книги / Линейная алгебра.-1

§ 6. ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

221

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как ф о р м а A (xi, Х2, ..., х п) явл яется ко­ сосимметричной, то д л я произвольной перестановки (Д , Д , . . j n ) ин­ дексов (1, 2, . . п ) имеем

A ( e h	, e j2 , . . . , e jn ) = ( - l ) jv(-'1’-72’	(еь	е 2, .	. е„) =
		=		(740)
где	N (Д , Д , . . j n) — число беспорядков		в	перестановке (Д ,

Д? ' ' *5 jn)-

В силу кососим м етричности ф орм ы д л я двух одинаковы х индексов

Зк и Д (Д	=	Д)	значение A (е д ,			. . e ifc, .	. e iz, .	.	ej n ) равно нулю .
О тсю да и	из	соотнош ения (7.40)				следует,	что д л я		рассм атриваем ого
случая соотнош ение (7.38) прим ет вид
				п
А ( х и х 2,			х„) = a	Y		( - l )N ( n ' n ’ " " 3n4 i h b h - - - t n j n -
				3 1 , J2 , . . j n = 1					(7.41)
С равн и вая ф орм улу				(7.41)	с ф орм улой		(1.28)	гл. 1 д л я определи ­
теля порядка		п,	мы убедимся		в	справедливости		соотнош ения (7.39).

Теорема доказана.

§6. Б илинейны е и квадратичны е ф ор м ы в евклидовом

пространстве

В преды дущ их п ар агр аф ах мы изучали билинейны е и к вад р ати ч ­

ные ф орм ы	в произвольном	(не обязательно евклидовом ) вещ ествен­
ном линейном пространстве		L. В этом п ар агр аф е	мы получим р яд
сведений о	билинейны х и к вад рати чн ы х ф орм ах,		задан н ы х в вещ е­

ственном евклидовом пространстве. П ри этом мы будем ш ироко поль­

зоваться результатам и	§ 9 гл. 5, посвящ енного линейны м	операторам .
В и. 3 настоящ его	п ар а гр аф а будет показано, каким	образом тео­

рия евклидовы х пространств м ож ет бы ть прим енена д л я получения со­ держ ательн ы х результатов в произвольны х линейны х пространствах. В частности, нами будет получено независимое доказательство теоре­ мы о том, что к аж д ая к вад р ати ч н ая ф о р м а в линейном пространстве м ож ет бы ть приведена к каноническом у виду.

1. П редвари тельны е зам ечан и я . В этом пункте мы напомним некоторы е понятия теории линейны х операторов.

П усть V — n -мерное вещ ественное евклидово пространство и А —

линейны й оператор, действую щ ий из V в V . О ператор А* н азы вается

222 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

сопряж енны м к А, если д л я всех х Е V и у Е V вы полняется равенство

(А х,	у)	=	(х, А *у).	(7.42)
О ператор А назы вается сам осопряж енны м , если А =				А*, т. е. дл я
всех х е V и у G V
(А х,	у)	=	(х, А у).	(7.43)

Рассм отрим билинейную ф орм у В (х, у), заданную в евклидовом пространстве V . В гл. 5 бы ло установлено, что каж дой такой ф о р ­ ме В (х, у) однозначно соответствует линейны й оператор такой, что справедливо равенство

	В (х, у) =	(А х, у).	(7.44)
К ром е	того, в теореме 5.33 бы ло	доказано, что	билинейная ф о р ­
м а В (х, у)	явл яется сим м етричной тогда и только тогда, когда опера­

тор А, ф игурирую щ ий в (7.44), явл яется самосопряж енны м .

