книги / Цифровая обработка сигналов

Оптимизационный метод относится к численным методам расчета и не рассматривается в данной работе в связи с его аналитической сложностью.

Фазочастотная характеристика КИХ-фильтра

Одним из замечательных свойств КИХ-фильтра является линейность ФЧХ. Введем понятие групповой задержки как производной ФЧХ по частоте, взятой с обратным знаком: G = Δφ/ f. Очевидно, что для линейной характеристики, каковой и является ФЧХ, групповая задержка определяется наклоном ФЧХ.

Постоянная групповая задержка характерна для КИХ-фильтров, имеющих симметричные коэффициенты. Это означает, что все частотные компоненты входного сигнала задерживаются на одинако-

вое время, не подвергаясь при этом фазовым искажениям, а это очень важно для систем связи!

Для КИХ-фильтра с M ответвлениями групповая задержка определяется как G = (M – 1)ts/2. Приращение фазы в полосе пропус-

кания: Δφ = (–G 360°)/N.

4.2. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины

Главным отличием цифровых фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) является зависимость текущего выходного значения не только от входных, но и от некоторого количества предшествующих выходных значений. Это подчеркивает обязательное наличие обратной связи, что позволяет отнести их к рекурсивным структурам. Указанное свойство является причиной и недостатков, и достоинств БИХ-фильтров (рис. 4.11).

Косновным недостаткам относятся:

неустойчивость при некоторых значениях коэффициентов и входных данных (импульсная характеристика при снятии единичного воздействия со временем стремится к бесконечности);

сложность структуры (большее количество элементов);

нелинейность фазочастотной характеристики;

отсутствие относительно простых методов проектирования из-за сложности расчета импульсной характеристики.

71

а

б

в

Рис. 4.11. Виды фильтров: а – устойчивый;

б– неустойчивый; в – на границе устойчивости

Кдостоинствам можно отнести то, что для реализации заданной амплитудно-частотной характеристики требуется значительно меньший порядок фильтра (количество элементов), чем при использовании КИХ-фильтра. Это дает основание говорить о более высоком быстродействии БИХ-фильтров.

Пример 4.7. Рассмотрим БИХ-фильтр для следующих систем:

y(n) = x(n) + y(n–1).

Определим импульсную характеристику фильтров для входных последовательностей: [1 1 1 1 1], [1 0 1 0 1 0 1], [1 –1 1 –1 1 –1], [1 0 –1 0 1 0 –1 0] (рис. 4.12, а-г).

Выполним аналогичные построения для фильтра y(n) = x(n) + + 0,5y(n–1) (рис. 4.13).

72

Разностное уравнение для БИХ-фильтра можно записать в следующей форме:

y(n) b(0)x(n) b(1)x(n 1) ... b(N )x(n N )

N	M
a(1) y(n 1) ... a(M )x(n M ) b(k)x(n k) a(k) y(n k),
k 0	k 1

где b(k) – коэффициенты фильтра при входных значениях, a(k) – коэффициенты фильтра при выходных значениях.

Количество коэффициентов при входных значениях равно (N + 1), количество коэффициентов привыходных значениях равно M.

а

б

в

г

Рис. 4.12. Входные, выходные и амплитудно-частотные характеристики (АЧХ)

цифрового фильтра y(n) = x(n) + y(n–1)

73

а

б

в

г

Рис. 4.13. Входные, выходные и амплитудно-частотные характеристики (АЧХ)

цифрового фильтра y(n) = x(n) + 0,5y(n–1)

Благодаря наличию обратной связи в БИХ-фильтрах не существует простого способа расчета коэффициентов по импульсной характеристике. Методы расчета базируются на вычислении передаточной функции фильтра в z-области. Для этого необходимо использовать преобразование Лапласа, которое позволило при решении линейных дифференциальных уравнений перейти к алгебраическим уравнениям.

Преобразование Лапласа позволяет перейти от непрерывной функции времени f(t) к функции F(s) комплексной переменной s = σ + jω (эту переменную называют комплексной частотой):

F (s) f (t)e st dt.

