книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках
..pdf3.1. Интегральные уравнения движения твердого тела |
81 |
|||
т |
|
|
т |
|
со(т) + 1 • | G ^(т - t ) • ~Vc(t)dt |
- I • | |
(т |
- t) • со(t)dt = |
|
о |
о |
|
|
|
|
T |
|
|
|
= |
|
- M |
r(r,t)]dt. |
(3.1.36) |
|
о |
|
|
|
Соотношения (3.1.35) и (3.1.36) представляют собой инте гральные уравнения Вольтерра II рода типа свертки с ядрами
Gjg (т — t ) , а € {F, М} , /3 € {и, о;} |
(3.1.37) |
и правыми частями, содержащими производные по времени функций F r (t , т), M r (i,r).
Введением неизвестного вектора обобщенных скоростей
V ( T ) = (Vci(т), V C2( T ) , V C3 (т ), сщ, (т ) о;2(т ), шз(т ))Т (3.1.38)
уравнения (3.1.35), (3.1.36) сводятся к системе интегральных уравнений Вольтерра II рода:
V (т) + | А (т - <) • V (<) dt = X (т ), |
(3.1.39) |
||
|
0 |
|
|
|
А (т) = |
В (г) G(r, r)dS; |
(3.1.40) |
|
п |
|
|
В (г) = |
т -1п®п |
- т _1пв(гхп) |
(3.1.41) |
I • (г х n) ® п |
- 1 - (гх п )в (г х п ) ’ |
||
Т
Х(т) = -|[Ф (<)-Ф (т,*)]<Й ; 0
Ф(т, t) = | | V*n(r, t) G(г, т - t ) 0 (г) dS,
п |
|
|
|
Ф(т) = m"lF’(r) , |
©(г) = |
m"ln . |
|
I • |
М*(т) |
W |
I- (г х n) |
(3.1.42)
(3.1.43)
Решение уравнения (3.1.39) удовлетворяет следующим на чальным условиям:
V(0) = 0. |
(3.1.44) |
Уравнения (3.1.26) также приводятся к интегральному виду относительно вектора обобщенного перемещения U начала подвижной системы координат Оу\у2уз и соответствующим
82 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде
начальным условиям:
U(T ) = U(0) + С(«хо) |
V(t)dt; |
(3.1.45) |
|
|
|
о |
|
U (r) = (UC\(T ), UC2(T ), и с3(т), ф ( т ) , в(т), 7 (т))Т , |
|||
U(0) = (исю, Uc20, Ucзо, фо, |
во, 7о)Т , |
(3.1.46) |
|
|
С „ ( а о ) |
|
|
С(схо) = |
|
|
|
С ш ( а о ) |
‘ |
|
|
3.2. Конечно-элементное представление |
|||
интегральных операторов |
|
||
Рассмотрим конечномерную аппроксимацию |
интегральных |
||
операторов по поверхности абсолютно твердого тела, контак тирующей с жидкостью (3.1.40) и (3.1.43). В дальнейшем бу дем использовать численную параметризацию поверхности П, основанную на конечно-элементном представлении «смоченной» поверхности твердого тела. Численная параметризация предпо лагает построение радиус-вектора г для всей оболочки в виде некоторой вектор-функции криволинейных координат (£ ',£ 2). Наиболее удобно для этой цели использовать финитные функции и определять радиус-вектор в пределах каждого конечного эле мента самостоятельно. В этом случае получается хорошая точ ность представления поверхности П оболочки при относительно простых вычислениях.
В дальнейшем будем использовать изопараметрический под ход и треугольные шестиузловые конечные элементы двойной кривизны [30]. Рассмотрим процедуру аппроксимации интеграль ных операторов (3.1.40) и (3.1.43) для данного типа элемента.
