книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
|
3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ |
|
61 |
|||||||||||
говоря, |
н ельзя |
вы бирать |
из числа элем ентов |
e i, |
в 2 |
, . . е п |
(ибо в |
|||||||
общем |
случае |
ни один из |
элементов |
e i, е 2 , . . е п |
м ож ет |
не |
при |
|||||||
н ад леж ать |
L ). |
О днако справедливо обратное утверж дение: если |
эле |
|||||||||||
м ент ы |
e i, |
е 2, |
. . е/, |
сост авляю т базис к-м ерного |
подпрост ранст ва |
|||||||||
п -м ерного |
линейного |
прост ранст ва |
R , то эт от |
базис м ож но до |
||||||||||
п о лн и т ь элем ен т а м и е^ + i, |
. . |
е п прост ранст ва R |
т ак, чт о |
сово |
||||||||||
купност ь элем ент ов ei , . |
. |
е^, |
e^ + i, |
. |
. е п будет сост авлят ь базис |
|||||||||
всего прост ранст ва R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д окаж ем это утверж дение. Если к |
< |
п, то найдется элемент щ + 1 |
||||||||||||
п ространства R такой, что элем енты e i, |
в 2 , ... , е&, |
+ |
1 линейно неза |
|||||||||||
висимы (в противном случае пространство R оказалось бы /^-мерным). |
||||||||||||||
Д алее, |
если к |
+ 1 < |
п, |
то |
найдется |
элемент |
&и + 2 п ространства R |
|||||||
такой, |
что |
элем енты |
e i, |
в 2 , ... , |
е^, e^ + i, &и + 2 |
линейно независимы |
||||||||
(в противном случае пространство R |
оказалось бы |
(к |
+ 1 )-м ерны м ). |
П родолж ая аналогичны е рассуж дения, мы докаж ем сф орм улирован
ное утверж дение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В заклю чение докаж ем |
важ ную |
теорем у о разм ерности линейной |
|||||||||||||||
оболочки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2 .8 . Р азм ерност ь ли н ей н о й оболочки L (х, у, |
... , |
z) |
эле |
|||||||||||||
м ент ов х, |
у, |
... , |
z равна м а кси м а льн о м у ч и слу ли н ей н о н езависим ы х |
||||||||||||||
элем ент ов в сист ем е элем ент ов х, |
у, ... , |
z. |
В част ност и , |
если эле |
|||||||||||||
м ент ы |
х, |
у, |
... , |
z ли н ей н о |
независим ы , |
то |
разм ерност ь |
|
ли н ей н о й |
||||||||
оболочки L (х, у, |
. .. , |
z) равна ч и слу элем ент ов х, у, |
... , z (а сами эт и |
||||||||||||||
элем ент ы |
образуют |
базис ли н ей н о й оболочки |
L (х, у, ... , z)). |
|
|
||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д опустим, |
что |
среди элементов |
х, у, ... , z |
||||||||||||||
имеется |
г |
линейно |
независим ы х |
элементов |
(обозначим |
|
их |
через |
|||||||||
x i , Х2 , . . |
х г), а |
лю бы е (г |
+ |
1 ) из элементов х, у, ... , |
z |
линейно |
|||||||||||
зависим ы . Тогда |
каж ды й |
из |
элементов |
х, у, ... , z представляет |
со |
||||||||||||
бой некоторую линейную |
комбинацию |
элементов |
x i, Х2 , . .. , |
х г |
16) , |
||||||||||||
и поскольку |
по |
определению |
каж ды й |
элемент |
линейной |
оболоч |
|||||||||||
ки L (х, у, ... , z) |
представляет собой некоторую линейную ком бина |
||||||||||||||||
цию элементов х, у, |
... , z, |
то |
каж ды й |
элемент указанной |
линейной |
оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию од
них только элементов |
x i, Х2 |
, ... , |
х г . Но это |
и означает, что |
система |
|
линейно |
независим ы х |
элементов |
x i, Х2 , ... , |
х г образует базис линей |
||
ной оболочки L (х, у, |
... , z) |
и что разм ерность L (х, у, ... , z) |
р авн а г. |
|||
Т еорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
2 . Н о в о е о п р е д е л е н и е |
р а н г а м а т р и ц ы . В §3 гл. 1 мы |
опреде |
||||
16) |
Это устанавливается с помощью тех же самых рассуждений, которые были |
|||||
проведены при доказательстве теоремы 2.5. |
|
|
62 |
|
ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
|
лили |
ранг произвольной м атрицы А как порядок ее |
базисного м и н о |
||
ра., т. е. как |
число г, удовлетворяю щ ее требованию |
сущ ествования у |
||
м атрицы А |
отличного от нуля м инора порядка г и отсутствия у этой |
|||
м атрицы отличны х от нуля миноров порядка, больш его г. |
|
|||
В |
этом пункте мы убедимся, что ранг произвольной |
м ат рицы А |
||
равен м а кси м а льн о м у ч и слу ли н ей н о н езависим ы х ст рок |
(и ли ст олб |
цов) эт ой м ат рицы .
