книги / Линейная алгебра.-1
.pdf3. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ |
211 |
||||
П реобразование базисны х векторов e i, е 2, ..., еп назы вается т р е |
|||||
у го л ь н ы м , если оно имеет следую щ ий вид: |
|
||||
fi |
= |
е ь |
|
|
|
f2 |
= |
a2ie i |
+ |
е 2, |
|
f3 |
= |
a 3ie i |
+ |
< 424 + ез, |
(7-19) |
fп — flniei + <424 + ... + en.
З а м е ч а н и е . |
Т ак как определитель м атрицы треугольного преоб |
||||
разован и я (7.19) |
отличен |
от нуля |
(равен 1), |
то векторы fi, |
f2, ... , fn |
образую т базис. |
|
|
|
|
|
Введем в рассм отрение угловы е миноры |
м атрицы А { е ) |
= (щ Д |
|||
коэф ф ициентов |
ф орм ы |
А (х, х) в |
базисе е, |
обозначив их |
сим вола |
ми Д ь Д 2 , . . . , Д |
п - ь |
|
|
|
|
Д 1 — <4i, Д 2 |
|
<4i |
ai2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 i |
<42 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
• • -5 |
—1 |
|
<41 |
|
<4,П — 1 |
|
(7.20) |
|
|
|
|
<4 —1,1 |
••• |
<4 —1,п—1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С праведливо следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
|
||||||
Т е о р е м а |
7 .4 . |
П уст ь м иноры |
Д 1 , Д 2, ... , |
Д п |
м ат рицы |
(щД |
|||||
квадрат ичной |
формы |
А (х, х) |
от личны |
от |
н уля . Тогда |
сущ е |
|||||
ст вует |
единст венное |
т реугольное |
преобразование |
базисны х |
век |
||||||
торов |
ei, е 2, |
... , |
е п , с |
пом ощ ью |
которого ф орму |
А (х, х) |
м ож но |
||||
привест и к каноническом у виду. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Н апомним, |
что |
коэф ф и ц и ен ты |
bij |
ф о р |
||||||
мы А (х, х) в |
базисе fi, |
f2, ... , fn |
вы числяю тся |
по ф орм улам |
= |
=а ( f i.f i) .
|
Если ф о р м а А (х, х) в базисе fi, f2, ... , fn имеет канонический вид, |
||
то |
= 0 при i |
ф j . П оэтому д л я доказательства теорем ы достаточ |
|
но |
построить с |
помощ ью треугольного преобразования (7.19) |
такой |
базис f i , f2, ... , |
fn , в котором будут вы полняться соотнош ения |
|
|
|
A (fi, fj) |
= 0 при i ф j , или, что то ж е, при i < j |
(7.21) |
(при этом, конечно, надо убедиться, что искомое преобразование един ственно).
Если обратиться к ф орм улам (7.19) д л я f^, то, используя линейное свойство квадрати чн ой ф орм ы А (х, х) по каж дом у аргументу, легко
14*
212 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
зам етить, что соотнош ения (7.21) будут вы полнены , если будут вы пол нены соотнош ения 5)
А ( е и fj) = 0, |
И ( е 2, fj) |
= |
0, ... , А ( е , - _ ь |
fj) = |
0, |
(7.22) |
|
3 = 2 |
, 3, |
... , п. |
|
|
|
Запиш ем ф орм улы (7.22) в развернутом виде. Д л я этого подставим |
||||||
в левы е части этих ф орм ул вы раж ение |
|
|
|
|||
fj = ajiei |
+ a j 2 ^ 2 + |
... + dj?j _ i e j _ i |
+ B J |
|
(7.23) |
|
д л я fj из соотнош ений |
(7.19). И спользуя далее свойство |
линейности |
||||
А (х, х) по каж дом у аргум енту и обозначение Л ( щ , |
B J ) |
= a*j, |
полу |
чим в результате следую щ ую линейную систему уравнений д л я неиз вестны х коэф ф ициентов a j k :
&j l ^ l l Т ^ 7 2 ^ 1 2 + . .. |
+ Ql j _ 1 |
j _ 1 H- 04j — 0, |
|
OLjlCLj _ 1 Д + Otj2 dj —1 , 2 + . .. |
+ Qj?j _ id j _ 1 ?j _ 1 + aj _ Цj = |
0. |
|
|
|
|
(7.24) |
О пределитель этой системы |
равен A j _ 1 |
. По условию A j _ i |
7 ^ 0. |
С ледовательно, система (7.24) имеет единст венное реш ение. Таким об разом , мож но построить единственное треугольное преобразование ба
зисны х векторов, с помощ ью которого ф о р м а А (х, х) приводится к каноническому виду. Т еорема доказана.
