книги / Численные методы. Ч. 3
.pdfАппроксимация решения кусочно-линейными функциями
Стержень, имеющий длину L, разбивается на 4 (для определенности равных отрезка длиной Л = 1/4 каждый. Для произвольного отрезка [xi>xj
(рис. 3.1, б) температурное поле описывается уравнением (3.1), граничные условия записываются в форме
dT |
dT |
(3.3) |
А,-— |
—Qi, А— |
|
dx |
dx |
|
где <?/, г- тепловые потоки на внутренних границах конечного элемента.
Построим разрешающие соотношения метода Галеркина (вариант метода взвешенных невязок, при котором в качестве взвешивающих и пробных функций используются одни и те же функции). Первоначально выбираются кусочно-линейные пробные функции в виде
4>i={xj - x)/h> Ф; =(*-•*! )/Л-
С использованием этих функций решение задачи на отрезке |
[*»>*/] |
разыскивается в виде |
|
Тт = Tjtyf + Гуфj , |
(3.4) |
где Г„ 7}- узловые значения искомого распределения температуры. |
|
Невязка уравнения (3.1), получаемая на приближении (3 .4), взвешивается с использованием функций ф, и фу,
— ( A. ^ JB-1+W Ф ^ = 0,
dx l |
dx |
|
(3.5) |
dx I |
■W ($jdx = 0; |
dx |
Первое из этих уравнений преобразуется к виду
A Q L ф I' _ |
f л^н. ^ |
dx + ] w<p,dx=0. |
dx L |
{ dx dx |
J |
'Xi |
x, |
X, |
Поскольку ф,|^ =1. ф,|х = 0, из последнего выражения следует
-л |
£ш |
- f x^L s.^i-d x+ |
f fV<p,dx=0 |
dx X , |
J dx dx |
J |
|
|
X , |
|
Учитывая (3.3) и используя представление решения (3.4), приходим к выражению
х, |
Ъ |
(3-6) |
|
Аналогичные преобразования второго уравнения системы (3.5) приводят к соотношению
(3.7)
В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур 7} и 7}, то есть коэффициентов разложения (3.4) решения по пробным функциям. Подсчитаем интегралы в выражениях (3.6) и (3.7).
|
|
d<Pi _ |
1 |
d<?j _ 1 . |
|
|
|
|
dx |
h ’ |
dx |
h ’ |
|
l dx |
dx |
h2 1 |
h |
^ dx |
dx |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
XJ |
|
|
|
|
|
<*р, d% dx = j Xd% dip, dx = - X_jd x |
X |
||||
Х1 |
|
X, |
dx |
dx |
h2 |
h ’ |
|
|
|
|
|
||
|
|
Wh |
|
|
Wh |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Подстановка полученных значений в формулы (3.6) и (3.7) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомы* коэффициентов 7) и 7},
“ ft
h 2
(3.8)
* + ™ - 0
И 2
Удобно эту систему уравнений представить в матричной форме
~-X/h X/h
_ X/h -Xlh\[Tj] \qr Whl2\ |
(3.9) |
|
Процедура ансамблирования конечных элементов
Рассмотрим композицию из четырех конечных элементов, для каждого из которых запишем свою систему уравнений (3.8):
Qo t= £ |
q2 |
I]h |
*2h |
2 |
Уо’ |
|
|
|
|
|
т |
я. |
т *. |
т |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
- Т< |
Г |
Т‘ Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
X |
X |
Wh |
|
|
|
|
Яг |
1~ ► Яз |
|
Т’ Г |
Т’ Г |
T ~ |
q‘ - |
|
|
||
|
». |
>. |
Wh |
|
|
|
|
|||
|
|
|
~Т> Г Т' Г |
Т |
" |
1’ - |
|
|
||
|
|
|
|
' |
X |
т X |
Wh |
, |
|
|
|
Яз<«-[ |
У~> 44 |
|
|
т> Г |
тТ |
Т " '” |
|
||
|
|
|
_ х |
>. |
г а |
|
|
|||
|
|
|
|
|
•W |
|
T |
' ?<• |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т Х |
Т Х |
Wh |
, |
|
|
44 |
|
|
|
|
T- r |
Tsh " т |
_ , < - |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 Л |
J h |
2 |
1 |
Витоге получена система восьми алгебраических уравнений с
одиннадцатью неизвестными 7], Г2, Г3, Г4, Г5, , q'2, ?3, 9з, <j4, ^ Для замыкания
системы уравнений следует добавить три дополнительных уравнения теплового баланса
q2 + q'2=0, |
|
■q3+q'3=0, |
(3.10) |
qA+q'A=0. |
|
Отметим, что внутренние переменные q2, q'2, q3, q3, q4, q'4 можно
исключить из системы уравнений, складывая уравнения попарно и используя равенства (3.10). Так, для двух первых систем уравнений получаем
„ X |
_ X |
|
|
Wh . |
|
+ Т1 Т ~ Т2 Т |
|
|
— ^ |
2о> |
|
1И |
2 h |
|
|
Wh |
|
„ X |
гг, X |
|
|
|
|
- тч |
* Ч |
|
|
Wh |
, |
|
„ X |
- |
X |
||
|
* Т> |
Г Т'Ъ |
= Т |
- 4 . |
|
|
m X |
_ |
X |
Wh |
|
|
- Т 2— к Г, — |
|
|
||
|
2 А |
3 |
А |
|
|