О тсю да будет следовать новое определение ранга м атрицы как м ак
сим ального числа линейно независим ы х строк (или столбцов) этой
м атрицы 17) .
П роведем все |
рассуж ден и я д л я строк (для столбцов они |
ан алоги ч |
ны) . Рассм отрим |
в линейном пространстве А п (введенном в |
примере 3 |
и. 1 § 1 |
) линейную оболочку базисны х |
строк произвольной, содерж а |
щ ей т |
строк и п столбцов м атрицы А |
и предполож им , что число ба |
зисны х строк равно г. И з теорем ы 1.6 о базисном миноре вы текает, что лю бая строка м атрицы А явл яется элементом указанной линейной обо лочки, а из линейной независим ости г базисны х строк и из теорем ы 2 . 8
вы текает, что разм ерность указанной линейной оболочки равн а г. С та
ло бы ть, лю бы е (г |
+ |
1 ) элементов |
указанной линейной |
оболочки (и, |
||
в частности, лю бы е |
(г |
+ |
1 ) строк |
м атрицы А ) |
линейно |
зависим ы . А |
это и означает, что |
число |
г представляет собой |
м аксим альное число |
|||
линейно независим ы х строк. |
|
|
|
3. С у м м а и п е р е с е ч е н и е п о д п р о с т р а н с т в . П усть L \ и L ^ — д в а произвольны х подпространства одного и того ж е линейного простран
ства R . |
|
|
|
|
|
|
С овокупность |
всех элементов |
х п ространства Л, принадлеж ащ их |
||||
одновременно L \ |
и L 2 , образует подпространство п ространства R |
18) , |
||||
назы ваем ое пересечением подпространств L \ |
и Ь^. |
|
||||
С овокупность |
всех элементов |
п ространства |
R вида у + z, |
где |
||
у — элемент подпространства 1 д, |
a z — элемент |
подпространства |
L 2 , |
|||
образует подпространство п ространства R |
19) , |
назы ваем ое сум м ой |
||||
подпространств L \ |
и Ь^. |
|
|
|
|
|
П р и м е р . П усть |
R — линейное |
пространство |
всех свободных |
век |
||
торов (в трехмерном пространстве), L \ — подпространство всех |
сво |
17)В частности, отсюда будет следовать весьма нетривиальная теорема о том, что у любой матрицы максимальное число линейно независимых строк совпадает
смаксимальным числом линейно независимых столбцов.
18)Ибо элементы этой совокупности удовлетворяю т требованиям 1°) и 2°), сформулированным в начале и. 1.
19)См. предыдущую сноску.