0

74

Преобразование Лапласа подходит для решения разностного уравнения фильтра, поскольку здесь показана зависимость текущего значения выхода и его производных от текущего значения входа и его производных. Удобство использования комплексной экспоненты заключается в том, что после дифференцирования эта же

функция остается. Например, изображение Лапласа для синусоиды sin(ωt) равно (ejωt – e–jωt)/2j, и т.д.

Итак, для решения дифференциального уравнения нужно:

1.Взять изображение Лапласа (лапласиан) X(s) для входной x(t)

иY(s) выходной y(t) функций.

2.Заменить дифференциальное уравнение на алгебраическое.

3.Решить уравнение относительно изображения Y(s).

4.Выполнить обратное преобразование Лапласа, получив искомую функцию y(t).

Для получения характеристик (например, АЧХ, ФЧХ) и изучения устойчивости систем необходимо исследовать передаточную функцию (отношение выходного и входного сигналов). Изображение передаточной функции в комплексной плоскости H(s) можно получить из алгебраического уравнения, построенного после взятия преобразования Лапласа для входной и выходной функций, как отношение их лапласианов.

Передаточная функция может быть представлена в виде:

			n		n
H (s)	Y (s)		bi si	k	(1 zi s)	,
			i 0		i 1
	X (s)		m		m
			ai si		(1 pi s)
			i 1		i 1

где bi – коэффициенты при производных входного сигнала, ai – коэффициенты при производных выходного сигнала, k – коэффициент усиления, zi – нули передаточной функции, pi – полюса передаточной функции. Анализ полюсов передаточной функции позволяет оценить ее устойчивость, а совокупность трех параметров k, {zi}, {pi} – рассчитать АЧХ и ФЧХ. Частотные характеристики системы определяются подстановкой комплексной частоты jω вместо переменной s и выражения передаточной функции H(s) в виде H(jω).

75

Для облегчения анализа подкласса дифференциальных уравнений в виде разностных уравнений, характерных для цифровых фильтров, на базе преобразований Лапласа было разработано z-преобразование. В начале 1960-х годов Джеймс Кайзер разработал теорию цифровых фильтров, используя математическое описание z-преобразования, которое ранее применялось только для описания дискретных систем управления.

Для дискретной последовательности h(n) можно ввести соответствующее изображение в z-области в виде непрерывной функции

H (z) h(n)z n относительно некоторой непрерывной ком-

n

плексной переменной z.

Приняв z = r ejω и подставив это выражение в H(z), получим частотную характеристику БИХ-фильтра:

H (z) H (r e j ) h(n)(r e j ) n h(n)r ne j n .
n	n

Полученная характеристика есть дискретное преобразование Фурье для последовательности h(n)r–n. Если считать h(n) импульсной характеристикой фильтра, то при r = 1 (модуль комплексной переменной z равен 1) вычисление H(z) дает частотную характеристику фильтра.

Для устойчивости фильтра все его полюсы должны лежать внутри круга на z-плоскости с окружностью, равной 1. Устойчивость фильтра определяется близостью к единичной окружности его полюсов. В частотной области (по параметру круговой частоты ω) устойчивость соответствует значениям внутри заданного диапазона [–πfs +πfs], что соответствует диапазону частот [–fs/2 +–fs/2].

Для использования z-преобразования при проектировании и анализе БИХ-фильтров покажем, что собой представляет элемент задержки. Пусть текущее значение выхода определяется по предыдущему значению входа: y(n) = x(n–1). Для изображения в z-области можно записать следующее выражение:

Y (z) y(n)z n x(n 1)z n .
n	n

76

Положим k = n – 1. Тогда

Y (z) x(k)z (k 1)	x(k)z k z 1	z 1 x(k)z k z 1 X (z).
k	k	k

Можно сделать вывод о том, что одна единица задержки во временной области соответствует умножению на z–1 в частотной области.

Запишем разностное уравнение для БИХ-фильтра, имеющего N элементов памяти (N+1 коэффициент) в прямой связи и M элементов памяти (M коэффициентов) в обратной связи:

N	M
y(n) b(k)x(n k) a(k) y(n k),
k 0	k 1
N	M
Y (z) X (z) b(k)z k Y (z) a(k)z k .
k 0	k 1

Преобразуем приведенное выражение для вычисления передаточной функции H(z):

	M				N
Y (z) Y (z) a(k)z k X (z) b(k)z k ,
	k 1				k 0
	M			N
Y (z)[1 a(k)z k ] X (z) b(k)z k ,
	k 1			k 0
			N
H (z)	Y (z)		b(k)z k		.
			k 0
			M
	X (z)
			1 a(k)z	k

k 1

Порядок передаточной функции (и порядок фильтра) определяется максимальной степенью знаменателя, т.е. параметром M.