Проекции вектора г на оси глобальной прямоугольной декар товой системы координат О х\х2х^ аппроксимируются с помо щью функций форм Н щ ^1,^2) конечного элемента по известным 6 координатам узлов, принадлежащим данному элементу:
|
= Xi С1, с2 еь |
С1, с2 = |
6 |
г с 1, с2 |
х ^ Е т С1, С2 , |
||
|
|
|
т=1 |
|
С1,С2 |
е П с ш \ , |
(3.2.1) |
п = |
С1,С2 е к || С1 е |
[0,1], |
С2 ^ 1 - С1 ? |
где ж™ — координаты узлов элемента.
3.2. Конечно-элементное представление интегральных операторов 83
Функции формы Sm(^1,^2) конечного элемента определяются так:
|
Hi £ U 2 = ± 2 ^ + 1 |
4£2 - 1 , |
|
|
|||
|
н2 £ U 2 |
= - § C‘ - v ^ c 2 - i |
2 ^ + 1 , |
|
|||
Нз |
= al C‘ - V ^ C 2 - 1 |
2 |
e ' - V ^ C 2 |
+1 |
, |
||
|
|
|
И |
|
|
|
(3.2.2) |
|
н4 e u 2 =1 е е - 2 |
- e 2 + i , |
|
|
|||
н5 |
£ U 2 =1 |
€‘ + л/зе2 - 1 |
2 |
е ' + Л с 2 |
+1 |
, |
|
|
Нб £‘,£2 |
= - § |
+ л/зе2 - |
1 2 ^ + 1 . |
|
||
Дальнейшие вычисления удобно провести в матричной фор ме. Для этого введем матрицу координат узлов X, вектор форм 3 (£ ',£ 2) конечного элемента и представим радиус-вектор г (3.2) так:
г = Х |
|
|
Н.(£',£2) |
|
(С‘,е 2) |
6xi' |
|||
|
|
|
s 6(£‘,£2) |
|
|
|
|
®i(lU2) |
|
r = |
r(C1,C2) = |
|
T2(C’,f2) |
(3.2.3) |
|
1 |
|
3x1 |
|
|
. . . |
6 |
|
|
|
X \ |
X i |
|
|
|
x = x'2 |
... |
x\ |
|
|
x i |
... |
xl 3x6 |
|
Ковариантный базис касательного пространства га и ком поненты метрического тензора g a)g определяются выражением (1.4.4) и с учетом (3.2.3) имеют вид:
Е = (ri г2)зх2 = X • D, G = |
(gap) = Ет • Е, 8 = det (gap) ; |
(Г .г) |
(3.2.4) |
'I —(С • С") |
|
D = D (0 |
а,/3 = 1,2, |
ОН. (£.•€") |
(С .Г) 6x2 |
где D(£) — матрица первых частных производных функций форм. Для вычисления средней кривизны конечного элемента Я, входящей в выражение для функции влияния G(r,r) (2.1.31), найдем вектор нормали п (1.4.5) и компоненты тензора кри
84 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде
визны Ьар на основании соотношения Вайнгартена в |
форме |
||||
Ьар = даГр • п: |
|
|
|
|
|
n = |
. N |
N = E<1> X E<2>, |
|
||
|
\/NT • N |
|
|
|
|
В = ( М |
2х2= D T .X T . „ |
DT2 -X T n , |
(3-2.5) |
||
D2;a = D2;a(C1,C2) = 5a D(C1,C2), |
k = 1,2. |
|
|||
Здесь T>2,a — матрицы |
вторых |
производных функций |
форм |
||
верхним индексом в угловых скобках обозначен номер |
|||||
столбца соответствующей матрицы. |
|
|
|
||
Тогда для средней кривизны Н = |
получим: |
|
|||
|
Я |
= ^ В : G -1, |
|
(3.2.6) |
|
где символом «:» обозначена двойная свертка тензорного произ ведения В 0 G -1 .
