книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

552.	25	\				Пря>	про :одп
		3J — прямая нас зется гиперболы. 553.
вне	гиперболы. 554.		I)	Касается	гиперболы; 2;	пересекает		г и п е р ­
болу	в двух точках;		3)	проходит	вне гиперболы. _		555.	1)	П р и
| т | > 4,5 —		пересекает гиперболу;			2) при т — ±	4,5 —	касается		ги­

перболы: 3) при | т ! < 4,5—проходит вне гиперболы. 556. к * й 2— Ь2~ т														\
557.				= 1•		559.		Зл —	4у —		10 — 0, Зл -		4у + 10 =	0.
560.	Юл- -	3у	-	32 =	0,	10л -		Зу +	32 =		0.	561. х	+ 2 у - 4 =	0,
	Чу 4-4 =		0;	(I --	8 ,/Л;>			562.	А4,	(-С ;		3);
						5
						563.	5х — 3у — 16 =					0,
13л+ 5// +		48 =		0.		564.	2л + 5// — 16 =					0.
565.	rf = - | I l /T0.					566.		5	4о
Зл2	4у"		1.							//2
						567. -гг- — 4 - =						1-
10	45			л =	4,			16	4
568.	х = — 4,					у = — 1			и	у = \.
572.	5		4			573		i - - - ^		- =		l .
575.				6 =	0.			16		9
	2л +	11// +				У к а з а н и е . Восполь-

ванным

V2 578. 4тг 16

580. q =

Взадаче

9

"32 . 581. q =

574.577. Л2 —

579.X-

25

2. 582. qx 11КО

у 2 -= 16.

		У2	= 1.
		4	5
	-CJ	II
			° Т ‘

583.	1) у- = 6л; 2 )	у- =	- х :	3)	л	2 =	у у ;	Рис.	115.
4)	л2= — 6у.	584.	1) р =	3;		в	пра­	р = 2,5; в	верхней
вой	полуплоскости	симметрично оси				Ол; 2)

полуплоскости симметрично оси Оу, 3) р — 2; в левой полуплоскости симметрично оси Ол; 4) р = -^-; в нижней полуплоскости симме-

и

О

X

			Рис.	118.
трично оси	Оу. 585. 1) у2=	4л; 2) у2 = —9л; 3) л2 = у;	4) л3 =	—Чу.
586. 40 см.	587. л2 = — 12у.	588. 1. Часть параболы	у'2= 4л,	рас­

положенная в первом координатном углу (рис. 116); 2 ) часть пара­

болы	у2 — — л, расположенная во втором координатном углу
(рис.	117); 3) часть параболы у 2 = — 18х, расположенная в третьем

221

координатном углу (рис. 118); 4( часть параболы р2 =			4х, располо­
женная в	четвертом	координатпо.м углу (рис. 119); 5)	часть пара­
болы *-' =	5у, расположенная в первом координатном углу (рис. 120);
6).часть параболы х" =		—25у, расположенная в третьем координатном

Рис. 119

Рис. 121.

IУ

Рис. 122.

углу (рас. 121); 7) часть параболы а-2= 3//, расположенная во втором координатном углу (рнс. 122); 8) часть параболы ж2 = — 16//, рас­ положенная в четвертом координатном углу (рис. 123). 589. F (6; 0),

Рис.

124.

Рнс. 126.

,v + 6 = 0.

590.

12.

591.

0. 592.

(9; 12).

(9: — 12).

593. //' =

—28*.

594.1) 1//-Р )2=

2р (х - а); 2) (// -

р>- = - 2 р ( * - а ) . 595. I) (л— а)!=

— 2р I// — р);

2)

(х — а)- — — Чр (у — (i).

590. I)

А (2; 0),

р = 2,

х — i = 0 ;

2)

,4^-—;

о ) ,

р =

3, 6* -

13 = 0;

3) ,4^0; - - j ) .

Р =» 3,

Off + 11 = 0 ,

4)

А (0;

2),

Р =

тг ’

Uj ~

9 *= °'

597'

1 >, /? = 2;

222

2)

J4 (i:

3). P=« — : з;,

,4 (fi; _ !),

p =

3

m .