Для получения частотной характеристики нужно перейти из z- области в частотную область, заменив переменную z на ejω.

Для определения АЧХ фильтра необходимо взять отношение

модулей числителя (Numerator: Num = Numreal(ω) + jNumimag(ω)) и знаменателя (Denominator: Den = Den real(ω) + jDen imag(ω)) переда-

точной функции:

77

H ( )				Num( )				[Numreal ( )]2	[Numimag ( )]2
				Den( )						.
								[Denreal ( )]2	[Denimag ( )]2

Для определения ФЧХ фильтра необходимо взять разность аргументов числителя и знаменателя:

( ) arctan[Numimag ( ) / Numreal ( )] arctan[Denimag ( ) / Denreal ( )].

Для удобства преобразований принято использовать тождества Эйлера:

ejω = cos ω + jsin ω.

Рассмотрим структуры БИХ-фильтров на примере фильтра второго порядка (рис. 4.14):

y(n) = b(0)x(n) + b(1)x(n–1) + b(2)x(n–2) + a(1)y(n–1) + a(2)y(n–2).

		b
а

c d

Рис. 4.14. Структуры БИХ-фильтров 2-го порядка

78

Передаточная функция для такого фильтра имеет вид:

H (z) b(0) b(1)z 1 b(2)z 2 . 1 [a(1)z 1 a(2)z 2 ]

Проектирование БИХ-фильтров

Для проектирования БИХ-фильтров применяют три метода: ин-

вариантного преобразования импульсной характеристики, билинейного преобразования и оптимизационный. Первые два метода относятся к аналитическим, а третий – к численным.

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики

Метод основан на аппроксимации импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа. В данном методе необходимо учитывать явление наложения спектров дискретизированного сигнала (характеристики), что отсутствует у спектров непрерывных сигналов (характеристик) (рис. 4.15). Это означает, что метод инвариантного преобразованияимпульснойхарактеристики даетхорошиерезультаты

а

b

c

Рис. 4.15. Наложения в частотной области при инвариантном преобразовании импульсной характеристики

79

(АЧХ) фильтров только при значительном превышении частоты дискретизации ширины спектра фильтруемых сигналов (например, частота срезаФНЧнамногоменьше частотыНайквиста).

Существуют две разновидности метода инвариантного преобразования импульсной характеристики. Первый метод (обозначим его как Метод 1) требует использования и обратного преобразования Лапласа, а также z-преобразования. Второй метод (Метод 2) не требует обратного преобразования Лапласа за счет разложения на простейшие дроби.

Преобразование по Методу 1.

Этап 1. Спроектировать (или выбрать) аналоговый фильтрпрототип. В результате получить передаточную функцию фильтра в виде

	N
	bc (k)sk	, N M .
Hc (s) M
	k 0
	ac (k)sk
	k 0

Этап 2. По комплексной передаточной функции Hc(s) определить непрерывную импульсную характеристику hc(t). Для можно использовать таблицы преобразований Лапласа, сведя вид функции к табличному.

Этап3. Определитьчастоту (fs) ипериод(ts = 1/fs) дискретизации. Этап 4. Выполнить z-преобразование непрерывной импульсной характеристики hc(t). В результате получится передаточная функция

БИХ-фильтра H(z).

Этап 5. Подставить значение периода дискретизации ts вместо переменной t. Этим обеспечивается равенство импульсных характеристик аналогового фильтра-прототипа и БИХ-фильтра в моменты времени t = nts.

Этап 6. Выполнить масштабирование передаточной функции фильтра путем умножения на коэффициент ts. Это снимает зависимость коэффициент передачи БИХ-фильтра от частоты дискретизации и делает его равным коэффициенту передачи аналогового фильтра-прототипа. В итоге передаточная функция БИХ-фильтра выглядит так:

80