книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях

в ряд по полиномам Лежандра по двум направлениям сечения z и у. Для этого перемещения представляются в виде

и —		(^l ~\— 2"^ ( k H— J") u,,k^n(z)
	П	k
v = ^		(n - f	(k - f		VnkPn (z) Pk (y),
П k
w == JJ	^	Çn - f -	(k -f-		WnkPn (z) Pk (y),	(1-44)
П	k
где n— 0, 1,	2,	и	k — 0,	1, 2, .	unk, Vnk и	wnh
функции, ne зависящие от y				n z, Pn{z), Pk(y) — полино­

мы Лежандра.

Ранее уже было произведено исключение одной ко­ ординаты для случая пластин и получены уравнения

(1.39)	. Для исключения второй координаты уравнения
( 1.39)	умножают на полином Ph(y) и производят интег­

рирование по толщине стержня в направлении у от пу до hv. Полагая напряжения на поверхности стержня при

y = ± h v равным нулю,			вместо Зп уравнений (1.43) по­
лучают систему из 3nk уравнений:
/, , о \	d*Unk I	X	-	dvnl	. х п	Л	дъ'тк
^ "Г ZW	-Âдх72T- ^	hy	S A ^ + iS A'				дх
			I	дх	1 hz ^	171
					"I
~					, Ôvng
				S(1+ 2g)		ÔX
- £ Е ^ - * - Е 4 ад2з н ,л “
							dt2
я
- <*■+ад ■- k	Е AiM- -			Е А- [Е (1+2g) Н
	s			т	[ g		j
- £ Е (1+ЗД^				_ '* Е А,'!’,‘“
						d2Vnk
liyhz						дх2

+ i E A^ =p'”'“dt*

- < * + 2ri i	Y. A«»«. -	X
	g
■Jо+ад
	d»mfe___ Ü.
+ ^	s - 1 dx	h*v

S <' + 2rt T T "

*

;

+ |* - д а -

AksWns

= P ^ » , (1-45)

где m = n + l , n+3,		.,<7=	1, 2, 3	., P— «	1. « 3>•• •
..., О,	/ = Л + 1 ,	é+ 3,	., s = l .	2, 3,	...	£ = * — 1;
k—3,.	., O, Ahs и Л| принимают в зависимости					от s н I

те же значения, что и Anq и Аш в зависимости от q и пг.

Для расчета на ЦВМ уравнения

(1.45)

представляют

в виде явной схемы

и пк (/ +

т ) =

М

[(1 +

A J и « *

-

AJJnk (t ~ * ) ] +

-}- 2Unk Unk

Vnk (t +

T) =

M [( 1 +

AJ V„* -

A\Ink (t -

T)] +

+

2Vnk — Vnk (t — т),

(1 -46)

Wnk (t +

X )

=

M

[( 1 - f A J Vink -

A jN n k (t - T )]

+

- f - 2Wnk —

Wnk (t —

x ) .

Функции

Uns,

V„ft

и W„ft,

соответствующие

левым

частям в выражениях

(1.45),

вычисляют через функции

напряжений:

U n * =

«’ „ „ f t —

°xxnk ~

° х« пк ~

° хгпк’

V /lft =

Oyynk

ayznk “ 1“

° „ гп/г

° ухпк ’

(1.47)

W nk =

°ггпк +

°txnk ~~ °zxnk ~

a*Vnk’

где функции напряжений

выражаются

через

функции

перемещений:

О + xxnk = А х [Unk (х - \ - Ь ) — Unk] +

в х 2

Al [Vni (X +

h) —

__y nl ( х

Л )] - j - С х 2

I wmk (x -\ ~ h )

— Wink ( х — h)],

V

rn

O - xxnk = = Aj( [Unk

Unk (x

h)],

Gxynk -- A* 2		Abstins + £ *2 (1 -\~2ë ) lü«e (x + h) — V n g (x ~ h )},
	s		g
Qxznk = F x S			+ ЯА.2 (1+2 p) [Wpk ( x |-h)— W p k {x -h )\ ,
	g		p
Qyynk=	Ay 2-^fcî,nsH -5ÿ2'^'n ГS					H- % ) wmg~\ "b
		5	m		[ g			J
+	Cy 2 (1+ 2g) [u „e (x +				Л) — Une (•* — ^)1>
		g
azynk=		Dy S AngVgk -f- Ey 2			(1“h %p) f 2		AiWpi	j »
			«	p		\ l		J
0+yxnk :=z E y [vnk (-£-f- A) — Vnk] ”f“ H y 2						Al [uni (x -|- A)
					l
			— Uni (x	— A)],
		9	yxnk — F y \x)nk — Vnk {x			A)],
Qzznk ==z A z 2			AngWgk —|—Bz 2	(1 H“ ^p) \^pk {x —1“ A) -}-
		g	p
4” upk {x			— A)]-[-C22 ( l + %P) ( S AtVpi \,
			p		\ 1		J
		0 + zxnk = D z [Wnk (X -|- A) — Wnk\ “I*
	+	E z ^ A m [Umk (X		A) — Umk (X			A)],
		0 zxnk —■ Dz \Wnk — Vünk («^				A)],
azynk=	F Z 2 AksWns -|“ Hz 2 Am [2 (1					"b 2g)Vmg		(1.48)
		s	m		L g