1i A ( - 4 ;

3), /»— -j-;

2)

A (I;

2),

p =

2; 3)

.1(0;

I»,

p -= j

■ 599>

**

Часть

параболы

(у — З)2 =

16 (л — 1), расположенная под прямой у — 3 =

0 (рис. 124);

2)

часть

параболы

(а- +

4)z *= 9 (у + 5),

расположенная

вправо

от

прямой х + 4=*0(рис. 125); 3) часть параболы (ж — 2)г =

—2 (у — 3),

расположенная

влево

от

прямой

х — 2 = 0 (рис. 126); 4) часть пара­

болы

(// +

5)2« = - 3 ( т +

7),

рас­

положенная под прямой у 4- о — 0

(рис. 127).

690.

х «= -j- у- — у + 7.

691. у ^ - х

^ -

х

А

-

г .

602. х - +

+ 2 х у + у- — 6л + 2у + 9 = 0.

603.

F (9; —8).

604.

4х' -

Аху 4

4- У- 4

32х 4- 34у 4

89 «= 0.

605.

( 2;

1),

( - 6 ; 9).

606. ( - 4 ;

6 )- п р я ­

мая касается параболы. 607. Пря­

мая н парабола пе пересекаются.

608. 1) Касается параболы; 2) пе­

ресекает параболу в двух точках;

3.1 проходит вне паработы. 609.

1) к < - ~ \

2) к —

3)

* > " 2"

610.

p = 2bk.

612.

y^j ^

Р {х + х,).

613. "х 4 -1 /+

2 =

0.

614.

2х -

— у

— !6 = 0.

615.

d — ‘l\'VA.

616.

Afj (9; —24); d*= 10.

617.

Зх —

- у

+

3 =

0 и Зх — 2у + 12 = 0. 619. Ох -

18^ +

25 =

0.620. d =

13

621.

(6;

12)

и

(6;

— 121.

622.

(10;

130),

(10; - У Ш

,

(2;

[

0),

(2;

--Г В ).

623.

(2;

1),

( - 1 ;

,,

/ 3 +

Т Тз

7 + |Ч З

1

’

\

2

J

2

)

"

с -

- Т Т з .

7 -

р

)

.

т .

(/— 18 = 0.

У к а з а н

и е.

Вое-

9

9

пользоваться

свойством параболы , сформулированным

в задаче 024.

16

; 2)

р :

16

9

628. I) р =

5 — 3 cos 0

5 +

3 cos 0 • 629. 1) р

4 — acos 0 ’

9

! И

; 2) р =

114

2)

р =

-

4 — 5 cos 0 .630.

I» р

5 +

13 cos в

5+ ККч.»0'

631.

р

3

„

. 632.

П Эллипс;

2) парабола; 3) ветвь гиперболы;

4)

1 — cos 0

гиперболы; 6)

парабола.

633.

13,

12. 634.

8, 6.

эллипс;

5)

ветвь

635.

р =

21

о

=

29

636.

Уравнения

директрис:

р =

— -------ГГ,

■- V .

34

2 cos 0

‘

16

2 cos 0

20

'

Уравнения асимптот: р -

^

,{to s0 .

0 _

о sin 0 ’ **

5 cos 0

________ 20

637.

( б ; £ ) ,

( б ; - | ) -

638.

(з;

f

я ).

3 sin 0 + 4

cos 0

I3’

~ ¥

л) ’

639' 11

11г;

я) ;

2)

('°

"а)*

640‘

9’>Ч

b2

641.

62Ь

642.

р =

2р cos 0

1 — е2 cos2 0 '

е2 cos2 0 — 1

0, х + 4у = 0.

643. 8JC+

25у =

0. 644. 9х — 32у — 73 = 0. 645. х — у =

646.

х + 2(/ =

0,

8х — 9у = 0.

647.

* +

2// =

0,

2х — 3у =

0.

654.

2* — 51/= 0.