П риведем ф орм улы , по которы м м ож но вы числить коэф ф и ц и ен
ты виц искомого треугольного преобразования, и ф орм улы д л я кано нических коэф ф ициентов Aj.
О бозначим |
символом |
A j _ i j |
|
минор м атрицы (а^-), |
располож ен |
|||||
ный на пересечении строк |
этой |
м атрицы |
с ном ерам и 1 |
, 2 |
, ... , j — 1 |
|||||
и столбцов |
с ном ерам и |
1 , 2 |
, ... , |
г |
— 1, г + |
1, . .. , j . Тогда, |
обращ аясь |
|||
к системе |
(7.24) и используя ф орм улы К рам ера, получим |
следую щ ее |
||||||||
вы раж ение д л я осц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a ii |
|
= ( - Ц |
+ 1Д м |
Т . |
|
(7.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A j _ i |
|
|
|
Займ ем ся вы числением канонических коэф ф ициентов Aj. |
||||||||||
Т ак как Aj |
= bjj |
= |
AL(fj, fj), то из |
вы раж ен и я (7.23) д л я fj и |
5) Нетрудно убедиться, что из соотношений (7.21) следуют соотношения (7.22).
|
|
4. |
ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ |
|
|
213 |
||||||||
ф орм ул |
(7.22) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лj = |
A |
( f f)) |
= |
A ( a j ± e i + |
a j2e 2 + . .. |
+ |
|
i ej - i + |
еЦ fj) |
= |
||||
— |
^ ( ej3 fj) |
= |
A ( e j , « j i e i |
+ |
a j 2e 2 + |
. .. |
+ |
j _ ±ej _ i |
+ |
e j) |
= |
|||
|
|
|
|
= |
QLjiCLij |
+ |
QLj2a2j |
+ |
. .. + |
QLj^j —iCLj — |
+ |
Hjj. |
||
П одставляя вы раж ение |
(7.25) д л я |
ащ в правую |
часть последнего со |
|||||||||||
отнош ения, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лj = ((-l)J+ 1aijAj_i>i + (-l)-7+ 2a2jAj-1,2 + •••
... + (-l)2-7
Ч ислитель последнего соотнош ения представляет собой сумму про изведений элементов строки с номером j в определителе A j на ал гебраические дополнения этих элементов в указанном определителе. С ледовательно, этот числитель равен A j . П оэтому
А,- |
= |
j |
= |
2, |
3, |
... , п. |
(7.26) |
Т ак как Л1 = H ( f i , f i ) |
= |
H ( e i , e i ) |
= |
а ц |
= |
A i , |
то отсю да и из (7.26) |
получаем следую щ ие ф орм улы д л я канонических коэф ф ициентов:
Л! = Д ь Л2 = |
. .. , А„ = |
(7.27) |
|
ZAl |
ААп- 1 |
§ 4. Закон инерции квадратичны х ф о р м . К л асси ф ик ац ия квадратичны х ф ор м
1. Закон инерции квадратичны х ф о р м . М ы уж е отм ечали (см. зам ечание 2 п. 1 преды дущ его п ар агр аф а), что ранг квадратичной ф орм ы равен числу отличны х от нуля канонических коэф ф ициентов.
Таким образом, число отличны х от нуля канонических коэф ф и ц и ен тов не зависит от вы бора невы рож денного преобразования, с помощ ью которого ф о р м а А (х, х) приводится к каноническому виду. Н а самом
деле при |
лю бом способе приведения ф орм ы |
А (х, х) к каноническо |
му виду |
не м еняется число полож ительны х |
и отрицательны х кано |
нических |
коэф ф ициентов. Это свойство назы вается законом инерции |
квад рати чн ы х ф орм .