Н апомним такж е, что в теорем е 5.35 д л я лю бого сам осопряж енного оператора А бы ло доказано сущ ествование ортонорм ированного бази ­ са из собственны х векторов. Это означает, что сущ ествую т ортонор- м ированная система e i, в 2 , ..., е п и вещ ественны е числа Ai, А2 , ..., Ап

такие, что
А е к = Хке к .	(7.45)

О тметим, что в базисе {е/Д м атри ц а оператора А имеет ди агон аль ­

ный вид.
2. П р и веден и е		квадратичной ф ор м ы к	сум м е квадратов
в ортогональном		бази се. П усть В (х, у) — сим м етричная билиней­
н ая ф орм а,	задан н ая в вещ ественном евклидовом пространстве			V , а
В (х, х) — определяем ая ею квад р ати ч н ая ф орм а.
Д окаж ем	следую щ ую теорему о приведении		квад рати чн ой	ф о р ­
мы В (х, х)	к сумме квадратов.

Т е о р е м а 7.8. П уст ь В (х, у) — сим м ет р и чн а я б и линейн ая ф орма,

заданная в евклидовом прост ранст ве V . Тогда в прост ранст ве V су­

щ ест вует т акой ортонор м ир о	ванны й базис {е/Д	и	м ож но указат ь
т акие вещ ест венны е числа Хк ,	чт о для любого х	Е	V квадрат ичная

форма В (х, х) м ож ет быть предст авлена в виде следую щ ей сум м ы

квадрат ов координат £к вект ора х в базисе	{е/Д:
п
В ( х , х ) = £ Х к й -	(7.46)

к = 1

§ 6. ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

223

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как В (х, у) — сим м етричная билинейная

ф орм а, то сущ ествует сам осопряж енны й оператор А			такой, что
В (х, у) =	(А х ,	у ).	(7.47)
По теореме 5.35 д л я оператора А	м ож	но указать ортонорм ирован -

ный базис {е/Д из собственны х векторов этого оператора; пусть А/, —

собственны е значения, отвечаю щ ие щ .
П усть вектор х имеет в базисе щ	координаты Д .
п
х =	£ке к.	(7.48)
к = 1

Тогда, очевидно, поскольку щ — собственны е векторы оператора А :

п

А х = УУ А

(7.49)

к= 1

Из соотнош ений (7.48) и (7.49) вследствие ортонорм ированности базиса {е/Д получаем следую щ ее вы раж ение д л я скалярного произве­

дения А (х, х):

п

А ( х , х) = УУ Afeffe.

(7.50)

к= 1

Отсю да и из соотнош ения (7.47) получаем (7.46). Т еорема доказана.

3.О дн оврем ен н ое п р и ведени е д в у х квадратичны х ф ор м к

сум м е квадратов в линейном пространстве.

Д окаж ем теперь важ ную теорему об одновременном приведении

двух квад рати чн ы х ф орм к сумме квад ратов в произвольном (не обя­ зательно евклидовом) вещ ественном линейном пространстве.

Т еорем а 7.9. П уст ь			А (х, у)		и В (х, у) — сим м ет ричны е б и ли ­
нейны е формы ,	определенны е в			вещ ест венном ли н ей н о м				прост ран­
ст ве V . Д о п ус т и м		далее,	чт о	для	всех х G У , х	/ 0,	справедливо
неравенст во В (х,		х) >	0 (га.	е.	квадрат ичная	форма		В (х,	х) —
полож ит ельно	определенная). Тогда в прост ранст ве V						м ож но		ука ­
зат ь базис {е/Д	т акой , чт о квадрат ичны е формы А (х,						х)	и В (х, х)
м о гут быть предст авлены в виде
					п
		А ( х , х)		=	УУ Х Щ ,			(7.51)
					k = 1
					п
		в	(х, х)	=	УУ			(7.52)

к = 1

224 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

где — координат ы вект ора х в базисе {е/Д.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно зам ечанию в конце § 2 этой главы

скалярное произведение в конечном ерном вещ ественном пространстве м ож ет бы ть задано с помощ ью билинейной ф орм ы В (х, у), полярной

к полож ительно определенной квадрати чн ой ф орм е В (х, х).

П оэтому мы можем ввести в линейном пространстве V скалярное

произведение (х, у) векторов х н у ,	полагая
(х, у) =	В (х , у).	(7.53)

Таким образом , V представляет собой евклидово пространство со скалярны м произведением (7.53). По теореме 7.11 м ож но указать такой ортонорм ированны й базис {е/Д и такие вещ ественны е числа А/., что в этом базисе квад р ати ч н ая ф о р м а А (х, х) представляется в виде (7.51).