655.

7х +

ц — 20 =

0.

656.

х — 8у =

0,

2х — у = 0.

657.

х — 2у = 0,

3х — у = 0г,

х + 2у = 0,

3х + у = 0.

661. у +

2 =

0. 662.

2х — у +

1 =

0. 665. Линии 1), 2),

5) и 8) имеют

единственный центр, 3),

7)

— не имеют центра,

4, 6)

— имеют бес*

конечно

много

центров.

666.

1)

(3;

—2);

2)

(0;

—5);

3) (0; 0);

4) ( - 1 ;

3).

667.

1)

ж — Зг/ — 6 =

0;

2)

2лг +

у — 2 =

0;

3)

5х -

у +

+

4 =

0. 668. I > 9лт2 -

18ху +

6у2+

2 =

0; 2)

Ох2 + 4ху + у2 - 7

= 0;

3)

4х2+

Оху +

у2 — 5 =

0;

4) 4х2 +

2ху +

6у2+ 1 = 0 .

669.

1) т ф 4,

п — любое значение; 2)

m = 4, га + 6; 3)

т =

4,

ц =

6.

670.

1) ft =

2;

2)

ft, =

— 1,

ft2 =

5;

3)

при

всех

ft=+2

и

удовлетворяющих

неравенствам

— l < f t < 5 ; 4)

при ft < — 1

и при ft > 5 . 671. х2—8у2—

— 4 =

0.

672.

хг +

ху +

у2+

Зу = 0.

673.

1) Эллиптическое

уравне-

ние; определяет эллипс

х,2

ил

1;

О

' (5; —2) — новое

начало;

— {———=

2)

гиперболическое

уравнение; определяет

гиперболу

/2

(/2

— + - = 1 ;

О '

х,21о

и,29

—1;

(3; —2) — новое начало; 3) эллиптическое уравнение — +

^

=

не определяет никакого

геометрического

образа

(является

уравне

ннем «мнимого эллипса»); 4) гиперболическое

уравнение;

опрв'

дсляет

вырожденную

гиперболу — пару

пересекающихся

прямых

4+“ — у'~ =

0\

О' (—1; —I) — новое

начало;

5) эллиптическое урав­

нение;

определяет

вырожденный

эллипс

(единственную

точку)

2х'2 +

Зу'2 =

0.

674

*).

1)

Гиперболическое

уравнение;

определяет

х'~

ц'~

=

1; tg а =

-

2, cosa =

|

, sin а =

-

2

гипероолу -тg ------—

у =

у = ;

х 2

.

у'2

45°;

2) эллиптическое уравнение; определяет эллипс |д +

^ - = 1 ; а =

3) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный

эллипс —

единственную точку х'2 + 4у'2= 0; tg a =

2, cos a =

V o

, sin a = - 7= ;

\

5

4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную

гипер-

болу — пару

пересекающихся

прямых

х 2 — у 2 =

0; t g a = - g2- ,

3

.

2

5)

эллиптическое

уравнение;

не опре­

,—

, sin a =

—

V T 3

V i 3

деляет никакого геометрического образа (является уравнением

«мнимого эллипса»); в новых координатах его			уравнение	имеет вид
,2
—— V у 2 = — 1; a = 45°.	675.	1) Гиперболическое; 2)		эллиптиче­
ское; 3) параболическое;	4)	эллиптическое;	5) параболическое;

6) гиперболическое. 676. 1) Гиперболическое уравнение; определяет

*) В задачах 674 1) —5) а есть угол от положительного на­ правления старой оси абсцисс до новой.

