книги / Аналитическая геометрия.-1

§. 11]		ПОЛЯРНЫЕ			КООРДИНАТЫ		31
З а м е ч а н и е .		Переход от (18) к (18') можно сделать лишь при
условии, что ни одно из чисел				х г — х % и		у г — у % не	равно нулю.
Однако, так	как	равенство	(18')	более удобно для запоминания, то
условимся	записывать его		и	в	случае	обращения	знаменателей

в нуль. Только тогда, конечно, эту запись нужно будет понимать не буквально, так как на нуль делить нельзя, а условно. Будем счи­ тать, что равенство (18') всегда означает то же, что (18), т. е. что

произведение		крайних членов (JCX— х г)(у 2— у я)		равно	произведе­
нию средних членов			(х2 — х 2) (ух— y z). Например,	~ =	у значит,
что	лг1- 1 = ^ 1«0, т.		е. jc1 = 0.
	§ И . Полярные координаты. Для определения положения точки
на	плоскости,	кроме	рассмотренной выше декартовой		прямоуголь­

ной системы координат, довольно часто применяется полярная си­

стема

координат.

полю­

Пусть на плоскости даны некоторая

точка

О (назовем

ее

сом)

и проходящая

через

нее ось

ОР

(назовем ее полярной осью),

а

также

указана

единица

масштаба.

Будем

определять положение произвольной точки М

плоскости по отношению к полюсу и

поляр­

ной оси. Назовем полярным радиусом

точки

М

ее

расстояние

г = О М

от

полюса

и

по­

Рис.

24.

лярным углом точки М угол

<р

*между

полярной

осью и направленным

отрезком

ОМ (рис. 24);

условимся,

кроме того, угол ф брать

в границах — ж ^ ф ^ я .

Тогда, очевидно,

каждой точке М плоскости соответствует

единственная

пара чисел г,

Ф (исключением является полюс, для

которого

г =

0,

а

ф

произ­

вольно).

Обратно,

каждой

паре

чисел г, ф ( г ^ 0 ,

- ^ я < ^ ф ^ я )

соответствует единственная точка плоскости, для которой г является

	полярным	радиусом,	а ф — полярным	углом.	Полярный		радиус
	и полярный	угол точки будем называть ее полярными координатами.
			Полярные координаты		условимся		записы­
			вать в скобках	после	буквы,	обозначаю­
			щей точкууказывая сначала			г, а потом ф:
			М(г, ф ).
			П р и м е р .	Построить точку А ^2, —
			в полярной системе координат.
	Рис. 25.		Проведем через полюс ось под углому Я к по-
			лярной оси (другими словами, повернем поляр­
	ную ось на угол у3 я) и
			отложим от полюса в	положительном		направлении

построенной оси отрезок ОА, равный по длине двум единицам. Японец А этого

отрезка и будет искомой точкой (рис. 25).

3 2

МЕТОД

КООРДИНАТ

[ГЛ. 1

Можно установить связь между декартовыми и полярными

координатами одной

и

той

же

точки. Пусть даны декартова си­

стема координат и полярная с

полюсом

в

начале

координат и полярной осью, совпадающей с осью

абсцисс

(рис.

26). Обозначим через х и у де­

картовы

координаты

произвольной

точки М,

через

г и ф — ее

полярные

координаты.

Мы

знаем,

что

Рис. 26.

х =

прх ОМ,

у =

пр

ОМ

(гл. I, §

9, формулы

(14'))

и,

с другой стороны,

прх ОМ =

г cos ф,

пру ОМ =

г sin ф

(гл. I, § 9, формулы (12)).

Поэтому

ХС=

1Г COS ф,

1

(19)

>=

Г5Шф.

J

Формулы

(19) выражают

декартовы

координаты

точки

М через

ее полярные

координаты. Чтобы

найти

полярные

координаты

точки,

зная ее декартовы координаты, возведем обе

части

каждого

из

равенств

(19)

в квадрат

и

затем

сложим

их

почленно. Получим:

х 2 -{-у2=

г2 (cos2 ф

sin2 ф),

т. е.

г* =

* * + / .

откуда

_______

г =

V X 2~\~у2.

(20)

Далее,

из

равенств

(19)

получим:

(21)

По формуле (21) определяется тангенс

полярного угла ф;

при

этом получаются два значения ф

(напомним,

что

— л < ^ ф ^ я ) ,

ле­

жащие в разных четвертях.

