книги / Механика деформируемого твердого тела.-1
.pdf*
найдем
w (х) = Af* [(1 — cos ах) cos а/ +
+ (ах — sin eu:) sin al]/(a2EJ). (4.5)
Сосредоточим" внимание на угле поворота концевого сечения, который согласно (4.5) составляет
sin al
(4.6)
‘P = ff>* al '
где ф* — угол поворота торца при изгибе стержня, вызы
ваемом только моментом М * (т. е. при Р = 0): |
|
Ф* - M*l/(EJ). |
(4.7) |
Кривая, показанная на рис. 4.4, соответствует именно по лученному уравнению (4.6), если -по осям откладывать соответственно угол ф и продольную силу Р. Такая же «вьющаяся» возле оси ординат кривая получится и в >уом случае, если за характерный параметр перемещения при нять прогиб концевого сечения, а не угол его поворота.
При дальнейшем обсуждении свойств стержня умест
но говорить только о показанном |
на рис. |
4.4 отрезке |
|||
кривой (4.6), |
поскольку, |
как было |
сказано |
выше, |
при |
P > 20,05£7/Z2 |
стержень |
становится |
неустойчивым |
(ко |
нечно, эту неустойчивость невозможно выявить в рамках нашего статического анализа).
Как видно, при постепенном возрастании значения продольной силы от нуля, угол поворота конца стержня
будет |
у м е н ь ш а т ь с я при неизменной величине мо |
мента |
Л/*. Это связано с тем, что сила Р содержит в се |
бе две составляющие — вертикальную, очевидно, усугуб ляющую изгиб, вызванный моментом Af*, п горизонталь ную, которая вызывает изгиб в противоположном на правлении.
В данном случае второе (противодействующее) вли яние оказывается сильнее первого. Постепенное измене ние формы изогнутой оси . можно видеть на рис. 4.5, б, где в одинаковых масштабах показаны изогнутые оси стержня, соответствующие пяти значениям силы Р, ко гда al —0; 1; 2; 3; 4. Здесь особенно бросается в глаза необычность двух последних форм, когда стержень из
гибается в |
направлении, |
противоположном ожидаемому; |
в частности, |
при al > я, |
т. е. при P > n2EJ/l2i даже угод |
поворота конца стержня противоположен направлению внешнего момента А/*.
Следовательно, если задана действующая на стержень следящая сила Р, большая чем n2EJ/i\ и постепенно воз-
растает момент Л/*, |
то линейная связь между М* и ф |
|||
будет |
выглядеть так, |
как показано на рис. 4.5, в, т. е. |
||
стержень представляет собой систему как бы с |
о т р и ц а |
|||
т е л ь н о й жесткостью. (Разумеется, |
работа, |
совершае |
||
мая |
моментом |
окажется также |
отрицательной.) |
Я. Б. Львин, который впервые отметил и исследовал опи санную аномалию, образно и удачно назвал ее негативиз мом (так психиатры называют отрицательные устремле ния человека, т. е. его склонность поступать противопо ложно внешнему воздействию).
Эта ситуация довольно своеобразна, но, в общем, вполне ясна; во всяком случае появление свойства «не гативизма» не следует смешивать с возникновением не устойчивости, как это ошибочно сделано в недавно опуб ликованных^ «Рекомендациях по расчету упругих систем на устойчивость форм равновесия» [51]. Авторы «Реко мендаций» исходят из следующих определений и сообра жений:
«Устойчивая^ система сопротивляется любому измене нию формы ее равновесия. Ее можно вывести из исход ного состояния и медленно (статически) перевести в любое смежное состояние (в любое сколь угодно близкое возможное состояние), если статически приложить к ней соответствующую этому смежному состоянию беско нечно малую, обобщенную дополнительную силу (сокра щенно— дополнительную силу), состоящую из сил и мо ментов.
Дополнительная сила при переходе устойчивой систе мы в любое смежное состояние преодолевает сопротивле ние системы изменению исходного состояния и совершает положительную работу. Если работа дополнительной силы при переходе системы хотя бы в одно смежное со стояние отрицательна или равна нулю, то исходное со стояние системы неустойчиво».
Можно установить, что, когда речь идет о консерва тивных системах, результаты, полученные согласно цити рованным «Рекомендациям», не новы и совпадают с ре зультатами, которые можно найти методом Эйлера. Од нако авторы «Рекомендаций» смело предлагают судить об устойчивости неконсервативных систем также по зна ку работы, совершаемой дополнительными силами при переходе системы в смежное равновесное состояние.