224

„		.		,0	у	=	.
гипероолу,	уравнение которой приводится к виду х			— —			1
путем двух	последовательных преобразований координат: лг =				х	+	2,
у = у — 1 и х — -X~ V		— , у = Х' у	~ '' (рис. 128); 2) эллиптическое
уравнение:	определяет эллипс,		уравнение которого	приводится
х ' 2	и '2	1 путем двух последовательных преобразовании
к виду — - + -Д— =
1о	9

			Рис. 130.			X —у
координат:	х = х — 1,		у = у + 1		х =		х' + у'
								Уй
(рис. 129);	3) гиперболическое			уравнение;		V I
						определяет	гиперболу,
					Л	./2
уравнение	которой	приводится			X	У		двух
				к виду -g----- зб"= 1 путем
последовательныхпреобразований					координат: х = х +		3, у= у — 4
—=2*/-. г/:		2х	+ у ’ (рис.		130); 4)	гиперболическое		урав-
/ 5

8 Д. Б. Клетеинк

225

некие: определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся

прямых,		уравнение которых			приводится к виду д:'“ — 4//'~ = 0 путем
двух	последовательных				преобразований		координат: х = х ’— 2,
~	и	*	х + 3у	„	•— Зх *4-	\( .	...
У ~ У		х — ----- —■		, у — ---------—		~— (рис. 131); 5) эллиптическое
			1 10		I 10

уравнение; не определяет никакого геометрического образа — «мни­

мый	эллипс»;		его	уравнение		приводится к		виду х'2 + 2у'2 = —I
путем двух последовательных						преобразований координат: x = .v — 1,
У= у	и .г ■	х '	+	3у' _	— Зх' +		у' ...	эллиптическое уравие-
				у =	------ __		- — ; о)

1401 Ю

ине; определяет вырожденный

эллипс — единственную точку; его

уравнение приводится к виду 2х'~+

+

Зу'~ =

0 путем двух

последова­

тельных

преобразований

коорди-

пат: х — х, у

=

-

х' — у'

у — 2' и" х- ■—

1

2

6 7 7 . ,)

х-

.

Г 2

у2

=

30

+

г, :

1 — эллипс; 2) 9х2 — Юр2 =

5 —

гипербола; 3) х2 — 4у2= 0 — выро­

жденная

гипербола — пара

пере­

секающихся

прямых,

ура вненяя

которых

х — 2у — 0,

х'+ 2у = 0;

4)

2х2 + 3 р 2= — 1

•—

«мнимый

этлпис»;

уравнение не определяет

никакого геометрического

образа;

эллипс;

уравнение

определяет

5)

х2 + 2у2= 0 — вырожденный

единственную

точку — начало коор-

Х~

ifz

х2

динат;

6) -g - +

- ^ - = 1 — эллипс;

7)

—р

— у2 — I — гипербола;

д-2

1 — эллине. 678.

!) 3 и 1; 2) 3 и 2:

1

8) -у - + у2=

3) 1 и — ; 4) 3 и 2.

679. I) х ~ 2 , у ■ 3; 2) .V= 3, у =

—3; 3) х =

I. // =

— I; 4) х =

—2, у = I.

680. 1)

2 п 1;

2) 5 и 1; 3) 4 и

2; 4)

1 и у .

681. 1) х + у — 1= 0 ,

Зх + ;/ + 1 = 0 ; 2) х — 4у — 2 = 0, х - 2у + 2 = 0; 3) х — у = 0. х — Зу — 0; 4) х + у —■3 = 0, х + Зу + 3 = 0. 682. 1) Эллипс; 2) гипербола; 3) пара пересекающихся прямых (вырожденная гипер­ бола); 4) уравнение нс определяет никакого геометрического образа («мнимый эллипс»); 5) точка (вырожденный эллипс). 689. 1) Пара­ болическое уравнение; определяет параболу, уравнение которой

приводится

к виду

у"

■2х

путем

двух

последовательных

пре-

ооразовашш

координат;

х =

-

l.v' +

3у'

Зх' ■ Щ

О

О

х ' = х " — 3,

" 2

(рис.

132);

параболическое

у ' — у

2)

уравнение;

определяет вырожденную

параболу — пару

параллельных прямых,

уравнение которых

приводится

к виду х " ~

=

1 путем двух иоследо-

й

..

