книги / Цифровая обработка сигналов в измерительной технике

Математическое ожидание погрешностей в общем виде определяется

формулой

т - 1

Скобки (	} здесь и далее означают усреднение по ансамблю
, случайных	величин.

Математическое ожидание составляющей результирующей погреш­ ности, не коррелированной с сигналом и имеющей равное нулю матема­ тическое ожидание (£^> = 0, в первом порядке малости (ДYq) = = 0. В этом случае в разложении следует учесть члены второго порядка малости, обусловленные произведением «перекрестных» членов:

/я—1	п			от—1	п		&fi
Aî” - W 2	2 ь - т ^ +		т -	г - 2	2 ь а ,
							(П )
1=0 (7=0				i= 0 q,r=\		91
Математическое ожидание погрешности (11)
	ш—1		п.		a*?t	\
	2		2	\ k d u -
					и	/ '
	i—0	Ç,r=l		N	d&çd£t,r

Если составляющие погрешности некоррелированы с сигналом и друг с другом, что характерно для погрешностей различного происхож­

дения, имеем

от—1

(12)

где

< д к .> - i | A » % •

(13}

Как видно из соотношения (12), в этом случае имеет место «принцип суперпозиции» для математических ожиданий погрешностей. Если со­ ставляющая погрешности \ q (it) представляет собой стационарный слу­ чайный процесс*, то

	< Д	:	Ч	" у	Щ!	(Щ
			Ы	h	à\lQ ’
где о* =	(t)) — дисперсия соответствующей составляющей					пог­
решности.		(9), найдем дисперсию погрешности				ДУ':
Используя соотношение
	гп-—1	п			ч	(15)
	D , д п - £ J L J L				Ж 7 -Щ7 >

где Д&,? = Ь.ч — <кч) и АЬ.г = li,r — (h.r) — разности между значе­ нием погрешности и ее математическим ожиданием.

Если погрешности не коррелйрованы с сигналом, то

от—1	п
D(AY') = X - J	2 Rf{	dU	dfl	(16)
{,1=0».r=1		дкя

где R ff = (Ag*.q А£/,г) — матрица корреляций между q-й составляю­ щей погрешности в момент tt и r-й составляющей в момент t-r

Если .различные составляющие погрешности	не коррелированы,
то имеет место «принцип суперпозиции» для дисперсий
£ > (Д П = Е Д (Д ^ ),	(Î7)
<7=1

т—\

где D (AFQ) = - ^ - 2

(,/= 0

Если погрешности в разных точках отсчета не коррелированы, то

/. _ о

по _ М	& < Л	При	/ = t;
•/ _ 1	0	при	/ # * .

Тогда дисперсия

(18)

Для стационарной погрешности (<Alt.„> = а*) получим

fe»o'о яу ( т	У	(19)
D(AKe) = — »
2

Если значения погрешностей в точках отсчета образуют стационар­

ную последовательность, то [95]
RÏÏ = R"r(tt - t f).	(20)

При этом возможно спектральное представление погрешности. Для этого выразим корреляционную матрицу через спектральную плотность погрешности GP' (Я) в соответствии с теоремой Хинчина — Винера [28]:

(21)

— ТОО

Тогда для дисперсии погрешности из равенства (16) получим

“	-5Г 2 Î <Г(В)Х,(й)Х?(0)<«,	(22)
	т—1
г »	X , ( Q ) _ . i 2 e» , - g L _ ,
	(=0

т—1

ыо

Если различные составляющие погрешности некоррелированы, то для дисперсии погрешности имеет место соотношение (17), причем для отдельных составляющих дисперсии справедливо спектральное представление

7>(Д7?) = j G»(Q)-|X,(Q)|*dQ,

■—оо

где Gq (й) — спектральная плотность q-ü составляющей погрешности. Приведенные формулы позволяют вычислить математическое ожи­ дание и дисперсию погрешностей для всех рассмотренных алгоритмов АЦОС. При вычислении дисперсии можно пользоваться либо времен­ ным представлением — с использованием корреляционной матрицы,