Для аппроксимации давления в падающей волне р*(г, т) и вектора скорости точек акустической среды, граничащих с по
верхностью оболочки v*(r, т), |
используем изопараметрический |
|||
подход [30]: |
|
|
|
|
Р*(г,т) = p j • S, |
v*(r, т) = W * -3, |
|||
. . |
|
... |
, |
|
Р * = Р * ( г ) = |
(3.2.7) |
|||
|
|
РеДт) |
^ |
|
w* = w*(r) = |
v ul |
( r ) ... |
»б»(т) |
|
»L(r) ... |
v l { r ) |
, |
||
|
»U (т) ... |
»6»(т) |
|
|
где P j * ( r ) — значение давления в падающей волне в j -ом узле, v},(r) - значение г-ой компоненты вектора скорости v* в Дом узле.
С использованием матричных выражений (3.2.3)—(3.2.7) по лучим следующее представление главного вектора и главного момента внешних сил (2.4.17), (3.1.12) и интегральных опера торов Ф(т) и Ф(тД) (3.1.43), входящих в правую часть (3.1.42) уравнения движения (3.1.39):
F*(r ) |
р Т ' S n^/g (Ш, |
(3.2.8) |
М*(т) |
p J - 3 r x n y/g dfl, |
(3.2.9) |
|
n |
|
3.3. Уравнения движения осесимметричного тела |
85 |
|
пт • W* • 3 |
G(r,r — t)&(r)^/g dn, |
(3.2.10) |
0 (r) = |
m -i n |
(3.2.11) |
I •(r x n) |
||
Аналогичным образом представляется матричный интегральный оператор А(т) (3.1.40):
A(T) = JjB (r)G (r,T )v /£ d fl, |
(3.2.12) |
п
где В(г) определяется соотношением (3.1.41):
g/\ _ m_1n®n —m- 1n®(rxn)
I •(г x n) <g>n —I •(r x n) ® (r x n)
Здесь интегрирование ведется по областям параметризации О (3.2), граничащим с акустической средой.
Для вычисления интегралов в (3.2.8)—(3.2.10) воспользуемся квадратурными формулами Гаусса [14] на треугольнике ГГ
|
|
|
1 |
( i - f ‘)/V3 |
|
|
|
||||
7 С1, с2 |
dsi6 = |
| |
dC1 |
| |
|
|
/ С1,с2 |
d,e |
|
||
|
|
|
-\/2 |
( f |
i - |
l ) |
/ V |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* i f |
c i . d |
. (3.2.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j'=> |
|
|
|
ш\ = cc3 = |
сс5 = |
155- v H |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
155 + уТ5 |
1200 |
|
|
|||
ш2 = Ш4 = OJQ = |
|
27 |
|
|
|||||||
1200 |
|
: |
Ш7 = 120’ |
|
|||||||
с \ |
_ Л |
_ |
Л |
_ Л |
_ п |
|
|
с 1 |
VT5 + 1 |
|
(3.2.14) |
s7 |
s7 |
|
s i |
— ?4 — |
|
|
C l ----------j ----- > |
||||
|
cl _ cl _ |
|
- 1 |
’ |
|
c l _ _ c l |
|
|
|||
|
s2 |
s6 |
|
j |
S4 |
>2 ’ |
|
|
|||
|
d |
= ^ C l* |
d |
= —v/3C6> |
|
|
|||||
& = & = &> с1 = ^ с ь |
|
ti = - '/ 3 d - |
|
||||||||
3.3. Уравнения движения абсолютно твердого тела, ограниченного поверхностью вращения
Рассмотрим абсолютно твердое тело, ограниченное гладкой выпуклой поверхностью вращения П с направляющей Г, задан ной в плоскости Оу\у2 функцией У2 = f (у\) С2 [о, &]• Зададим