Безразмерные коэффициенты вычисляются по формулам

(1.43).	(1.44)	только члены
Если сохранить в разложении
Woo, woi, Ию, un, Voo, Woo, то в системы	(1.46)	и (1.47) вой­

дет по шесть уравнений. Применение одномерной сетки для стержней вместо трехмерной сокращает объем вы­ числений более чем в шестьдесят раз.

В радиоконструкциях часто встречаются стержни не­ прямоугольного сечения, например, имеющие сечение в форме уголка. При грубых расчетах можно заменить такие стержни эквивалентными стержнями прямоуголь­ ного сечения. Причем такая замена для различных урав-

г—щ зз

нений производится по-разному, поскольку уравнения описывают различные процессы деформирования:

1. Уравнение для ыоо описывает деформации растя­ жения. Для него значения hv и hz в формулах коэффи­ циентов выбирают из условия равенства площадей реального и эквивалентного сечений.

2.Уравнения для поо и Дооо описывают деформации сдвига и для них размеры эквивалентного сечения также выбирают из условия равенства площадей.

3.Уравнения для им и «oi описывают изгибные де­ формации. Для этих уравнений h'x и h'z выбирают из условия равенства моментов инерции относительно осей

уи z соответственно у эквивалентного и реального сече­ ния. Причем оси проводят через центр инерции реально­ го сечения. Оси у и z на сечении реального стержня сле­ дует располагать так, чтобц моменты инерции сечения были главными моментами инерции. Однако при расче­

тах реальных конструкций такое расположение осей не всегда удобно, поскольку оси получаются ориентирован­ ными произвольно по отношению к осям других деталей, например, других стержней.

4. Уравнение для нц описывает деформации круче­ ния. Значения hv и hz для этого уравнения выбирают из условия равенства центральных моментов инерции реального и эквивалентного сечений. Однако hv и hz не­ посредственно в уравнения движения не входят и их можно брать любыми, например таким, как в первом и втором уравнениях.

Однако нельзя в общем случае задать значения hv и hz одинаковые для всех уравнений, поэтому в выраже­ ниях для коэффициентов различных уравнений будут входить разные значения hy и hz.

Можно уточнить модель стрежня непрямоугольного сечения, если разбить сечение на ряд прямоугольников и для каждого прямоугольника ввести свой узел. Модель такого стержня будет представлять собой несколько па­ раллельных цепочек узлов.

1.6.Сочленение в модели областей различной конфигурации

Впредыдущих параграфах получены расчетные со­ отношения для вычисления перемещений узлов моделей

отдельных монолитных блоков, пластин и стержней. При

34

расчете по этим отношениям необходимо задавать гра­ ничные условия ,по всей поверхности блока, стержня или пластины в виде перемещений граничных узлов или внешних напряжений. В отдельных наиболее простых случаях эти граничные условия могут быть заранее за­ даны. Например, если отдельный монолитный блок кре­ пится жестко к корпусу, вибрации которого определены экспериментально или заданы техническими условиями, то в местах крепления задаются те же перемещения, что

ив соответствующих местах корпуса.

Вбольшинстве случаев конструкции РЭА представ­ ляют собой сложное сочетание блоков, стержней и пла­ стин. В местах соединения этих частей между собой пе­ ремещения или силы заранее неизвестны и должны определяться в процессе расчета. Возможны два прин­ ципиально различных пути решения задачи сочленения.

Первый путь является традиционным и используется при поисках решения в аналитической форме (12]. В этом случае в местах сочленения записывают промежуточные

граничные условия в виде равенства перемещений и угл ов поворота граничных элементов, принадлежащих двум смежным областям. Вначале отыскивают множе­ ство решений для отдельных частей конструкции, а за­ тем производят «сшивание» этих решений с помощью промежуточных граничных условий. «Сшивание» состоит в том, что среди множества полученных решений остав­ ляют только то, которое удовлетворяет всем промежу­ точным граничным условиям и внешним воздействиям.

