книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

сечения балки пагружены моментами аМ, действующими в плоскости симметрии конструкции. Для того чтобы наш анализ охватывал любые случаи асимметричного нагружения, предположим, что параметр а меняется в

пределах [г, 1], где	г = PmiJP — характеристика	цикла,
Pmln и Р — наименьшее и наибольшее значения		нагруз­
ки. При этом г ^ а <	1.

Далее мы будем рассматривать только среднюю часть балки — ту, в пределах которой имеются накладки. За­ метим, что изгибающие моменты на концах этой части воспринимаются только самой балкой, так как торцевые сечения накладок свободны от нормальных напряжений.

На разных участках длины взаимодействие балки и накладок будет различным. В удалении от концов балка и накладки деформируются совместно, без проскальзыва­ ния по контактным поверхностям. На этих участках ка­ сательные усилия отсутствуют, и нормальное усилие в сечении накладки может быть определено по формуле

N = ÿ -a M =

(16.14)

где J— момент инерции сечения балки (с учетом накла­ док), h — высота сечения балки, F — площадь сечения одной накладки,

р - № / ( 2 / )

(16.15)

— постоянная для данной балки, М — наибольшее значе­ ние момента.

На концевых участках происходит проскальзывание накладок по поверхности балки; при этом действуют ка­ сательные усилия q, соответствующие закону Кулона. Обозначив длину такого участка через а, имеем N —qa = = 0 (см. рис. 16.3, в, где показана верхняя накладка).

Это равенство позволяет определить	размеры участка,
в пределах которого происходит проскальзывание:
a=*a$M/(qh).	(16.16)

Как видно, по мере роста нагрузки (т. е. с увеличе­ нием а) проскальзывание распространяется по направ­ лению к середине балки. Ниже рассматривается случай, когда наибольшее значение момента достаточно мало п проскальзывание не доходит до среднего сечения балкй:

Рассмотрим деформирование соединения на различ-

ных

этапах

нагружения;

вследствие симметрии балки

рассматривается

только

одна

_____

ее половина.

Ж -

&м

П е р в ы й

э т а п

(на­

грузка;

0 < а ^

1 ). По

мере

увеличения момента аМ про­

скальзывание от

свободного

конца распространяется к се­

в

-----------------------------

редине

балки.

Нагружение

^Vmax

ссМ

верхней накладки

изображе­

—

но

на

рис.

16.6,

а, причем

г

<*г--**г~

размер

di

участка

проскаль­

зывания

определяется

фор­

мулой

(16.16). Рассматривая

теперь

изгиб правой полови­

-i>

W1

7 * - ?

ны

балки под действием на­

@ 2 max

ссМ

грузок,

изображенных

на

рис. 16.6, б,

найдем угол

по­

■<r~

ворота

концевого сечения на

^ 1 max

первом этапе нагружения

гп

-Ъ)М1

. (аЩ?

Рис. 16.6. К

анализу балки

ф 1 [а ) ~

1 7- -1- - - -

+ 2 ф Ё Т

с накладками

(16.18)

где

EJ0— изгибпая

жесткость

балки

б е з

н а к л а д о к .

В конце первого этапа а =

1 и

Ф1 (1) =

(1- р)Ml

m

f

(16.19)

EJ„

+ 2qhEJQ

В т о р о й

э т а п

(разгрузка;

1).

В

процессе

разгрузки на части поверхности контакта появляется проскальзывание обратного направления. Нагружение верхней накладки показано на рис. 16.6, в. Приравнивая

продольную силу (16.14) сумме сил трения,	найдем дли­
ну участка проскальзывания
Oi = (i — a)$M/(2qh).	(16.20)

Угол поворота концевого сечения балки найдем по схеме, данной на рпс. 16.6, ?, в виде

а (1— Р)Ml , (1+ 2а - а2)(§М?

'

EJ

+

4qhEJQ

Если в это выражение подставить а = 1 (начало второго этапа), то вновь получим прежний результат (16.19); для конца второго этапа, когда а = г, имеем

Фг (г)	г (1 - f>)Ml	, (1 +	2Г — г2) ($ M f	(16.22)
	EJ„	+	4qhEJQ
Т р е т и й	э т а п (повторная		нагрузка;	г ^ а ^ 1).

