книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Прежде всего напомним питателю о предельном пере­ ходе в задаче об изгибе жестко защемленной на контуре

пластины,	имеющей	форму	правильного	^-угольника,
к случаю,	когда &	° к а к	было описано в	§ 8, резуль­

таты предельного перехода соответствуют жестко защем­ ленной на контуре круглой пластине, т. е. ничуть не удивительны. Может показаться, что то же благополучие должно обнаружиться и для любых иных условий на контуре. Однако для свободно опертой ^-угольной пла­ стины это пе так — при неограниченном возрастании к результаты (например, для прогибов) существенно отли­ чаются от результатов, найденных из независимого ре­

шения	задачи о круглой пластине. Этому любопытному
случаю,	на который	впервые	указал О. М. Сапонджян
в 1952	г. (см. [52]),	посвящен	ряд публикаций в нашей

стране и за рубежом.

Прежде всего приведем результаты решения задачи о нагружении свободно опертой пластины, имеющей в плане форму правильного Л-уголышка. Пусть q — интен­ сивность равномерно распределенной по всей поверхности

нагрузки, R — радиус описанной	окружности, D — ци­
линдрическая жесткость. Тогда	в рамках технической

теории пластин для прогиба центра можно получить вы­ ражение

Н?тах=а^77,

(10.1)

причем коэффициент а зависит от числа сторон много­ угольника, образующего контур пластины:

к	3	4	5	6	8	оо
а	0,00520	0,01624	0,02485	0,03067	0,03730	0,04688

Эти значения показаны па рис. 10.1 (подробности вычислений см. в книге О. М. Сапонджяна [53], с. 237).

Но для круглой свободно опертой					пластины давно			из­
вестно	значение		а = 0,06370	(при	v — 0,3),		которое	за­
метно	отличается		от значения а = 0,04688,				полученного
в результате		предельпого перехода			при к -+■		Следова­
тельно,	при	неограниченном		увеличении		числа сторон
^-угольника		в пределе получается			круглая	пластина,		но,

б Я. Г. Павовко

Рис. 10.2.. Особенности пово­ рота нормалей на опертом контуре

по-видимому, не с в о б о д н о о п е р т а я , а закреплен­ ная более жестко. Почему это происходит?

Воспроизведем разъяснения О. М. Сапонджяна и сна­ чала рассмотрим изгиб пластины в форме правильного

	.многоугольника. Поскольку пластина			свободно оперта,
		нормаль			к	срединной
		поверхности,				проведен­
	а = 0,06370	ная в какой-либо кон­
	0,06-	турной точке				(исклю­
		чая		углы!), может по­
	cç=0,04688
		ворачиваться					только
	Ofik-	вокруг соответствующей
		прямолинейной					грани­
	0,02-	цы	(см., например, нор­
		мали		аа и ЪЪ и				соот­
		ветствующие				прямые
	о L	тт и пп на рис. 10.2).
		В	таком		случае			нор­
	8 к	маль		в	угловой		точке
	Рис. 10.1. Параметр прогиба цент­	контура,			как	принад­
		лежащая			обеим		сходя­
	ра пластины при различных зна­
	чениях числа сторон	щимся в этом месте гра­
		ням		(см.	нормаль			сс),
	должна оставаться н е п о д в и ж н о й .			Эти	угловые			нор­

мали, которые остаются неподвижными, образуют ' некий жесткий «частокол». При неограниченном возрастании к, когда форма контура неограниченно приближается к кру­ говой, такой все более уплотняющийся «частокол» создаст граничные условия, существен­ но отличающиеся от граничных условий свободного опирания круглой пластины. Может да­ же показаться, что предельный переход, сопровождаемый уп­ лотнением «частокола», должеп привести к пластине, жестко за­ щемленной на контуре, но и это

не так — как мы увидим, защемляющее действие дискретно расположенных угловых нормалей все же не столь полноценно, как непрерывное защемление по всему контуру.