При использовании разностных методов решения та­ кой традиционный подход непригоден, поскольку мы не можем искатьвсе множество возможных решений для отдельных частей конструкции. Поэтому выберем второй путь, который состоит в том, что для элементов сочле­ нения отдельных частей записываются свои уравнения равновесия, отличные от “полученных выше уравнений для монолитных блоков, пластин и стержней. Поскольку при выводе этих уравнений ггспользуется принцип Даламбера и в правой части уравнений будут стоять инер­ ционные силы, уравнения могут быть представлены в виде рекуррентных по времени соотношений и приме­ няться одновременно с уравнениями, полученными выше, для монолитных блоков, пластин и стержней.

Второй путь позволяет представить всю конструкцию в виде единой модели-сетки и отыскать решение после-

довательным обходом всех узлов модели на каждом ша­ ге по времени. При этом для всех узлов, кроме узлов в местах сочленения, используются расчетные соотно­ шения, полученные выше, а для узлов в местах сочлене­ ния используются новые соотношения, которые будут получены в данном параграфе для сочленений, наиболее

а

6

б

Рис. 1.15. Элементы сочленений, часто встречающиеся в конструк­ циях РЭА.

часто встречающихся в конструкциях РЭА (рис.

T.15,а—г).

Начнем с наиболее простого элемента сочленения двух пластин (рис. 1.16). Необходимо записать уравне­ ния динамического равновесия этого элемента под дей­ ствием сил упругости и сил инерции. Таких уравнений для движения элемента как целого будет шесть: три

уравнения для проекций сил и три уравнения для проек­ ций моментов на оси координат.

Однако два уравнения проекций моментов на оси х и z интереса не представляют, так как повороты отно­ сительно этих осей определяются в основном деформа­ циями сдвига прилегающих пластин и учитываются уравнениями движения элементов пластин. Представляет интерес только уравнение моментов относительно оси у , так как повороты относительно этой оси позволяют со­ гласовать деформации изгиба прилегающих пластин. При составлении этих уравнений нужно учесть, что для соседних элементов пластин при выводе уравнений ис­ пользовалось разложение перемещений и напряжений

вряд по полиномам Лежандра (1.31). Такое разложение

вцентре элемента сочленения не соответствует физиче­ ской картине деформации. Поэтому разложение по поли­ номам Лежандра перемещений и напряжений произво­ дится только в сечениях, примыкающих к соседним эле­ ментам пластин (рис. 1.16).

	Выделим			в	смежных сечениях			площадки шириной
dz	и dx. Запишем в соответствии с уравнениями									(1.3) —
( 1.7) значения					напряжений	на этих		площадках		в сме­
шанной разностно-дифференциальной форме:
°хх — (А+			2 [i)^		[и (х + А) — и] +		-щ - [v (х +		A, yà-\- A) +
			+ v(y + h) — v ( x + h , y — h) —
			- » ( » - * ) ] + г ■ £ ■ ( * + 4 - ) .
	ayx =		-^ {v {x -\ -h ) — v\-]r -^ [u {x-\ -h ,						y-\-h)-\-
					— u (x -{-h 9 y — A)			и (y	A)],
		• « =		£	l ® (X-4 - h) -	® ] +	f l	( * ■ + - Y ) ,
	=	+			— » ] +		S £[o(ÿ +		A, Z +	A) +
+	o(z +	A) — o(ÿ — A, г + А)— [о(г +						А)] + Л ^ - ( г + -| -),
		•« =		-^-ltt(2 + A ) - « H - H g j ( 2 + 4 - ) ,
	e02 =		-£-[o(z + A) — v\-\ -^[w {y-\-h,						z -(-A) —|-
		+	w(ÿ +		A) — v (y — h, z +		A) — w(y — A)].			(1.49)

37

Представляя перемещения и, v и w в виде разложе­ ния по полиномам Лежандра (1.31) и производя интег­ рирование по соответствующим площадкам в пределах от — Ъг до bz и от —Ьх до bXi получаем значения равно­ действующих упругих сил, приложенных к центру соот­ ветствующих площадок:

	^2
Рхх =	J Qxxhydz = ^	^и° "Ь	Ч~
	-*Х
Ч“ “ р [vo	У Ч~"^г) “Ь	(УЧ~h) — v0(x-\-h9 у	h)

— vo(У— fy\ Ч~				An [Wm(x - f - h) - f- Щ],
			m
Pyx =	[V0 (x + h ) -			vt] +	^	[«. (x +		h,	у +	h) +
4~ u o (у Ч~ Щ —			4 “	у		^0	(y		b)]j
	P zx=		[a>0(x +		h) — w„] +
	+ ^ y ^ A m[u,n(x +				h) +		um},
		m
	Ргг =	fr + t y bvb [щ (г +				h) -	w.) +
+ -qp -[o. (У + h,		z + h) +	v0(z +		h) - ' u 0(y -			h,	z +	h ) -
— VQ(Z “f—h)] -f-			J	Am[Um (z			h) +Um\,
			m
Pxz—	[M0 (e -(- h) — щ] -J-				^		(wm (z +		h) +	wm],
					m
	Pyz= Y T		[ü°			y»l +

[®o (У+ h, z + h) + Wt(y + h)

—w„ (y — h, z + h) — Wt(y — h)].