Так

как

>у =

г8!'пф,

то

из

этих

двух

значений угла ф нужно выбрать

то,

для

которого

синус

имеет

тот

же знак, что

и у .

П р и м е р .

Даны декартовы координаты точки М: х = \ ,

у =

— 1.

Найти

полярные координаты. По формулам

(20) и (21) имеем:

г=УT+\=V% t g q > - = - l .

тт

.

3

и ф =

я

ф =

я

Из двух значении ф =

— я

-----нужно взять

----------, так как

sin ф в данном случае должен иметь отрицательный знак.

	УПРАЖНЕНИЯ					33
Итак, полярные координаты данной точки
	г = Г2,	<р = —	2 - .
З а м е ч а н и е . Для	введенных	нами	полярных		координат	О,
— я < ^ ф ^ я . Однако	такое ограничение иногда оказывается стесни­
тельным; в дальнейшем	мы будем	считать,		что г	и ф могут	прини­
мать любые значения от — оо до -J-oo.				В таком случае построение

точки по ее полярным координатам г и ф условимся производить

следующим образом.		О ось под углом ф к
Проведем через полюс					полярной оси (т. е.,
другими словами,	повернем	полярную ось на угол ф,				делая, в слу­
чае надобности,	несколько	полных оборотов) и отложим от полюса
отрезок ОМ длиною |г | в		положительном		направлении		построенной
оси, если г^> 0, и в отрицательном при			г< ^0 .		Конец	М этого от­
резка будет искомой точкой. Очевидно,			при	таком, построении поляр­

ный радиус точки М равен величине направленного отрезка ОМ, лежащего на оси, проведенной под углом ф к полярной оси. Суще­ ственно, что паре любых действительных чисел г и ф соответствует

единственная точка		М. Именно поэтому		эти числа и считаются коор­
динатами точки.
Заметим	еще,	что формулы	(19)	остаются	справедливыми не
только при	г ^2 0,	— я < ( ф < я ,	но и	в общем	случае. Для дока­

зательства этого нужно воспользоваться выражениями проекций

направленного отрезка

ОМ

на

оси координат

через

его

в е л и ­

ч и н у

г и угол

ф между осью Ох и осью,

на которой лежит

этот

направленный отрезок (гл. 1, § 9, формулы

(13)). В этом случае при

нахождении

г из

формулы гг=

х г-\-у г

радикал

можно

брать

с

лю­

бым знаком

г = ± у ^ Т 7 >

формуле (21),

(20')

после

этого

угол

ф может быть

найден

по

причем ф

выбирается

так,

чтобы' sin ф

имел

тот

же

знак,

что и -у

(так

как

y = rsin ф).

Упражнения *)

1. Построить точки, определяемые в данном масштабе

координатами:

х =

2,

г/ = 5;

х =

— 3,

у =

0;

х = 3,

У =

~ 4;

х = 0,

у = 4;

* = 3,

У — — 3;

* = / 2 ,

У = 1.

2. Дана точка,

определяемая

координатами х = 5, у =

— 2.

Найти

коор­

динаты точки, симметричной с данной относительно оси абсцисс,

биссек­

'3. Найти

точку

б, симметричную точке

А (2,

— 4)

относительно

трисы I

и III

координатных углов.

') Ответы к упражнениям помещены в конце книги; к упражнениям, но­ мера которых помечены звездочкой, даны решения.

34	МЕТОД КООРДИНАТ	[ГЛ. I
цисс. 4. Найти координаты точки, симметричной А		(а,Ь) относительно оси абс­
	5. Найти координаты точки, симметричной	А (а,Ь) относительно оси
ординат.

6.Найти координаты точки, симметричной А (а, Ь) относительно начала координат.

7.Показать, что точка А2, симметричная Л, (а, Ь) относительно биссек­

трисы I

и III координатных углов, будет иметь координаты (b, а).

8.

Дан

квадрат

со стороной,

равной 2 единицам. Чему будут равняться

координаты

вершин этого

квадрата,

если

оси

координат

направить

по каким-

нибудь двум из его непараллельных сторон?

9.

Дан

квадрат,

сторона

которого

равна

2

единицам.

Чему

будут

рав­

няться координаты его вершин, если оси

координат направить

по

диагоналям

этого квадрата?

10.