Вспомним элементарный вопрос: к чему стремится ломаная линия АВ — «лесенка», показанная на рис. 10.3,— при неограниченном уменьшении размера ступенек и одновременном возрастании их числя? Конечно, в этом*

г

процессе происходит неограниченное приближение точек: ломаной к прямой, показанной на рисунке, и в этом сугубо условном смысле прямая есть предел ломаной, но* на любом этапе процесса д л ина ло­ маной остается неиаменной и равной

2а и вовсе не стремится к длине аУ2 прямого отрезка АВ, который по­ этому нельзя считать полноценным пределом ломаной.

Нечто вроде этого и в парадоксе

спластиной: предельный переход

для	ф о р м ы		к о н т у р а		не сопро­
вождается		предельным			переходом
с в о й с т в		свободно опертой А-уголь-				Рис. 10.3. При неогра­
ной	пластины		в	свойства	свободно	ниченном	увеличе­
опертой круглой пластины. Обратим­						нии числа ступенек
						длина ломаной оста­
ся к более подробному анализу гра­						ется неизменной
ничных условий				опертом	крае круглой или		А-угольнои
На свободно

пластины, независимо от числа А, первое граничное усло­ вие имеет вид

0 ( 10.2)

и остается неизменным в процессе предельного перехода. Для формулировки второго граничного условия нужна исходить из известного общего выражения для изгибаю­

щего момента на контуре

71 г	r \ l ^ w , V âw	d2w I	/лг\о\
	+	+	« °-3>

В этом выражении п и sm— направления нормали и каса-г тельной к контуру, г — радиус кривизны контурной линии.

Введем оператор Лапласа

v* _ i l + ±_i. + i l

дп2 г On •

и учтем, что вследствие (10.2) всюду на контуре d2w/ds2~ ==•0. Тогда вместо (10.3) можно записать

Мп = - D ( V*u; -

д£ ) .

(Ю.4>

Выражение (10.4) справедливо и для кругового, и для А-угольного контуров. Для круглой пластины нужно в»

6*

(10.4)	принять г =* 7?, и второе		граничное		условие за­
пишется в виде		1 — V d w		п			(10.5)
		~~Л~~дп		U
В случае /c-угольной пластины выражение					(10.4)		упро­
щается: для регулярных точек многоугольной						границы
(когда	г -* ° о) из (10.4) следует		Æfn — —DV2w,			и второе
граничное условие при любом А запишется в виде
		V2W = 0.					(10.6)
Различие между		выражениями		(10.5) и	(10.6)		оче­
видно	(случай v = l	в природе не		встречается). Отсюда

и следует, что предельные результаты для свободно опертой многоугольной пластины (при к -*<*>) не долж­ ны совпадать с результатами, соответствующими круглой свободно опертой пластине — хотя в чисто геометрическом

отношении	переход	от ^-угольника	к окружности при
к ->■оо совершенно безупречен.			граничного условия
Для того	чтобы	понять смысл

(10.6), представим себе круглую упругозащемленную и опертую па контуре пластину. Если с — коэффициент жесткости упругого защемления (на единицу длины кон­ тура), то возникающий на контуре момент равен cdw/dn и для такой пластины граничное условие (10.4) прини­ мает вид

- D (v*“, - Lr !£ ) - ‘ £ -	<10J>
Если здесь положить с — 0, то мы вернемся	к условию

(10.5) . Однако из (10.7) можно прийти й к условию (10.6) ; для этого нужно положить

D (1 — V) ( 10. 8)

R

Таким образом, при неограниченном возрастании числа сторон многоугольной пластины происходит переход к опертой круглой пластине — но не свободно опертой, а упруго защемленной на контуре при коэффициенте жесткости защемления (10.8). Выше мы уже упоминали о защемляющей роли неподвижных угловых нормалей — теперь она получила количественную оценку.

Естественно, что результаты предельного перехода оказываются промежуточными между результатами для круглых пластин — свободно опертой и жестко защемлен­ ной. Это видно из таблицы 10.1, где даны значения про­

гибов центра пластин для двух случаев нагружения — равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (случай А) и приложенной к центру сосредоточенной силой Р (случай В).