Преж де чем перейти к обоснованию закон а инерции, сделаем неко торы е зам ечания.
214 |
ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
||||||
П усть |
ф о р м а |
А (х, х) |
в базисе |
е = |
(e i, |
в 2 , ... , |
еп) определяется |
м атрицей А (е) = |
(щ Д: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
х >х ) = |
X ! |
а А А |
’ |
(7-28) |
|
|
|
|
i ,j = 1 |
|
|
|
где £i, ^2 , • • •, £п — координаты вектора х в базисе е. Д опустим, что эта ф о р м а с помощ ью невы рож денного преобразования координат приве дена к каноническому виду
|
А |
(х, х) — Ai fi\ + |
А2 Д2 |
+ ••• |
+ |
А^ц^, |
|
(7.29) |
||
причем Ai, А2 , . . |
Xk — отличны е от нуля канонические коэф ф и ц и ен |
|||||||||
ты , занум ерованны е так, |
что первы е q из этих коэф ф ициентов поло |
|||||||||
ж ительны е, а следую щ ие коэф ф и ц и ен ты — отрицательны е: |
|
|||||||||
Al > |
О, |
А2 > |
0, |
. . ., Ад > |
0, Ад + 1 < |
0, |
... , \ к |
< 0. |
|
|
Рассм отрим |
следую щ ее невы рож денное |
преобразование |
коорди |
|||||||
нат ^ 6) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
т = - j = H u V2 — ^ /= Д 2 , . |
Щ — |
|
|
|
||||||
Щ + 1 |
|
|
1 |
Дд + Ъ |
•, т |
= |
|
f^k 5 |
|
(7.30) |
|
л / - |
\ |
|
|
|
|||||
|
|
+ 1 |
|
У - Х к |
|
|
||||
|
|
Vk + l |
= |
Д/г + 1 |
% |
= Дп |
|
|
|
|
В результате этого преобразования ф о р м а А (х, х) |
прим ет вид |
|||||||||
А (х, х) |
= |
гЦ + |
ц \ + . . . + |
rfq - |
rfq + 1 |
- |
. . . - |
ril, |
(7-31) |
назы ваем ы й норм альны м видом квадрати чн ой ф орм ы .
И так, с помощ ью некоторого невы рож денного преобразования ко
ординат £1 , £2 ? • • £п вектора |
х в базисе е |
= |
(e i, в 2 , ... , |
еп) |
||
Vг = |
а И^1 + |
а г2^2 |
+ . . . |
+ |
« г п £ п 5 |
(7.32) |
i |
= 1 , 2 , . . . , гг, |
det(c4 |
j) |
ф 0 |
|
(это преобразование представляет собой произведение преобразований ^ в ц и ц в ц п о ф орм улам (7.30)) к вад р ати ч н ая ф о р м а м ож ет бы ть приведена к норм альном у виду (7.31).
6) Легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля.
4. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ |
|
215 |
||
Д окаж ем следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
Т е о р е м а 7 .5 (закон инерции к вад рати чн ы х ф орм ). |
Число сла |
|||
гаем ы х с п о ло ж и т ельн ы м и |
(о т р и ц а т ельн ы м и ) коэф ф ициент ам и |
|||
в норм альном виде квадрат ичной формы не |
за ви си т |
от |
способа |
|
приведения формы к эт ом у виду. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть |
ф о р м а А (х, х) |
с помощ ью |
невы ро |
|
ж денного преобразования координат (7.32) приведена к |
норм ально |
му виду (7.31) и с помощ ью другого невы рож денного преобразования координат приведена к норм альном у виду
|
А |
( х , |
х ) |
— Ci + C l + |
• • • + |
Ср |
— Ср + |
1 |
— • • • — ( I |
• |
|
(7.33) |
||||||
О чевидно, |
д л я |
доказательства |
теорем ы |
достаточно |
убедиться в |
|||||||||||||
справедливости равенства р |
= q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П усть р |
> q. У бедимся, что в этом случае им еется ненулевой век |
|||||||||||||||||
тор |