3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ |
63 |
бодных векторов, п араллельн ы х плоскости О х у , L 2 — подпространство всех свободных векторов, п араллельн ы х плоскости O x z . Тогда суммой
подпространств L \ |
и L 2 |
будет яв л яться все пространство R |
20) , а пе |
||||||||
ресечением подпространств |
Ь \ и |
L 2 будет яв л яться множ ество всех |
|||||||||
свободных векторов, п араллельн ы х оси О х. |
|
|
|
|
|
||||||
С праведливо следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
|
||||||
Т е о р е м а |
2 .9 . |
С ум м а |
разм ерност ей |
произвольны х |
подпро |
||||||
ст ранст в L \ |
и Z/2 |
конечномерного линейного |
прост ранст ва R |
равна |
|||||||
сум м е разм ерност и пересечения |
эт и х |
подпрост ранст в |
и разм ерно |
||||||||
ст и сум м ы эт и х подпрост ранст в. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
О бозначим через L Q пересечение |
Д |
и |
L 2 , а |
|||||||
через L — сумму L \ |
и L 2 |
. С читая L Q ^-м ерны м, выберем |
в |
нем |
базис |
||||||
|
|
|
|
е ъ е 2, . . е к . |
|
|
|
|
(2 .1 1 ) |
||
И спользуя утверж дение, доказанное в п. 1, дополним |
базис |
(2.11) |
|||||||||
до базиса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e i, |
е*, |
g i, |
g/ |
|
|
|
|
(2 .1 2 ) |
в подпространстве Ь\ и до базиса |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
e i, |
е*, |
fi, |
fm |
|
|
|
|
(2.13) |
вподпространстве L 2 .
Достаточно доказать, что элем енты
g i, ... |
, g/, е ь ... , е*, fb ... , |
£т |
(2.14) |
являю тся базисом суммы |
L подпространств Ь \ |
и L 2 |
21) . Д л я этого, в |
свою очередь, достаточно доказать, что элем енты (2.14) линейно неза висимы и что лю бой элемент х сумм ы L представляет собой некоторую
линейную комбинацию элементов (2.14).
С н ачала докаж ем , что элем енты (2.14) линейно независимы .
20) В самом деле, любой вектор х пространства R представляет собой линейную
комбинацию х = ш + /3j |
+ 7 k базисных векторов i, j , к, параллельны х осям О х , |
||||
О у и O z соответственно, |
причем вектор ш |
+ |
(3j |
принадлеж ит L 1 , а вектор д к |
|
принадлеж ит L 2. |
|
|
|
|
|
21) Ибо при этом размерность L, равная |
I + |
к |
+ т , |
в сумме с размерностью |
|
Lo, равной /с, будет равна сумме размерностей к + |
I и к |
+ т подпространств Ь \ |
|||
и L 2. |
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
|
|||||||||
П редполож им , что |
некоторая |
линейная |
ком бинация |
элементов |
|||||||||||||
(2.14) |
представляет |
собой |
нулевой |
элемент, |
т. е. справедливо |
равен |
|||||||||||
ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a i g l |
+ |
• • • |
+ |
a lgl |
+ |
P le l |
+ |
• • • |
+ |
Рке к |
+ 7l?L + |
' ' ' |
+ |
7mfm |
— 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a i g i |
+ |
••• |
+ |
a ig i |
+ |
|
+ |
. .. |
+ |
f3ke k |
= |
~ 7 i fi |
- . .. |
- |
7m fm- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.16) |
Т ак как |
левая |
часть |
(2.16) |
явл яется |
элементом |
L i, |
а |
п равая |
|||||||||
часть |
(2.16) явл яется элементом L 2 |
, то как левая, так и п р ав ая часть |
|||||||||||||||
(2.16) п ри н адлеж и т пересечению |
L Q подпространств L \ |
|
и L 2 . О тсю да |
следует, в частности, что п р ав ая часть (2.16) представляет собой неко торую линейную комбинацию элементов (2 .1 1 ), т. е. найдутся такие
числа Ai, ... , Хк , что |
|
|
7i^i |
• • • 7 т^т — A iei Н- . .. Т Хке к . |
(2.17) |
В силу линейной независимости базисны х элементов (2.13) равенство
(2.17) |
возм ож но лиш ь |
в случае, когда все коэф ф и ц и ен ты 7 1 , ... , дт , |
|||||||||||
Ai, |
... , Хк равны нулю . Но при этом из (2.15) мы получим, что |
|
|||||||||||
|
|
|
OL\g i |
+ . .. |
+ a ig i |
+ |
|
+ |
. .. + |
f3kek = |
0 . |
(2.18) |
|
В |
силу линейной |
независим ости |
|
базисны х |
векторов |
(2.12) |
равен |
||||||
ство |
(2.18) возм ож но |
лиш ь |
в |
случае, |
когда |
все |
коэф ф ициенты |
||||||
ад, |
... , сц, |
/?i, ... , |
/Зк равны нулю . |
Тем |
самы м |
мы установили, что |
|||||||
равенство |
(2.15) возм ож но лиш ь |
в |
случае, когда все |
коэф ф ициенты |
|||||||||
ад, |
... , сц, |
|
|
7 i, ... , 7 |
т равны нулю, |
а |
это и доказы вает ли |
||||||
нейную независимость элементов |
(2.14). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
О стается доказать, что лю бой элемент х сум м ы L представляет со |
бой некоторую линейную комбинацию элем ентов (2.14), но это сразу
следует |
из |
того, |
что этот элем ент х представляет |
собой (по опреде |
||
лению |
L) |
|
сумму |
некоторого элемента x i подпространства L i, я в л я |
||
ю щ егося |
линейной комбинацией элементов (2 |
.1 2 ), |
и некоторого эле |
|||
мента Х2 |
подпространства L 2 , являю щ егося |
линейной комбинацией |
||||
элементов |
(2.13). Т еорема доказана. |
|
|
В озвращ аясь к примеру, рассм отренном у перед ф орм улировкой те орем ы 2.9, зам етим , что в этом прим ере разм ерность каж дого из под пространств L \ и Z/2 равн а двум, разм ерность их суммы р авн а трем, а разм ерность их пересечения р авн а единице.