либо частотным — с использованием спектральных плотностей. Спектральный метод может оказаться более удобным, в особенности

при исследовании влияния внешних помех, так как он позволяет более наглядно и четко выделить частотный диапазон помех, приводящий к наиболее слабой помехоустойчивости данного метода АЦОС, и иссле­ довать погрешности АЦОС именно в этом частотном диапазоне. С дру­ гой стороны, часто из экспериментальных данных можно непосред­ ственно получить сведения о корреляционных матрицах. В этом случае возможны два пути. Один из них состоит в переходе от корреляцион­ ных функций, заданных аналитически или графически, к спектральной плотности, который может быть осуществлен известными методами [75], другой — в непосредственном использовании формул, содержа­ щих корреляционные матрицы. По объему вычислений спектральный и корреляционный (временной) методы отличаются несущественно.

1. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
Погрешность дискретизации, определяемая	формулой (8), возни­
кает вследствие замены непрерывной кривой	/ [х (tf), а] ступенчатой
_—> н>

fix (/,), п], т. е. как результат приближенного вычисления интеграла по формуле прямоугольников. Использование более сложных формул приближенного интегрирования (формул трапеции, Симпсона, Гаусса и др.) в измерительной технике не оправдано, так как эти формулы Сложны при реализации и для многих функций не дают существенного выигрыша в точности. При равномерной дискретизации по времени с шагом М = Т!т соотношение (8) можно записать в виде

	т—1	r Т
=	-£-	(24)
	1=1	о 1
где f (Ш) =f [ x (tt), а];	f{t) =	f[*(f), а].

Оценку погрешности дискретизации можно проводить разными методами в зависимости от имеющейся информации о входных сигна­ лах. Если известна информация о характере изменения сигнала во вре­ мени, то оценку можно провести с использованием формулы Эйлера —

Маклорена [66] (временная оценка). Если же имеется информация о спектральном составе сигнала, то оценку удобно проводить с исполь­ зованием формулы Пуассона [65] (спектральная оценка).

Временная оценка погрешности дискретизации

Используя в соотношении (24) формулу Эйлера — Маклорена, по­ лучим

	АГ» “ — è - № - / ( ° ) H -
+ -т Ê	- л	ё г - ^ 2s~l) (Т) - / (îs-,) (°)1 + АЯ-	• (25>
«=1	'	'
Остаточный член	можно записать в двух формах:

я-	j s »+'
В этих формулах	Bt (t) — полиномы Бернулли; В, (0) — числа Бер­

нулли; ent (х) — целая часть (в данном случае х = tfAt).

Условием применимости формулы (25) является сходимость интегра­ лов в соотношении для Rn и ограниченность всех производных в сумме, входящей в выражение (25). Достаточным условием является ограни­

ченность производных до		2и-го или (2п +	1)-го порядка функции f (t).
В частности, при п =		1
	а г л = ~ 4 г V (Г) - î (0)1 + -уЦ г		[/' (Т) - г (0)1 +	ftffi.
Для остаточного члена		справедлива оценка
	I Ri | ^ \2fti2 I №1макс*
Для	распространенного	частного случая периодической		функции
/ (/)	с периодом Т формула Эйлера — Маклорена позволяет получить
более точную оценку погрешности дискретизации.

Пусть функция / (/) имеет непрерывные производные до (v — 1)-го порядка, а производная v-ro порядка имеет разрывы первого рода, т. е. испытывает скачки конечной величины. Тогда в формуле (25) все члены, кроме Rn>обратятся в нуль. Оценку остаточного члена можно получить с учетом свойства полиномов Бернулли

[ f i / W K - g r S W . о < * < 1,

оо

гДе £ (0 =	—п-----дзэта-функция Римана.
Л=1	k

Для «треугольного сигнала» I ДКд К'4А/макс/(Зт2) и относительная погрешность при m = 10 не превышает 1,3 %, а при ni — 100—0,013 %.