Посмотрим, к чему приведут «Рекомендации» в зада че об устойчивости консольной стойки, нагруженной сле дящей силой Р. Рассматривая в качестве «дополнитель
ной силы» момент |
|
(см. рис. 4.5, а), найдем соверша |
||
емую им работу |
|
|
|
|
А |
л гг |
Ф |
л г |
SinCtZ |
А |
М |
* ~2 |
|
2oF~' |
Согласно «Рекомендациям» признаком устойчивости стой ки служит неравенство А > 0. Отсюда немедленно следу ет, что устойчивость стойки якобы теряется при al = л, т. е. при Р ~ n2EJ/l2. Этот результат совершенно не сов падает с тем, что дает упомянутое выше корректное ис следование задачи динамическим методом.
Можно предположить, что составители «Рекоменда ций» исходили из того, что дополнительная работа меня ет знак, когда изгибная жесткость системы обращается в нуль и состояние равновесия становится безразличным, т. е. система оказывается на грани неустойчивости. Но это рассуждение, вообще говоря, неверно, так как смена знака дополнительной работы может произойти и не при нулевом значении коэффициента жесткости — при росте нагрузки он может изменить знак разрывным образом. В самом деле, возвращаясь к прежнему примеру, найдем из (4.6) — (4.7)
м = а% -(р. |
(4.8) |
Здесь видно, что коэффициент жесткости системы опре
деляется |
выражением aEJ/sin al, которое при al = я |
|||
равно |
не |
нулю, а |
б е с к о н е ч н о с т и ! |
Иными словами, |
в том |
состоянии, |
в котором согласно |
«Рекомендациям» |
происходит потеря устойчивости (а в действительности появляется «негативизм»),’ жесткость системы бесконеч но велика, и вся ситуация вовсе не похожа на состояние безразличного равновесия.
Возможно, что авторы «Рекомендаций» исходили из иных соображений, но, как бы то ни было, выдвинутый в «Рекомендациях» способ расчета на устойчивость пред ставляется в целом' необоснованным.
§ 5. Парадоксы усиления конструкций
Хотя впечатляющие успехи, достигнутые в последнее время в области оптимального проектирования (констру ирования), в значительной степени обязаны поразитель ным возможностям современных средств вычислитель ной техники, однако Стремление к оптимизации инже-
норных конструкций наметилось очень давно — задолго до появления электронных вычислительных машин, да и самого термина «оптимальное проектирование».
Иногда постановка задач оптимального проектирова ния — в широком понимании этого термина — опиралась на некоторые^частные качественные признаки оптималь ности. Таков, например, признак отсутствия эксцентри ситета сжимающей силы в задаче о нагружении арки (определение рациональной оси арки как «кривой дав лений») или признак одинаковости наибольших напря жений во всех сечениях тяжелого стержня с вертикаль ной осью, закрепленного на одном из концов (определе ние формы стержня равного сопротивления).
В других задачах оптимального проектирования во прос сводился к определению экстремума той или иной целевой функции (этого термина в прежние времена так же не существовало). Вероятно, исторически первой за дачей этого типа была задача Парана*), решенная в на чале XVIII века, на заре становления теории изгиба стержней: как нужно обтесать круглое бревно, чтобы получитц брус прямоугольного сечения, обладающего наи большим моментом сопротивления; эта задача и поныне
встречается в учебниках по сопротив
|
лению материалов. |
|
|
h иско |
|||
|
Для ширины Ъ и высоты |
||||||
|
мого |
прямоугольника |
Паран |
нашел |
|||
|
(рис. |
5.1) |
Ь = 2Я/УЗ, h = 212R/3 (Я — |
||||
|
радиус поперечного сечения бревна). |
||||||
|
Момент_сопротивления такого сечения |
||||||
|
8Я3/(9УЗ) |
больше, чем |
момент |
сопро |
|||
|
тивления |
любого другого |
прямоуголь |
||||
Рис. 5.1. К задаче |
ного сечения, которое можно получить |
||||||
из заданного |
круглого |
|
сечения, но |
||||
Парана |
м е нь ше , |
чем |
момент |
сопротивления |
|||
|
исходного |
сечения яЯ3/ 4; |
следователь |
но, даже при наиболее рациональном превращении брев на в брус прямоугольного сечения теряется более трети первоначальной прочности.
В XIX веке был рассмотрен близкий по теме вопрос: нельзя ли, отказавшись от стремления к прямоугольной
форме |
сечения, обтесать бревно таким образом, чтобы |
*) |
Антуан Паpan (1666—1716)— французский ученый в обла* |
сти аналитической геометрии, механики машип и сопротивления материалов. На последнем году жизни Паран был избран членом Парижской академии наук.
