такие варианты оговариваются особо.

4. Гипотеза об идеальной упругости

Все тела предполагаются абсолютно упругими. Отклонения от идеальной упругости, которые всегда наблюдаются при нагруженкн реальных тел, несущественны н ими пренебрегают до определенных пределов деформирования.

б. Поилинл независимости действия сил Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок

р&вен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности. Этот принцип применим в тех случаях, котда могут быть использованы закон Гука и предпосылка о малости деформации.

6. Гипотеза плоских сечений Ггипотеза Бернулли^ Поперсчиые сечения бруса, плоские до приложения к нему

нагрузки, остаются плоскими к при действии нвгрузки.

Физическая индивидуальность твердых тел, с точки зрения сопротивления материалов, заключается в том, что для каждого из них связь между внешними силами и вызываемыми ими перемещениями различна.

Впервые эту связь уста новиз в 1660 г. Роберт Гук. Гем самым было положено начало сопротивлению материалов как науки.

Для лилейного напряженного состояния этот закон в современно}! трактовке гласит: напряженке прямо пропорционально относительно!! продольной деформации и зпвиент от упругих свойств тела.

о = Е<

(19)

где Е - нодуль упругости (Ла).

Закон Гука справедлив только до напряжения, ивзываемого пределом пропорциональности.

Для чистого сдвига закон Гука имеет вид:
г = С у	<1-Ю)

где <7- модуль сдвига (Па), Модуль сдвига связан с модулем продольной упругости:

( и ! )

2(1+/О

Вопросы для самопроверки

Что называется наукой о сопротивлении материалов. Реальный объект к расчетная схема. Схематизация свойств материала, форм геометрических тел, сил. Внутренние силы, метод сечения. Понятия о напряжениях, полном, нормальном, касательном. Предельное напряжение, расчетное сопротивление, нормированный запас прочности. Понятие о деформациях и перемещениях, их отличие. Связь ннпряженнй с силовым» факторами. Основные гипотезы в пауке о сопротивлении материалов.

Литература: (1.) Глава 1; Глвва 2, $ 2 .1. (2.) Глава 1.

[3.) Глава I,

ГЛАВА II. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 2.1 Продольные с и л ы и поперечны! ССЧСИИИХ

Растяжением НЛП сжатием называется такой вид нагружения, при котором в полсречных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила «V.

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения), и отрицательной,, если она вызывает сжатие (направлена к сечению).

В произвольном сечении продольная сила численно равняется алгебраической сумме проекций на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При этом, внешние силы, направленные от ссчсннх входят в уравнение со знаком плюс, в направленные к сечению - со знаком минус, что соответствует указанному выше правилу знаков для

продольной силы.
Л’ м	§	(2. 1)

где Р| - внешние продольные силы, в ч- интенсивность продольной нагрузки .Интегрирование и суммирование производится по воем участкам, расположенным по одну сторону от исследуемого сечения.

Примером распределенной нвфузкн является собственный вес материала стержня. Интенсивность сил тяжести в пределах каждого участка ступенчатого стержня будет величиной постоянной и равной:

(2.2)

где у - вес единицы объема материала, А - площадь поперечного сечения.

При растяжении - сжатии интенсивность распределенной нагрузки и продольная сила связаны между собой следующей дифференциальной зависимостью:

<2.3)

Для наглядного представления о характере распределения продольных сил по длине стержня строится зпюра продольных сил.

При построении эпюры следует руководствоваться некоторыми правилами, вытекающими гак из метола сечений, так и из дифференциальной зависимости между ц и N.

к. Если на участке стержня отсутствует распределенная нагрузка, то продольная сила постоянна.

2.Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка, то продольная сила изменяете* по линеИному закону.

3.В сечемнн, где приложена внешняя сосредоточенная сила, эпюра продольных сил имеет скачок на величину этой силы.

4.О концевых сечениях стержня продольные силы равны приложенным и этих сечениях внешним сосредоточенным силам.