Дан

ромб,

сторона которого равна

5

единицам,

а одна

из

диагоналей

6 единицам. Чему будут равняться координаты его вершин, если

оси коор­

динат направить по диагоналям этого ромба?

11.

Найти

координаты

вершин

правильного

шестиугольника, сторона

ко­

торого равна а, при условии,

что

начало

координат помещено

в

центре

ше­

стиугольника,

а ось

абсцисс

проходит

через

две противоположные

его

вер­

шины.

точки А (— 3,

12.

Точка, двигаясь прямолинейно,

переместилась

из

— 2)

в точку

В (4,

5). Определить

пройденный

путь

и угол

а

между

осью

Ох и

направлением движения.

13.

Есть ли среди внутренних

углов треугольника

с

вершинами

в точках

А( 1, 1),

В (— 1, 2)

и

С (3,

3)

тупой угол?

А (3, 2),

14.

Доказать,

что треугольник,

вершинами

которого служат точки

В (6, 5),

С (1,

10),— прямоугольный.

А (2, 3),

В (— 3,

15.

Найти

периметр

треугольника

с

вершинами

3),

С(0 ,- 1 ) .

А (2,

В (—2,

16.

Найти

длины

медиан

треугольника

с

вершинами

1),

3),

С(0, 3).

17.

Проведен отрезок

от точки

(1,

— 1) до точки (— 4,

5). До какой точки

нужно продолжить его в том же

направлении,

чтобы

его

длина

утроилась?

18.

Найти на оси абсцисс точку,

которая

отстоит на

одинаковом

расстоя­

нии от начала координат и от

точки (— 5,

3).

19.

Найти точку,

находящуюся

на

равных

расстояниях

от осей

координат

иот точки (3, 6).

20.Найти точку, находящуюся на расстоянии 10 единиц от оси абсцисс

иот точки (— 5, 2).

21.Прямая линия проходит через точки А (2, 4) и В (5, 1). Найти на ней

точку,

абсцисса которой равна — 3.

у)

22.

Расстояние между точками' (х, 5) и

(— 2,

делится

в

точке

(1,

1)

пополам. Найти

эти точки..

(0,

2) и

(8, 0)

в таком

же *отно­

23.

Разделить отрезок

между точками

шении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат.

24.

Две вершины

треугольника

даны

координатами

х, =

3,

у х— 1

и

хг = — 2, у г =

Ъ. Найти третью вершину при

условии,

чтобы

середины

про­

ходящих через нее сторон лежали на осях координат. ^

одна

из

двух

25.

Основание треугольника равно а, высота равна h и

других

сторон

равна

Ь.

Принимая

основание

и

высоту

за

оси координат,

найти координаты середины третьей стороны.

треугольника,

вершины

кото­

26*. Определить точку

пересечения

медиан

рого суть А (1,

2), £ (0 , 5), С ( — 2, 3).

— 8),

„

27.

В ерш ины треугольника суть

(5,

0),

(3,

(1, —

4).

Наити точки,

в которых медианы его делятся на три равные части.

УПРАЖНЕНИЯ

35

28.Выразить координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин.

29.Показать, чго если система состоит из п материальных точек At (xu ух),

A2{x2t #2)1 • • •» Ап (хю Уп)>

в

которых

сосредоточены

соответственно

массы

/л„ т 2,

т а, . . . , т п,

то

координаты

центра тяжести

этой

системы определятся

формулами

х _ х,т, + х2тг +

• • • + х„т„

_

у,т, - f

угтг +

. . .

+

у„тп

т1+ т2 +

• • • +

тп

'

rni +

тг +

• • • +

тп

30.

Определить

площадь

треугольника

с вершинами

в

точках

Л(0, 1),

В(3, 4),

С (— 1, - 1 ) .

31.

Вычислить площадь четырехугольника с вершинами в точках А (—2, —3),

£ ( - 1 ,

4), С (3, 3) и D (6,

- 1 ) .

32.

Узнать, лежат ли точки (2, 3), (5, 7), (11, 15) на-одной прямой.

33.

Определить

величину

и направление силы

Р,

зная,

что ее

проекции

на оси

координат равны Рх =

5, P v = 1 2 .

треугольника,

вершины

которого

34.

Найти

центр

тяжести

проволочного

лежат

в

точках

О (0,

0),

А (4,

0) и

В (3,

4).

трапеции,

большее

осно­

35.