момент сопротивления сечени^ не уменьшился, а у в е л и ч и л с я ?
Обсуждение этого вопроса также можно встретить в современных книгах, причем устанавливается, что если бревно симметрично обтесано сверху и снизу (рис. 5.2), то момент сопротивления определяется выражением
цг ^ 2 (л — а) + sin 2а
8 co s(а/2)
которое достигает максимума при а —24°. То, что после обтесывания момент сопротивления может возрасти, представляет определенный интерес, хотя достигаемый
при этом практический эффект поч |
|
||||||||
ти неощутим — максимальное |
значе |
|
|||||||
ние |
момента |
сопротивления |
всего |
|
|||||
на |
0,7% |
больше |
момента сопротив |
|
|||||
ления исходного |
круглого |
сечения. |
|
||||||
(В |
прежние |
времена балки |
между |
|
|||||
этажных перекрытий в зданиях ча |
|
||||||||
сто |
делали |
из |
|
бревен, |
обтесанных |
Рис. 5.2. Сечение об |
|||
примерно |
так, |
как это |
показано на |
тесанного бревна |
|||||
рис. 5.2. |
Разумеется, такая |
обработ |
|
ка производилась только для того, чтобы конструктивно улучшить примыкание к балкам прибиваемых сверху до сок пола и прибиваемых снизу ^досок потолка. О какомлибо выигрыше в прочности строители конечно, не заду мывались и, вероятно, даже не
|
подозревали, что его можно полу |
||||||
|
чить столь неожиданным способом.) |
||||||
|
|
Несколько |
ярче |
проявляется тот |
|||
|
же эффект в задаче об изгибе балки |
||||||
|
квадратного |
сечения, |
нагруженной |
||||
|
в |
диагональной плоскости (рис. 5.3) ; |
|||||
|
здесь также оказывается, что срезки |
||||||
Рис. 5.3. К пара |
могут |
увеличить, |
а |
не уменьшить |
|||
доксу Эмерсона |
момент |
сопротивления сечения. Ес |
|||||
|
ли а — сторона |
исходного квадрата |
|||||
и h — высота сечения, |
получаемого |
после |
срезок, то мо |
||||
мент сопротивления определяется выражением |
|||||||
|
W |
4 У 2 а |
|
>)’ |
|
|
|
|
24 \ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
которое достигает максимума при А = 8У2а/9; этот мак симум составляет 64У2а3/729, т. е. на 5,3% больше, чем
значение У2а3/12, соответствующее исходному квадратно му сечению.
В старых учебниках по сопротивлению материалов этот эффект назывался парадоксом Эмерсона — по имени автора, обратившего особое внимание на увеличение мо мента сопротивления при некотором уменьшении сече ния. (Применительно к обсуждаемому здесь довольно простому, хотя и несколько неожиданному факту слово «парадокс» ныне звучит несколько претенциозно. Но са мо суждение о парадоксальности исторично: парадоксом называют явление, которое не соответствует обычным представлениям; а что именно считать «обычным», зави сит от накопленного к данному времени объема знаний и опыта, от общего фона эпохи; то, что сегодня не вызыва ет особого удивления и завтра станет совершенно баналь ным, вчера могло выглядеть подлинным парадоксом.)
В одном из современных задачников по сопротивле
нию |
материалов |
можно найти задачу, |
заставляющую |
|||||||
|
|
|
|
вспомнить |
о |
парадоксе |
|
Эмерсона. |
||
|
|
|
|
Рассматривается |
осевое |
растяжение |
||||
В Г |
|
|
|
длинной трубы, |
в |
стенке |
которой |
|||
|
г*й |
is |
вырезано |
«окно» |
(рис. |
5.4). Ясно, |
||||
г |
|
что в ослабленном сечении А наи |
||||||||
il |
|
|||||||||
IJ |
1 |
большие |
растягивающие |
|
напряже |
|||||
ния будут больше, чем в цельном |
||||||||||
|
й |
сечении В; и не только потому, что |
||||||||
|
|
|
|
площадь сечения FA меньше площа |
||||||
|
|
|
|
ди сечения FB, а главным образом |
||||||
Рис. |
5.4. |
Тонкостен |
вследствие того, что в сечении А из- |
|||||||
ная труба |
с боковым |
за нарушения |
симметрии |
растяже |
||||||
|
окном |
|
ние оказывается внецентренным и в |
|||||||
|
|
|
|
наиболее |
напряженной |
точке на |
среднее напряжение от растягивающей силы наложится напряжение от изгиба.