86 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде
поверхность П в связанной с центром масс тела системе коорди нат Oi 3/13/22/3:
П : г = у& = yi (С1^;2)e , С1 е [а, 6], £2 е [0, 2ж) , |
|
s/KC1,^2) = С1, У2(£1,£2) = / ( С ^ п С2, |
(3 3 1 ) |
Ы С 1^ 2) = / (C ^ COS^2, |
|
где Z;1 и £2 — осевая и окружная координаты соответственно. Векторы базиса касательного пространства определяются из
(1.1.2) или (1.4.2):
Га = даГ,
|
ri = ei + /'(C ^ sin^ 2 Е2 + / '( О с о s f ез, |
(3.3.2) |
|||||||
|
*2 = / (С 1)соsC2 е2 - |
/ ( С ^ п С2 ез- |
|
|
|||||
Найдем компоненты метрического тензора поверхности вра |
|||||||||
щения |
(1.4.4): |
®а/3 = |
" Ту, |
(Г J |
= 1>2 , |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
Ol1 = 1 + |
/ '(^ ) 2. |
|
° 2 ^ / ^ ^ )> |
Oi2 = a 2 1 = 0, |
(3.3.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
„к |
2 |
|
|
о ( ^ ) = det(oa/j) |
= / 2( ^ ) |
^ |
|
|||||
|
/ ( с 1) |
|
|
||||||
а 11 = |
1 + |
с//,- ь |
, |
,22 |
|
2/vb |
,12 |
„21 |
|
/ '( О |
а22 = Г |
2{С), |
g 12 = g 21= 0. |
||||||
Таким образом, криволинейная |
система координат |
(£ 1,£ 2) |
|||||||
является ортогональной. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Координаты вектора единичной нормали п поверхности П |
|||||||||
равны (1.4.3, |
1.4.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = N / |N | = n *e , N = r ^ r 2, п г = n l £^£2 , |
|
||||||||
|
п 1= “ / '(С 1) / |
^ |
1), |
n2 = s i n f N ( £ 1), |
(3.3.4) |
||||
|
n3 = cos f N ^ 1), |
|
N ^ 1^ |
l + Cf'CC1))2 - |
|
||||
Главные ki, k2 и средняя Я |
кривизны поверхности П опре |
||||||||
деляются компонентами тензора кривизны Ьау (1.4.7). Тогда для средней кривизны получим
М С 1) ^ ^ / " ^ 1) ^ 3^ 1),
М О ^ — Л О ^ Л Г Ч О ,
( 3 .3 .5)
н ( ^ = 1 (М г) + М г)) = 1
Ьд —Ьа-уС1Pi
3.3. Уравнения движения осесимметричного тела |
|
87 |
|||||
Векторное произведение г х п, входящее в (3.1.41) и (3.1.43), |
|||||||
с учетом (3.3.1) и (3.3.4) имеет вид: |
|
|
|
||||
г х п = F ( ^ ) N |
‘(С1) |
-c o s £ 2 е2 + sin£2 е3 , |
|
|
|||
|
П € ') |
= / ,(С1)/( € 1) + €1. |
|
|
|
||
Определим компоненты оператора В (г) в соответствии с вы |
|||||||
ражением (3.1.41): |
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
/'(I1) 2 |
|
-/'(€ ’)sin£2 |
/'(£ ')cos^2 |
|
|
П0 П = N |
(£ ) —/'(£l)sin£2 |
sin2 £2 |
sin£2 cos£2 |
» |
(3.3.7) |
||
|
/'( ^ ) c° s |2 |
sin £2 cos£2 |
cos2 £2 |
|
|
||
|
|
|
О |
/'(£') cos£2 |
—/'(€') sin£2 |
|
|
n ® [r,n] = |
F ( ( l)Af_2((1) |
0 |
—sin£2cos£2 |
sin2£2 |
; |
(3.3.8) |
|
|
|
|
О |
—cos2 £2 |
sin £2 cos£2 |
|
|
