книги / Численные методы. Ч. 5
.pdfа |
б |
|
/\РЗ'2(*) |
s |
Л |
- 0,2 1---------------------------------- |
-----------------------------------1 |
0 |
я/4 я/2 Зя/4 я |
__________ а__________
*Фз/гОО/Л
“ . . Л .
-0,2 ---------------------------------
0 7С/4 л/2 Зл/4 я
Рис. 1.9. Кусочно-квадратичные пробные функции на сегменте [0,л/4] (а); кусочно-квадратичные функции,
ассоциированные с узлами сегментов (б-к)
В соответствии с полученными выражениями подсчитываются значения интегралов (с учетом определения (1.8) пробных функций)
fq£*= ^7 = 0,104719, |
]ф 0<р1/2Л |
= А |
= 0,052359, |
||||
|
|
|
|ф 0ф1Л |
= - А |
= _ 0,02б179, |
|
|
Я |
Я |
Д |
|
|
д |
л |
я |
|ф 0Фз/2Л |
= |ф 0ф2Л |
= |ф 0фm dx= /ф0ф3й6с = |ф 0ф7/2Л = |ф 0ф4оЬс = 0, |
|||||
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
о |
|
лг |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
Jcp0 cosxdx =— (cosh + 3 ) - — sin А = 0,134762; |
||||||
|ф 1/2Ф<А = £ |
= 0,052359, |
\<p]l2dx = |
=0,418879, |
||||
|
|
15 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
n |
|
i |
|
|
|
|
|
|ф 1/2ф ,^ = — = 0,052359, |
|
|||
Л |
л |
|
л |
|
д |
л |
Я |
|ф|/2Фз/2Л = |ф |/2ф2dx= |ф 1/2ф5/2б&= |ф |/2ф3^ = |
|ф |/2ф7/2с&= |ф,/2ф4й6с = 0, |
||||||
|
г |
|
8 |
. 4 |
|
|
|
|
ср1/2 cos xdx = — sin А— (1+ cos A) = 0,-476323; |
||||||
|
о |
|
A |
|
A |
|
|
K |
|
h |
= -0,026179, |
я |
|
A |
|
J<Pi<P<A = — |
|
|ф,Ф1/2^ |
= — = 0,052359, |
||||
} ф ^ = у ^ = 0,209439, |
}ф1Ф3/2аЬс = f - = 0,052359, |
||||||
о |
^ |
|
|
|
о |
^ |
л^
|ф,ф2Л = |
= -0,026179, |
О^
л |
я |
л |
я |
|ф .Ф 5/ 2 ^ = |ф |ф 3^ = |ф ,Ф 7/ 2 ^ = |ф ,ф 4А = 0,
|
л |
|
1 |
|
4 |
sin2A = 0,190582; |
|
|
ftpi cos xdx |
= —(1+ 6cos A + cos 2A) — |
|||||
|
о |
|
h |
|
h |
|
|
|
я |
|
я |
|
к |
|
J |
|
J<PV2<P(A = |фу2Ф |
^ = 0, |
/фу2ф ,л =— =0,052359, |
||||
|
= ^ |
= 0,418879, |
}ф3/2ф2Л = А = 0,0523539, |
||||
|
л |
15 |
|
л |
15 |
||
|
|
л |
|
л |
|
||
|
}фз/2ф5/2^= }ф3/2ф3Л = |
|ф 3/2ф1/2 Ьс= |ф 3/2ф4а!х = 0, |
|||||
|
О |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
Л- |
|
8 |
|
4 |
|
|
|
J |
ф3/2 cos xdx = — (sin 2А - sin А)— (cos А + cos 2A) = 0,197299; |
||||||
о |
|
|
A |
|
A |
|
|
|
Я |
Jl |
|
|
Я |
A |
|
|
|ф 2Фо<&= |ф2ф1/2Л |
= 0, |
|ф2ф,£& = - — |
= -0,0 26179 , |
|||
|
0 |
0 |
|
|
О |
^ |
|
|
я |
|
I |
|
Я |
л |
f |
|
|ф 2ф3/2Л |
= — = 0,052359, |
| ф\dx = — = О,209439, |
||||
|
о |
|
^ |
|
о |
^ |
|
я |
|
» |
|
|
я |
|
, |
|ф 2ф5/2с£с= — = 0,052359, |
|ф 2Ф3^ |
= ------= -0,026179, |
|||||
о |
|
|
|
|
о |
|
30 |
ЯЯ
|ф 2Ф7/2<&= | ф2фА = о,
оо
* |
1 |
|
4 |
J ф2 cos xdx = —(cos А + 6 cos 2A + cos 3A)+ — (sin A - sin ЗА) = 0; |
|||
Я |
Я |
Я |
Я |
]ф5/2Фо^ = |ф5/2Ф1/2^ = |ф5/2Ф1^ = ]ф5/2Фз/2^ = |
|||
Я |
j |
К |
п | |
/ < М > 2* = — = 0 ,0 5 2 3 5 9 , |
К з Л = Т 7 = °>4 1 8 8 7 9 ’ |
п |
1 |
Л |
Я |
|ф 5/2Ф з^ = — =0,052359, |
|ф 5/2ф7/2А |
= |ф 5/2Ф4^ = 0, |
|
Л |
1 Э |
Л |
п |
[ф5/2 cos xdx = —т(sin 3h —sin 2А)— (cos 2h +cos 3h) = —0,197299;
о |
h |
|
h |
|
|
|
Я |
|
Я |
я |
71 |
|
|
|ф 3Ф<А = |ф 3ф|/2Л |
= |ф 3Ф|<* = |ф 3Фз/2Л |
= 0, |
||||
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|ф 3фidx = - А |
= -0,0 26179 , |
)фзФ5/2 ^ = у |