2.2Е1в пряжения«деформ вини и перемещены

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, достаточно удаленных от мест приложении нагрузок, вычисляются по формуле:

Для однородного стержня постоянного сечения при действии продольной силы дт нормальные напряжения будут постоянными как по сечению, так и но всей длине. Такое напряженное состояние называется однородным.

При осевом растяжении или сжатии стержня, выполненного из пластичного материала,условие прочности имеет вид:

(2-5)

где <?„< и Лг№ - нормальное напряжение и продольная сила в опасном поперечном сечении; Я-р*сч5тиое сопротивление.

Для хрупкого материала условие прочности выглядит следующим образом:

м

		А		( 2.6)
		И
	К *		5 * ,
Здесь \о\Р	н |а |с			, максималыше растягивающее и
’ |ЦИ1		• ЧМЯ

сжимающее напряжения, а |.\г] н |Л '|-растягнвазошдя и сжимающая

нормальные силы;	и Яс - расчетное сопротивление
растяжение и расчетное сопротивление на о коте.
Определяется расчетное сопротивление по формуле
а	- ЬК.	(2.7)

где Я.-норма т а кос сопротивление, устанавливаемое СНиПоы; к - коэффициент безопасности до материалу.

Для материалов, находящихся в пластичном состоянии, за нормативное напряжение принимается предел текучести (оу), а для хрупких материалов - предел прочности (о.). Соответственно при

растяжении эго а% « при сжатии Од.

Таким образом, для пластичных материалов
я - *к- ,	(2.*)

где к=1,]0.1,15.

Для хрупких материалов

(2.9)

(2.Ю)

к

гдсх= 1,3...] ,5.

Условие прочности позволяет решать три типа задач.

I.Проверка прочности

По известных продольной силе и размерам поперечного сечения стержня определяют наибольшее напряжение, которое сравнивают с расчетным сопр о т алсиней, либо определяют фактический запас прочности:

&ах* 4 И .	(2.Н )
где N - нормативны!) коэффициент запаса	прочности; к
фактический коэффициент запаса прочности.

Расчет выполняется непосредственно по формулам 2.5 илнЗ.б.

2.Подбор сеченнн - ироектировочный расчет.

По известкой продольной силе и расчётному сопротивлению определяется необходимая площадь поперечного сечения стержня:

3.Определение допускаемой нагрузки.

По известной площади поперечного сечения к материалу стержня (расчётное сопротивление) определяют допускаемое значение продольной силы;

М 4 Л Я .

(2.13)

Затем но известной продольной силе вычисляется допускаемое значение внешней нагрузки.

Размеры нагруженного стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Так, если до нагружения стержня (рис.2.1) его длина была равна Л то после нагружения она станет

равной (+М. Величину Д1 называют абсолютным удлинением стержня.

Рнс.2.1

Мысленно вырежем из стержня бесконечно малый элемент длиной (Ь. После приложения нагрузки он получит удлинение Д&. Отношение удлинения к длине элемента

с М г	(2.14)
Иг

называется относи тельной продольной пикейной деформацией в сеченли 2.

В пределах малых удлинений дня подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который

устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями II деформациями:

о = Е с ,

(2.15)

где 1Г-модуль упругости, физическая комсталта материала.

Если в выражении (2,15) заменить о на МА, а с на Д&АНг, то

Л|& » N еЬ

Е Л '

Абсолютное удлинение стержня на длине / будет равно:

. рN-6	(2.16)
} б л

При постоянной продольно» силе и площади поперечного сечения в пределах каждого участка, из выражения (2.16) получаем:

" • В -

<*-17>

Изменение поперечных размеров стержня оценивается абсолютной н относительной поперечноЛ деформацией.

-абсолютам поперечная деформация.

г= ^ . огаосителыгая поперечная деформация,

и

где <1( и А - конечный м начальный поперечный размер стержня (рис. 2.1).

При растяжении оО, ^сО, в при сжатии гхО, ^>0.

Ошошенче поперечной деформации к продольной, взятой но абсолютной величине при простои растяжении или сжатии, называется коэффициентом Пуассона нобозначается буквой р:

(2. 18)

Для различных материалов значение коэффициента Пуассона колеблется в пределах от 0 до 0,5,