В задачнике ставится вопрос: каким наиболее простым способом можно понизить напряжение в ослабленном сечении? Читатель нашей книги, уже настроенный на определенный лад предыдущим текстом настоящего па раграфа, вероятно, сразу ответит: нужно вырезать еще одно «окно» напротив первого — тогда восстановится сим метрия сечения и напряжения от изгиба исчезнут. Имен но этот, в общем, верный ответ и дан в задачнике*).
*) Впрочем, уместность такого своеобразного способа умень шения напряжений («усиление через ослабление») зависит от зна-
Здесь нужно сделать замечание, которое несколько изменит наше отношение к сделанным выше выводам. Дело в том, что момент сопротивления служит мерой прочности сечения изгибаемого стержня только при ус ловии справедливости закона Гука; если при возрастании нагрузки^ может произойти переход материала стержня в пластическое состояние, то вместо «обычного» момента сопротивления за геометрический измеритель прочности следует принять .иную величину. Если, в частности, счи тать, что после достижения предела упругости материал обладает свойством идеальной пластичности, то такой величиной становитря пластический момент сопротивле ния (для сечений с горизонтальной осью симметрии он равен удвоенному статическому моменту полусечения от носительно этой оси). При этом получится, что любые срезки могут только уменьшить пластический мо мент сопротивления; в частности, для сеченйя, показан ного на рис. 5.3, «рациональная» срезка части сечения
(когда ft = 8V2a/9) в действительности приводит к умень шению пластического момента сопротивления (на 3,4%), т. е. в конечном счете — к у м е н ь ш е н и ю общей проч ности.
Мы решились напомнить читателю достаточно широ ко известные сведения для того, чтобы подвести его к су ществу порой возникающих дискуссий, относящихся к проблеме устойчивости. Спорный вопрос состоит в сле дующем: может ли устранение некоторых элементов кон
струкции |
п о в ы с и т ь |
критическое |
значение нагрузки |
|
или — что |
то |
же самое — может ли |
добавление новых |
|
элементов |
в |
упругую |
конструкцию |
п о н и з и т ь это |
значение?
На первый взгляд вопрос настолько ясен, что хочется сразу ответить: «Нет, это невозможно!» Как мы ниже увидим, такой ответ действительно верен — но лишь при определенном, к сожалению, не единственном (хотя и наиболее разумном) понимании термина критическая на грузка. Беда в том, что, опираясь на некое иное, однако формально возможное толкование этого термина, можно прийти к противоположному выводу.
Чтобы отчетливее показать, как может возникнуть спор, рассмотрим пример — систему, состоящую из жест
чения центрального угла а, определяющего ширину «окна». Мож но вычислить, что при а > 153° вырезание второго «окна» иринесет не пользу, а вред.
кой балки, шариирно-закрепленной на левом конце и под держиваемой высокой стойкой посередине (рис. 5.5, а) ; длина балки а. На балку действует равномерно распреде ленная нагрузка интенсивностью q. Стойка сжата и при
л
|
^^ККХ!КХШЕИЕИИ |
£ |
’ /1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
1 |
, À\ |
i |
|
-а /г . |
F |
г а/2 t |
|
|||
|
|
а/2 |
\^а/2 > г |
|||
|
|
|
|
|
Рис. -5.5. Исходная система (а) ; система с дополнительным стерж нем (б)
возрастании интенсивности q может потерять устойчи вость. В дальнейших выкладках принимается, что кри тическое состояние наступает при напряжениях, не пре восходящих предела упругости. Если Е — модуль упру гости материала стойки, / 4— момент инерции ее попереч ного сечения, I — высота, то критическое значение интен сивности нагрузки на балку определяется очевидным вы ражением
тсЕ1л |
(5.1) |
?кр ^ aj2 • |
Рассмотрим теперь измененную конструкцию, которая получится, если в систему ввести дополцительно еще одну стойку (рис. 5.5,6). Положим, что поперечные сече ния обеих стоек подобны, но линейные размеры сечения стойки 2 в а раз больше линейных размеров сечения стойки 1, т. е. Fг= а2/7!, / 2 = а4Л. Что произойдет с кри тическим значением нагрузки на балку?