=0,052359, |
|||
о |
^ |
|
|
о |
|
|
я |
л |
1 |
|
я |
» |
|
|ф \dx = — = 0,209439, |
|
|ф 3ф7/2<& = — = 0,05236, |
||||
о |
15 |
|
о |
15 |
|
|
|
|
]ф3ф4Л = - А |
= _о,026179, |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
я |
1 |
|
|
^ |
|
|
|ф3 cosxdx= —(cos2h +6cos3h +cos4/?)+(sin 2h - sin Ah)= -0,190582;
Я |
Я |
Я |
Я |
Я |
Я |
J"Ф7/2Фо |
= ^ф7/гФ|/2^^= ]ф7/2Ф|^= ]ф7/2Фз/2^*= \^lj2^2^X= ]ф7/2Ф5/2^ = 0 , |
||||
|
}ф7/2ф3Л = А |
= 0,052359, |
}ф27/2Л |
= ^ = 0,,418879. |
|
|
о |
|
|
о |
^ |
|
|
Я |
|
, |
|
|
|
|ф 7/2ф4Л = — = 0,052359, |
|||
|
|
о |
|
|
|
я |
g |
|
|
^ |
|
[ф7/2 cos xdx =- j (sin Ah - sin ЗА)- - (cos 3h +cos Ah) = -0,476323 • о h h
Jф4ф0<& = |ф4Ф./2^ = )ф4ф ,^ = / ф л * & = )ф4Ф2Л = |ф 4ф5/2Л = 0,
f<P4<Pг<Ь = ~ |
= -0,026179, |
/ф 4<рmdx =A = 0,052359, |
|
0 |
^ |
0 |
^ |
|
}ф*Л = Ц |
= 0,104719, |
|
я |
i |
^ |
|
fcp4 cos xdx- —(cos ЗА - 3)+—г sin ЗА = -0,134762.
оh h
Результаты расчётов
Подстановка полученных значений в выражение (1.9) приводит к системе девяти линейных алгебраических уравнений (табл. 1.5) отно
сительно коэффициентов |
разложения (1.2). Использование Прог |
|||
раммы 1.3 позволило найти решение этой системы уравнений: |
||||
а0= 1,002485, |
а, =0,923219, д2 =0,708864, |
а3=0,38241, |
||
а4=0,0, |
а5=-0,38241, |
а6=-0,708864, |
а7=-0,923219, |
а%=-1,002485.
Аппроксимация функции cosx на отрезке [0, я] кусочно-линей ными функциями с использованием 4 сегментов приведена на рис. 1.10.
Рис. 1.10. Аппроксимация COSJC (--- ) кусочно-квадратичными функциями (-о-) с использованием 4 сегментов на отрезке [0, я]
-Ръ |
Таблица 1.5 |
ON |
Матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения функции cos х по системе кусочно-квадратичных пробных функций
0,104719 |
0,052359 |
- 0,026179 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
|
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,134762 |
0,052359 |
0,418879 |
0,052359 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
|
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,476323 |
- 0,026179 |
0,052359 |
0,209439 |
0,052359 |
- 0,026179 |
0,0 |
|
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,190582 |
0,0 |
0,0 |
0,052359 |
0,418879 |
0,052359 |
0,0 |
|
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,197299 |
0,0 |
0,0 |
- 0,026179 |
0,052359 |
0,209439 |
0,052359 |
- |
0,026179 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,052359 |
0,418879 |
|
0,052359 |
0,0 |
0,0 |
- 0,197299 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
- 0,026179 |
0,052359 |
|
0,209439 |
0,052359 |
- 0,026179 |
- 0,190582 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
|
0,052359 |
0,418878 |
0,052359 |
- 0,476323 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
- |
0,026179 |
0,052359 |
0,104719 |
- 0,134762 |
На рис. 1.11, я показана зависимость от координаты х погрешности
9
Д = С08(*)-£в,ф/(*)
1=0
представления функции cos х разложением (1.2) при т = 4.
В табл. 1.6 приведены значения погрешности (1.1) аппроксима ции функции cos х при различных значениях числа слагаемых в раз ложении (1.2). Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 1.11,6.