Распределение сил трения при повторном нагружении показано для верхней накладки на рис. 16.6, д Длина участка, на котором .возобновляется прямое проскальзы­ вание, равна

		а3-	Щ {а -	r) /(2qh).	(16.23);
	Соответственно схеме, изображенной на рис. 16.6, е,
	найдем угол поворота концевого сечения балки
	_ ,.Л	а(1 - ® М 1	(1 +	а2 + 2г-2аг)(рК )2	(16.24)
	Фз \а ) ~~	EJQ	'	4qhEJ0

При а = г выражения ф3 и ср2 совпадают; также совпа­ дают выражения ф3 и ф4 при а = 1. При дальнейшем по­ очередном повторении этапов разгрузки и нагрузки про­ цесс будет описываться соотношениями (16.21) и (16.24). Полагая в полученных выражениях г = —1, мы найдем результаты для симметричного цикла, а приняв г = 0 — для одностороннего цикла, в котором а изменяется в

пределах [0, 1].		за	цикл	энергия	определяется	с по­
Рассеиваемая
мощью (16.21)	и	(16.24):
¥ =	М J (ф2 -			ср3) da =	P ^ qhËJ-r)- ‘	<16’25)
		Г			°
Если теперь .ввести			амплитуду цикла Mv= Ж(1 — г)/2,
то (16.25) можно записать в виде
				2fM%		(16.26)
			=	зqhEJ0 *

Как видно, и в данном случае среднее значение изги­ бающего момента не оказывает влияния на гистерезисные свойства системы.

§ 17. Случаи упругофрикционного взаимодействия

Как ужо было пояснено в § 15, в некоторых соеди­ нениях действует двойной механизм передачи касатель­ ных усилий — при относительных проскальзываниях од­ новременно возникают пе только силы трепия, но и силы упругого взаимодействия; таковы -заклепочные пли бол­ товые соединения. Эти случаи можно считать обобще­ нием задач, обсужденных в предыдущем параграфе, а с другой стороны, и обобщением известной задачи Жуков­ ского *) (о распределении усилий между витками резьбо­ вого соединения), в которой учитывается только упругое взаимодействие, а силы трения полагаются отсутству­ ющими.

На рис. 17.1, а показана рассматриваемая ниже мо­ дельная схема. Она отличается от схемы, данной па

	аР	..........
		11VIIИ Ш Т11 1
	а	1
	а Р		X
		1	................1	(q+cu)dx
	6

Рис. 17.1. Система с упругофрикциоипым взаимодействием: а) схе­ ма; 6) пагружоние концевого участка полосы; в) эпюра касатель­ ных реакций; г) схема равновесия элемента

рис. 15.1, наличием дополнительных связей, упругосопротивляющихся проскальзыванию сечений полосы по осно­ ванию. Число этих связей предполагается настолько большим, что их можно представить в виде непрерывной системы, создающей распределенные касательные реак­ ции, интенсивность которых на единицу длины опреде­ ляется выражением s = —си, где с — коэффициент жест­ кости упругих связей, и = и(х) — перемещение произволь­ ного сечения.

Конечно, и в данном случае из принятого представле­

ния о силах	трения вытекает отмеченная в § 15 особен-
*) Николай	Егорович Жуковский (1847—1921)— профессор

Московского высшего технического училища и Московского уни­ верситета. Автор ряда основополагающих работ в области гидро­ аэромеханики, основатель ЦАГН.

пость распределения сил трения между полосой и осно­ ванием: в зоне, где нет проскальзывания, силы трения равны: нулю, а там, где происходит проскальзывание, они

.равны предельному значению q. Добавим к этому, что и реакции упругих связей возникают т о л ь к о в зонах проскальзывания, т. е. там, где имеются и силы трения

(рис. 17.1, б ив) .	три	эта­
Как и в § 15, последовательно рассмотрим
па нагружения системы по одностороннему	циклу
(0 < сс^ 1 )\	нуля	до
П е р в ы й э т а п — нагружение системы от

наибольшего значения силы Р; предполагается, что сила Р не слишком велика, так что проскальзывание происхо­ дит только на части общей длины полосы. На рис. 17.1, а изображен элемент полосы, расположенный в зоне ее де­ формирования, а также силы, действующие на этот эле­ мент. Уравнение равновесия элемента