3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ |
65 |
4 . Р азл ож ен и е линейного пространства в прям ую |
сум м у |
подпространств . П усть R \ и Л 2 — д в а подпространства линейного n -мерного п ространства R .
О п р едел ен и е. Будем говорить, что пространство R представляет собой прям ую сум м у подпространств R \ и Л 2, если каж ды й элемент х
п ространства R м ож ет |
бы ть |
единственны м |
способом представлен в |
|||||||||||||||
виде суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X = |
XI |
+ х 2 |
|
|
|
|
|
|
(2.19) |
||||
элемента x i подпространства R \ |
и |
элемента |
х 2 |
подпространства Л 2. |
||||||||||||||
Тот ф акт, что |
R представляет |
собой прям ую |
сумму R \ |
и Л 2 сим |
||||||||||||||
волически записы ваю т так: R |
— |
|
0 Й 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
П оследнее равенство обы чно |
назы ваю т |
разлож ением |
прост ран |
|||||||||||||||
ст ва R |
в прям ую |
сум м у подпрост ранст в R \ |
и Л 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||
Т ак |
пространство R |
всех свободных векторов |
(в трехм ерном про |
|||||||||||||||
странстве) |
мож но |
р азло ж и ть |
в |
прям ую |
сумму |
подпространства |
R \ |
|||||||||||
всех векторов, п араллельн ы х |
плоскости |
О ху |
|
и |
подпространства |
Л 2 |
||||||||||||
всех векторов, п араллельн ы х оси O z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Т еорем а 2 .10. Д л я |
того |
чтобы п -м ерное |
|
прост ранст во R пред |
||||||||||||||
ст авляло |
собой прям ую |
сум м у |
подпрост ранст в R \ |
и Л 2, дост ат оч |
||||||||||||||
но, чтобы |
пересечение R \ |
и Л 2 |
содерж ало т олько |
нулевой элем ен т |
||||||||||||||
и чтобы |
разм ерност ь |
R |
была |
равна сум м е |
|
разм ерност ей |
подпро |
|||||||||||
ст ранст в R i и R 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В ы берем |
некоторы й |
базис |
e i , . .. , |
e k |
в под |
||||||||||||
пространстве R \ и некоторы й |
базис g i, |
... , g / в подпространстве |
Л 2. |
|||||||||||||||
Д окаж ем , что объединение этих базисов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
е ъ |
|
e k , g b |
gi |
|
|
|
|
|
|
(2 .2 0 ) |
||||
представляет собой базис всего п ространства R . |
Т ак как по условию |
|||||||||||||||||
теорем ы разм ерность п всего п ространства R |
р авн а сумме к + I разм ер |
|||||||||||||||||
ностей R i |
и й 2, то достаточно (в силу теорем ы 2.5) доказать линейную |
|||||||||||||||||
независимость элементов |
(2 .2 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П редполож им , |
что |
некоторая |
|
линейная |
|
ком бинация |
элементов |
|||||||||||
(2 .2 0 ) представляет собой |
нулевой |
элемент, |