Т а б л и ц а 10.1

Безразмерный прогиб центра

Тип пластины

1 . Свободно опер­ тая круглая

2 . Свободно опер­ тая /с-угольная

(& -> оо)

3 . Жестко защем­ ленная круглая

Граничны е условия

	ш = 0
_	1 — V dw
V w	R д п ~ °
	sII о
	sIlf о

w— 0 dw

on

случай А

wmax qR*/D

5+v

6 4 ( l -j - v )

3

6 4

случай В

% a i

PR*/(nD)

3 + V

1 6 (l-| -v )

i	:
8

1	1
6 4	16

Вопределенном смысле парадокс Сапонджяна близок

кзначительно более простому парадоксу, возникающему при а 0 для балки, рассмотренной в § 9,— в обоих

случаях причина коренится в исходных модельных пред­ ставлениях: гипотезе плоских сечений для балки и ги­ потезе прямых нормалей для пластины. Как мы помним, в задаче о балке парадокс устраняется путем учета сдви­ гов, поэтому есть все основания думать, что и в задаче о пластине парадокс будет устранен при смягчении чрез­ мерно жесткой технической теории* т. е. при переходе к теории, учитывающей сдвиги. Во всяком случае сразу ясно, что при учете сдвигов угловые нормали, обладая некоторой свободой поворота, уже не образуют неподвиж­ ный «частокол» при конечных значениях к.

Парадоксу Сапонджяна посвящен ряд публикаций, число кото­ рых непрерывно возрастает. Отметим здесь статьи И. Бабушки [75] и Ридера [80]. В работе В. Г. Мазьи и С. А. Назарова [31] изу­ чены особенности предельных переходов для других подобных случаев, в частности для пластины с отверстием в виде правиль­ ного ^-угольника, когда на границе отверстия заданы условия сво­ бодного опирапия, а затем принято, что к -*■ оо.

Таблица 10.1 заимствована из статьи Раджаяха и Рао [79].

Г л а,в а 3

ОСОБЕННОСТИ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ОДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

§11. Энергетический парадокс?

Решения любых задач •о движении механических си­ стем под действием переменных внешних сил в принципедолжны опираться на уравнения динамики. Однако при медленных изменёниях внешних сил, когда ускорения точек системы достаточно малы, допустимо (а с практи­ ческой точки зрения и естественно) пренебречь инер­ ционными эффектами и определять усилия в системе и ее положение в любой момент времени из у р а в н е н и й р а в н о в е с и я , которые получаются в результате вырож­ дения соответствующих динамических уравнений движе­ ния. Такие решения, которые основаны на уравнениях статики и описывают движение безынерционной системы во времени, принято называть квазистатичеспими.

Иногда уместность квазистатичебкого решения под­ сказывает исследователю чувство масштаба, которое вырабатывается в результате даже небольшого опыта; (Вряд ли кому-нибудь придет в голову рассматривать снег, падающий па крышу во время снегопада, как дина­ мическую нагрузку!)

В других случаях то же чувство может подсказать необходимость именно динамической постановки задачи; вероятно, читатель не очень нуждается в иллюстрациях* но всё же назовем хрестоматийные примеры — качку судна на волнении, колебания автомобиля при его дви­ жении по неровной дороге, действие не вполне уравно­

вешенного	высокооборотного двигателя на фундамент
и т. д.	очень часто возможность перехода к квази-
Однако

статическому решению не столь очевидна и нужно спе­ циальное исследование, которое позволило бы установить^ при каких значениях параметров, характеризующих тем­ пы измепепия внешней нагрузки, допустима квазистатйческая трактовка задачи.

Так, например, известна оценка И. Г. Бубнова*): с погрешностью, меньшей 5%, действие силы, показанной

на рис. 11.1, можно считать статическим при							если
длительность			возрастания силы			по крайней	мере в
В,4 раза		превосходит		наиболь­
ший	период свободных				колеба­	Рк
ний	системы		(см.,	например,
£44]). Аналогично этому в зада­
че о	гармоническом			возбужде­
нии линейной системы с одной
степенью		свободы без			трения
.легко найти, что статическое ре­						Рис. 11.1. Возрастание		на­
шение приводит к такой же по­						грузки во времени
грешности при условии, что О) <								ча­
с 0,22к		(о — частота		возбуждения, к — собственная

стота системы). Конечно, эти результаты можно получить только после изучения соответствующих задач в динами­ ческой постановке.