'

х =

З х '- 2 ( /

■

'

2х' +

3(/

ватсльных преобразовании координат;

—

_

у —

- -

1 П

У 13

в Ь —= - , / / = у " (рис. 133); 3i параболическое уравнени.';

У 13

не определяет никакого геометрического образа; приводится к виду

+	1 = 0 путем двух последовательных преобразований координат:
-	Зх' ~5 Ау- у =	4х' * -У- п V' = х", I/ = у" - 4. 690. 1) у* = 6а--
парабола; 2 ) у- — 25		— вырожденная паработа — пара параллельных

прямых,

уравнения

которы х

у

— 5 =

0, // + 5 =

0; 3) у 2 — 0 — выро»

ж д е н н а я ’парабола — пара

сливш ихся

прямы х,

совпадаю щ их

с осью

абсцисс.

693.

1) ( х + 2 у ) 2 +

4 х

+ у

— 15 = 0;

21

( З х — у ) 2 — х +

+

2 у

—

14 =

0; 3) (5х — 2у У

+

Зх — у

+

1 1 = 0 ;

4)

(4.V +

2у ) 2 — 5 х +

+

7у

=

0;

5) (Зх

- Т у ) 2 +

Зх -

2 у

-

24 =

0.

697.

11 3;

2) 3;

3) K 2j

4)

А . уТ о .

699.

1) 2л: +

у -

5 =

0,

2 х

+

у

-

1 =

0;

2)

2 х -

З у -

1 = 0,

2 V— 3// +

11 =

0; 3) 5х — у — 3 =

0, 5х — // + 5 =

0. 700. 1) х —3// +

+

2 = 0-

2)

Зх +

5 у

+

7 =

0;

3) 4.V -

2 у

-

9 =

0.

701.

(х2+

у 2)2 —

— 26’" \ х - —

у 2) =

а ' ~

с 1. 702. ( х 2 +

у'1)2 =

<2а2 { х - -

у

); p a -2<r*cos2& .

703.

р5 =

S sin 20:

( х 2 + у'2) 2 =

25дт/.

705. р = ^ - 0

и

р =

— — 0.

706.

\ 2 r - x ) t f - = x \

707.

х ( а 2 +

if ) =

а \

708.

Р ==

± '>5

x /y + U + n )2(х2—ft2) =

0.

709. р =

±а lg 0; х2[(х+ а)2+ //21=» V -

7tO. о =

2«cos0 ± ft; (.v- +

i f

— 2a.vi- =

ft’ (x2 +

y

). 711. p= rt 1sin20

2 _ 2 _ _ 2

(JC- +

y 1)3 =

4 a 2x 2y 2.

712.

x = ocosri/;

// = asinJ/;

x i + / / J = « ' .

713.

p —

a

cos3 0;

(.v2 + y 2) 2 =

a x - .

714.

x

=

a

(cos t + 1 sin 1

у

=

a

( s m

t — (sin/).

715.

x =

a ( t — sin/i,

// =

a (1 — cos />;

x

+

V y

[2a

— y ) =

arccos

716.

x — a (2 cos / — cos 2/),

у

=

a

(2 sin t

— sin 2/>;

p =

2a (1 — cos 0).

717.

x = (a + ft)c°s( —

_

„ tos

f +

A

t,

у =

(a + 6) sin / -

a sin ^ - A A /.

7 1 8 . ,v =

(ft- а )

cos/ +

а

ч

+

a cos A

<1

/, у

=

(ft — <7) sin i — о sin —— — /.

■

и

b *	227

ЧА СТЬ В ТО РА Я

720.1) (4; 3; 0), (—3; 2; 0), точка С лежит на плоскости Оху, следовательно, ее проекция на эту плоскость с ней совпадает, (0; 0; 0);

2)(4; 0; 5), (—3; 0; 1), (2; 0; 0), точка D лежит на плоскости Oxz,

следователь.но,

ее

проекция

на

эту

плоскость

с

ней

совпадает;

3)

(0; 3; 5), (0; 2; 1),

(0; —3; 0),

точка

D

лежит на

плоскости

Oyz,

ее

проекция

на

эту плоскость с ней совпадает; 4) (4; 0; 0), (—3; 0; 0),

(2;

0; 0),

(0; 0; 0);

5) (0; 3; 0),

(0; 2; 0),

(0; - 3 ;

0),

(0; 0; 0);

6)

(0; 0; 5),

(0; 0; 1),

(0; 0; 0),

точка D лежит

на

оси

апликат,

следовательно,

её

проекция

на

эту

ось

с

ней

совпадает.