т. е. справедливо |
равен |
||||||||||||||
ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оде 1 |
+ . .. |
+ |
otke k |
+ |
P i9i + |
• • • |
+ |
Pigi |
— 0 , |
|
(2 |
.2 1 ) |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оде! |
+ . . . |
+ |
а ке к = |
- /? ig i |
- |
... |
- |
/З/g/. |
|
(2.22) |
5 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к
66 |
ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
Т ак |
как л евая часть (2.22) |
явл яется элементом if t, а п р ав ая — |
элементом R 2, а пересечение R \ |
и R 2 содерж ит лиш ь нулевой элемент, |
то как левая, так и п р ав ая часть (2.25) представляет собой нулевой эле мент, а это (на основании линейной независим ости элем ентов каж дого
из базисов e i, |
... , |
и |
gi, |
... , |
g/) возм ож но лиш ь при условии |
|
|||
|
а1 = |
. . . |
= |
а к |
= |
0, |
& = . . . = |
& = ( ) . |
(2.23) |
Тем самы м |
мы |
установили, |
что |
равенство |
(2.21) возм ож но |
лиш ь |
|||
при условии (2.23), |
а это |
и доказы вает линейную независимость эле |
|||||||
м ентов (2 .2 0 ) |
и тот |
ф акт, |
что |
элем енты (2 .2 0 ) |
образую т базис |
всего |
пространства R .
Пусть теперь х — лю бой элемент R . Р азл о ж и в его по базису (2.20),
будем им еть х |
= |
A iei |
+ |
. .. |
+ |
А^е* |
+ ц ig i + |
. . . + |
jikg k или х = |
х х + |
||||||
+ |
х 2, где x i |
= |
A iei |
+ |
. .. |
+ |
А/, е /,— элем ент R 1, |
а х 2 |
= |
/iig i |
+ . .. |
|||||
. . . |
+ /i/gz — элемент i?2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
О стается доказать, |
что |
представление (2.19) явл яется |
единствен |
||||||||||||
ным. П редполож им , что, кроме |
(2.19), справедливо и еще одно пред |
|||||||||||||||
ставление |
|
|
|
|
х |
= |
x i |
+ Х2 , |
|
|
|
|
|
(2.24) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где х ^ — элемент |
if t, а |
х(>— элем ент |
Л 2. В ы читая |
(2.24) |
из (2.19), по |
|||||||||||
лучим , что 0 = |
x i — х^ |
+ |
Х2 |
— Хз, или x i — х^ |
= |
Х2 |
— Хз- Т ак как |
|||||||||
в левой части последнего равенства стоит элем ент |
f t , |
а |
в правой — |
|||||||||||||
элемент R 2 и поскольку пересечение R \ и R 2 |
содерж ит лиш ь нулевой |
|||||||||||||||
элемент, то из этого равенства следует, что x i |
— х^ |
= 0 |
, х(> — х 2 |
= 0 , |
||||||||||||
т. е. х^ |
= x i , х 2 |
= Хз- Т еорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
З а м е ч а н и е . В случае, когда пространство R представляет собой |
|||||||||||||||
не прямую , а обы чную сумму подпространств |
|
n f t , |
представление |
|||||||||||||
(2.19) |
лю бого |
элемента |
х п ространства R такж е |
справедливо, |
но не |
яв л я е т с я , вообще говоря, единст венны м .