Спектральная оценка погрешности дискретизации

Спектральную оценку погрешности дискретизации получим, вос­ пользовавшись формулой Пуассона [651,

Выделяя в правой части формулы Пуассона член с п = 0, для погреш­ ности дискретизации находим

|д/Я + л г

|ДКд| <

T (2n)v+l

|а г д|

fiV+i) до

где ] t" '" (t) |макс — наибольшее значение модуля (v + 1)-й произ­ водной функции f (t) на интервале (0, Т) с исключенными точками раз-, рыва tj. Например, если периодическая функция f (t) непрерывна на интервале (0, Т), а ее производная испытывает скачки, то

[?'| A/(v, | + T | /:(v+l)(v+i; Wt |]

^ 2£(у+1)(А<)%+[

Например, £ (2) = л2/6 =	1,641; £ (3) = 1,20; £ (4) = 1,08. При боль­
ших П £ (л) г» 1.
Если обозначить через	A/f’ величину скачка v-й производной в точ­

ке t,, то M T = [/tv) (t{ rf 0)' — /(v) (tf — 0)1 и

I Г

АГд— £ • £	O	!	S Dmn = 2kRe%		D,m,	(26)
1=0			rt=—oo	rt=l
T			пфО '
где Dmn =.-jr j e -fmn(ùtf(t)dt — комплексный				коэффициент	Фурье	по-
о	/ (£); œ =	2п/Т =	2n/mkt.
рядка mn функции					f (t) спра­
В формуле (26) учтено, что для вещественных функций

ведливо соотношение D -mn = D*mn (* означает комплексное сопряже­ ние). Соотношение (26) преобразуем к виду

	ДУд = k 2	Cmn = k У2 2 FmnCOS фтл,	(27)
	Л=1	п=1
		Т
где	стп = 2Re Dmn = -f- j f (t) cos (mnat) dt\
Fmn и фша — действующее		0
		значёние и начальная фаза/лл-й гармоники
функции	f(f).

Из формулы (27) следует, что погрешность дискретизации обращает­ ся в нуль, если в спектре функции f (t) отсутствуют гармоники, поря­ док которых больше или равен числу отсчетов т . Если же в спектре

функции f (/) такие гармоники присутствуют, то формула (27) позво­ ляет оценить погрешность дискретизации, обусловленную вкладом этих гармоник.

Для большинства функций, с которыми приходится,иметь дело на практике, характер убывания амплитуд высокочастотных составляю­ щих Cs с ростом их номера s (при s 1) можно оценить соотношением

I С . К С / Л

(28)

где С — постоянная, не зависящая от номера гармоники s и определя­

емая формой и амплитудой сигнала; показатель р >		1 (в общем случае
нецелый) характеризует скорость убывания высокочастотных			состав­
ляющих с ростом их номера s.		получим	оценку
В этом случае для погрешности дискретизации
|Д7д | < £ С £ '	кЩ С		(29)
	тр
п= 1 (тп)р
При р > 1 величина £ (р) имеет порядок единицы. Так, при			р = 2,

что имеет место, например, для периодических сигналов в форме тре­ угольника и трапеции | ДКд | <^ 1,64 kCJmI2, где Сг — амплитуда пер­ вой гармоники. Для сигнала треугольной формы Сг = (8/я2) /маКс. Поэтому относительная погрешность не превосходит 1,33/т2, что совпа­ дает с оценкой погрешности дискретизации, полученной для этого слу­ чая временным методом. Для трапеции с исключенной третьей гармо­

никой Сг = (6 уНЗ/я'2) /макс и относительная	погрешность дискретиза­
ции составляет Y Sim2, что дает при-ш =	10 погрешность 1,7 %, а
при т = 100 — погрешность 0,017 %.

