книги / Цифровые сигналы и фильтры

Как следует из (7.8), максимум отношения сигнал/шум получается, ког­ да выполняется следующее равенство

(7.9)

Учитывая (7.4), можно утверждать, что равенство (7.9) выполняется при условии

М 0 = М * о - 0 -

(7.10)

Постоянная величина к не влияет на вид импульсной характеристики и ее можно не рассматривать, полагая

A(0 = j i ( <o “ 0	*	(7.11)

Таким образом, максимум отношения сигнал/шум на выходе обеспечи­ вается линейной цепью, имеющей импульсную характеристику, определя­ емую видом сигнала: она описывается временной функцией сигнала, сме­ щением ее во времени - ее зеркальным отображением. Цепь, имеющая импульсную характеристику, описываемую (7.11), называется согласован­ ной цепью или согласованным фильтром. Таким образом, при обнаруже­ нии сигнала на фоне белого шума оптимальный фильтр представляет со­ гласованную с сигналом цепь.

Поясняет получение такой характеристики рис.7.1: импульсная харак­ теристика такой цепи с точностью до постоянной величины является зер­ кальным отражением сигнала, смещенного на интервал tQпо оси времени (рис. 7.1).

Если сигнал sx(/) имеет спектральную плотность Sx( ю ) , то смещению

во времени на t0соответствует умножение спектральной плотности на мно­

житель задержки e~i0}t° (что следует из свойств преобразования Фурье ).

s(0 1

s,(‘V

t

Таким образом,

* .( '- * 0)<->S1(© )e-'B\

(7-12)

где символ <-» означает соответствие по Фурье.

Величине sl (/0 —/) во временной области соответствует комплексно­

сопряженная величина (со)еш1° в частотной области. Следовательно,

частотная характеристика согласованного фильтра Н(Т) , обеспечивающе­ го максимум отношения сигнал/шум, описывается выражением

H(co) = S*(co) eiù)t°	(7.13)
При t0 = 0 имеем
H ( œ ) = Sl' (со),	(7.14)

т.е. частотная характеристика оптимальной цепи представляет величину, комплексно сопряженную с спектральной плотностью сигнала.

Спектр сигнала на выходе такого фильтра определяется выражением

S2(o>) = 5, (ю)Л(ю) = 5, (о>)5/ (со) =WX(©),

(7.15)

где Wt((û) - спектральная плотность энергии сигнала на входе. Спектральной плотности энергии W (со) соответствует корреляционная

функция сигнала на входе

Sl(©)£,* (со) =WX(«и)

R(T ) = J л-,( ф , (t + r)dt

(7.16)

Таким образом, согласованный фильтр выполняет функцию коррелято­ ра, формирует автокорреляционную функцию сигнала на входе.

Максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного филь­ тра определяется из (7.9) с учетом следующего соотношения

о°	t{)
\ s î ( t 0 - u ) d u = \ s î ( t ) d t = E(t0 ),		(7.17)
о
где E(t(ï) - энергия сигнала в интервале времени до момента tQ.

Выражение (7.17) определяет энергию сигнала за интервал времени до момента /0.

Таким образом, максимальное отношение сигнал/шум на выходе согла­ сованного фильтра равно

*^2 (^0 ) _ E(t0)

(7.18)

т.е. максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного филь­ тра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности шума на входе. Очевидно, что увеличение значения этого отно­ шения (при заданных характеристиках шума) возможно только за счет уве­ личения энергии сигнала на входе.

Рассмотрение проводилось для случая воздействия на цепь белого шума. Однако тот же подход может быть использован и в случае воздействии на цепь шума, имеющего произвольную спектральную плотность мощности. Выражение для отношения сигнал/ шум на выходе согласованного фильт­ ра в этом случае примет вид [46]

(7.19)

где G((û) - спектральная плотность мощности шума на входе цепи.

От общей постановки задачи оптимизации перейдем к определению условий оптимальной цифровой фильтрации, сформулируем подход к вы­ бору оптимальной схемы ЦФ.

Очевидно, оптимальные ЦФ должны иметь частотную характеристику, соответствующую частотной характеристике аналогового оптимального фильтра. В свою очередь, частотная характеристика аналогового фильтра определяется видом сигнала и в общем случае спектральной плотностью мощности шума на входе.

7.2. О п ти м а л ь н ы е циф ровы е ф и л ь т р ы

Общий подход к выбору оптимальных, согласованных, фильтров позволяет определить характеристики аналоговых фильтров. Более универсальным ви­ дом фильтрации, обнаружения сигнала на фоне шума, является цифровая. Она получает все более широкое практическое применение. Методы перехода от аналоговой цепи к цифровой хорошо известны (Разд.4), однако при выборе оп­ тимального ЦФ они не всегда приемлемы. Это связано с тем, что, определив оптимальную характеристику цепи, необходимо сначала выбрать аналоговую цепь с соответствующей характеристикой, а затем от аналога-прототипа перей­ ти к ЦФ. Решения как первой, так и второй из названных задач, связаны с опре­ деленными сложностями, могут сопровождаться ошибками. Вследствие ука­ занных причин при выборе оптимального ЦФ целесообразно использовать пря­ мой метод синтеза фильтра, который и рассматривается в дальнейшем.

t

Импульсная характеристика оптимального фильтра определяется (7.11), является зеркальным отображением сигнала (рис. 7.2)

h(t) = Sl{t0 - t )

(7.20)

Значение tQудобнее брать совпадающим с моментом окончания сигнала на входе фильтра. Однако сигнал может описываться функцией, опреде­ ленной на всей временной оси. В этом случае, чтобы получить импульс­ ную характеристику физически реализуемого фильтра, длительность им­ пульсной характеристики должна быть ограничена так, чтобы выполня­ лось условие h(t)=0 при t<0 Таким образом, импульсная характеристика должна быть смещена в область положительных значений аргумента и огра­ ничена по времени настолько, чтобы не заходила за начало координат.