Пусть, наприм ер, R представляет собой трехмерное пространство всех свободных векторов, R \ — подпространство всех векторов, п ар ал лельны х плоскости О х у , a R 2 — подпространство всех векторов, п ар ал лельны х плоскости O x z . В преды дущ ем пункте мы вы яснили, что R
представляет собой сумму (но, конечно, не прям ую сумму) подпро странств R i и f t . О бозначим через i, j и к базисны е векторы , п ар ал
лельны е осям Ож, О у и O z соответственно, и разлож и м произвольны й
элемент х п ространства R |
по |
базису i, j, |
к. |
Н айдутся |
вещ ественны е |
|||||||||
числа а , |
/3 и 7 |
такие, |
что |
х |
= |
ш |
+ /?j + |
7 k, |
так |
что, |
с одной сторо |
|||
ны, х |
= |
x i + |
х 2, где |
x i |
= |
ш |
+ |
/^j — элемент f t , |
а х 2 = д к — эле |
|||||
мент Л 2, с другой стороны , |
х |
= |
х^ + Хз, где х^ |
= |
/^j — элемент ift, |
|||||||||
а х'2 = |
ш |
+ д к — элемент Л 2 • |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ |
67 |
§ 4 . П р еобр азов ани е координат при п реобразован и и бази са n -м ер ного линейного пространства
1. |
П р я м о е |
и |
о б р а т н о е |
п р е о б р а з о в а н и е |
б а з и с о в . |
П усть |
||||||||||||
e i, е 2, . .. , |
е п |
и е[, |
е 2, ... , е ^ — д в а |
произвольны х |
базиса |
п -мерного |
||||||||||||
линейного п ространства R . |
|
К а к |
всякий |
элемент |
п ространства R , |
|||||||||||||
каж ды й |
элемент |
|
, е 2, . .. , |
е^ |
м ож ет |
бы ть |
разлож ен |
по |
базису |
|||||||||
e i, е 2, . . |
е п . П редполож им , |
что |
элем енты е^, е 2, . |
. |
в ыр а жа ют |
|||||||||||||
ся через e i, е 2, . . е п с помощ ью |
ф орм ул |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
е 1 |
— |
^ 1 1 е 1 |
|
+ |
&1 2 е 2 |
+ |
. . . + |
CLlne m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
е 2 |
= |
&2 ie i |
|
+ |
а22е 2 |
+ . . . |
+ |
а2пе п , |
|
(2.25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е п |
— |
|
|
Н- |
&п2^2 |
Н“ |
• • • |
Н" &ппе п- |
|
|
||||
Это означает, что переход от первого базиса ei, |
е2, ..., е п ко второму |
|||||||||||||||||
базису е^, е^, |
... , |
е^ |
задается матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
а ц |
< 2 1 2 |
|
|
< 2 i n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
А |
&21 |
^ 2 2 |
• |
• |
&2п |
|
|
|
(2.26) |
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Q"nl |
&п2 |
• |
• |
^ n n |
|
|
|
|
||||
П одчеркнем , |
что |
определитель |
Д |
м атрицы |
(2.26) заведомо |
отличен |
||||||||||||
от нуля 22) , ибо в противном случае в силу |
теорем ы 1.7 строки этой |
|||||||||||||||||
м атрицы |
(а стало бы ть, и базисны е элем енты е^, |
е 2, |
... , е^) оказались |
|||||||||||||||
бы линейно зависим ы м и. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
У бедимся |
в |
том, |
что |
обратный |
переход |
от |
вт орого |
базиса |
||||||||||
е 2, . .. , |
|
к первом у базису |
ei, е 2, ... , |
еп осущ ест вляет ся с по |
||||||||||||||
м ощ ью м ат рицы В , обратной к м ат рице А . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Н апомним, что м атри ц а |
В , обратн ая к |
м атрице |
А , введена в п. 7 |
|||||||||||||||
§ 2 гл. 1 |
и имеет вид |
|
А |
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 - 2 1 |
|
|
3 |
- n l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
Д |
■ |
" |
" |
д " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A l 2 |
3 - 2 2 |
|
|
3 - n 2 |
|
|
|
(2.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
Д |
‘ |
' ■ |
|
Д |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A i n |
A |
‘2 m |
|
|
A n n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
' |
" |
|
Д |
|
|
|
|
где через Д обозначен определитель м атрицы А , а через Aik ~
алгебраическое дополнение элем ента ац~ этого определителя. У мно
22) Такую матрицу в п. 7 § 2 гл. 1 мы договорились назы вать невырожденной.