С использованием формулы (В.1) приближенно определяется по рядок погрешности аппроксимации функции cos х разложением (1.2):
6 = ( In0,2748 • 10~' - In0,9335 • 1 (Г6)Д In1,570796 - In0,049087) = 2,96909.
Это показывает, что погрешность аппроксимации заданной функции методом Галёркина с использованием кусочно-квадра тичных функций можно приближенно оценить как величину третьего порядка относительно длин h сегментов одинаковой длины,
т.е. 8Ш= | / - 1 ^ | | = ° ( Л3)-
А
0,002
0
-0,002
-0,004
а |
б |
Рис. 1.11. Погрешность кусочно-квадратичной аппроксимации функции COSJC с использованием 4 сегментов на отрезке [0, я] (а) и зависимость погрешности аппроксимации от длин h сегментов (б)
В силу этого 5,„ —> 0 при h —>0 или Это позволяет ут верждать, что процесс аппроксимации функции cos х линейной ком бинацией кусочно-линейных функций (1.2) сходится равномерно на отрезке [0, к].
На рис. 1.12 представлена зависимость времени t выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки.
т
2
4
8
Рис. 1.12. Зависимость времени t выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки
Таблица 1.6 Погрешность Ъткусочно-квадратичной аппроксимации
функции cos х при различном числе т сегментов
h |
8m |
т |
h |
8m |
1,570796 |
0,274816-10“' |
16 |
0,196350 |
0,592882-10^* |
0,785398 |
0,324429-10'2 |
32 |
0,098175 |
0,725684-10‘5 |
0,392699 |
0,454903 10-3 |
64 |
0,049087 |
0,933515-10"6 |
Выводы
1.Процедура метода Галёркина использована для аппроксима ции заданной функции cos* линейной комбинацией кусочно-квад ратичных функций. Сформирована система линейных алгебраиче ских уравнений для определения коэффициентов разложения функ ции cos х по указанной системе функций.
2.Разработана вычислительная программа определения коэффи циентов разложения заданной функции по системе кусочно-квад ратичных функций.
3.С использованием разработанной программы определены ко эффициенты и построены разложения заданной функции COSJC по системе кусочно-квадратичных функций для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сег ментов постоянной длины (см. рис. 1.8).
4.Для указанной последовательности разложений определены по грешности аппроксимации заданной функции (см. табл. 1.4) соответст вующими линейными комбинациями кусочно-квадратичных функций.
5.Показано, что с уменьшением длин сегментов погрешность ап проксимации уменьшается (см. рис. 1.9). Установлено, что погреш ность аппроксимации имеет третий порядок относительно длины сег ментов (шага интегрирования).
6.Выполненное исследование показывает, что процесс аппрок симации функции cos* линейной комбинацией кусочно-квадратич
ных функций сходится равномерно на заданном отрезке [0, тс].
7. Для аппроксимации функции cos * с использованием кусочно линейных функций на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 1,2-10-2с.
1.4. Иерархическая система кусочно-непрерывных функций
Заданный отрезок [0, тс] разбивается на т сегментов G, =
i = l,/и равной длины h =xj - x i_l =n/m, где |
= (i-l)n/m , |
|
Х;=т/т. На каждом сегменте |
определяется |
иерархическая |
система кусочно-непрерывных пробных функций (рис. 1.13):
Фм М ={х>-х)/И, ф, (х) = {х- |
) / h , |
|
Ф/-./2 (*) = -4 (* -x w )(*-*,. )/й2, |
|
|
<Pw /2(^)=-4 (JC- ^ - l ) ( ^ - JC,-1/2 ) ( ^ - ^ ) A 2. |
(1Л°) |
Фм/2 М = - 2 ( * - * ы )(* - * м/2)2( * - * ;)/Л2 . •••>
=[хн ,лг,].
Линейные функции ф,_, (х) и <р, (х) построены так, что в «своём» (одноимённом) узле принимают значения, равные 1, а в «чужом» узле - значения, равные 0:
Фм (*,-> ) = Ф, ( * / ) = Ь Фм {*1) = Ф/ ( * м ) = °-
Квадратичная функция (рм/2 (х ) в «своём» узле имеет значение, равное 1; в «чужих» узлах - значения, равные 0:
Ф/-1/2 (*/-1/2 ) = 1» ’ Ф/—1/2 (*/-1 ) = Ф/-1/2 ( * / ) =
Кубическая функция ф-_,/2(*) в узлах хм , *м/2 и xt имеет значе ния, равные 0; в центральном узле х._1/2 первая производная этой функции равна 1:
Ф/-1/2 (*/-1 ) “ Ф/-1/2 (*/-1/2) Ф/—1/2 (*/ ) |
<*Фм/2 |
|
cbc |
||
|
Рис. 1.13. Иерархическая система кусочно-непрерывных пробных функций
Функция четвёртой степени <р'_|/2 (х) в узлах хм , х_|/2 и х, имеет значения, равные 0; в центральном узле х,_1/2 первая производная этой функции равна 0, вторая производная равна 1: