книги / Численные методы. Ч. 1

j-l	j-1	rl
Z(2) = AZ(,) = £<х^А Х ^ = ^ a j(Xj)2Xj ;
>1	j-i

		j-i
Для	достаточно	большого числа	итераций		получим, что |X,|k » |X j|k, j = 2,n.
Отсюда	следует, что	Z ^ a a ^ A .,) X1,	то	есть	построенная указанным	способом
последовательность векторов Z(0), Z(,\ Z(2),				сходится (с точностью до направления)
к вектору X1, соответствующему наибольшему собственному значению |Х,|.
Кроме того, учитывая, что имеет место зависимость
			=X,|a,(Xl)kX,|«X.1Z(k)			(5.Ю)

получим итерационный процесс для вычисления наибольшего (по модулю) собственного значения:

Метод обратных итераций

Для нахождения наименьшего (по модулю) собственного значения матрицы А

можно воспользоваться тем, что матрица А '1 имеет собственные значения, обратные собственным значениям исходной матрицы.

Понятно, что в этом случае итерационный процесс
Z(k+,) = A”,Z(k)	(5.11)

приводит к определению модуля наибольшего собственного числа |Х| матрицы А"1 Соответственно, |А.| ' является наименьшим собственным числом матрицы А.

А"1= -i h 4	2 1
6|_ 5	-1

Согласно выражению (5.11) построим итерационную процедуру

z !k*"= ^ (-4г |к,+2г(,к'),

z«k*"= i(5z;k)-z'k)).

В качестве первого приближения вновь выберем вектор Z(0) = J. Результаты

расчетов сведены в таблицу 5.4.

					Таблица 5.4
		Вычисление наименьшего собственного значения
	Номер	7 оо	z‘k>	И	X
	итерации
			1
	0	1		1,414213562
	1	-0,333333333	0,666666667	0,745355993	0,527046277
	2	0,444444444	-0,388888889	0,590563656	0,792324287
	3	-0,425925926	0,435185185	0,608932705	1.031104266
	4	0,429012346	-0,427469136	0,605624847	0.994567777
	5	-0,428497942	0,428755144	0,606169498	1.000899321
	6	0,428583676	-0,428540809	0,606078537	0.999849941
	7	-0,428569387	0,428576532	0,606093692	1,000025005
	8	0,428571769	-0,428570578	0,606091166	1,000020837
	9	-0,428571372	0,428571570	0,606091587	1,000000695

После нормирования получаем вектор

-0,7071066181

0,707106944 Г

Значения для собственного вектора

	Х:	Л	-0,7071067811
			0,707106781)

и собственного значения Х2 = -1 также определены ранее.

Контрольные вопросы и задания

♦Сформулируйте алгебраическую проблему собственных значений. Укажите различие между полной и частичной проблемами.

♦Что понимается под устойчивостью собственных значений и собственных векторов?

♦Определите, что называется коэффициентом перекоса и поясните его геометрический смысл.

♦Опишите и обоснуйте метод интерполяции для определения собственных значений.

♦Обоснуйте алгоритм приближенного определения собственных векторов.

♦Какие особенности трехдиагональных матриц использует описанный алгоритм вычисления определителя?

♦Опишите процедуру метода линеаризации для поиска собственных значений и векторов.

♦Можно ли при использовании степенного метода определить знак максимального собственного значения?

♦Поясните идею определения минимального собственного значения с помощью “обратных итераций".

б . Ч И С Л Е Н Н О Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е

Конечно-разностная аппроксимация

jj_а Пусть на отрезке [а, Ь] введена сетка с шагом h = ------,

п

Пп = |х0=а; х, = a + ih , i = 0,n}.

В произвольной точке этой сетки приближенное значение производной некоторой функции и(х) можно представить несколькими способами:

й, u( * J

'h

,и(х,)-ч(х„,) ‘ h

и(»,„)-и(хн ) 4 2h

Рис. 6.1. Схема численного дифференцирования

Вполне очевидно, что эти формулы по-разному, то есть с различной стеш ыо точности, представляют значение производной в рассматриваемой точке.

Для оценки получаемых погрешностей воспользуемся разложениями рассматриваемой функции в ряды Тейлора вблизи заданной точки х>

) = u(x.)+ u'(x.)h +и"(х.)у + u"'(x.)Y + ° ( h4) ’

ч(х,-,) = uOO - u'(x,)h + U "(x,)y - u'"(X i)y+ ° ( h4) .

Оценим погрешность представления величиной и' первой производной, то есть отклонение действительного значения производной от ее приближенного значения:

> Ф „ . ) - Ч х.)

V, =и'(х,)-й ; = и'(х,)-

= u'(* .) - f(u'(*i)h+u"(*1) y +u'"(xi) y +0(h4)) =

u'(x, ) - u'(x ,)-u "(x, ) | - u"(x, ) y + 0 (h 3) = - u" ( x ,)y - u" '(x ,)y + 0 (hJ) = 0 (h).

Полученный результат свидетельствует о том, что погрешность аппроксимации первой производной u'(xj) выражением й' определяется величиной,

пропорциональной шагу h сетки Пп при условии ограниченности второй производной и"(х,) и малости самого шага h. В этом случае говорят, что имеет место первый

порядок аппроксимации.

Оценим погрешность аппроксимации величиной и' первой производной:

у/, = u,(x ,)-u ; = U (х,)— 7	v— —=
= u'(x.) - ^ u'(x,)h - u"(x,) y	+ u'"(x, ) y 4

= u'(x,) - u '( x,) + u''(xl) |- u " '( x l) y + 0 (h ,)= u"(x1) | - u " '( x,) y + 0 ( h J) = 0(h).

Видно, что в этом случае также имеет место первый порядок аппроксимации. Аналогично поступим для оценки погрешности формулы “ц*:

¥. =u'(x1) - Ч,= и'(х1)------ ^ — '- =

= u'(x,) _ y ( 2u'(x,)h + u'"(x,) T + 0(hJ)) - u'(x.)~ “Чх*)“ u'"(x. +°(h*)=

=- “ "'(x, ) y + 0 (h 5) = 0 (h J)

Впоследнем случае получили уже второй порядок аппроксимации. Это означает, что из трех выражений для аппроксимации производной последний вариант обеспечивает наименьшую погрешность.

Вполне очевидно, что в любом из рассмотренных случаев приближение производной ее разностным аналогом тем точнее, чем меньше шаг h выбранной сетки. Вместе с тем следует иметь в виду, что уменьшение шага h приводит к возрастанию

погрешности вычислений.

В самом деле, пусть вместо точных значений и(х,) и и(х,_,) вследствие ошибок

округления получены значения Цх^+б, и и(х,_,)+ б,Аппроксимация производной

г ', _ (и(*.)+5'М	и(*.-')+6м)	и(х,)-и(хм )	6 ,-6 ,.,
‘	h	h	h
вычисляется также с ошибкой		При известных оценках |б;|<А, |б4_,| < А
полную погрешность можно также оценить
	|б| < —— —►оо,	h-> 0.
Очевидно, следует потребовать, чтобы погрешность округления не превышала
погрешности аппроксимации при записи разностного аналога:
	2А M,h
где М 2 = maxju"(x)| - чебышевская оценка второй производной заданной функции на
отрезке [а, Ь].
Отсюда следует
	Н* 2 1
	М,

Применение интерполяционных формул

Для получения приближенного значения производной можно воспользоваться

рассмотренными ранее способами аппроксимации значения функции. Идея

заключается в том, что сложная функция заменяется вблизи заданной точки некоторым полиномом, для которого и определяется значение производной.

В частности, для трех точек хм , Xj, х|+1 полином Лагранжа имеет вид

L ,W - , < - - - х — ■>

к

Xх. ( х , . 1 -х^Хх,.,-х.)

(х-х.Дх-х,)

(x-x,.,X*-x»»).,/r w(x-x-iXx-x0„(v у

■ h,(h1+u

h,h,.,

u(x',+ M h 1+h,.,)

Определим для построенного полинома производные:

Л	2u(X-l)	2u(X.) ,	2u(X..l)
'	h,(h,+ h„|)	h,h,.i	h ^ h .+ h ,,,) -

Для выбранной точки Xj получаем значение первой производной

j . / \	hlt,u(x,-,)	, (h,„-h,)u(x,) |	h,u(x,„)
	h,(h ,+ h w)	h,h„,	hM(h ,+ h ,.,)'

Очевидно, что выражение L'2'(x) от переменной х не зависит.