5:
68 |
ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
ж и м |
уравнения (2.25) соответственно на алгебраические дополнения |
A i j , |
A<ij, ... , A nj элементов j -го столбца определителя Д и после это |
го слож им эти уравнения. В результате получим (для лю бого ном ера j ,
равного |
1 , 2 , ... , |
п ) |
e i ^ i j + |
е 2 ^ 2 j + |
. . . + e 'n A n j = |
|
|
п |
|
|
— ^ ^ e ^ a u A i j + c t 2 i A 2 j + ... + a n i A n j ) . |
i— 1
Учи ты вая, что сум м а произведений элементов г-го столбца на соот
ветствую щ ие алгебраические дополнения элементов j- ro |
столбца р ав |
на нулю при i Ф j и равн а определителю Д при i — j 23) |
, получим из |
последнего равенства |
|
e l ^ - l j + е 2 ^ - 2 j + • • • + e n ^ - n j — e j А , |
|
откуда ej |
+ |
- д ^е2 + |
••• + |
- ф |
||||
подробнее |
З .Ц |
, |
71-21 |
, |
|
|||
e i |
+ .... |
|||||||
= |
|
|
+ |
д |
2 |
|||
|
= “Т Т ® 1 |
|
|
|||||
е 2 |
3-12 |
, |
71-22 |
, |
+ .... |
|||
= |
|
|
+ |
д |
2 |
|||
|
= “Т Т ® 1 |
|
|
|||||
е п |
3-1 п |
! |
А 2 п |
, |
+ . .. |
|||
= |
/ \ е1 |
+ |
д |
во |
||||
|
~ ~ |
|
д |
2 |
|
е'п |
U |
= Г 2, |
п ) и л и |
+ |
Tl-nl |
, |
|
------ е |
п ’ |
|
|
|
Д |
|
|
+ |
А п 2 |
, |
|
------ е |
п ’ |
(2.28) |
|
|
Д |
||
|
А |
|
|
+ |
Л ГШ е |
/ |
|
|
Д |
п ' |
|
Ф орм улы |
(2.28) |
и |
устанавливаю т, что |
обратны й переход |
от бази |
|||||
са е^, ef), |
... , |
к |
базису |
e i, в 2 , ... , |
е п |
осущ ествляется |
с |
помощ ью |
||
м атрицы |
(2.27), |
обратной |
к |
м атрице |
А . |
Э ту обратную |
к |
А |
м атрицу |
|
мы кратко будем обозначать символом А ~ 1. |
|
|
|
|||||||
2 . |
С вязь |
м е ж д у |
п реобразован и ем базисов |
|
и п р еобр азо |
|||||
ванием |
соответствую щ их |
координат. П усть, как |
и |
выш е, ба |
||||||
зис e i, в 2 |
, . .. , еп преобразуется в базис е^, е^, ... , е^ с помощ ью невы |
рож денной м атрицы (2.26), так что обратное преобразование базисов задается м атрицей (2.27). П усть далее х — произвольны й элемент рас
см атриваем ого линейного п ространства R , (ад, ад, ... , х п ) — его коор
ди н аты относительно первого |
базиса e i, в 2 |
, ... , е п, |
(х[, |
х '2, ... , х'п ) — |
||||
его координаты |
относительно |
второго |
базиса |
е^, е^, ... , |
е^, так что |
|||
х — xiei + |
х2е2 + •••+ |
« |
= |
x±ei |
+ |
ж2е2 |
+ ... |
+ хпеп. |
23) См . свойство 4 °) из п. 4 § 2 гл.,1.