	U L -c u t - q =				0	(17.1)
после заменыпродольной			силы		по	выражению
N = EFux	приводится к дифференциальному уравнению
			=			(17.2)
в котором
	f>-	V		i f		<173>
— параметр,	характеризующий			относительную жесткость
упругих связей.		в	решение			уравнения (17.2)
Постоянные, входящие
	их = Су sh	+	Dxch			(17.4)

a также неизвестная длина зоны проскальзывания определяются из трех граничных условий

щ {аи а) = 0* и[ {аи а) = 0, и[ (0, а) = —

(17.5)

Первые два условия относятся к правой границе зоны проскальзывания, а третье — к начальному сечению по­ лосы. Введя обозначение 0 = рР/д, найдем решение

уравнения		(17.4) в виде
“ 1 ( * х « ) =		- f	"j/l + (а0)2		ch рж — а0 sh	— 1	(17.6)
В	частпости,		при ж = 0,		т. е. для начального		сечения,
имеем
		MO,. a) =		-fC l/1 + (a 0 )2 - - 1)-			(17.7)
то	Отметим,		что если	в	(17.7) положить	р = 0	(с = 0),
	после раскрытия неопределенности мы возвращаемся
к	выражению (15.5)			и	рассмотренной	в § 15 схеме
ч и с т о ф р и к ц и о н н о г о					взаимодействия.		ч и с т о
	Если же положить			q = 0, то образуется		схема
у п р у г о г о			взаимодействия, которая представляет со­

бой вариант задачи Жуковского, о которой уже было сказано выше. (Отметим, что в данном случае при фор­ мальном переходе к схеме Жуковского нужно принять

длину полосы	бесконечной,	так как проскальзывание
происходит сразу по всей длине			соединения.) Для такой
полосы (при q	0) имеем из	(17.7)
	Щ(°, а) =	-у= = г-		(17.8)
Эта характеристика, конечно,			оказалась	л и н е й н о й ,

как и должно быть по существу вырожденной чисто упругой задачи.

В т о р о й э т а п — разгрузка соединения (сила аР убывает от значения Р до нуля). В зоне обратного про­

скальзывания силы трения		меняют	знак, уравнение
(17.2) заменяется уравнением
щ — р2н2 =		— у ,	(17.9)
а решение (17.4) — решением
и2= CJsh +	T)2 ch		(17.10)
Зпачения С2 и D2, а также	координата		а2 границы зоны
обратного проскальзывания определяются пз условий
и2(а2, а) = их(а2, 1),	и.г (а2, а) =		и\ (а2, 1),

щ (0, а) = - aP/(EF).

При этом получается		+ [(1—а)0]2 Jch fte —
«2 (х, а) = JL | 1 /1	+ 02 — у 4
		— а0 sh $х + l].		(17.12)
В частности, при х = О
U2 (0, а) = - f ( у Г Т е 5" -		У 4 + [(1 —а)0]2 +	il.	(17.13)
Ha т р е т ь е м	этапе, при	возрастании а от	нуля до

единицы, в пределах зоны прямого проскальзывания

уравнение записывается в прежней форме								(17.2). По­
стоянные, входящие в решение
	и3 = С3sh $х +			D3ch |3# —
а также длина а3 определяются условиями
«3 («3. а) = и2(а3, 1),				и3 (а3, а) =		щ (а3, 1),
	Щ (0, а )	=	-	aP/(EF).				'
Taким образом, найдем
и3(х, а) =	{ — а б sh §х +	[	1 ^ 1		+ 02 — 1 ^ 4		+	92 +
	+	/ 4		+	(а0)3] ей fix — 1 ) (17.15)
и для начального сечения
и3 (0, а) =	- Н /Г Т е 1 -				/ 4	+	(а0)2- 1 ] .
								(17.16)

При последующих циклах нагружения — разгрузки будут поочередно повторяться только что рассмотренные второй и третий этапы. Площадь петли гистерезиса определяется выражением

	1	2__
	5J (щ - Из) da =
		qEF е2 е3 '“ ( т + l / < + т Ь

При исчезающе малой жесткости упругих связей нужно в формуле (17.17) положить 0 = 0. После раскрытия неопределенности выясняется, что выражение в скобках равняется 1/12, при этом решение (17.17) совпадает с ре­ шением (15.9) § 15, полученным для условий чисто фрикционного взаимодействия. В противоположном слу­ чае, когда исчезают силы трения (0 -^ °°), выражение (17.17) обращается в нуль.