Оценку погрешности дискретизации можно выразить через спек­ тральные составляющие входных сигналов.

Для алгоритма усреднения / (/) = х (t) из формулы (27) находим

оо

ДКд1 ^ k "\/~2 п=1 Хщп COS ф/пл»

Оценку погрешности дискретизации, не зависящую от фазовых соот­ ношений, получим при рассмотрении наиболее неблагоприятных фазовых соотношений:

|ДГд1|< А ]/2 2 Хтп.	(30)
П=1

Для алгоритма корреляционной обработки одномерных сигналов (2) при ф (ï) = cos (vat + pv) алгоритмическая функция f (i) == = х (t) cos {vat + pv). Из соотношения (27) имеем

k

А К д 2 — “ г -	S	COS (фглп-fv		Pv) 4 “	v COS (ф т п -^v Н“ Pv)l-
У JL	л=1
При наиболее неблагоприятном соотношении фаз
	I АКд21^	г-	S	С^Опл+v +	Xnitt^v).
		УJ	л=1

Из последних двух соотношений вытекает, что, если в спектре сиг­ нала отсутствуют гармоники, порядок которых больше или равен (т —

— v), то погрешность дискретизации обращается в нуль. Наименьшие* по частоте гармоники, приводящие к погрешности дискретизации* имеют порядок (т — v) и (m + v).

Для алгоритма взаимно корреляционной обработки сигналов (3)

Î (О = *i (0 *2 (f — *). Из соотношения (27) найдем оценку погрешнос­ ти дискретизации

АУдЗ— k J]			X\tmn-\-s^2,sCOS (^l.mn-j-s		^2,s 4" SCOT).
		f ! = i	S = — oo
Для наиболее неблагоприятного соотношения фаз
			S	A-lim„+sx %s.
			n = l	00
Если	учесть,	что	X s = X_s, то	последнее	соотношение	можно
записать	так:
	оо	Г 00			пт	1
| д к дз | < * Е		2 (х..тп+д 2. ,+ ^l.s^2,mn+s) “Ь			Xitmn^ sX2tA . (32)
	п = 1	Ls=l			s = 0	J

Если амплитуды гармоник в сигналах с ростом их номера убывают* так что выполняется соотношение (28), то, как следует из формулы (29)* погрешность дискретизации, с точностью до коэффициента порядка единицы, определяется наименьшей по номеру гармоникой, вызываю­ щей погрешность дискретизации. При этом условии для погрешности дискретизации можно получить более простые оценки.

Для алгоритма усреднения, как видно из выражения (30), наимень­ шая по частоте гармоника, которую необходимо*учитывать, имеет по­ рядок /я, поэтому | АКд! | = k^tX m.

Для алгоритма корреляционной обработки, как вытекает из соот­ ношения (31), аналогично | ДУд2 | = k$2Xm- y.

Для алгоритма взаимно корреляционной обработки, как следует из формулы (32), при отсутствии постоянных составляющих в сигна­

лах основные члены будут равны	и Х 2Хит^и где Х г и	Х2—
действующие значения первой гармоники	сигналов хг (t) и	х2 (О-
Поэтому
| АКдЗ I = йфзВД .*,-! +	Р зВ Д .т -1).

Для алгоритма автокорреляционной обработки аналогично получим | АУ4 К

Порядок численных коэффициентов рь р2, Рз» Рз и Р4 равен единице, их значения определяются законом убывания амплитуд гармоник. В тех случаях, когда по каким-либо особым причинам (например, из-за свой­ ства симметрии) в сигналах отсутствуют гармоники порядка т, (т —

— v) или (т — 1), величины Хт, Xm_v и Xm_i следует заменить на дей* ствующие значения гармоник, ближайших к указанным и не равным нулю.

При т ^ 1 полученные формулы для погрешности дискретизации можно объединить в общую формулу. При этом для относительной по­

грешности дискретизации
6Д— |Д Гд |/Y = ад/яг*\	(33)

Численный коэффициент ад зависит от алгоритма обработки и ско­ рости убывания высших гармоник в сигналах (показателя р).