Однородная доска имеет вид прямоугольной

вание которой равно а,

меньшее b

и высота

h. Найти

положение ее

центра

тяжести (толщиной пренебречь).

36.Найти декартовы координаты точек, полярные координаты которых следующие:

37.Найти полярные координаты точек, декартовы координаты которых

следующие:

Л(3, - 2 ) , В ( - 1, - 1 ) , С (3, 0), D(0, - 4 ) .

Г Л АВ А II

ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Составление уравнений заданных линий. В предыдущей главе было показано, что в декартовой системе координат каждой точ­ ке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой такой паре чисел соответствует определенная точка плоскости.

Теперь установим, что линиям на плоскости соответствуют урав­ нения с двумя переменными. Эта связь между линиями и уравне­ ниями позволит свести изучение геометрических свойств линий к ис­

следованию		аналитических свойств соответствующих				им	уравнений.
В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как
геометрическое место точек. В определении линии						как	геометриче­
ского	места	точек содержится	свойство,	общее	всем		ее точкам.
Так,	например, окружность с		центром в	точке	С и		радиусом R

можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости,

отстоящих от С на расстоянии R . Это						значит,	что для		всякой
точки	М, лежащей на			окружности, M C = R , если			же	точка	М не
лежит	на окружности,			то M C=^R.
Возьмем		на	плоскости		какую-нибудь	линию,	выберем		в этой
плоскости декартову систему координат и						рассмотрим		произвольную
точку указанной линии. Если эта точка будет перемещаться									по дан­
ной линии,		то ее	координаты		х и у будут	меняться,		оставаясь, од­

нако, связанными некоторым условием, характеризующим ‘точки ли­

нии.	Таким	образом,		мы	получаем		некоторое		соотношение	между
х и у , которое будет				выполняться			только придвижении точки по
линии и нарушится, если точка сойдет с линии.
Следовательно,			линии		на	плоскости		соответствует некоторое
уравнение с двумя переменными х							и у.	Такое уравнение		между
переменными х и у,				которому удовлетворяют координаты						любой
точки, лежащей на				линии,		и не	удовлетворяют координаты ни
одной точки, не лежащей на ней,							называется уравнением			данной
линии. Входящие			в это уравнение				координаты		х н у произвольной
точки линии называются текущими координатами.
Рассмотрим несколько простейших примеров составления										уравне­
ний	данных	линий.

§ 21		ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ		СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ		87
П р и м е р	1.	Найти	уравнение прямой, делящей пополам			отрезок между
точками Л(1,	2),	В (— 3,	4) и перпендикулярной к нему.
Будем рассматривать эту прямую как геометрическое место точек, рав­
ноудаленных	от	точек А	и В . Пусть	М	(х, у) — произвольная	точка указан­
ной прямой. Равенство			A M	—	В М	(1)

выражает общее свойство всех точек этой прямой (если же М не будет лежать

на данной прямой, то A M

Ф В М ) .

Для

составления уравнения прямой остается

выразить расстояния A M

и В М

через

координаты

точки М

и полученные вы­

ражения подставить в равенство (1). Тогда

V ( X -

I ) 2 +

(у -

2)2 =

У(х + 3)* + {у -

А)К

Это уравнение и является

уравнением

данной прямой.

Возводя обе части

его в квадрат,

после упрощений получим:

2* — У

5 = 0.

П р и м е р

2. Составить уравнение окружности

радиуса

R .

Выберем произвольно оси координат. Тогда центр С окружности будет

иметь некоторые координаты а и Ь.

произвольной

У

Обозначая

через

х

и у

координаты

точки

М

окружности,

выразим аналитически свойство,

общее всем точкам М .

Из

определения

окружности

следует,

чго расстояние точки

М

от

центра

С

окруж­

ности

(рис.

27) есть

величина

постоянная,

равная

ради­

усу R ,

т. е.

С М =

R .

(2)

X

Определяя

С М

как

расстояние

между

двумя

точ­

О]

ками

С

и М (гл. I,

§ 5),

мы выразим

равенство (2) с по­

мощью текущих координат точки М :

Рис. 27.

Y ( x - a f - \ - ( u - b f = R.

(2')

Возвышая обе части

последнего уравнения в

квадрат,

получим уравнение ок­

ружности в окончательном виде:

(х — а)2 +

(у — Ь ) 2 =

R2.