[r,n ]® n = (n ® [r,n ])T ; |
(3.3.9) |
|||
2 |
О |
|
О |
О |
[г, п] ® [г, n] = — |
0 |
- |
COS2£2 |
sin£2cos£2 . |
|
гч |
• |
+2 J.2 |
• 2 >-2 |
|
U Sin5 COS 5 |
—Sin £ |
||
|
|
|
|
(3.3.10) |
Вычислим интегралы, входящие в (3.1.40). Учтем, что сред няя кривизна поверхности вращения зависит только от координа ты (3.3.5). Следовательно, и функция влияния G(r, т) также будет зависеть только от одной пространственной переменной
G(r,r) = G((,1, T ). Поэтому сведем интеграл по поверхности П (3.1.40) к повторному интегралу:
|
Ь |
|
_____ |
2ж |
В (г) G(r, r)dS = IС?(£‘, т) |
|
r(C‘,C2) d£2. |
||
П |
а |
|
|
0 |
|
|
|
|
(3.3.11) |
Внутренние интегралы по £2 вычисляются аналитически. То |
||||
гда для |
оператора А (т) |
(3.1.40) |
получим следующее представ |
|
ление: |
|
|
|
|
|
А (т ) = |
G(C1,r)B (C 1)dC1 |
|
|
|
|
2тг |
|
( 3 .3 . 12) |
|
|
в ( e1, e ) d e , |
||
|
в ( с1) = / ( с1)а (с1) |
|||
0
88 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде
причем матрица В, |
с |
учетом |
(3.3.7)—(3.3.10), представляется |
||||||
в блочном виде так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B (fh |
= |
ш в |
(С ) |
пГ Н |
^ |
) |
|
|
(3.3.13) |
К J |
|
I B |
I B |
(( |
) |
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bn(C ‘) = ^ /(C 1)iV -1(C1)diag |
//*К |
2 |
|
1 ; |
(3.3.14) |
||||
2 /'(С 1) М , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
B I2(C1) = B21(C1) = 7T/(C 1)F(C1) ^ - 1(C1) |
о |
0 |
-1 ; |
(3.3.15) |
|||||
|
|
|
|
|
|
О 1 |
о |
|
|
B22(C1) = -7 r/(C 1) ^ 2(C1) |
^ 1(e1)diag[0, |
1, |
1]. |
(3.3.16) |
|||||
Составляющие вектора свободных членов (3.1.42) в соответ ствии с (3.1.43) и (3.3.1) имеют вид:
2тг
ф(т) = |
д с ' ж 1 р*($1л \ |
2 . |
(3.3.17) |
|
т )ф (ц1,£,2)<1ц |
||||
ъ |
2ж |
|
||
Ф(т,<) |
’ m y) G { e , r - m |
|
’ tw ( £ U 2, * )* (£ '.£2)d£2. |
|
а |
|
0 |
(3.3.18) |
|
|
|
|
||
где вектор Ф определяется так:
ф (с‘,с2) =
т
= m - /'( C 1),sinC2,cosC2,0 , - ^ 2F (^ 1)cos^2,>r3F(^1)sin^2 ,
жа = ^ ~ (а = 2,3). (3.3.19)
•Jа а
Здесь Jaa — осевые моменты инерции твердого тела относи тельно оси Оха .
Вычислим массово-инерционные параметры твердого тела.
Масса тела вращения определится как: |
|
ь |
(3.3.20) |
m = 7г |
а
Тензор инерции твердого тела относительно начала коорди нат J, а также тензор инерции J относительно осей координат
3.3. Уравнения движения осесимметричного тела |
89 |
Ох 1Ж2Ж3 в инвариантной форме имеют вид [32]:
J = |
(г 0 г) с/х. |
J = JiG |
- |
J, |
(3.3.21) |
G |
|
|
|
|
|
где J\ = J\ — первый |
инвариант |
тензора |
J; |
G — метрический |
|
тензор пространства.