Подобные конкретные оценки очень полезны для практики и своей количественной определенностью вы­ годно отличаются от туманных выражений типа «весьма медленно» или «очень быстро», которые можно встретить во многих книгах по механике (не нужно далеко ходить па примерами — достаточно вернуться к началу настоя­ щего параграфа и еще раз прочитать там вторую фразу).

Сказанное полностью относится и к задачам о дейст­

вии п о д в и ж н ы х		н а г р у з о к .			Рассмотрим,			например,.
			действие		сосредоточенной				силы Р
			на	упругую		консольную			балку,
%			когда точка			приложения				силы
i			движется вдоль балки по заданно-,
к			му	закону		£ =	£(£)	(рис.		11.2).
			Представляется				очевидным,			что
			при	достаточно			малых	скоростях
Рис. 11.2. Линия дей-			движения		нагрузки g (t)				допусти-
ствия силы	переме-		ма	квазистатическая				постановка
щается вправо			задачи, и для любого момента вре­
линии действия силы			мени t, т. е. для любого положения
			Р, все элементы изгиба можно
определять	путем	статического			решения, выполняемого

обычными методами сопротивления материалов. Конечно,

*) Иван Григорьевич Бубнов (1872—1919) — один из основопо­ ложников строительной механики корабля. С 1909 г.— профессор Петербургского политехнического института, с 1910 г.— профессор Морской академии.

установление соответствующих количественных оценок (что такое «малая скорость движения»?) требует решения динамической задачи и поэтому выходит за рамки настоя­ щей главы, однако кажется, что квазистатическая поста­ новка задачи в принципе ничего сомнительного в себе н& содержит и что всегда найдутся столь малые скорости движения нагрузки, при которых учет сил инерции балки станет столь же бессмысленным в практическом отно­ шении, как и в приведенном выше несколько гротескном примере со снеговой нагрузкой.

Тем не менее один важный аспект квазистатического рещення может показаться странным и даже подозри­ тельным.

Вновь обратимся к рис. 11.2. Пусть / — статический прогиб правого конца балки в последний момепт рассмат­ риваемого процесса, когда точка приложения силы совпа­ дает с этим концом, т. е. когда | ==■/. В этот момент по­ тенциальная энергия деформации балки равна Pf/2. Разумеется, она накоплена в результате работы, которуюсовершает сила Р при постепенном опускании точки ее приложения на величину /. Но если вычислить работусилы Р как произведение ,Р/, то получится результат*, вдвое больший потенциальной энергии деформации. Воз­ никает вопрос: куда израсходована вторая половина этой: работы?

Конечно, тот же вопрос можно поставить примени­ тельно к любому моменту процесса движения нагрузки. Более того, можно ожидать, что такое же несоответствие* обнаружится и в случаях движения нагрузок по упругим системам иного типа.

В книгах по механике деформируемого твердого тела — сопротивлению материалов, строительной механике, тео­ рии упругости — ответ найти нельзя, так как сам назван­ ный вопрос даже не ставится, но он нередко возникает- в устных дискуссиях «самодеятельного» характера и да­ леко не всегда верно трактуется.

Иногда говорят, что для правильного разъяснения^ энергетического парадокса необходимо, чтобы сначала был ясно указан способ, при помощи которого осущест­ вляется приложение движущейся нагрузки к балке. Ко­ нечно, этим требованием вопрос лишь запутывается: ведь каким бы ни был способ реализации силы Р — про­ стым или сложным — после указания этого способа снова, придется решать, куда же расходуется половина работы; силы Р.