721.

1)

(2; 3; —1),

(5;

- 3 ;

- 2 ) , ( - 3 ;

2; 1), (а; Ь; -

с); 2) (2; - 3 ;

1), (5; 3; 2), ( - 3 ; - 2 ;

- 1 ),

(а;

— Ь;

с);

3)

( - 2 ; 3; 1),

( - 5 ; - 3 ;

2),

(3;

2;

- 1 ) ,

( -

а;

Ь; с);

4) (2; - 3 ;

- 1 ) ,

(5; 3; - 2 ) ,

( - 3 ;

- 2 ;

1),

(а;

-

Ь; -

с);

5) ( - 2 ; 3; - I ) ,

( - 5 ; - 3 ; - 2 ) ,

(3; 2;

1),

( -

а;

Ь; -

с);

6) ( - 2 ;

- 3 ;

1),

( - 5 ; 3; 2),

(3;

- 2 ;

- 1 ) ,

( -

а; -

Ъ; с); 7) ( - 2 ;

- 3 ; - 1 ) ,

( - 5 ;

3; - 2 ) ,

(3;

- 2 ;

1),

(— а; — Ь\ — с). 722. (а; а; — а), (а; — а; а), (— а; а; а), (— а; —а; а).

723.

1) В

первом,

третьем, пятом н седьмом; 2)

во

втором, четвер­

том, шестом и восьмом; 3) в первом, четвертом, шестом

и седьмом;

4) во втором, третьем, пятом и восьмом; 5) в первом, втором,

седьмом и восьмом; 6) в третьем, четвертом,

пятом

и

шестом.

724. 1) В первом, третьем, пятом н седьмом; 2) во втором, третьем,

пятом

и

восьмом; 3) в первом, втором, седьмом и восьмом; 4) в пер­

вом, третьем, шестом и восьмом; 5) во втором, четвертом, пятом и

седьмом.

725. 1) ( - 3 ;

3;

3);

2)

(3; 3; - 3 ) ;

3)

( - 3 ;

3;

- 3 );

4)

( - 3

;

- 3 ;

- 3 ) ;

5 )

(3; - 3 ;

- 3 ) .

726. 1) 7; 2) 13;

3)

5.

727.

СМ =

6,

ОВ =

14,

ОС =

13, OD =

25.

730.

MtM3M2 — тупой. 732.

(5; 0; 0)

и (—11; 0; 0).

733. (0; 2; 0).

734. С (3; - 3 ; - 3 ) , R =

3.

735. (2;- 1 ; - 1 ) ,

(—1; —2; 2),

(0;

1 ;- 2 ) .

736.

7.

737.

- 5 ;

6).

х = 4,

у = -

1, г = 3.

738. С (6; 1; 19)

и

D (9; - 5 ;

12).

739.

0 (9 ;

740.

Четвертая

вершина

параллелограмма

может

совпадать

с

одной

из

точек:

D , ( - 3 ;

1; - 4 ) ,

D2(1 ; - 2 ;

8 ),

D3(5 ;

0; - 4 ) .

741.

С (1 ;

5; 2 ),

D (3 ;

2;

1),

Е (5; — 1; 0), F(7; —4; —1).

742. А ( - 1 ; 2; 4), В (8; - 4 ;

- 2 ) .

748. ^ У Т 4 .

744.

~

П О .

745. х = *■!. ±

*« +

, у =

t

Z *=

Zy

+

Z 2 + «3

+

«4

/ 4 О.

..

« 1 * 1

+

« 2 * 2

+

« 3 * 3 +

tn ,.V4

i

..... .