С другой стороны , в лю бом ортонорм ированном базисе скалярное произведение (х, х), равное, согласно (7.53), В (х, х), представляется в виде суммы квад ратов координат вектора х. Таким образом, представ­

ление В (х, х) в виде (7.52) в базисе {е/Д такж е обоснованно. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . И з доказанной нами теорем ы непосредственно сле­

дует, что лю бую квадрати чн ую ф орм у в произвольном вещ ественном линейном пространстве мож но привести к каноническому виду. О дна­ ко способ такого приведения является, вообщ е говоря, более слож ны м ,

чем	способы, излож енны е вы ш е в § 3, поскольку он требует нахож де­
ния	всех собственны х векторов некоторого самосопряж енного опера­
тора (см. по этому поводу гл. 6).
	4.		Э кстрем альны е свойства квадратичной ф ор м ы . Р ассм от­
рим произвольную диф ф еренцируем ую ф ункцию / , определенную на
некоторой			гладкой		поверхности S (см. определение гладкой поверх­
ности в		гл. 5 части			2	«Основ м атем атического		ан али за»). Будем		го­
ворить,		что точка			хо	поверхности S явл яется		ст ационарной т очкой
ф ункции / , если в точке XQ производная ф ункции /									по лю бому н ап рав ­
лению на поверхности S р авн а нулю . В частности, точки экстрем ум а
ф ункции / являю тся ее стационарны ми точками.
	Значение / (хо)				ф ункции / в стационарной точке XQ н азы вается
ст ационарны м значением . И ногда стационарную точку XQ ф ункции /
назы ваю т			ее	крит ической			т очкой , а величину	/	(х0) — крит ическим
зн а чен и ем . В				этом	пункте		мы исследуем вопрос		о стационарны х	и,
в частности, экстрем альны х значениях квад рати чн ой ф орм ы В (х,										х)

на сф ере единичного радиуса в евклидовом пространстве У и о связи этих значений с собственны ми значениям и сам осопряж енного операто­ р а А, с помощ ью которого сим м етричная билинейная ф о р м а В (х, у),

§ 6. ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

225

полярн ая квадрати чн ой ф орм е В (х, х), представляется в виде

В (х, у) = (А х, у).

(7.54)

П ри этом единичной сферой в V мы будем н азы вать множ ество тех векторов х G V , которы е удовлетворяю т уравнению

(х, х) = 1 или ||х || = 1.

(7.55)

Д л я упрощ ения рассуж дений мы воспользуемся вы водам и преды ­

дущ его пункта о приведении квад рати чн ой ф орм ы к сумме квадратов. И так, пусть В (х, х) — квад р ати ч н ая ф орм а, В (х, у) — п олярн ая этой ф орм е билинейная ф орм а, А — сам осопряж енны й оператор, свя­

занны й с В (х, у) соотнош ением (7.54).

По теореме 7.8 в ортонорм ированном базисе {е/Д, состоящ ем из соб­

ственны х векторов оператора А ,	к вад р ати чн ая ф о р м а В (х, х)	имеет
вид	п
В ( х , х)	= Е	(7.56)
	к = 1

где — координаты вектора х	в базисе {е/Д, А/, — собственны е значе­
ния оператора А . М ы договорим ся нум еровать эти		собственны е зн а­
чения в порядке убы вания:
Ai ^	А2 ^ ... ^ Ап .	(7.57)

Зам етим , что в вы бранном базисе единичная сф ера, определяем ая уравнением (7.55), в координатах вектора х задается уравнением

п

			Е	-	1 = °-				Е 58)
			к = 1
Д окаж ем следую щ ую теорему.
Т е о р е м а		7 .10. С т ационарны е			зн а чен и я		квадрат ичной		фор­
м ы В (х,	х)	на единичной		сфере (7.55) равны			собст венны м		зн а че ­
н и я м Xk	оператора А .		Э т и ст ационарны е			зн а чен и я		дост игаю т ся,
в част ност и , на единичны х собст венны х вект орах е*								оператора А.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Т ак	как речь идет		о	ст ационарны х		зн а че ­
н и я х ф ункции В (х, х)			при	условии	(х, х)	=	1, т. е. об условном
экст рем ум е		этой ф ункции,		то мы	можем воспользоваться методом