В частном случае постоянного шага сетки				= hi+I = h получаем
	I- 'Ы	u(x—■) | u(x»*')		u( * J - 4 * , - i )
	Л	2h	2h	2h	4 ’
L ;'(X,)=	2U (X ,_I )	2u(x,)	| 2u(x„|)	u(x,_,) - 2u(x,) + u(x„,)
	2h!	h!	2h!	hJ

Контрольные вопросы и задания

♦Укажите принципы построения аппроксимации производных функции.

♦Определите понятия: погрешность аппроксимации, порядок аппроксимации.

♦Опишите способ оценки точности аппроксимации производной разностным аналогом.

♦Как используются интерполяционные полиномы для построения аппроксимаций производных?

♦Установите зависимость степени интерполяционного полинома от порядка аппроксимируемой производной.

♦Определите погрешность полученной аппроксимации второй производной.

♦ Запишите самостоятельно выражение для аппроксимации смешанной

w d2u(x,y)

производной---- -— - и оцените ее погрешность.

д \д у

7 Ч И С Л Е Н Н О Е И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е

Пусть для функции f(x) требуется вычислить значение определенного интеграла

			I = jf(x)dx.				(7 .1)
			а
Заменим подынтегральную функцию разложением вида
		f ( x ) « if(*,)<P,(x),					(7.2)
где f(xj)	значения	заданной		функции	в	узлах	разностной сетки
Ога = | хо = а’	Xj=a +i h;	i=0,т;	h =	I Фj(x)		система	линейно-независимых
функций.
Подставляя выражение (7.2) в формулу (7.1), получаем
	I= }f(x)dx * £ f(x,)J<P,(x)dx =£c,f(x,).						(7.3)
	а		}=0	а	рО
			Ь		__
В этой формуле обозначено			С3 =Jфj(x)dx, j =0,ш - весовыекоэффициенты.
Выражение (7.3) носит название квадратурной формулы интерполяционного типа;
]ГСДхл) - квадратурная сумма.
Разобьем	весь интервал		интегрирования		[а,	Ь] на	ряд подынтервалов

[хк_„ хк], к = 1,п, поскольку на каждом из таких отрезков проще и удобнее оценивать

квадратурные формулы. Погрешность формул интегрирования на произвольном отрезке [хк_р хк] определяется как разность между точным значением интеграла и

квадратурной суммой:

Ч-i 1"

Пользуясь свойством аддитивности, выражение (7.1) представим в виде

I=J f(x)dx = Z }f(x)dx.

J

^ 1

Погрешность численного интегрирова ия на всем интервале [а, Ь]

T = X Vk.

(7.4)

к I

Формула прямоугольников

Рассмотрим простейший случай, когда в разложении (7.2) удерживается лишь одно слагаемое, содержащее функцию ср0 = 1. В этом случае весовой коэффициент

ч

C0k = Jcp0dx=h, xkI

и на отрезке [хк_,, хк] интеграл заменяется выражением
Jf(x)dx=f(xt ,,2)h .	(7.5)
xk-i

Геометрически это означает замену интеграла на указанном отрезке площадью

прямоугольника с основанием h и высотой, равной значению функции в середине

основания прямоугольника (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Схема численного интегрирования методом прямоугольников

Воспользуемся для представления функции f(x) вблизи точки хк_|/2 формулой

Тейлора

f(x) = f(xk-l;!) + f'(xt ,;j)(x -x t „:) + Р'(^ Х *ы/г) , * б[хк.„х к].

Определим погрешность вычисления интеграла на отрезке [xk_,, хк J:

Ч\ = J f(x)dx - f(xk.1/2)h = Ч-I

= jf ^к-1/2)+f'(хк-I/2)(X- х>1<:)+f"(£)^

jdx-f(xk,|„)h =