выведено из него за счет тепловых потоков с торцов. Это становится очевидным, если вспомнить, что решается стационарное уравнение теплопроводности, решением которого является температурное поле, установившееся за бесконечно большой промежуток времени. Невыполнение балансового соотношения (3.12) приведет либо к накоплению тепла в стержне (при Wh > q. +qj) и, следовательно, к бесконечно высоким температурам, либо
к принудительному отводу тепла из стержня (при < ?/ + ) и соответственно
к бесконечно низким температурам. При точном выполнении соотношения (3.12) стержень будет находиться в состоянии термического равновесия при любых значениях температур. Это означает, что решение оказывается неединственным, то есть исходная задача сформулирована некорректно. Это очевидно из уравнений (3.1) - (3.2), которые определяют решение с точностью до постоянной величины.
Вырожденность системы уравнений (3.8) на уровне отдельного конечного элемента приводит к вырожденное™ системы алгебраических уравнений (3.11) для всего ансамбля конечных элементов. Легко установить, что и в этом случае суммирование всех уравнений системы (3.11) приводит к балансовому соотношению Q0 +QL - WL. Несмотря на некорректность задачи (3.1) - (3.2),
рассмотренный порядок построения разрешающих соотношений является верным и используется для построения разрешающих соотношений. Для корректной постановки задачи следует изменить граничные условия. Пусть на левом конце стержня поддерживается постоянная температура Т \^ = Т Для
учета этого граничного условия к полученной системе (3.11) следует добавить уравнение
Т{=Т
(коэффициент Г], как это уже отмечалось ранее, аппроксимирует значение искомой температуры в этом узле) и считать поток Q0 на левом конце стержня неизвестным. В этом случае получена система шести уравнений с неизвестными Tl9T29T39T49T59Q0, имеющая ненулевой определитель,
|
|
|
|
|
= T, |
+ 7' —_ г — |
|
|
n |
mi |
|
Т] h |
T lh |
р X |
|
+ a "T* |
|
X |
2Х |
|
|
= Wh, |
|
V ' 2T |
h |
|
|
||
|
|
|
|||
|
X |
2X |
|
|
= Wh. |
|
- Г , - |
+ T , - - T A- |
|
||
|
|
h |
’ A |
j, X |
|
|
|
X |
j, 2X |
= Wh. |
|
|
|
- r4 |
* r ,~h |
Tih |
|
|
|
|
|||
|
|
|
_ Т Ъ |
T ih |
2 * L |
|
|
|
T ,h |
- f — + т |
a |
\ |
Wh |
+ a7’ |
J |
= — |
|||
S ' 5 |
|
2 |
|
В результате всех преобразований система линейных алгебраических уравнений принимает вид
1
-1/h
0
0
0
о |
О |
О |
21/h |
-1/h |
0 |
1 |
NJ |
1 |
0 |
-1/h |
21/h |
о |
о |
1 |
0 |
' х |
т |
0 |
Тг |
Wh |
0 |
■п |
Wh |
-1/h |
т< |
Wh |
1/h + a |
Ть. |
Wh/l + aT, |
Пример 3.1. Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих исходных данных. Пусть длина стального стержня L = 1 м, мощность внутренних тепловых источников W= 100 Вт/м3, коэффициент теплопроводности стали X = 70 Вт/м-град, температура окружающей среды
= 20°, Т = 100°, a = 30 Вт/м^град. Система уравнений принимает вид
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
X |
100 ' |
-280 |
560 |
-280 |
0 |
0 |
т2 |
25 |
0 |
-280 |
560 |
-280 |
0 |
т3 >= < |
25 |
0 |
0 |
-280 |
560 |
-280 |
тА |
25 |
0 |
0 |
0 |
-280 |
310 |
X |
612,5 |
Решение этой системы |
|
|
|
Г] = 100, |
Т2 = 10557/112, Г3 = 619/7, ТА= 9241/112, Т5 = 153/2 |
||
в узловых точках тождественно удовлетворяет точному решению задачи |
|||
|
Т = - - х 2- — |
х +100. |
|
|
7 |
14 |
|
Величина теплового потока на левом конце стержня, определяемая |
|||
численно, |
|
|
|
|
О - ™ - Т ,^- + гГ2Д- |
= -1595 Вт/м2 |
|
|
h |
2h |
|
Используя точное решение задачи, определяем производную |
|||
|
dT___ 10 |
319 |
|
|
dx~ |
1 Х |
14 ’ |
и, подставляя х - |
0, находим точное значение теплового потока |
||
|
dT |
= -1595 Вт/м2 |
|
|
О - ' * - dx |
||
|
|
|
- f f f * 4 |
* * A4 |
* * * +b ^ 0 |
||
Входящие в эту систему уравнений интегралы равны |
||||
^ = |г ( 2* - * ; - * Л ^!г |
= | |
г(2* - * * - * Л |
^ |
= ~ { 2 х - х, - х} , |
dx |
А |
|
|
|
•*, |
|
* |
|
|
7 , dp, dq>, |
j |
4X7/-, |
v |
7X |
XJ
|
|
Jr |
dx |
dx |
|
|
|
*/ |
|||
dx |
dx |
A |
j |
i |
i * |
|
dx |
dx |
|||
dx |
dx |
J |
|
dx |
dx |
|
|
* |
|
|
|
h
.