(3)

В этом

уравнении

постоянные а,

6,

R суть

соответственно координаты

центра и радиус

окружности;

переменные х

и у

являются

координатами

про­

извольной

точки

окружности.

В

частности,

если

начало

координат выбрано

в центре

окружности,

то а =

Ь =

0,

и уравнение

(3)

принимает более

про­

стой вид:

x* +

y* =

R*.

(3')

§ 2. Геометрический смысл уравнений. Мы видели, что всякая линия, рассматриваемая как геометрическое место точек, опреде­ ляется уравнением между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение между двумя переменными л; и у, вообще говоря, опре­ деляет линию как геометрическое место точек, координаты которых

хи у ему удовлетворяют.

Всамом деле, рассмотрим какое-нибудь уравнение между пере­ менными х н у . Перенося все его члены в левую часть, придадим уравнению вид;

у) = 0,

(4)

где F означает символ функции двух переменных. Пуеть при любом фиксированном числовом значении х уравнение (4), рассматриваемое

3 8 ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II

как уравнение относительно неизвестного у , имеет, например, два действительных корня.

Дадим переменному х произвольное числовое значение х = а и найдем из уравнения (4) соответствующие значения у , Для опреде­ ления у получаем уравнение с одним неизвестным:

Пусть это уравнение Отметим на рис. 28 две

У

F(a, у) =			0.					(5)
имеет	корни,			например,		у =	ЬХУ у = Ьг.
точки	/И,		и	Мгу	координаты			которых
(а, Ьг)	и	(а, Ь2) удовлетворяют						данному
уравнению			(4).
Дадим теперь переменному х другое
числовое		значение			х =	а9 и	определим

соответствующие значения у из уравнения

F (a \ у) = 0.

(5')

Пусть корни этого уравнения будут у =

Ьи

у = Ьг.

Отметим

на

рис.

28

две

точки

Мх и Мг, координаты

которых

(а',

Ьх) и

(а , Ь2) удовлетворяют, данному уравне­

нию. Если переменное

х

мы

будем

не­

прерывно

изменять от значения а до значения а \

то прямая L N будет

перемещаться

параллельно

самой

себе,

отправляясь

от

положения

PQ и приходя

в положение

P 'Q \

причем в любом ее положении на

ней будут

две

точки,

координаты

которых

удовлетворяют

данному

уравнению

(4).

Таким

образом,

точки

М и М'

описывают

линию.

Эта линия получается в результате двух движений: с одной стороны,

движения	прямой L N	параллельно		самой себе (изменение я), а с дру­
гой— движения точек		М	и М по	этой прямой (изменение у).
Итак,	уравнение	(4)	между	координатами х и у определяет

линию как геометрическое место тех точек плоскости, коорди­

наты

которых

удовлетворяют

данному

уравнению.

Рассмотрим несколько примеров на по­

строение

линий,

заданных

уравнениями.

П р и м е р

1. Построить линию, определяемую

уравнением х — у = 0.

Уравнение можно переписать в виде:

У =

х.

Очевидно, геометрическое место точек, для

которых

абсцисса

равна

ординате, представляет

собой биссектрису АВ I и III

координатных углов

Рис. 29.

(рис. 29). Уравнение х — у =

0

определяет, следо­

вательно,

эту биссектрису.

линию,

определяемую

уравнением х-{-у = 0.

П р и м е р

2.

Построить

Легко

видеть,

что

геометрическим

местом

точек,

для

которых

у = — х,

будет биссектриса

CD

II

и IV координатных

углов.

Следовательно,

уравне­

ние х + ^ =

0 является уравнением этой биссектрисы (рис.

29).

§

2 ]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УРАВНЕНИЙ

39

П р и м е р

3. Построить линию,

определяемую уравнением х2— у = 0.

Выразим из этого уравнения одну из координат через другую

(например,

у через х): у = х?.

например —4, ~3,

Будем давать х различные произвольные значения,

^•2,

—1, 0,

1,

2,

3, 4, и находить соответствующие

значения у.

Таким

образом, мы получим ряд точек,

нанесем их на

плоскость и соединим

плавной

линией (рис.

30).

Это

и будет

искомая

кривая.

Рассмотрим

еще

некоторые

осо­

X

У

бые

виды уравнений.

1)

Уравнение

может

содержать

— 4

16

только

одну

из

текущих

координат

и тем

не менее

определять

некото­

— 3

9

—2

4

рую

линию.