X =

- ----------------------- :---------------;-------------- ;------------------------,

4

tni +

m2 +

tn$ + tn±

Ш\Ух 4- tn2yi 4-

4~

^

4~ m2^2 4~ ttidZz 4~ tn^z^

^

Ш\ + tt%2+ Щ 4“

*

748.

tnl 4- fn2 4“ ttlz 4“ tTl±

±

3.

747. J 2 ;

- 3 ;

0),

(1; 0; 2X J0;

3; 4).

| a | =

7.

749. z =

750.

=

4;

3; -1}, BA= {4; - 3 ;

I}.

751. IV (4;

I;

l).

752. ( - ! ; 2; 3).

753.

X = V 2 , У = 1 ,

Z — — l.

754. cosct =

- ^ f ,

cosP =

- - f - ,

cosy =

16

755.

3

cosP =

4

12

— 25".

cos a = - j j p

-j^ -,

cosV = -jg -.

756.

1) Может;

2) не может; 3) может.

757.

1) Не

может; 2) может;

3)

не

может.

758. 60°

или

120°.

759.

a =

{1; — 1;

УТ}

или

в =

{1;

-

1; - /

2}. 760. Му ( /§ ; /

3; УЗ),

М2( -

УЗ; -

У з ; -

У з).

761.

См.

рис.

134.

762.

| л — 6 | = 22.

__

763.

|й

+

6 | = 20.

764.

|д

+

б| =

| л

^ 6 | =

13.

765. \a + b \ = V m

«

11,4, | о

-

6 | =

7.

766.

| а +

Ь | =

}^19 « 4,4,

\а — Ь\ — 7.

767.

1)

Векторы

а

и

Ь

228

должны быть взаимно перпендикулярны: 2) угол между векто­

рами а

и ft должен

быть острым; 3)

угол между векторами а п 6

должен

быть тупым.

768. | а I =

16 1. 769. См. рис.

135.

774.

! В ! =

15.

775.

1)

{1; - I ; 6};

2) {5; - 3 ;

6};

3)

{6; - 4 ;

12};

4)

{ 1;

-

у ; 0

};

5) {0; - 2 ; 12);

6) |

3;

г | .

776.

Вектор

ft длиннее

вектора

а

в

трн

раза;

они

направлены

в

противоположные

стороны.

777. а = 4, Р = — 1. 779. Вектор АВ в два раза длиннее вектора С7);

они направлены в одну сторону. 780. а° = (( 4/ ; — 7 — 4/-}1.

781. а° = { - | - ; - - Ц } . 782. |« + f t |= 6 , | в - ft | = 11.

783. й — — 48М45/ — 36ft. 784. е =■{—3; 15; 12}. 785. л ¥ = { 3 ; 4; —3}.

В:V = {0; —5; 3}, СР = {—3; 1; 0}. 787. а — 2р + 5q. 788. а =								2ft +	с,
ft = тр в — 4 с, с — а — 2Ъ.			789. р = 2 а - 3 6 .			790. .444 =* 4 -» + ~			с.
£	£						£	£
ВЛ' = у	с — ft, СР = — Ь — с, где			М,	N и	7* — середины		сторон
треугольника		Л В С .__ 791.	ЛР =	11ЛВ — 7ЛС, BD =			10.4В — 7ЛС.
CD = 11АВ -		8ЛС, AD + BD + CD = 32ЛВ -				22ЛС.	793. е = 2р -
—3^+г.	794. <1 = 2 а - 3ft +		с, с = -	2a+	3ft+ d, 6 = 4 °		+		^
						о	о	о
a = j b	- j c	+ 4 d- 795.	1) —6; 2)9; 3)		16; 4) 13; 5) - 6 1 ; 6) 37; 7)				73.

796. 1) —62; 2) 162; 3l 373. 797Сумма квадратов диагоналей па­ раллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 798. — ab = eft.