От полученной импульсной характеристики аналогового согласованно­ го фильтра можно перейти к дискретной импульсной характеристике ЦФ - И(пТ). Она и определяет схему согласованного ЦФ, это схема нерекурсив­ ного фильтра.

Полученная дискретная импульсная характеристика позволяет опреде­ лить сигнал на выходе ЦФ с использованием дискретной свертки

иг(пТ) = ^ м , {kT)h(nT - кТ) =	х(пТ - кТЩ кТ),	(7.21)
*=0	к =о

где Т - интервал дискретизации; u,(nT) - сигнал на входе.

Выражение (7.21), в котором используется импульсная характеристика, определенная из (7.20), описывает операцию оптимальной фильтрации сигнала с использованием КИХ фильтра. Схема такого фильтра представ­ лена на рис. 7.3.

Чтобы перейти к рекурсивной схеме согласованного фильтра, следует определить системную функцию ЦФ - найти z-преобразование его им­ пульсной характеристики

N-\
H( z) = ^ h ( n T ) z - \	(7.22)

л=0

где N - число интервалов разбиения. Выражение для системной функции

обычно записывается в виде рациональной дроби относительно г 7

я(2) = a0+a,z-'+a2z-1+... +aMz-M

1- b xz - b 2Z - ...* - 6^2

(7.23) Учитывая соотношение между z и со, от выражения для системной функции в виде

(7.23) можно перейти к частотной характеристике ЦФ

Я (й)) = |Я(<а)| е'9"(<в),

(7.24)

где амплитудно-частотная характеристика описывается выражением:

N М

)о>Т]

л=0 /л=0______________________	(7.25)

X X 6A c o s [ (/ i-/w К ] ’

л=0 т=0

фазо-частотная характеристика:

М			N
X	ûmsin(wû)T)		X	sin(«û)T)
<К«) =- a r c t g	----------------+ arc/g		--------------- .		(7.26)
X	ят COS(/MÛ)T)	X	^/i	cos(/JtoT)
/71=0			л=0

Однако расчет по (7.22) чаще всего не дает простого выражения для системной функции в виде (7.23), которое позволило бы определить схему ЦФ. Таким образом, схема полученного согласованного фильтра, как пра­ вило, будет нерекурсивной.

Примеры

1. Сигнал - прямоугольный видеоимпульс (рис. 7.4). Импульсная характеристика согласованного фильтра имеет вид

показана справа на рис. 7.4 [t0= т).

Проведем дискретизацию импульсной характеристики с интервалом дискретизации

Т = тU /N.

Дискретной импульсной характеристике соответствует системная фун­ кция, которая при t0 = 0 определяется выражением

H (z ) = ^ z ~ n = 1 - z 'N /1 - z ' 1

л=0

Системная функция описывает рекурсивную схему ЦФ, которая изоб­ ражена на рис. 7.5 (а0=Ь=1).

Частотную характеристику ЦФ можно найти, исходя из выражения для системной функции, как указывалось ранее.

Амплитудно-частотная характеристика полученного ЦФ описывается выражением

г сот8 Л

И°>)| sin , 2 J

(озТЛ sin —

V 2 J

График АЧХ оптимального фильтра при достаточно малом значении Т (большом значении N) имеет вид функции, изображенной на рис. 7.6. Там же представлена импульсная характеристика ЦФ.

Как следует из анализа полученного выражения и приведенного графи­ ка, амплитудно-частотная характеристика ЦФ соответствует характерис­ тике аналогового фильтра; при достаточно большом значении N практи­ чески совпадает с ней.

Сигналы на входе и выходе согласованного фильтра приведены на рис.7.7 2. Сигнал - экспоненциальный импульс (рис. 7.8, а).

s(t)= e at, 0 <t <tQ.

Спектральная плотность сигнала описывается выражением [18]

J _ e ~ ( a + i c o ) t 0

С0) = --------------;---------. a+ i(ù

График амплитудного спектра сигнала приведен на рис. 7.8,6. Импульсная характеристика согласованного аналогового фильтра имеет вид

h(t) = е'а0о'°.

Системная функция ЦФ получится в виде

H ( z ) = е~а'° eeV" = е~0'°- z~N /1 - е°V ,

п=0

где T = t/N.

Схема согласованного фильтра приведена на рис. 7.5, параметры схемы определяются соотношениями:

АЧХ и импульсная характеристика фильтра приведены на рис. 7.9. При малом значении Т график АЧХ повторяет кривую рис. 7.8,6.

На рис. 7.9 приведены также сигналы на входе и выходе фильтра. 3. Сигнал (рис. 7.10,а)

s(t)—e'at- e‘bt, 0 < t< t0.

Спектральная плотность и корреляционная функция сигнала описыва­ ются выражениями

\ _	Ъ~ а	=	?__ c-a]f| +	а Ь ^ |
'	{a + i(ù){b + i(û) ’		2а(а + Ь)	2b(a + b)

График амплитудного спектра сигнала приведен на рис. 7.10,6 [19].

Получить импульсную характеристику и системную функции согласо­ ванного ЦФ можно, используя решения предыдущего примера. Графики импульсной характеристики и АЧХ согласованного ЦФ приведены на рис. 7.11. Там же приведены графики сигналов на входе и выходе фильтра.