х такой, что |
по отнош ению к базисам , в которы х ф о р м а А (х, х) |
||||||||||||||||
имеет вид (7.31) и (7.33), координаты 7 7 1, 7 7 2, • • |
r]q и Cp + i, |
• • •, Сп этого |
||||||||||||||||
вектора равны нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
т |
= |
0, 772 = |
0, . .. , |
щ |
= 0, |
Ср + 1 = |
0, |
... , Сп |
= |
0. |
|
(7.34) |
|||||
Т ак как |
координаты |
r]i |
получены |
путем |
невы рож денного |
преоб |
||||||||||||
разован и я |
(7.32) |
координат |
С ъ - - - , Сп, а |
координаты |
|
C i ~ c |
помо |
|||||||||||
щ ью |
аналогичного |
невы рож денного |
преобразования |
этих |
ж е ко |
|||||||||||||
ординат |
Съ • • |
Сп, |
то |
соотнош ения |
(7.34) |
|
мож но |
рассм атри вать |
||||||||||
как |
систему линейны х однородны х уравнений |
относительно коорди |
||||||||||||||||
нат Ci, • • |
Сп искомого вектора х в базисе е |
= |
(e i, в 2 |
, ... , |
е п) (напри |
|||||||||||||
мер, |
в развернутом |
виде |
соотнош ение 7 7 1 = |
|
0 имеет, согласно (7.32), |
|||||||||||||
вид |
a n C i |
+ |
OL1 2 С2 |
+ . .. + адпСп = |
0 ). Т ак |
как р > <7 , то число од |
||||||||||||
нородны х уравнений (7.34) меньш е тг, и поэтом у систем а |
(7.34) имеет |
ненулевое реш ение относительно координат Ci, • • •, Сп искомого векто
р а х. С ледовательно, если р |
> д, то сущ ествует ненулевой |
вектор х, |
|||
д л я которого вы полняю тся соотнош ения (7.34). |
|
|
|||
П одсчитаем значение ф орм ы |
А (х, х) |
д л я этого |
вектора |
х. О бра |
|
щ аясь к соотнош ениям (7.31) и (7.33), получим |
|
|
|||
А (х, х) = - rfq + ! - |
. . . - ц \ = |
Cl + Cl + |
• • • + Ср- |
||
П оследнее равенство м ож ет им еть место лиш ь в случае r]q+ 1 = . .. |
|||||
. . . = rjk = 0 и Ci = С2 = • • • |
= |
Ср — 0- Таким образом, в некотором |
|||
базисе все координаты (д , ( 2 , . .. , |
Сп ненулевого вектора х равны нулю |
||||
(см. последние равенства и соотнош ения |
(7.34)), т. е. вектор х равен |
||||
нулю . С ледовательно, предполож ение р |
> q ведет |
к противоречию . |
216 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
По аналогичны м соображ ениям ведет к противоречию и предполож е
ние р < q.
И так, р = q. Т еорема доказана.
2. К л а с с и ф и к а ц и я к в а д р а т и ч н ы х ф о р м . В и. 1 § 2 этой главы
(см. определение 2) бы ли введены понятия полож ительно определен ной, отрицательно определенной, знакоперем енной и квазизнакоопределенной к вад рати чн ы х ф орм .
В этом пункте с помощ ью понятий индекса инерции, п олож итель
ного и отрицательного индексов инерции к вад р ата ф орм ы мы ука
ж ем , каким образом мож но вы яснить принадлеж ность квадрати чн ой
ф орм ы к тому или иному из перечисленны х вы ш е типов. П ри этом
индексом инерции квадрати чн ой ф орм ы будем н азы вать число отлич
ны х от нуля канонических коэф ф ициентов этой ф орм ы (т. е. ее ранг),
по ло ж и т ельны м индексом инерции — число полож ительны х канони
ческих коэф ф ициетов, от рицат ельны м индексом инерции — число от рицательны х канонических коэф ф ициентов. Ясно, что сум м а полож и тельного и отрицательного индексов инерции р авн а индексу инерции.