X,
g j f l x -
AJ V
Xf
~h hJ v ~
Jti
- x
кJ
н
\2 - |
16X |
.f d x |
= -----, |
J> |
3A |
1 «•4><, > |
1 К 1 к |
К |
|
1 ТX & н *1 1 |
X * * )* = ЗА
* )& = |
8Х |
у / |
3/2 |
Лр,<*Р,А _Л х'*р> <*»*л —- £ b . - |
J* 1 |
*1 J* 1 |
|||
dx dx |
* dx dx |
|
A4 1 |
|
|
|
*i |
|
|
|
|
|
7 |
2W*rt |
V |
|
Wh |
|
\W<vldx = -^r \{x -xJXx-xk)dx = — , |
8Х
ЗА
X , *
7„, . |
2JP7/ |
V |
w |
^ |
J Жф;Л |
= - T - J ( x - x j x |
-x *)d r = — , |
||
|
|
|
|
6 |
7 • , |
4 ^ h |
v |
U - |
2Wh |
2№7J |
р ф 4Л = - ^ | ( х - х , Х * - ^ ) * = — •
|
Т 1 Х - |
Г |
А + |
8Х |
Wh |
л |
|
г |
|
|
|||
Ч‘ |
Т‘ ЗА |
Tj3А |
'* з а + ~6~= 0 . |
|||
* |
|
|
||||
qj |
Т>зh |
lj ЗА |
ЗА |
6 |
|
|
|
т ^ т ^ - г ^ + ^ - о . |
|||||
|
ЗА |
у ЗА |
ЗА |
|
|
|
Эта же система в матричной форме принимает вид |
||||||
"-7А./ЗА |
-УЗА |
8Я/ЗА' X |
|
'д,-т/6' |
||
-УЗА - 7УЗА |
8 УЗА ■TJ |
qj-Wh/6• |
||||
8УЗА |
8Х/ЗА |
—16 уЗЛ ы |
|
-2Wh/3 |
Суммируя все уравнения этой системы, получаем уже известное условие теплового баланса (3.12)
0 = qi +qJ -Wh.
Пример 3.2. Рассмотрим задачу из примера 3.1 с теми же исходными данными. Пусть весь стержень аппроксимируется одним конечным элементом. Будем считать, как и в предыдущем случае, что на его левом конце задана температура Tjx=0 = Т, а на правом - граничные условия третьего рода
сГГ %*
Для рассматриваемого случая система уравнений приводится к виду
1 |
0 |
0 |
X |
f |
- У З L |
- а - 7 X/3L |
8УЗ L |
' Tj ' = «-a T a -WL/6 |
|
_8УЗL |
8у з L |
-16 у з у |
Тк. |
-2WL/3 |
Для принятых L, W,X, 7^, Т и а эта система уравнений принимает вид |
||||
1 |
0 |
0 |
|
100 |
-70/3 -3 0 -4 9 0 /3 |
560/3 |
|
►= <-6 0 0 -5 0 /3 |
|
560/3 |
560/3 |
—1120/3_ Л . |
-200/3 |
|
и имеет решение 7^=100 (левый |
конец стержня), 7} = 153/2 (правый конец), |
Тк = 619/7 (центр стержня). С учетом вида пробных функций (3.3) решение запишется в виде
5 |
TI Q |
Тт= tyP, + Tj<fj + Tk(f>k = - - |
х 2 - — X + 100'. |
Полученное выражение является точным решением этой задачи.