|
|
|
|
|
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ |
|
|
69 |
|||||||||||||
П одставив в это равенство вместо элем ентов e i, |
в 2 |
, . . е п их вы р аж е |
|||||||||||||||||||
ния, определяем ы е ф орм улам и |
(2.28), получим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
х = |
аде |
|
+ ж2е 2 |
+ • • • + |
х'п е'п |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i c i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
x i |
|
|
+ |
|
2 + |
|
|
+ |
А п 1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
А |
Д |
|
|
------( |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
Х2 |
Л-12 |
|
+ |
^22 |
|
+ . . |
+ |
А п2 |
|
+ . . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
~А |
е |
" д " ( |
|
~ А { |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
х г |
|
|
|
|
^ 2 |
п |
|
|
А п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~д~' |
|
|
+ |
{ |
|
|
А |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
||||
И з |
последнего |
равенства |
(в |
силу |
единственности |
разлож ен и я |
по |
||||||||||||||
базису |
е[, |
е 2, ... , |
е'п ) сразу |
ж е |
вы текаю т |
ф орм улы перехода от |
ко |
||||||||||||||
ординат |
(ад, ад, • • |
х п ) |
относительно |
первого |
базиса |
к координатам |
|||||||||||||||
(х[, х 2, |
. . х'п ) |
относительно второго базиса: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
А и |
Xi |
+ |
А\2 |
|
+ |
|
|
A i n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
.. . + |
д - * » ’ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
х'2 = |
А 21 |
+ |
А 22 |
+ |
|
|
А 2П |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Xi |
д - ж2 |
|
.. . + |
|
|
|
(2.29) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
” |
~д~ |
|
|
|
|
|
■ д " Хп’ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
/ |
|
A n i |
|
|
А П2 |
|
|
|
|
А ПП |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Хп |
=~ ~а |
ад |
+ |
— |
Ж2 + |
|
. .. + |
А |
Хп• |
|
|
|
||||
Ф орм улы |
(2.29) |
показы ваю т, |
что |
переход |
от |
координат |
|||||||||||||||
(ад, ад, |
• • |
х п ) |
к |
координатам |
(х[, |
х 2, ... , х'п ) |
осущ ествляется |
с |
|||||||||||||
помощ ью м атрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
п |
|
А 12 |
|
|
|
A i n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
21 |
|
А |
" |
" |
|
" д " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
А |
22 |
|
|
|
А 2п |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
Д |
|
" |
" |
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A n i |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хА-пП |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ А |
|
Д |
|
■ |
" |
|
д |
|
|
|
|
|
|
транспонированной к обратной м атрице |
|
(2.27). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
М ы приходим к следую щ ему выводу: если переход от |
первого |
ба |
|||||||||||||||||||
зиса |
ко |
вт ором у |
осущ ест вляет ся |
с пом ощ ью |
невы рож денной м а т |
||||||||||||||||
рицы |
А , то переход от |
координат произвольного элем ент а от носи |
т ельно первого базиса к координат ам эт ого элем ент а от носит ельно вт орого базиса осущ ест вляет ся с пом ощ ью м ат рицы (И - 1 )', т ранс понированной к обратной м ат рице А ~ 1.
Г Л А В А 3
С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й
И з элементарного курса и из курса |
аналитической |
геом етрии чи |
|
татель знаком с системой двух |
линейны х уравнений |
с двум я неиз |
|
вестны ми и с системами двух |
и трех |
линейны х уравнений с трем я |
неизвестны м и 1) . Ц елью настоящ ей главы явл яется изучение системы произвольного числа т линейны х уравнений с произвольны м числом п неизвестны х.
М ы сн ачала установим необходимое и достаточное условие сущ е ствования хотя бы одного реш ения (или, как говорят, совм ест ност и)
такой системы, а затем займ ем ся оты сканием всей совокупности ее ре
шений. |
|
|
|
|
|
|
В |
§ 4 гл. 4 |
будет рассм отрен важ н ы й д л я |
прилож ений |
случай |
||
приближ енного |
задан и я |
всех |
коэф ф ициентов |
системы и ее |
свобод |
|
ны х |
членов. Д л я этого |
случая |
будет излож ен |
м ет од р егуляр и за ц и и |
А .Н . Т ихонова , позволяю щ ий найти так назы ваем ое норм альное (т. е.
наиболее близкое к началу координат) реш ение указанной системы с точностью , соответствую щ ей точности зад ан и я коэф ф ициентов и сво бодных членов.
В гл. 6 будет дано представление о численны х (итерационны х) ме
тодах реш ения систем линейны х уравнений.
§ 1. У словие совм естности линейной систем ы
1. П онятие систем ы |
линейны х |
уравнений и |
ее реш ен ия . |
|||
В общем случае система т |
линейны х |
уравнений с п |
неизвестны м и |
|||
(или, кратко, ли н ей н а я |
сист ем а) |
имеет следую щ ий вид: |
||||
a n x i + |
ai2^2 |
+ |
.. . + |
CLinXn — Ьъ |
|
|
0*21%1 4~ &22^2 |
+ |
• • . 4“ |
OJ2п%п — ^2 5 |
(3.1) |
||
|
|
|
|
|
|
^ral^l 4“ &т2%2 4“ • .. Н- атпх п — Ьт .
П ри этом через ад, Ж2 , ... , х п обозначены неизвестны е, подлеж ащ ие
х) См. выпуск «Аналитическая геометрия», дополнение к гл. 1.