При исследовании погрешностей дискретизации предполагалось, что отсчеты мгновенных значений сигналов берутся строго в заданных точках дискретизации. На практике это условие может быть выполне­ но с известной степенью приближения. Неточность задания точек ди­ скретизации предназначенными для этого устройствами и динамичес­ кие погрешности АЦП, влияние которых по своему характеру близко к смещению точек дискретизации, приводит к появлению добавочных погрешностей, которые рассмотрены в гл. 1.6.

4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ КВАНТОВАНИЯ

При квантовании мгновенные значения сигналов в точках дискре­ тизации заменяются числовыми эквивалентами, которыё подверга­ ются обработке по соответствующим алгоритмам. Для определения погрешности результата измерения, обусловленной квантованием, необходимо найти вначале оценку погрешности квантования, возни­ кающей на каждом шаге дискретизации, а затем с помощью методики, изложенной в гл. 1.2, получить оценку результирующей погрешности АЦОС.

Рассмотрим основные методы преобразования сигнала в числовой эквивалент, используемые в цифровой технике.

Времяимпульсный метод — мгновенное значение измеряемой вели­ чину (напряжения, тока, фазы и т. д.) преобразуется в пропорциональ­ ный временной интервал, который заполняется импульсами образцо­ вой частоты. Число импульсов, укладывающихся в выделенном вре­ менном интервале, представляет код мгновенного значения измеряемой величины.

Частотно-имдульсный метод — мгновенное значение сигнала пре­ образуется в пропорциональную частоту следования импульсов и под­ считывается число импульсов этой частоты за фиксированный времен­ ной интервал.

Кодоимпульсный метод — мгновенное значение сигнала в точках дискретизации сравнивается с образцовым ступенчатым сигналом, име­ ющим известный вес ступеньки каждого разряда. Наличие той или иной ступеньки в образцовом сигнале, численно равном измеряемому мгновенному значению сигнала, и ее вес соответствующим образом ко­ дируются (в двоичном, десятичном, двоично-десятичном коде) и в ре­ зультате образуется код измеряемого мгновенного значения.

Перечисленные методы преобразования можно описать единой мате­ матической моделью. Обозначим через х значение квантуемой величи­ ны, а через q величину кванта, тогда

х = N0q -f- е,

где N0 = ent (x1q)\ е — остаток от деления числа х на значение кванта q. Остаток от деления обозначим е = {л;},так что [х] = х — q ent [x!q\. Например {2,1 q} = 0,1 q, {—0,8 q\ = 0,2 q и т. д. Следовательно, при любых положительных и отрицательных х имеем 0 ^ {я} < q .

Величина х для времяимпульсного и частотно-импульсного преоб­ разователей представляет временной интервал, для кодоимпульсного — мгновенное значение измеряемого напряжения. Значение кванта ср для времяимпульсных' преобразователей равно периоду следования импульсов образцовой частоты, для частотно-импульсных — периоду следования импульсов частотного преобразователя, для кодоимпульс­

ных — наименьшей ступени	образ­
цового напряжения.
Обозначим через N числовой экви­		п	л \	П	. П	П -
валент величины х (в общем случае		,	Ï1	X
N может не совпадать с А^0)>	изме­
рение которого поясним с помощью		Рис.	2, Диаграмма квантования
диаграммы (рис. 2). На этом рисунке		временного интервала
величина 0 для времяимпульсного и				длительность им­
частотно-импульсного преобразователей означает
пульса (в общем случае импульсы		могут	быть	и не	прямоуголь­
ной формы), для кодоимпульсных — Q= q.			Величина		т| для	вре­

мяимпульсного и частотно-импульсного преобразователей представ­ ляет запаздывание переднего фронта ближайшего счетного импульса заполнения относительно начала временного интервала, для кодоим­ пульсных rj = 0.