неопределенны х м нож ителей Л агр а н ж а (см. «О сновы м атем атическо ­ го анализа» часть I, п. 2 § 5 гл. 15). Составим д л я ф ункции В (х, х), ис­ пользуя ее вы раж ение (7.56) в данном базисе {е/Д, ф ункцию Л агр ан ­ ж а Ф (£i, ^2 1 • • £п) 5 учи ты вая при этом, что уравнение связи имеет

15 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к

226 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

вид (7.58). П олучим

* = Е Х^ 1 - АЕ $ - 1Ь	(7.59)
\к = 1

где Л — неопределенны й м нож итель Л агр ан ж а .

Н апомним, что если Л в (7.59) вы брано так, что при условии (7.58)

вы полняю тся соотнош ения

		_	=	о , к =	1, 2, . .	(7.60)
		3 6
то	в точках	сф еры (7.58),		отвечаю щ их этим		значениям Л, ф у н к ­
ция	В (х, х)	(квадр ати ч н ая		ф о р м а	В (х, х))	имеет стационарное
значение.

Таким образом , вопрос о стационарны х значениях В (х, х) на сф е­

ре (х, х) = 1 редуцируется к исследованию системы уравнений отно­

сительно неизвестны х Л и координат £i, £2 , • • •, £п вектора х. О тметим,

что при этом £1 , £2			, • •	£п будут координатам и того вектора х, на ко­
тором В (х, х) будет иметь стационарное значение.
Т ак как	-	=	2 (А/,	— А)£^, то	интересую щ ая	нас систем а	(7.58),
	о^к
(7.60) прим ет вид
	п	&			= 0, к = 1, 2,
	У		= Г (А* - А)6			... , п .	(7.61)
	к = 1

П усть система (7.61) имеет реш ение

А = А, х = ( 6 , 6 , . .. , 6 ) .

	У м нож ая каж дое из			соотнош ений				(А& — А)£&	= 0 на	£&, сумми­
руя	затем	полученны е		соотнош ения			и	учи ты вая,	что	=	= 1?
получим, согласно			(7.56), следую щ ее значение д л я						А:
					п
			А	=	У	А *||	=	В ( х , х).
					к = 1
	Таким	образом,	есл-и		А и	х =	(£1 , £2 , ... , £п) — реш ение				сист е­
м ы	(7.61),	то А равно значению квадрат ичной формы В (х, х)									на век­
торе х =		(£1 , £2 , ... , £п),			па кот ором эт а форма им еет					ст ационар­

ное значение.

	§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА									227
Л егко	видеть,	что	реш ениям и системы				(7.61)	служ ат	следую щ ие
значения неизвестны х Л и
А = А^	£i —	0,	£*-1	= 0, ^	=	1,	^ + i	= 0, •••>	=	О,
			к =	1, 2, .	.	п.
О чевидно, эти		реш ения являю тся			собственны ми значениям и					А/, и

координатам и соответствую щ их собственны х векторов е/,. Т еорема до ­

казана.

З а м е ч а н и е .

М ы

только

что

вы яснили,

что

собственны е

значения

А&

являю тся

стационарны ми

значениям и

квадратичной

ф орм ы В (х,

х) на сф ере (х,

х)

= 1.

О казы вается,

числа

Ai

и

Ап

(при

условии (7.57))

являю тся

соот­

ветственно

наибольш им

и

наим еньш им

значениям и

В (х, х)

на

сф е­

ре (х, х) =

1 (то, что эти

значения достигаю тся, установлено

вы ш е).

Ч тобы

убедиться

в

справедливости зам ечания,

достаточно

зам е­

нить в (7.56)

все

Xk

сн ачала

на

Ап , а

затем на Ai и

воспользоваться

соотнош ениями (7.57) и (7.58).