Учтем, что граничная поверхность абсолютно твердого те ла П задана в главных центральных осях инерции тела, которые совпадают со связанной системой 0\у\у2у$. Тогда метрический тензор G равен единичному тензору Е, а физические компоненты тензора J имеют вид:
2тг |
/($') |
|
|
|
|
Jn |
|
|
(уц(О)2 + (vi(O)2 rdr> |
(3.3.22) |
|
J a/3 = Q’ |
(a, 13, 7 |
= 1,2,3; а ф /3 ф 7 ) , |
|
||
где |
2/2 = ^sinC2. |
yz = rcos£,2. |
(3.3.23) |
||
У\=£}, |
|||||
Вычислим интегралы (3.3.22) и найдем осевые моменты инер |
|||||
ции тела вращения Ja\ |
|
|
|
|
|
|
Jn = |
|
|
|
|
|
. |
“ |
|
|
(3.3.24) |
J 22 = J.зз |
/ V |
) |
Л |
с ^ + ^ с 1)2 rfc1- |
|
Таким образом, тензор инерции J является диагональным
и, следовательно, тензор I = J -1 (3.1.26) также является диаго нальным, а его компоненты
laa —Jаа> I — |
(3.3.25) |
Покажем, что решение для проекции угловой скорости вра щения ац(т) на продольную ось тела имеет вид сщ(т) = оц(0), и, следовательно, соответствующее уравнение может быть исключено из системы (3.1.39). Указанный результат имеет ясное физическое объяснение, так как в идеальной жидкости отсутствуют касательные напряжения на поверхности твердого тела, которые создают проекцию внешнего момента на продольную ось Ох\.
Для этого рассмотрим четвертое уравнение в системе (3.1.39). Правая часть уравнения относительно ш\(т) определя ется четвертыми компонентами векторов Ф(т) и Ф (т,/), которые
90 Гл. 3. Движение абсолютно твердого тела в акустической среде
в силу (3.3.17)—(3.3.19) равны нулю. Рассмотрим свертки диагонального тензора I с тензорами В21 (С1) и ^ 22(С1) (3.3.13). В силу (3.3.15) и (3.3.16) четвертая строка матрицы В(£*) также является нулевой. Следовательно, уравнение относительно ац(т) приобретает вид
ш\(т) = wi(0). |
(3.3.26) |
Проанализируем первое уравнение системы (3.1.39) от носительно компоненты вектора скорости V\{r). Для первых компонент векторов Ф(т) и Ф(т, <) из (3.3.17)—(3.3.19) получим следующие выражения:
Ь |
2ж |
|
ipi(r) = —m |
?„(£*, £2r)d£2, |
|
а |
0 |
2ж |
|
|
|
•ф\(т, t) = —m 1 lf(Hl)f'(lil)G(til,T - t) d(i |
v*n{£{,£,2T ) d f, |
|
а |
|
(3.3.27) |
|
|
|
Ф(т) = (<у21(т ),...,926(т))Т , Ф(т,<) = (гр\(тД),...,гр6(тД))Т.
Рассмотрим матрицу В(£!) (3.3.13), отвечающую за струк туру ядер интегрального уравнения относительно V\ (г). Первая строка матрицы В 12(^1) является нулевой (3.3.15), а ненулевой элемент первой строки матрицы Bii(£*) (3.3.14) равен
2тг/(е1) /'(£ ') 2 N - \ i x). |
(3.3.28) |
Поэтому первая строка матрицы В(£') будет содержать толь ко один ненулевой элемент, соответствующий компоненте век тора скорости V[ ( T ). Подставим (3.3.27) и (3.3.28) в (3.3.13), (3.3.12) и (3.1.39) и получим интегральное уравнение относи тельно V\{T ):
Vс\(т) + 2ппг 1 F H (T - |
t)Vc\(t)dt = X i(r), |
(3.3.29) |
о |
|
|
F n ( r ) = |/ ( c ‘) п е ) 2 N - \ e ) G { e , T ) d a \ |
|
|
a |
|
( 3 .3 .3 0 ) |
T |
|
|
|
|
|
^ I(T) = I [<pi(t) + |
ip \{r ,t)] dt. |
|
0