-----С

Рис. 17.2. Схема заклепочного соединения

Подобно этому исследуются процессы статического деформирования других систем с упругофрикционным взаимодействием, в частности типовых заклепочных со­ единений (рис. 17.2); подробности см. в [21, 42].

Ч а с т ь 2

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Г"л а в а 5 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

§ 18. Предельный переход в системе' Циглера

Как автор ни стремился к автономности изложения в каждом параграфе и к отсутствию ссылок на другие места текста, это удалось далеко не всюду. Здесь мы снова вынуждены просить читателя прежде всего вспом­ нить начало § 9, где кратко охарактеризован общий смысл предельных переходов в механике, и лишь после этого перейти к разбору излагаемых в § 18—20 пре­ дельных переходов в задачах тео­

рии	механических			колебаний. Хо­
тя каждый из рассмотренных слу­
чаев	достаточно			специфичен, но
это не должно помешать читателю
уловить		внутреннюю			общность
способов рассуждений					в разнооб­
разных		копкретных ситуациях.
В настоящем параграфе обсуж­
дается		парадокс,		который		возни­
кает при исследовании устойчиво­
сти	двухзвенной			плоской		систе­	X
мы	типа		двойного		маятника
(рис. 18.1);			система		нагружена
«следящей»			сжимающей силой Р,				Рис. 18.1. К задаче Циг­
направление			которой		при	любых	лера
отклонениях системы					совпадает с

осью второго стержня. Известно, что в задачах этого типа метод Эйлера может привести к грубо ошибочным заклю­ чениям, и поэтому для анализа устойчивости системы используется динамический метод, т. е. изучаются общие тенденции возмущенного движения около состояния рав­ новесия.

Сначала критическое значение силы Р* устанавлива­ ется в предположении, что трение в системе отсутствует.

9 Я. Гг Шновко

Затем рассматривается более общий случай, когда си­ стема обладает вязким трением; при этом определяется критическая сила (6), которая, конечно, зависит от коэффициента вязкости Ъ. Но если в полученном выра-

жсиии положить Ъ= 0, ‘ то	пеожидатшо обнаруживается,
что значения Р* и Р**(0)	существенно	различны. По­
лучилось, что результаты	исследования	устойчивости

как бы зависят от того, на каком этапе выкладок трение полагается равпым нулю — в самом начале или после пре­ дельного перехода от общего 'случая. Этот странный ре­ зультат вошел в литературу под названием парадокса Циглера (по фамилии швейцарского исследователя, об­ наружившего пазванпый парадокс в 1952 г,,— см. [71]). Обратимся к выкладкам.

Предполагается, что в шарнирах имеются сосредото­ ченные грузы, а сами шарниры обладают вязкоупругими свойствами. Если ф4 и ф2 — углы отклопепия стержней от вертикали, то моменты, возникающие при отклонениях

стержней, определяются		выражениями		—cqh — bqn и
—с{ф2 — фО— Ъ(ф2 — ф0		соответственно;		в	этих	выра­
жениях с и 6 -	коэффициенты		жесткости	и вязкости.
Полагая, что	массы	грузов	составляют		т и	2т,

Г. Циглер получил для возмущенного движепия такой системы уравпеппя

Зт12ц>1 + н г/2ф 2 + Ъ( 2 ф х — ф 2)+ (2с — Р1) +

+ (Р1 - с) Ф2 = 0, (18.1)

ml2ф ! + ml2ф 2 + Ъ( ф а —5рх) + с ( ф 2 — ф х) = 0 .

Прежде всего остановимся па частпом случае, когда вязкое сопротивление в шарпирах отсутствует (6 = 0) и уравнения (18.1) принимают более простой вид

+ ml2<р2 + (2с — Р1).ц>1 + (Р1 — С) ф2 = 0,

. . . .

(18.2)

тп12ц>1+ ml2ф2 + с (ф2 — q)t) = 0.

Для решепия системы (18.2) положим

ф1 = А е и,

ф2 = Л2еи.

(18.3)’

Подставляя (18.3) в (18.2), приходим к однородной си­ стеме линейных алгебраических уравнений относительно