Обратимся к вычислениям и прежде всего найдем сжимающие силы Ni и 7V2, которые возникают в сечениях стоек до потери устойчивости. Решение простой, но с т а
т и ч е с к и н е о п р е д е л и м о й задачи (последнее |
об |
стоятельство принципиально существенно!) приводит |
к |
следующим результатам:
2qaa? |
2а*NX. |
1 + 4а2 ’ ^2 = 1 -(- 4а2 |
Критические силы соответственно равны
|
л2£ /1 |
|
n2EJ„ |
1кр |
~~F~ |
2Kp |
аАР 1КР* |
|
|
|
Близость к критическому состоянию каждой из стоек определяется отношениями NJPiKV и N2/P2^v. Сопостав ляя эти отношения, найдем N2/P2k^= 2Nt/ (a2PiKV). Следо вательно, если a > V2 , то при постепенном возрастании нагрузки критическое состояние достигается сначала в
стойке 1; если же а < У2, то сначала возникает критиче ское состояние в стойке 2. __
Положим, что выполнено последнее условие ( a <V2 ) . Образуя равенство N2= Р2кр, найдем нагрузку, при кото рой происходит потеря устойчивости стойки 2:
«+ *»*> , |
(5.2> |
Этот результат ме нь ше , чем (5.1), |
если а <0,7701. |
Далее будем обсуждать только этот случай. Так, напри мер, при а = 0,5 получится g* = 0,25дкр, т. е., включив в
систему |
вторую |
стойку, мы как будто добились лишь |
|
у м е н ь ш е н и я |
критической |
нагрузки в четыре раза! |
|
А если |
а = 0,2, |
то получится, |
что критическая нагрузка |
составит всего 2,32% значения, соотвётствуюгцего исход ной системе. Это ли пе парадокс?
Внимательный читатель, вероятно, уже обратил вни мание на неполную убедительность наших рассуждений. Дело в том, что, когда при постепенном росте нагрузки она достигнет значения g* и стойка 2 потеряет устойчи
вость, |
потери устойчивости в с е й |
с и с т е м ы не проис |
|||
ходит — стойка |
1 может быть |
еще |
далека |
(по крайней |
|
мере |
более или |
менее далека) |
от |
потери |
устойчивости,, |
и конструкция в целом способна выдерживать дальней ший рост внешней нагрузки.
При дальнейшем нагружении, когда g > g * , с высокой степенью точности можно считать, что сила, воспринима-
TL2EJX
емая стойкой 2, остается неизменной и равной — %— а4*4
4 Я. Г. Пановко
Система будет выглядеть, как показано на рис. 5.6 (она статически определима!), и для силы, сжимающей стой ку 2, найдем
Nx = да |
2а*n2EJ1 |
(5.3) |
Лишь когда эта величина достигнет критического значе-
_ |
n2EJr |
можно будет |
сказать, что к о н с т |
ния Р тр = —р— , |
|||
р у к ц и я |
потеряла |
устойчивость. |
Приравнивая (5.3) |
значению Рц<р, найдем, что потеря устойчивости кон струкции в целом наступает при нагрузке
|
|
?** = —P (1 + |
2а4). |
|
|
|
(5.4) |
|||
|
|
|
at, |
|
|
|
|
|
|
|
Этот результат |
всегда |
б о ль ше , |
чем |
критическое |
зна |
|||||
чение (5.1) для исходной системы. |
|
увеличилась |
или |
|||||||
Вернемся |
к |
исходному |
вопросу: |
|||||||
уменьшилась |
критическая |
нагрузка |
после |
добавления |
||||||
|
|
|
стойки 2, если а < 0,7701? Теперь |
|||||||
|
|
|
читатель видит, что ответ зависит |
|||||||
|
|
|
от того, какое состояние назы |
|||||||
|
|
П?кр |
вать |
критическим — то, |
при |
кото |
||||
|
|
ром |
наступает |
потеря устойчиво |
||||||
|
|
|
сти дополнительной стойки 2, или |
|||||||
|
|
|
же состояние, когда теряет устой |
|||||||
|
|
|
чивость также и стойка 2. Пред |
|||||||
|
|
|
ставляется, что в данном случае |
|||||||
тт |
|
|
термины критическое состояние и |
|||||||
|
|
критическая нагрузка естествен - |
||||||||
Рис. 5.6. Нагружение систе- |
нее |
связывать с потерей |
устойчи |
|||||||
мы после потери устойчиво |
||||||||||
сти второго стержня |
вости всей |
конструкции. |
Тогда |
|||||||
ет — добавление |
|
никакого цррадокса |
не |
возника |
||||||
стержня 2 не уменьшает, а |
у в е л и ч и- |
|||||||||
в а е т критическую нагрузку. |
здесь вопрос |
возник |
||||||||
Разумеется, |
|
весь обсуждаемый |
только потому, что после добавления стержня 2 система 'Стала статически неопределимой (см. рис. 5.5,6), а выход из строя «лишнего» стержня вовсе не то же самое, что потеря устойчивости «необходимого» стержня, т. е.4стерж ня, в котором усилие статически определимо. Здесь уместно напомнить написанное полвека назад И. .М. Ра