(1.50)

Значения перемещений, относящиеся к центрам смежных сечений, определяются как средние арифмети­ ческие от перемещений центрального узла сочленения и

38

соседних узлов элементов пластин. Поэтому в выраже­ ния (1.50), «роме разностей, вошли также суммы. Рав­ нодействующие выражаются через члены разложения перемещений по полиномам Лежандра. Если члены раз­ ложения относятся к соседним узлам пластин, то они имеют тот'ж е смысл, что и в выражениях (1.42). Если же они относятся к центральному узлу (не имеют аргу­ мента), то физический смысл имеют только члены с ин­ дексами «0» и «1». Члены с индексом «0» определяют перемещение узла сочленения в направлении коорди­ натных осей. Члены с индексом «1» определяют углы поворота элемента сочленения относительно координат­

ных осей. Члены с индексами «2»,	«3», ..., относящиеся
к центральному узлу сочленения,	в выражениях (1.50)
следует приравнять нулю.

Помимо вычисленных равнодействующих, на элемент сочленения действуют также силы по граням с нормалью у. По этим граням элемент стыкуется с такими же эле­ ментами сочленения или с элементом сочленения трех пластин (рис. 1.15). Со стороны соседних элементов на него действуют напряжения, которые можно заменить тремя силами и одним моментом. Нормальные силы Р+уу и Р~уу можно определить через деформации растяжения

P+n ^ ^ [ v ( y + h ) - v ] , P -yy = ^ { v - v ( y - h ) \ , (1.51)

где sy — площадь боковой грани.

Касательные силы можно определить через деформа­

ции сдвига
P+xy =	j f [ u { y - \ - h ) - u } - \ - ^ - [ v { x - ^ h ) - v ] ,
P - xy = J & [ u - u { y - h ) ] + * g - [ v - v ( x - h ) } ,
	Ну		X
Р+*у =	[да (у +	h) -	W] +	[У (z - f h) - о],
p - zy = H *L [w - w ( y - h ) ) - \ - - ^ - [ v - v ( z - h)].					(1.52)
Крутящий момент можно определить через деформа­
ции кручения элемента относительно оси у
M + y y = - - l f \Ь (У + h) -		и	М - „ у =	(T, - т Л	У - h)\,

(1.53)

где J'y — центральный момент инерции сечения относи­

тельно точки пересечения сечения с	осью	у\ уу — угол
поворота элемента относительно оси у.	на	координатные
Проектируя все полученные силы

оси и приравнивая их силам инерции, получаем три уравнения для проекций сил

Рхх +	Рхг +	Р*у -\-Рху =	тах,
Р'уу ”	Р у у +	Р у х - { - Р у * =	т а У'
Ргг-\-Рхг		~ ’ Ргу = т а г>			(1-54)
где т — масса элемента		сочленения, ах,		ау, az— проек­
ции ускорения на оси координат.
Проектируя моменты на ось у, получаем
М + у у — М - у у + P xzhz! 2 P zxhx/2 =				J у£у>	( 1.55)

где ] у — момент инерционных сил элемента относительно координатной оси у, гу — проекция углового ускорения на ось у .

Уравнения (1.54) используются для вычисления пе­ ремещений узла сочленения в направлении координат­ ных осей. Чтобы эти уравнения соответствовали уравне­ ниям для элементов пластин, лучше заменить переме­ щения и, V и w нулевыми членами в разложении (1.31):

			1		v ~	1		1
	и = - ^ и 0,					— v0i		— ш0,
	и(У +		Л) =		4 ' и° 0/ +			/0 и т. д.
Представив		ускорения				в	разностной		форме	(1.8),
можно записать			уравнения				(1.54) в виде		явной	схемы
«О (f -f- х) =		Рхх -(- Рхг -(- Рху -\~Рху “ Ь 2и» — U0(t — х),
(f +	т) =	Pm -P ~ w +				Ру* +		Руг + 2о. -	о, (t - х ) ,
ш. (t +	х) =	р гг -{- р гх - f р + -						р - -L 2а». -	да, (t - х ) ,
где функции сил выражаются в виде
	Р х х =	2x2					[И0 ( X -J- А) — Uo] -j-
			Р х х = = А х х
+ Bxx[v0(x-\-h,			y +	A) +		y»(t/ +		/i)- v t (x-\-h, y — h) —
		{y		A)] -j- ЗСдгдг				(лг -|- h ) -(- a»i],