Обозначим через 0Овременной порог срабатывания ключей, исполь­ зуемых во времяимпульсном и частотно-импульсном преобразователях для формирования пакета импульсов. Предположим, что прохождение импульса на выход ключа происходит тогда, когда внутрь интервала попадает часть импульса, не меньшая 0О, и что порог срабатывания ключей одинаков относительно переднего и заднего фронтов импульса. Для кодоимпульсных преобразователей примем 0О= 0.

Измеренный числовой эквивалент N зависит от величин N0, е,

0, 0О, q. Величины N0i q, 0 и 0О будем считать фиксированными пара­ метрами, а величины е, ri — переменными, в общем случае случайны­ ми величинами, изменяющимися в пределах 0 ^ е < q\ 0 ^ ц < q. Погрешность представления величины х ее числовым эквивалентом N (погрешность квантования)

1 = Nq — x = (N — N0)q — &.

(34>

Для оценки влияния погрешности квантования мгновенных зна­ чений сигналов на точность цифровой обработки сигналов необходима знать числовые характеристики этой погрешности: ее предельное зна­ чение, математическое ожидание и дисперсию.

С этой целью найдем вначале плотность функции распределения» погрешности квантования W (£), а затем с ее помощью вычислим ука­ занные числовые характеристики погрешности квантования [80]. Если измеряемая величина меняется от одного измерения к другому, то е — величина случайная. Величина^ также имеет случайный характер при

еремяимпульсном или частотно-импульсном преобразовании, если время появления первого счетного импульса не синхронизировано с на­ чалом временного интервала. Так как величины е и т| имеют различное, «е связанное одна с другой, происхождение, то их можно считать не­ зависимыми. В то же время в формуле (34) величина g зависит от вели­ чин е, чу. явно и' посредством величины АN = N — Л/0, которая, в свою очередь, зависит от переменных в, л. параметров 0, 0Ои может

принимать значения АN = = - 1 , 0 , 1,2.

На рис. 3 показана раз­ бивка области (g, ri) на по­ добласти Уду: V—I, V«, Vlt для двух случаев: 0О< < 0/2 (рис. 3, а) и 0О> 0/2

(рис. 3, б).

Обозначим через Wl (©) и W2 (ri) плотности вероят­ ности распределения вели­

Рис. 3. Разбивка области (е, л) на подобласти Vn чин е и т) соответственно. Тогда плотность вероятнос­

ти погрешности квантования

W(l)= JJ

1(е.я)—I

Интегрирование осуществляется по области переменных, для которой выполнено условие g (е, л) = 1« сводящее двукратный интеграл к од­ нократному. Выполнив интегрирование, окончательно получим

	W ® = P	® W t ( { - g ) ) ,	(35)
?+e.+S
у*	№а({— x})dx	при — <7+ 0 — 20о< § < 0 — 20о
J
0—9,
где P (I) — e-Jе,	W2([—x))dx	при0 — 2 0 „ < К ^ + 0 — 20о;

—^+0в+6

Опри | < —д + в —20о и |><7 + 0—20о.

						(36)
Функции	Wi ({ — g}) и W2 ((—х)) получаются из					функций распреде­
ления Wi (е) и		(л), если их зеркально отразить относительно на­
чала координат,		а	затем	периодически	продолжить вне интервала
(— q, 0).	Функция		Р (|)	определяется	только	функцией рас­

пределения величины л и представляет условную вероятность того,

что величина	АЛ/ = ent (—\lq)	при	условии е = {— g}, так что
ANq — в = g.	Соотношения (35),	(36)	полностью определяют плот­

ность функции распределения погрешности квантования при произ­

вольных законах распределения величин е й л-	P (g). 1	Вели­
Рассмотрим частные случаи определения функции
чина л равномерно распределена на интервале (0, q),	что имеет место
при времяимпульсном и частотно-импульсном преобразовании,		если