И так, пусть индекс инерции, полож ительны й и отрицательны й ин дексы инерции квадрати чн ой ф орм ы А (х, х) соответственно равны к ,
р и |
q (к |
= р |
+ q). |
В |
преды дущ ем пункте |
бы ло доказано, что |
в лю |
||||
бом |
каноническом |
базисе / = ( f i, f2 , ... , |
fn ) |
эта ф о р м а |
м ож ет |
бы ть |
|||||
приведена к следую щ ему норм альном у виду: |
|
|
|
|
|||||||
|
-4 (х , х) |
= гЦ + |
+ . . . + ifp - |
ifp + 1 |
- |
. . . - ill, |
|
(7.35) |
|||
где щ , 7 7 2, • • |
Цп — координаты вектора х в базисе / . |
|
|
||||||||
|
1°) Н еобходимое и дост ат очное |
условие |
знакоопределенност и |
||||||||
квадрат ичной формы. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
С праведливо следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
|
|||||
Д л я |
того |
чтобы |
квадрат ичная |
форма |
|
Я (х, х), |
заданная в |
||||
п -м ер н о м ли н ей н о м прост ранст ве L, |
была знакоопределенной, |
необ |
|||||||||
ходим о и дост ат очно, |
чтобы либо п олож ит ельны й индекс инерции р , |
либо от рицат ельны й индекс инерции q был равен разм ерност и п про ст ранст ва L .
П ри этом, ес л и р |
= п, то ф о р м а полож ит ельно определенная, если |
ж е q = п, то ф о р м а |
от рицат ельно определенная. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как случаи полож ительно определенной
ф орм ы и отрицательно определенной ф орм ы рассм атриваю тся ан а
логично, то доказательство утверж д ен и я проведем д л я полож ительно определенны х ф орм .
1) Н е о б х о д и м о с т ь . П усть ф о р м а А (х, х) полож ительно опре
4. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ |
217 |
делена. Тогда вы раж ение (7.35) прим ет вид
А { х , х) = гф + rfe + . . . + rfp .
Если при этом р < п, то из последнего вы раж ен и я следует, что д л я ненулевого вектора х с координатам и
|
|
|
|
т |
=о , |
т |
|
=о |
, |
|
р]г |
= |
о , |
щ +1 |
Ф о , |
|
|
ц п |
|
Ф о |
|
|
|||
ф о р м а |
А |
(х, |
х ) |
обращ ается в нуль, а это противоречит определению |
|||||||||||||||||||||
полож ительно |
определенной |
квад рати чн ой |
ф орм ы . |
С ледовательно, |
|||||||||||||||||||||
р |
= |
п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть р |
= п. Тогда соотнош ение (7.35) име |
|||||||||||||||||||||
ет вид А (х, х) |
= |
ц \ |
+ |
т]2 |
+ |
. .. |
+ |
т]р. Ясно, что |
А |
(х, |
х) |
^ 0, причем, |
|||||||||||||
если |
А |
= |
0 |
, то |
тд |
= |
|
772 |
= |
• • • |
— Цп — 0, т. е. вектор |
х |
нулевой. |
||||||||||||
С ледовательно, А (х, х ) — полож ительно определенная ф орм а. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
З а м е ч а н и е . |
Д л я |
|
вы яснения |
вопроса |
о |
знакоопределенности |
||||||||||||||||||
квадрати чн ой |
ф орм ы |
с помощ ью указанного п ризнака мы |
долж н ы |
||||||||||||||||||||||
привести эту ф орм у к каноническом у виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
В следую щ ем пункте мы |
докаж ем крит ерий |
С ильвест ра |
знако |
|||||||||||||||||||||
определенности квадрати чн ой ф орм ы , с помощ ью которого мож но вы |
|||||||||||||||||||||||||
яснить вопрос о знакоопределенности ф орм ы , заданной в лю бом базисе |
|||||||||||||||||||||||||
без приведения к каноническому виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2°) |
Н еобходимое и дост ат очное условие знакоперем енност и квад |
|||||||||||||||||||||||
рат ичной формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Д окаж ем следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Д л я |
того |
чтобы |
|
квадрат ичная |
форма |
была |
|
знакоперем енной , |
||||||||||||||||
необходимо |
и |
дост ат очно, чтобы |
как по ло ж и т ельн ы й , |
т ак |
и от |
||||||||||||||||||||
р и ц а т ельн ы й индексы инерции эт ой формы были от личны |
от нуля. |
||||||||||||||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Н е о б х о д и м о с т ь . |
Т ак |
как |
знакопере |
||||||||||||||||||||
м енная |
ф о р м а |
приним ает |
как |
полож ительны е, |
так |
и отрицательны е |
|||||||||||||||||||
значения, то ее представление (7.35) |
в норм альном |
виде |
долж но со |
||||||||||||||||||||||
держ ать как полож ительны е, так и отрицательны е слагаемы е |
(в про |
||||||||||||||||||||||||
тивном |