О чевидно, получим неравенства Ап ^

В (х, х) ^

Аь

§ 7. Г и п е р п о в е р х н о с т и в то р о го п о р я д к а

В этом

п ар агр аф е мы познаком им ся с понятием

и основными ти ­

пами гиперповерхностей второго порядка. К ром е того, будут указаны способы исследования таких поверхностей.

1. П о н я т и е ги п е р п о в е р х н о с ти в т о р о го п о р я д к а . П усть V —

n -мерное вещ ественное евклидово пространство.

Р ади геом етрической наглядности будем н азы вать векторы х этого

п ространства т очкам и.
Г иперповерхност ью	S	второго порядка				будем назы ват ь		геом ет ­
рическое м ест о т очек х,		удовлет воряю щ их уравнению вида
Л (х ,		х) +	2 В (х) +		с	=	0,	(7.62)
где А (х, х) — не р ав н ая		тож дественно			нулю		к вад р ати ч н ая	ф орм а,
В (х ) — линейная ф орм а, а с — вещ ественное число.
У равнение (7.62) будем н азы вать общ им						уравнением гиперповерх­
ност и второго порядка.
В ы делим в пространстве V			какой-либо			ортонорм ированны й ба­
зис {щ } . К оординаты	вектора		х	(точки	х)	в этом базисе обозначим
через (xi, Ж2 , . .. , х п ).	Тогда (см.			п. 2 § 1 этой главы ) к в ад р ати чн ая

15:

228 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

ф о р м а А (х, х) м ож ет бы ть представлена в виде

	п
А ( х , х) =	£	a j k X j X k ,	(7.63)
	j,k = l
где
ajk	A (GJ ,	е Д	(7.64)

и A (ej, еД — значение на векторах ej и е/, сим м етричной билинейной

ф орм ы А (х,	у), полярной квадрати чн ой ф орм е А (х, х).
Л инейная	ф о р м а В (х) в указанном базисе {еД	представляется в
виде 8)	п
	В ( х ) = ^ 2 ь кх к.	(7.65)
	к = 1

Таким образом, общее уравнение гиперповерхност и второго поряд­

ка в евклидовом прост ранст ве V					с вы деленны м базисом {е/Д м ож ет
быть предст авлено в следую щ ей ф орм е:
		п			п
		У	cijkXjXk + 2 У			Ькх к		+ с =	0.		(7.66)
		j,k = 1			fc= 1
Д оговорим ся о следую щ ей терминологии.
С лагаемое		А (х, х)	=	k = i aj k x j x k				будем	н азы вать группой
ст арш их членов уравнения				(7.62)	или	(7.66).
Группу слагаем ы х			В (х)	+ с	=			+	с будем		н азы вать
ли н ей н о й част ью уравнения (7.62) или							(7.66).
М ы будем рассм атри вать в дальнейш ем м атрицы
д	а ц	CL\r		в	=	/	а ц		air,	bi	\
											(7.67)
	&п1						tinl		&пп	ап
							h		Ъг	^	7

и определители det А и det В этих м атриц.

8)	Согласно лемме		п. 1 § 4 гл. 5 линейная форм а В (х) может		быть представ­
лена в виде	В (х) =	(х, Ь),	где Ь —постоянный вектор. Обозначая	bi,	62, • • bn
координаты вектора b и учиты вая ортонормированность базиса { е Д ,				мы получим
представление В (х)		в виде (7.65).

§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

229

И сследование гиперповерхностей второго порядка мы будем прово­ дить с помощ ью метода, сходного с методом, прим еняем ы м в ан али ­ тической геом етрии при исследовании кривы х и поверхностей второго

порядка, задан н ы х общ ими уравнениям и .

И дея этого м етода заклю чается в том, что путем вы бора специаль­ ной декартовой системы координат на плоскости (для кривы х второго порядка) или в пространстве (для поверхностей второго порядка) до ­

стигается	м аксим альное упрощ ение уравнения кривой или поверхно­
сти. Затем	путем исследования этого уравнения вы ясняю тся геом ет­

рические свойства кривой или поверхности. К ром е того, перечисление всех возм ож ны х типов простейш их (канонических) уравнений кривы х или поверхностей второго порядка позволяет д ать их классиф икацию .