Еще чаще высказывается мысль о том, что квазистатические представления принципиально неприемлемы для случаев движущейся нагрузки; утверждается, что при любой сколь угодно малой скорости движения нагрузки

необходимо учитывать инерционные		свойства		системы
и (или) вязкость материала. Тогда, говорят,			можно ожи­
дать, что вторая	половина работы	силы	Р переходит
в кинетическую	энергию балки и	постепенно		рассеи­

вается.

Такое рассуждение тоже не разъясняет суть дела; остается непонятным, почему во множестве других слу­ чаев вырождение динамических ситуаций приводит к бесспорно непротиворечивым квазистатическим задачам. Но независимо от этого чисто логического соображения можно путем прямых выкладок обнаружить, что кинети­

ческая энергия и рассеиваемая энергия при | -*■0 также стремятся к нулю, и, следователь-

по, для энергетического		парадокса	р!
нужно искать иные объяснения.			Й
Еще более удивительна рассогла­
сованность	результатов	для систе­
мы, показанной на рис. 11.3. Си­			Рис и 3	Точка
стема представляет собой прямолй-
иейный стержень, нагруженный рас-			лож'ения’	силы пере­
тягивающей	силой Р, точка прило-		мещается вправо
жения которой движется вдоль оси			закону £(£). Пусть
стержня по	некоторому	зйдапному

I — длина стержня и Ai — его удлинение в момент, когда точка приложения силы достигает конца стержня. Если вычислять работу, совершенную к этому моменту силой Р/по выражению P(l + Ai) (или, что практически то же самое, по выражению Р1), то результат окажется уже не в два, а в тысячи раз большим, чем потенциальная эыергия растяжепия, очевидно равная PAZ/2.

Может быть, и в самом деле квазистатическая трак­ товка таких задач содержит коренную ошибку и прин­ ципиально недопустима?

Однако благоразумие требует неторопливости: прежде чем отказываться от полезного упрощенного представле­ ния, прекрасно себя оправдавшего во многих других слу­ чаях, нужно еще раз проверить, действительно ли су­ ществует энергетический Парадокс и не пропикла ли в наши выкладки какая-нибудь ошибка. Забегая вперед, укажем, что для рис. 11.2 работа силы Р вовсе не рав ­ на Р/, а для рис. 11.3 — произведению PL

§ 12. Работа подвижной нагрузки

Для того чтобы исключить какие бы то ни было дву­ смысленности и недоговоренности, отвлечемся от схемы на рис. 11.2 и будем рассматривать общий случай пере­ менной нагрузки

р = р{х,	t),	(12.1)
любым образом меняющейся	во	времени и произвольна

распределенной вдоль оси произвольно закрепленной бал­ ки (х — координата произвольного сечения, t — время). Ниже в рамках этого общего представления мы получим и случай, показанный на рис. 11.2.

Определим элементарную работу нагрузки (12.1) за

время dt. Введя для прогибов балки обозначение
w =*w(x, t),	(12.2)

запишем выражение вертикальной скорости любого се­ чения балки в виде dw/dt. Тогда элементарное (за вре­ мя dt) перемещение сечения можно представить в виде (dw/dt) dt, и элементарная работа, совершаемая нагрузкой р(х, t), определится выражением

ЬА =	J р (х, t) dx Щ dt =	! J p (£, t)	dx j dt (12.3)
	о	4	/
(l — длина балки).		(12.3) найти элементар­
Для того	чтобы с помощью

ную работу «движущейся» сосредоточенной силы Р, пред­ ставим ее в виде нагрузки р(х, t), которая задана сле­ дующим образом:

0	при 0		< х < 1 ,
Р (*, t) = Р/г	при	Ъ < х < 1 +		е,
0	при	I	+ 8 < х <	I.

Здесь е — длина малого отрезка, на котором пагрузка от­ лична от нуля, Р — равнодействующая нагрузки. При этом

координата £ некоторым заданным			образом	зависит от
времени (например, £ = i?J,		где v — горизонтальная ско­
рость движения отрезка е).
Теперь можно записать
I	£+е
§ p (x >t) £d d z =	j р (х, t)	dx =	j	p(x,t)d x,
о	S		I