случае эта ф о р м а приним ала бы либо неотрицательны е, либо |
||||||||||||||||||||||||
неполож ительны е значения). С ледовательно, как полож ительны й, так |
|||||||||||||||||||||||||
и отрицательны й индексы инерции отличны от нуля. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2) Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть р |
ф |
0 и q ф |
0. Тогда д л я вектора x i , |
|||||||||||||||||||||
с координатам и 7 7 1 ф |
|
0 |
, ... , |
цр |
ф |
0 |
, цр + 1 |
= |
0 , |
... , |
цп |
= |
0 |
имеем |
|||||||||||
Д ( х 1 |
, x i) |
> |
0 , |
а |
д л я |
вектора Х2 |
с координатам и |
7 7 1 |
= |
0 , |
... , |
цр = |
|||||||||||||
= |
0, |
цр + 1 |
ф |
0, |
... , |
|
цп |
ф |
0 |
имеем |
Я (х 2 , Х2 ) |
< |
0. |
С ледовательно, |
|||||||||||
ф о р м а А (х, х) явл яется знакопеременной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3°) Н еобходимое и дост ат очное условие квазизнакоопределенно |
||||||||||||||||||||||||
ст и квадрат ичной формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
218ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Справедливо следую щ ее утверж дение.
Дл я того чтобы форма А (х, х) была квазизнакоопределенной,
необходимо |
и |
дост ат очно, |
чтобы вы полнялись соот нош ения: либо |
||||||||||||||||||
р < n, q = |
0, |
либо р = |
0, q < п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . М ы рассм отрим случай полож ительно к вази |
||||||||||||||||||||
знакоопределенной |
ф орм ы . С лучай отрицательно |
квазизнакоопреде |
|||||||||||||||||||
ленной ф орм ы рассм атривается аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1) |
Н е о б х о д и м о с т ь . П усть ф о р м а А (х, |
х) |
полож ительно квази - |
|||||||||||||||||
знакоопределенная. Тогда, очевидно, q = |
0 и р < п |
(если бы р |
= |
п, |
|||||||||||||||||
то ф о р м а бы ла бы полож ительно определенной), |
А (х, |
х) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2) |
Д о с т а т о ч н о с т ь . Если |
р < n, |
q |
= |
0, то |
7> |
0 |
и |
дл я |
|||||||||||
ненулевого |
вектора |
х |
с |
координатам и |
щ |
= |
0, |
щ |
— |
0, |
... , |
г]р = |
|||||||||
= |
0, |
Цр + i |
ф 0, |
... , |
г]п |
ф |
имеем |
А (х, х) |
= |
0, |
т. |
е. |
А (х, х) — |
||||||||
полож ительно квазизнакоопределенная ф орм а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3. |
|
К р итер ий |
С ильвестра 7) зн ак ооп р едел ен н ости |
квадра |
||||||||||||||||
тичной |
ф ор м ы . П усть |
ф о р м а |
А (х, х) в |
базисе е |
= |
(e i, |
в 2 |
, ... , |
е п) |
||||||||||||
определяется м атрицей А (е) |
= |
(щ Д: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А х , х ) = Е |
" 'Л Ч /- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь J = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и пусть |
Д 1 |
= |
а ц , |
Д 2 |
= |
а ц |
<42 |
|
А |
|
|
а ц |
|
|
а \п |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а21 |
<42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&п1 |
|
• • |
<^nn |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
угловы е миноры и определитель м атрицы |
(а*Д. С праведливо следую |
||||||||||||||||||||
щее утверж дение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Т еорем а 7.6 (критерий С ильвестра). Д л я того чтобы квадрат ич |
||||||||||||||||||||
ная форма А (х, х) |
была полож ит ельно определенной, |
необходимо и |
|||||||||||||||||||
дост ат очно, чтобы были вы полнены неравенст ва Д 1 |
> |
О, Д 2 |
> |
0, . .. |
|||||||||||||||||
. . , |
Д п |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
того |
чтобы квадрат ичная форма |
была от рицат ельно |
опре |
||||||||||||||||
деленной, необходимо |
и |
дост ат очно, |
чтобы |
зн аки угловы х |
м иноров |
||||||||||||||||
чередовались, |
причем |
A i |
< 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
1) Н е о б х о д и м о с т ь . Д окаж ем сначала, что |
|||||||||||||||||||
из условия знакоопределенности квад рати чн ой ф орм ы А (х, |
х) следует |
||||||||||||||||||||
Д^ ф 0, i — 1 , 2 , . . . , п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
У бедимся, |
что предполож ение Д/, |
= |
0 ведет |
к |
противоречию — |
при этом предполож ении сущ ествует ненулевой вектор х, д л я которого
А (х, х) = 0, что противоречит знакоопределенности ф орм ы .