229

когда пекторы а	и Ь коллинеарны и имеют	противоположные па*
правления; a b =	аЬ, Когда векторы а и 6	коллинеарны и имеют

одинаковые направления. 799. При условии, что 6 перпендикулярен

к векторам а и с, и также в том случае, когда векторы а								и с кол-
линсарны. 800.			аЬ + Ьс + са=- —		801.	аЬ +	Ьс + са — — 13.
802.	|р |= Ю .	803. а = ± ~ . 804.		| а =	] 6 |.	807.	BD = ~	с ■
808.	а = arccos -		809. (jf :	V	о ,	810.	Плоскость, пср-
псидикулярная		\	7			на ней отрезок, ве-
		к оси вектора а и отсекающая
						П
личина которого, считая от точки А, равна						а	811.	Прямая
						1“ 1
пересечения плоскостей, перпендикулярных к осям							векторов а и Ь
и отсекающих		па	этих осях отрезки, величины которых, считая от

*		а	Р	812.	1) 22:
точки Л,	равны -----, . .“и. .——. . .
		Iв!	I6|
Б) 129; О) 41. 813.		17. 8 И. П_—524; 2)			13; 3)
= {—70; 70: —350} и			АВ (АС ■В С ) =		(-78;
8 !в. 13.	818. а =	—0.	819. cos(p = -^ -.		820.

21 6: 3) 7; 4) -200;

__ __ __

3; 1) ( Л В ■ АС) ■ВС = 101; -312}. 815.31.

15°. 821. arccos j — у ) .

823.	ж = {-24: 32; 30}.				824. ж =		{ 1; у ;		— i -	j.	825.		ж = — 4i		—
- 0/ +		12*.	826. а_ =		{ -3; 3; 3}.		827.	ж = {2;~-3; 0}.				828. ж = 2« -+•
+ 3/ -		2*.	829. J	3.	8 3 0 .-3 .		8 3 1 .-5 .		832.6.		8	3 3 . - 1		834.5.
835.	-1	1 .	836.		=	14	У =		11	Z =		7	837.		3.
								— A.L'			— 4L.
838. - G y5 .			839.	j [аЬ] | =		15.	840.	J [аб] | =		16.		841.	аб =	±	30.
842.	1)	24;	2) 60.	843. 1)		3; 2) 27;		3)	300.	844.		Векторы		а и Ь

должны быть коллинеарны. 846. В случае перпендикулярности век­

торов

а

и

6.

850.

1)

{5; 1;

7};

2) {10;

2; 14};

3)

{20; 4: 28}.

851. I) {6; - 4 ; - 6};

2) {-12; 8; 12}.

852.

{2;

11; 7}.

853.

{ -4 ;

3; 4}.

854. 15; cosa =

y ,

cos(l =

---- у ,

cosy =

j^ .

855.

28;

c o s a =

— у ,

cos 6 — ------ ,

cos у = — . 856. V 66; cos a = —;-L^,

cos 8 = ------ %=■,

7

7

v 66

\ ' m

cov V =

У 66

857.

14

кв. ед.

858.

5.

859. sin qp =

.K|a17

861.

m =

{45;

24;

0}.

862.

’

{7;

21

869. {-6; -21: 8}.

14;

ж =

5; I).

864. [[a6| c] — {— 7;

—7};

[a [6c]] ={10; 13; 19}.

865.

I)

Правая;

2) левая;

3)

левая:

4) правая: 5) векторы компланарны;

6) левая.

866. абс =

24.

867. в 6 с = ± 2 7 ;

знак

плюс

в

том

случае,

когда

тройка

векторов а,

Ь. с

правая, и минус — когда

эта тройка левая.

808. В том случае, когда векторы а,

Ь. с взаимно перпендикулярны.

873. а Ь с = — 7.

874. 1)

Компланарны;

2)

не

компланарны:

3) ком­

планарны.

876.

3 куб. ед,

877.

11.

878.

D x (0; 8; 01,

О2(0; —7;0).

881. X = — 6, К =

— 8. Z — — 6.

882.

Векторы а и с должны быть

коллинеарны

нли

вектор 6

должен

быть перпендикулярен к век­

т о р а м

а и

с.

885.

Точки A/t, АП,

А/,

лежат на поверхности,

точки

230