- 1

1

Пусть,

например,

дано

уравне­

0

0

ние

у — 2 =

0

или

у =

2.

Геоме­

1

1

трическим

местом

точек,

ординаты

2

4

3

9

которых

равны

2,

будет,

очевидно,

4

16

прямая, параллельная оси Ох и от­

стоящая

от

нее

на расстоянии двух

единиц.

Аналогично уравнение х -\-

-\- 1 = 0

определяет

прямую, парал­

лельную

оси

Оу.

часть уравнения F (x , у) =

2)

Если

левая

0

разлагается на

мно­

жители,

то,

приравнивая

нулю

каждый

множитель в

отдельности,

получим несколько новых уравнений, каждое

из

которых

может

оп­

ределять некоторую линию. Например, уравнение

х 2— у 2 =

0

или

(^"Ь.УН* — у) =

0 определяет

пару прямых

д г-^ -у ^О

и

х — у —

=

0 — биссектрис

координатных

углов.

F (x , у) = 0

3)

В

частности,

может

случиться,

что

уравнение

между координатами х и у определяет геометрическое место, состо­ ящее из’ одной или нескольких отдельных точек. Так, например, уравнение х 2 -{-у2 = 0 определяет точку 0 (0 , 0); уравнению

(*2— 1)2 + (у2 — 4)2 = 0

соответствует геометрическое место, состоящее из четырех точек:

(1, 2); (1, - 2 ) ; ( - 1 , 2); ( - 1 , - 2 ) .

4) Может, наконец, случиться, что уравнение F(x, у) = 0 не определяет никакого геометрического места точек. Так, например, уравнение

	* 2+	/	+	1 = о
не удовлетворяется ни одной		парой		действительных	значений коор­
динат	X и у.
Если уравнение удовлетворяется, как в только что приведенном при­
мере,	лишь, в том случае, когда		хотя бы одно из		переменных д:, у

40

ЛИНИИ И

ИХ

УРАВНЕНИЯ

[ГЛ. И

имеет мнимое значение, то говорят, что уравнению соответствует

мнимое место

точек.

§

3. Две

основные

задачи.

Из

изложенного

в

§§

1

и 2 выте­

кает

постановка

двух

основных

задач.

I.

Дана

линия

как

геометрическое

место

точек.

Составить

уравнение этой линии.

И. Дано уравнение между координатами х и у. Построить

линию, определяемую этим уравнением.

В следующей

главе

мы рассмотрим общее решение той

и дру­

гой

задач в

отношении

прямой

линии.

§ 4. Пересечение двух линий.

Среди

различных

геометрических

задач одно из важных мест занимает задача нахождения точек пере­

сечения двух

данных

линий.

Пусть эти

линии определяются

соответственно

уравнениями

/ ( * , » =

0

и

ф(дг, _у) =

0.

Если

существует точка

их

пересечения,

то,

очевидно,

она лежит и

на той и на другой линии. Поэтому координаты ее должны удо­

влетворять каждому из данных уравнений, и, наоборот, всякая точка,

координаты

которой

удовлетворяют

этим

двум

уравнениям,

лежит

на обеих линиях. Следовательно, чтобы найти

точки

пересечения

двух

данных

линий, нужно совместно решить их

уравнения.

Каждое

действительное решение этой системы уравнений даст точку пересе­

чения. Если

же

окажется,

что

эта

система

несовместна

или

во всех

ее

решениях

хотя

бы одно

из

чисел х или у

имеет мнимое значение,

то

это будет

означать,

что данные линии не пересекаются.

П р и м е р .

В § 1 настоящей

главы было выведено уравнение

окружности

с центром в начале координат и

радиусом

R в виде

X* +

y*=:R*.

Возьмем радиус,

равный 5 единицам. Тогда

уравнение

такой

окружности

примет вид: х? -\-у* =

25.

В

примере 1 того же параграфа

было выведено урав­

нение

некоторой

прямой 2х — у -(- 5 =

0.

Пусть требуется

найти

точки

пересечения

этих линий.

Для

этого нужно

решить систему уравнений

х2 + У*= 25,

2х — у + Б = 0.

Из последнего уравнения имеем:

У = 2х + 5.

Подставляя это выражение у в первое уравнение, получим: ** -{- (2х + 5)2 = 25.

После упрощений будем иметь:

хг -f- 4х = 0,

откуда

xL= 0 и xz = — 4.