7) Дж емс Д ж озеф Сильвестр (1814-1897)— английский математик.
|
|
|
5. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ |
|
|
|
|
|
219 |
||||||||
И так, |
пусть A k |
= |
0. Рассм отрим |
следую щ ую квад ратн ую |
одно |
||||||||||||
родную систему линейны х уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
G ll£l |
+ ^12^2 |
+ |
• • • |
+ |
CLlk^k |
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
«2l£l + &22^2 |
+ |
• • • |
+ |
0>2к£к |
= 0? |
|
|
|
|
/7 оа\ |
|||||
|
|
O'kl^l |
+ &к2^2 |
+ |
• • • |
+ Якк€к ~ 0- |
|
|
|
|
|
|
|||||
Т ак как |
Д*. — определитель |
этой |
системы |
и Д*. |
|
= |
0, |
то |
систе |
||||||||
м а имеет |
ненулевое реш ение £i, £2 |
, • • £ & |
(не |
все £г равны |
0). У м но |
||||||||||||
ж и м первое из уравнений (7.36) |
на £1 |
, второе на £2 , • • |
последнее на |
||||||||||||||
£/, и слож им |
полученны е соотнош ения. В результате |
получим |
равен |
||||||||||||||
ство |
j = 1 |
aij€i€j — |
О? левая |
часть |
которого представляет |
собой |
|||||||||||
значение |
квадрати чн ой |
ф орм ы |
А (х, |
х) |
д л я |
|
ненулевого |
вектора |
х с |
||||||||
координатам и (£1 , £2 , • • •, £&, 0, . . 0 ) . |
Это |
значение |
равно |
нулю, |
что |
||||||||||||
противоречит знакоопределенности ф орм ы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
И так, |
мы |
убедились, что Д^ |
ф 0, |
г |
= |
1, 2, . .. , |
п. П оэтом у |
мы |
|||||||||
можем прим енить |
метод Я коби приведения ф орм ы |
А (х, х) к |
сумме |
||||||||||||||
к вад ратов (см. теорему |
7.4) и воспользоваться ф орм улам и |
(7.27) д л я |
|||||||||||||||
канонических коэф ф ициентов А^. Если А (х, |
х ) — полож ительно опре |
||||||||||||||||
деленная ф орм а, то все канонические коэф ф и ц и ен ты |
полож ительны . |
||||||||||||||||
Но тогда из соотнош ений (7.27) следует, что Д 1 |
> 0, Д 2 |
> 0 , |
... , |
Д п > |
|||||||||||||
> 0. Если ж е А (х, |
х) — отрицательно определенная ф орм а, то все ка |
||||||||||||||||
нонические коэф ф и ц и ен ты отрицательны . Но тогда из ф орм ул |
(7.27) |
||||||||||||||||
следует, что знаки угловы х миноров чередую тся, причем |
Д]_ < 0. |
|
|||||||||||||||
2) Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть |
вы полнены |
условия, налож енны е на |
|||||||||||||||
угловы е миноры Д^ в ф орм улировке теорем ы . Т ак как |
Д^ |
ф |
0, |
г = |
= 1, 2, ... , п, то ф орм у А мож но привести к сумме квад ратов методом
Я коби (см. теорему 7.4), причем канонические коэф ф и ц и ен ты Ai могут
бы ть найдены по ф орм улам (7.27). Если А \ |
> |
0, Д 2 > 0 , . .. , |
Д п > |
0, |
то из соотнош ений (7.27) следует, что все Ai |
> |
0, т. е. ф о р м а |
А (х, |
х) |