Чтобы использовать этот метод в м ногомерном случае, мы снача­

ла долж н ы изучить такие преобразования (отображ ения) п -мерного евклидова пространства, которы е представляю т собой аналоги преоб­ разований декартовы х прям оугольны х координат в случае двух и трех измерений.

Т акими преобразованиям и в n -мерном случае будут параллельны е переносы и такие преобразования базисов, при которы х ортонормированны й базис переходит в новы й ортонорм ированы й базис. Точны е

определения этих преобразований	будут	дан ы в следую щ ем пункте.
О чевидно, гиперповерхность	второго	порядка, рассм атри ваем ая

как геом етрический объект п ространства V , не изм еняется, если про­

изводится преобразование указанного вы ш е вида. Н иж е мы убедимся, что д л я каж дого уравнения вида (7.62) (или (7.66)) м ож но вы брать такое начало координат и вы брать такой ортонорм ированны й базис в V , что это уравнение, записанное в координатах относительно ново­ го базиса, будет м аксим ально простого вида, и поэтому, как и в случае двух и трех измерений, мож но будет указать геом етрические х аракте­ ристики таких поверхностей и д ать им классиф икацию .

2. П араллельны е переносы в евклидовом пространстве. П р еобр азов ани я ортонорм ированны х базисов в ортонорм иро-

ванны е. П араллельн ы м переносом в евклидовом пространстве мы бу­ дем н азы вать преобразование, задаваем ое ф орм улам и

х = х' + х,

(7.68)

где х — ф икси рован н ая точка, н азы ваем ая новым началом координат.

П усть точки	х, х' и х	имею т координаты , соответственно равны е
(х 1} х 2, . . х п ),	( ж ! , х'2, .	. х'п ) и (а*1 , х 2, ■■; Хп ).

Тогда в координатах параллельн ы й перенос определяется ф орм у-

230	ГЛ. 7.	БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
лам и
		Хк	= х'к + х к , к	= 1 , 2 , . . п.	(7.69)
	О тметим, что	при	п араллельном	переносе лю бой ф иксированны й

базис не изм еняется.

П ерейдем теперь к вы яснению характеристики преобразования ор-

тонорм ированного базиса в ортонорм ированны й .

Д опустим, что ортонорм ированны й базис { е Д преобразуется в но­

вы й ортонорм ированны й базис {е'Д . Р азлож и м каж ды й вектор						по
векторам {е/Д. П олучим
e i	=	P n e i +	p 2i e 2	+	■■■ + P ni^n,
e2	=	P12&1 +	P22&2	+	■ ■ ■ + Pn2^n,	(7.70)
^n	~	P ln e l	P2n^2	"b	- - - "b Pnn^ri'

О бозначим буквой Р м атрицу преобразования (7.70):

	/ Р п	Р21	•••	Рп1
Р =	Р12	Р22	•••	Рп2
	\ P i n	Р 2 п	•	Р п п

\

(7.71)

)

Т ак как базисы {е&} и {e'fe} ортонорм ированны е, то из (7.70) путем скалярного ум нож ения е) на е), получим

				П				1	при j	=	к ,
( e j5 е к )		—	У	у	P r n jP m k	—	3jk	—	при j	ф	(7.72)
			т	= 1				0			к.
Рассм отрим		теперь транспонированную м атрицу Р ', т. е. матрицу,
полученную из Р			перестановкой строк и столбцов.
О чевидно, согласно					(7.72),
					Р Р '	=	р ' р	= / ,			(7.73)
где / — единичная м атрица.
Р авен ства	(7.73)			показы ваю т,			что	м атри ц а Р 1		явл яется обратной
д л я м атрицы	Р ,	т. е.					=	Р '.			(7.74)
					Р - 1

Д опустим теперь, что мы рассм атриваем преобразование ортонор- м ированного базиса {е/Д по ф орм улам (7.70), причем м атри ц а Р этого преобразования удовлетворяет условию (7.73) (или, что то ж е, (7.74)).