полож ительно определенная. Если ж е знаки Д^ чередую тся и А± < 0,
то из соотнош ений (7.27) следует, |
что ф о р м а А (х, х) |
отрицательно |
определенная. Т еорема доказана. |
|
|
§ 5. П олилинейны е ф ор м ы |
|
|
О п р едел ен и е. П о ли ли н ей н о й |
ф ормой A (xi, Х2 , ... , |
х р) р вектор |
ны х аргум ентов назы вается числовая ф ун кц и я, определенная на все
возм ож ны х векторах |
x i, |
Х2 , ... , х р |
линейного п ространства L и ли |
|
нейная по |
каж дом у |
из |
аргум ентов, |
при ф иксированны х значениях |
остальны х |
аргум ентов. |
|
|
220 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Простейшим примером полилинейной формы может служить про изведение линейных форм A (xi) А (х г). . . А (хр).
Полилинейная форма A (xi, Х2 , ... , х р) называется сим м ет ричн ой (кососим м ет ричной ), если для каждых двух ее аргументов х& и х/ и для любых значений этих аргументов выполняется соотношение
А (х ь |
Х к, |
X/, |
Хр) |
= |
А (х ь |
Х[, |
Хк, |
Хр) |
Д ( х ь |
Хк, |
XI, |
Хр) |
= |
- А ( х ь |
Хк, |
XI, |
Хр)). |
Пусть полилинейная форма А ( х i, Х2 , ..., х р) задана в конечно мерном линейном пространстве L, и пусть ei, в2 , ..., еп —базис в L . Обратимся к разложению каждого вектора х* по базисным векто рам е ь е2, . . еп:
п
х г = <ъг1е 1 Т <ъг2е 2 Т • • • Т ^гпе п = ^ ^ |
^ = |
• • *5 Рт (7.37) |
3 = 1
Подставляя выражения для х* по формулам (7.37) в полилинейную форму A (xi, Х2 , , Хр) и используя свойство линейности этой формы по каждому аргументу, получим
^ ( Х Ь х 2 5 • • «5 Х р ) — А |
I |
^ 2 j 2 e j2 5 ' ' -5 |
^ Р З р ^ З р J = |
|
|
\Л =1 |
J2 = 1 |
Д = 1 |
/ |
|
П |
|
|
|
= |
^iji^2j2 |
• • • ip jv A (GJ1, е^2, |
. . Gjp). |
(7.38) |
i i , j 2 , . . . , i p = 1
Таким образом, значения полилинейной формы A (xi, Х2 , ... , х р) в ко нечномерном пространстве с выделенным базисом ei, в 2 , ... , е п опре деляются всевозможными значениями A (ej 1, ej2 , ... , e Jp) этой формы
на векторах е ^ , e j2 , ..., |
ej . |
|
|
|
|
|
||||
Докажем следующее утверждение. |
|
|
|
|||||||
Т е о р е м а |
7 .7 . Л ю бая |
п о ли ли н ей н а я кососим м ет ричная фор |
||||||||
м а A (xi, Х2 , ... , |
х п), |
заданная в п -м ер н о м ли н ей н о м прост ранст ве L |
||||||||
с вы деленны м |
базисом |
е ь |
е 2, ... , е п , |
м ож ет |
быть предст авлена |
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
S n |
£l2 |
а , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А ( х 1 |
, х 2, |
... , |
х п) |
ы |
^22 |
Ь г |
(7.39) |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п1 |
<ъп2 |
|
|
где а = А (еь |
е2, |
... , |
е п), |
а (£ц, &2 , ... , |
^ п ) — координат ы вект ора х* |
|||||
в базисе ei, в 2 |
, ... , е п . |
|
|
|
|
|
|
|